星座图与调和曲线图

星座图
星座图是将高维空间中的样品点投影到平面上的一个半圆内，用投影点表示样品点。

具体的作图步骤是：
（1）将数据｛X ki ｝变换为角度｛θki ｝，使0〈θki 〈π，常取变换方法如下（极差标准化）：
180min max min 111⨯--====Li n L Li n L Li n
L ki ki X X X X θ k =1,…,n i =1,…,p
（2）适当地选一组权系数 w 1, w 2, …,w p ，其中 w i >0 且11=∑=p i i w。

重要的变量相应的权数可取大一点。

最简单的取法
为w p =1/p ，i =1,…,p 。

（3）画出一个半径为1的上半圆及半圆底边的直径。

（4）对给定的第k 次观测X k =(X k 1, X k 2,…, X kp ),对应着上半圆内的一个点“·”或“*”和一条由折线表示的路径。

路径的折点坐标是
星号位于路径的终点，其坐标为( U k (p ), V k (p )
)。

将这些坐标(U 1(1), V 1(1)), (U 1(2), V 1(2)),…,(U 1(p), V 1(p))所对应的点分别记为o 1, o 2, …,o p ，连接o 1, o 2, …,o p 即为第一⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ∑ ∑ = = n
k W V p L W U L i ki i L k L i ki i L k , , 1 sin , , 1 cos 1 ) ( 1 ) ( θ θ
个样品点的路径。

从上面表达式不难看出路径终点的横坐标就是点o1到点o p的横坐标之和，终点的纵坐标是点o1到点o p的纵坐标之和。

如果将n个样品点的路径折线和星号位置都画出来，就很像天文学中星座的图象，故称之为星座图。

下面对消费数据，使用相同的权数即w1, w2,…,w6=1/6作星座图。

调和曲线图
调和曲线图是D.F.Andrews1972年提出的三角多项式作图法，所以又称为三角多项式图。

其思想是把高维空间中的一个样品点对应于二维平面上的一条曲线。

设p维数据x = (x1, x2, … , x p)'，对应的曲线是：
上式当t在区间[-π, π]上变化时，其轨迹是一条曲线。

在多项式的图表示中，当各变量的数值太悬殊时，最好先标准化后再作图。

这种图对聚类分析帮助很大，如果选择
聚类统计量为距离的话，同类的曲线非常靠近拧在一起，不同类的曲线相互分开，非常直观。

调和曲线图有两点优良数学性质：一是保持线性性，二是与一般的欧式距离之间的关系。

上面的变换是一个连续函数，我们定义两个样本X与Y 之间的距离为如下平方积分形式（事实上也是一种常用的范数）：
愿意复习三角函数积分的可以做一做，其实很简单的。

最后可以发现这个距离与欧式距离（后者）有如下关系：
根据这条性质我们马上可以得知前面观察图线聚类的数学依据。