可逆矩阵判定典型例题
线性代数2.4可逆矩阵
= O + 4E = 4E 所以
A
1 4
(A
−
3E )
=
E
所以
A 可逆，且
A−1 =
1 (A − 3E)
4
。
（2）因为 (A- 2E)(A − E) = A(A − E)− 2E(A − E) = A2 − A − 2A + 2E
= A2 − 3A − 4E + 6E = O + 6E = 6E
所以 (A- 2E)16 (A − E) = E 也就是 A - 2E 可逆，且 (A - 2E)−1= 1 (A − E)
( ) ( ) 求（1） A∗ （2） A-1 （3） A∗ -1 （4） A∗ ∗
解：（1）因为
21 0
A = 0 1 -3 =2
20 4
又
AA∗ = A∗A = A E
等号各边取行列式有 AA∗ = A E ，
所以 A A∗ = A 3 E = A 3 得到 A∗ = A 2 = 22 = 4
（对于n阶方阵 A ，我们有 关系式 A∗ = A n−1 ）
所以 E − A 可逆，且 (E − )A −1 = E + A + A2 ++ An−1 。
例5 已知 A2 − 3A − 4E = O
证明（1）A 可逆 ，并求 A−（1 2）A - 2E 可逆，并求 (A - 2E)−1 证（1）因为 A(A − 3E) = A2 − 3A= A2 − 3A − 4E + 4E
A31= (−1)3+111 -03 = −3
A32
=
(−
)1 3+2
2 0
−03 = 6
判断矩阵可逆的练习题
判断矩阵可逆的练习题判断矩阵可逆的练习题矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
而判断矩阵是否可逆是矩阵理论中的一个重要问题。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
在开始之前，我们先回顾一下什么是可逆矩阵。
一个n阶方阵A称为可逆矩阵，当且仅当存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵。
练习题1：设A是一个3×3的矩阵，其行列式为2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的行列式必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用伴随矩阵的性质。
伴随矩阵的定义是：若A是一个n阶方阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则adj(A)的元素是A的代数余子式的代数余子式。
对于3×3的可逆矩阵A，其伴随矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/2)adj(A)练习题2：设A是一个2×2的矩阵，其特征值为3和-2。
请判断矩阵A是否可逆，并给出可逆矩阵B。
解答：根据矩阵可逆的定义，我们知道，如果矩阵A可逆，那么它的特征值必不为0。
因此，由题意可知矩阵A是可逆的。
为了找到可逆矩阵B，我们可以利用逆矩阵的性质。
对于2×2的可逆矩阵A，其逆矩阵B可以通过以下公式计算得到：B = (1/det(A))adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
通过以上两个练习题，我们可以看出，判断矩阵可逆性的关键在于判断矩阵的行列式是否为0。
如果行列式不为0，则矩阵可逆；如果行列式为0，则矩阵不可逆。
在实际应用中，判断矩阵可逆性是非常重要的。
例如，在线性方程组求解中，如果系数矩阵可逆，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或有无穷多解。
因此，掌握判断矩阵可逆性的方法对于解决实际问题具有重要意义。
总结起来，通过练习题的训练，我们可以更好地理解和掌握矩阵可逆性的判断方法。
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
可逆矩阵264191
1 1 1
例
设A 2 1
0
求 A1
1 1 0
1 1 1 1 0 0
解 A I 2 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
r2 2r1
r3 r1
1 0
1 1
1 2
1 2
0 1
0 0
0 2 1 1 0 1
r1 r2 r3 2r2
(1)r2
1 0
0 1
1 2
1 2
1 1
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1) k
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
4
0
4 .
