复数讲义(绝对经典)

C．-1．1
D．2， 3 2
【答案】D
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【例2】 计算： i0! + i1! + i2! + + i100! 【答案】 95 2i
数．
2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 0 ，0 ，它所确定的复数是
z 0 0i 0 表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．
复数 z a bi 一一对应 复平面内的点 Z (a ，b)
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
原式 a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i
c di (c di)(c di)
c2 d 2
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad i ．
c2 d 2
c2 d 2 c2 d 2
∴( (a bi) c di ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
复数
一、复数的概念
1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于 1 ，即 i2 1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1 的关系:
i 就是 1的一个平方根，即方程 x2 1 的一个根，方程 x2 1 的另一个根是-i．
（4）i 的周期性： i4n1 i ， i4n2 1 ， i4n3 i ， i4n 1 ．
点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方
法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的 3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为
1是有理数，而 c dic di c2 d 2 是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母
实数a(b 0)
2．
数系的扩充：复数
a
bi
虚数a
bi(b
0)
纯虚数bi(a 0)
非纯虚数a
bi(a
0)
3． 复数的定义：
形如 a bi(a ，b R) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做
复数集，用字母 C 表示 4． 复数的代数形式:
通常用字母 z 表示，即 z a bi(a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．
6． 复数集与其它数集之间的关系： N Ü Z Ü Q Ü R Ü C 7． 两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果 a ， a ，b ，d ， c ， d R ，那么 a bi c di a c ， b d
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由复数相等定义可知
cx dx
dy cy
a b
，解这个方程组，得
x
y
ac c2 bc c2
bd d2 ad d2
，
于是有: (a bi) c di ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
②利用
c
di c
di
c2
d
2
于是将
a c
bi di
的分母有理化得：
（1） z1 z2 z3 z1z2 z3
（2） (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
（3） z1 z2 z3 z1z2 z1z3
7． 复数除法定义：
满足 c di x yi a bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 a bi 除以复数 c di 的商，记为：
实数化法． 9． 共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于 0 的两
个共轭复数也叫做共轭虚数．
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例题精讲
1． 复数的概念
【例1】
已知
a 1
i i
2
bi(i
为虚数单位），那么实数
a，b
的值分别为（
）
A．2，5
B．-3，1
(a
bi)
c
di
或者
a c
bi di
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8． 除法运算规则：
设复数 a bi ( a 、 b R )，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 y R )，
即 (a bi) c di x yi ∵ x yic di cx dy dx cyi ∴ cx dy dx cyi a bi
设 z1 a bi ， z2 c di ( a 、 b 、 c 、 d R )是任意两个复数，
那么它们的积 z1z2 a bic di ac bd bc ad i
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成 1，并且把实部与
虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：
5． 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：
对于复数 a bi(a ，b R) ，当且仅当 b 0 时，复数 a bi(a ，b R) 是实数 a ；当 b 0 时，复数
z a bi 叫做虚数；当 a 0 且 b 0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就是实数 0
三、复数的四则运算
1． 复数 z1 与 z2 的和的定义：
z1 z2 a bi c di a c b d i
2． 复数 z1 与 z2 的差的定义：
z1 z2 a bi c di a c b d i
3． 复数的加法运算满足交换律: z1 z2 z2 z1 4． 复数的加法运算满足结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) 5． 乘法运算规则：
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
复数 z a bi(a ，b R) 与有序实数对 a ，b 是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐 标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z a bi(a ，b R) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表
示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实