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
1 A
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
书后习题：逆矩阵的证明题
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足： 试证A可逆， 试证A可逆，并求 证： 由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆， 且 可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 是 k ≠0
作业： ）、2 ）、4 ）、10、13、 作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1） ）、19（ ）、22（ ）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个 阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空： ） 是两个3阶方阵 、 是两个 阶方阵， 则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵， 是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明： 证明： 因
( E A)( E + A + A + + A
线性代数第三章矩阵的逆(习题课)
目录
• 矩阵的逆的定义和性质 • 逆矩阵的运算规则 • 逆矩阵的应用 • 习题解析与解答
01
矩阵的逆的定义和性质
定义与性质
逆矩阵的定义
如果存在一个矩阵A-1，使得A*A-1=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵， A-1为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A-1也 是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。同时， 若B是A的逆矩阵，则AB=BA=I。
03
逆矩阵的应用
解线性方程组
线性方程组
线性方程组是数学中一个常见的 问题，它涉及到多个未知数和方 程。通过矩阵的逆，我们可以找 到线性方程组的解。
求解步骤
首先，将系数矩阵进行转置，然 后计算其行列式值。如果行列式 值不为零，则存在唯一解。最后， 通过矩阵的逆计算出线性方程组 的解。
应用场景
线性方程组广泛应用于各个领域， 如物理、工程、经济等。通过矩 阵的逆，我们可以更高效地解决 这些领域中的问题。
综合题2解析
题目要求求一个给定矩阵的逆矩阵， 并判断其是否可逆。同时，我们需要 解决一个与该矩阵相关的问题。首先 ，我们判断矩阵是否可逆。如果可逆 ，我们再使用公式法或分块法计算逆 矩阵。然后，我们将逆矩阵应用于实 际问题中以获得解决方案。
综合题目3解析
题目要求求多个给定矩阵的乘积的逆 矩阵，并验证其正确性。同时，我们 需要解决一个与这些矩阵相关的问题 。首先，我们计算多个给定矩阵的乘 积。然后，我们使用公式法或分块法 计算其逆矩阵。最后，我们通过乘以 其原矩阵来验证逆矩阵的正确性。同 时，我们将逆矩阵应用于实际问题中 以获得解决方案。
量βi；最后，计算P^(-1)AP=B。
分块法证明矩阵可逆例题
分块法证明矩阵可逆例题哎呀，说到矩阵可逆，大家的第一反应是不是都是一脸懵？别担心，今天咱们就用一个大家能理解的方式来聊聊这个话题，顺便捋顺了。
咱们从头说起，这个“分块法”其实就是一种很巧妙的技巧，挺像是拆解难题的方式。
像是做数学题，平时一眼看上去有点复杂，结果你发现其实可以分成几个小块来解决，每个小块都不难，合起来就能搞定大问题。
先给大家普及一下，什么叫矩阵可逆？就是有一个矩阵，它能够找出自己的“逆”矩阵，咱们把这个逆矩阵和原矩阵相乘，结果是一个单位矩阵。
简单点说，像是你和好朋友玩合力游戏，两个人互相帮忙，最后把大难题都解决了。
这时候，原矩阵和逆矩阵就是一对“搭档”。
如果矩阵有逆矩阵，那就代表它是可逆的，反之就不行。
这时候，分块法就登场了。
啥是分块法呢？简单说，就是把一个大矩阵分成几个小矩阵，逐个突破，搞定它。
就像是你去吃火锅，菜品太多，直接一次性下锅肯定吃不完，可你可以先把火锅分成一小部分，慢慢来嘛！就这意思，把矩阵分成几个块儿，逐步搞定。
说到这里，我猜你可能会想，这分块法是怎么帮助我们证明矩阵可逆的呢？别急，接着往下看。
分块法的核心思想是，把一个大矩阵拆成多个小矩阵，每个小矩阵负责一个小部分的计算。
这样一来，虽然整个问题看起来有点复杂，但通过分块之后，问题就小了，大家各自攻克。
就像你拆了大块的砖石，每块砖都能轻松搬运，累了也能休息一会儿，慢慢就能把整栋楼修好了。
假设我们有一个矩阵A，假设它可以拆分成4个小块，形式看起来就像是这样：A = begin{pmatrixA_{11 & A_{12A_{21 & A_{22end{pmatrix这个矩阵A就被分成了四个小块，A₁₁，A₁₂，A₂₁，A₂₂。
然后，我们的目标就是要证明这个矩阵A是可逆的，怎么做呢？要不然你也可以试着求它的逆矩阵，看它和A相乘能不能得到单位矩阵。
行了，别着急，咱们一步步来。
我们需要假设A₁₁和A₂₂都是可逆的，大家可以理解成它们是两块坚固的砖头，不容易被砸坏。
可逆矩阵习题
解 1）在 2A1B B 4E的两边左乘A，得 2B AB 4AE
(A 2E)B 4A
A 2E B 43 A 0
所以A－2E可逆.
2) A 2B(B 4E)1 下面求B －4E 的逆．
B 4E
3 2 0 1 0 0
E
1
2
0
1
A=
2
,
1
求B.
解 由|A|≠0,所以A可逆，由A*BA=2BA－4E，
左乘A右乘A-1得－2 B－2 AB＝－4E，即(A+E)B=2E,故
2
1 1
B 2( A E)1 2
1
2
2
1
矩阵的秩
概念
k阶子式.
___A1
__
0 0 1 2
0 0 1
1
1 2 0
0
2 5 0 0
0 0
0 0
1/ 3 1/ 3
12//33
3.矩阵A
0 0
8
0 5 0
2 0 的 逆 矩 阵A1 0
0 0 1/ 2
0 1/ 5
3 4
5 t ,
且AB
O,则
3 5 3
t 4
例 设矩阵
1 1 2 2 1
A=
0 2
2 0
1 3
5 1
1 3
,
1 1 0 4 1
求R(A)及A的一个最高阶非零子式．
解 对矩阵A作初等行变换变成行阶梯型矩阵
矩阵的逆的典型例题
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1.定义法.
2.用定义直接验证，运算过程不同.
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
3.定义法，运算过程不同。
4.恒等变形.
解题过程
（详细过程）
第一种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
或
对上两式分别求逆，即
需要配音或重点提示的文字：无
学生常犯的错误
需要配音或重点提示的文字：无
1.3-可逆矩阵
1,
a = 0,
0, 0,
b = −1,
c
=
1,
1,
d = 2.
0 1
= 0 1
= 1 0
所以 A−1
− 1 2 2 − 1
0 , 1
= 0 − 1. 1 2
1 0
求可逆矩阵
A
=
a c
b
d
的逆矩阵.
一般地：当 ad − bc 0 时，A可逆
二阶矩阵的逆用此规律求
A−1
=
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆,且
( AB )−1 = B−1 A −1
( ) ( ) 证明 (AB) B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1= AA−1 = E,
( ) 推广 A1 A2 Am −1 = Am−1. . . A2−1 A1−1
( ) ( ) (4) 若A可逆, AT亦可逆 ,且
说明:
(1)如果 AB = E, 指出矩阵 A是可逆的
当A,B均为 并且逆矩阵为 A−1 = B.
n阶方阵时 (2) 指出求逆矩阵的一种方法
A ( B? )= E
例 已知 An , A2 = E , 求 A−1.
解 A2 = E, 即 A A = E, A−1 = A
例1 设
A = 2 −1
注意：只有分块对角阵才可以
A
=
A1 O
A2
A3
A−1
=
A1−1 O
A2−1
A3−1
A = diag(1,2,n )
1
=
2
n
其中 i 0
A−1 = diag(1−1 , 2−1 , n−1 )
可逆矩阵及应用举例综合材料
应用分析
11
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
应用分析
5
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
Ax = b,
(1.19’)
应用分析
23
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
应用分析
24
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵.即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得(AB)*=B*A*（3）设n阶方阵A为⎡aa12a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22a2n⎡⎡⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2ann⎡于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22An2⎡⎡⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2nAnn注意到⎡A的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22a2nA12A22An2an1⎡⎡an2⎡⎡⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面,由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A,有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为(-1)i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=(-1)n-1Aij(i,j=1,2,,n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0,故A可逆,并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)l个l个（7）对于（3）给出的矩阵A,有ka11ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kakaka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有*T反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有AA*=AAT=O（2-6）设矩阵A为a12a1n⎡⎡a11⎡⎡aaa⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12a1n⎡⎡a11a21an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aaaaaa⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2ann⎡a2nann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaaaa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaaaa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡⎡n⎡nn⎡2⎡aaaaani1i ni2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0(j=1,2,,n)故aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此AB=BA即充分性：因为AB=BA,故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.T-1|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不可逆.T-1证因为A=A,故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A||(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x++x)故对于方阵A的多项式,仍有k注意到A=O,故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)因此(E-A)可逆,并且(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明：例6设A是n(n>2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式,有*n-1若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|nA(A)=|A|E两边取行列式,有（2）对|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2若A不可逆,则|(A)|=0=|A|22例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0,|A+B|≠0因而有A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E由2-1由-A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8设A、B均是n阶方阵,且-1E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A因此(E+BA)可逆,并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B（1）也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B（2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B-1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。
求下列可逆矩阵的逆矩阵
1 求下列可逆矩阵的逆矩阵 （1）1221⎛⎫⎪⎝⎭。
提示：由*11A A A =-得，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-313232311A （2）223110121⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
提示：初等变换法，作矩阵()E A 并对其作初等行变换化成()C E ，则C A=-1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4613513411A（3）121000000000000000n na a a a -⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭0,(1,2,...)i a i n ≠=。
提示：方法同上，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--01000010000110001211n n a a a a A2填空123123123123123123_______________________________________333a a a ccc b b b bb b cc c a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 答案：分别是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300013 求19123123123010100100110001001na a ab b bc c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
提示：上述矩阵相当于对中间的矩阵交换第一行和第二行19次，最终是第一行和第二行互换位置，再对它进行列变换，将第二列加到第一列n 次，最终可得到如下矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++322132213221c c ncc a a na a b b nb b 4设A 为阶数大于1的可逆矩阵，交换A 的第2行与第3行得到B 。
问对*A 做什么样的初等变换可得到*B 。
提示：由题设知对Ａ左乘一个相应的初等矩阵Ｃ可得到Ｂ，故****)(C A CA B == ，则只需求出*C 是怎样的初等矩阵即可，而1*-=C C C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000001001000001*C则将*A 的第二列与第三列互换位置，再将每个元素乘以1-可得到*B 。
可逆矩阵(基础课堂)
高等代数
回忆
a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1 , .a..2.1.x.1.....a..2.2..x..2..........a..2.n..x.n......b2 , an1 x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
a1n a2n
an1 an2 ann
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
A11
A*
A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2 Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
(1)
A
1 3
2 4 ;
1 2 3 (2)B 4 5 6
3 3 3
(1) A 2 0. 故A可逆，
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方阵A可逆的充要条件是 | A | 0 ,且可逆矩阵A的逆矩阵为
A1 1 A* A
A* 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " ": 若A可逆,有 AA1 A1A E
两边取行列式,得 | A|| A1 || A1A| E 1 从而 | A| 0
高等代数
" ": AA* A*A | A | I.
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(1 k
)
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
可逆矩阵判定典型例题
典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若, 则；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l 为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是A T 的逆矩阵. 即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n 阶方阵A 为于是可得A 的伴随矩阵为注意到A 的转置矩阵为0||≠A T T A A )()(11--=***)(A B AB =TT A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-11)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1)(-AB ***)(A B AB =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211*A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且（5）对于（3）给出的矩阵A , 有即的代数余子式为故⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n T a a a a a a a a a A 212221212111TA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(*A *)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1*11---=AA A ||1)(*1=-E A A A A A A ==--||1||)(1*1**A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211ij a -nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-（6）因为, 故A 可逆, 并且（7）对于（3）给出的矩阵A , 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6）设矩阵A 为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AA A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111ij ka ijn A k 1-*A TA A =*E A A A AA ||**==0||=A T A A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a ni nini i ni n i ini ni ni i n i i n i i i ni ni i ni i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121 ), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个 l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是证 必要性：因为因此即充分性：因为, 故. 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.证 因为, 故因此有所以故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A 的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）.证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A 可逆, , 故, 于是有111)(---=B A AB BA AB =1111)()(----==BA B A AB )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=BA AB =BA AB =1111)()(----==B A BA AB 1,1||-==A A A T )(A I -1-=A A T E AA AA T ==-1|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--=0||=-A E A E -O A k=A E -1)(--A E )1)(1(112-++++-=-k k x x x x x ))((12-++++-=-k k A A A E A E A E O A k=E A A A E A E k =++++--))((12 )(A E -121)(--++++=-k A A A E A E )2(>n n **)(A *A A A A n 2**||)(-=2)1(**|||)(|-=n A A E A AA ||*=E A A A ||)(****=A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===E A AA ||*=n A E A A A AA ||||||||||||**===0||≠A 1*||||-=n A A若A 不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有（2）对两边取行列式, 有若A 可逆, 所以, 从而有, 于是可知 若A 不可逆, 则例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足, 证明A 和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为, 由于所以,因而有 可逆.由可知由可知.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且例9 设n 阶矩阵A 、B 和均可逆, 证明：（1）也可逆, 且（2）证 （1）因为两边取行列式有因为A 、B 、可逆, 故所以有故 是可逆矩阵.AA A A A A n 2***||||)(-==0||=A *A 0)(**=A A A A n 2**||)(-=E A A A ****||)(=n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===0||≠A 0||||1*≠=-n A A 2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 2)1(**||0|)(|-==n A A O B AB A =++22B A +22)(B B A A AB A -=+=+0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 0||≠A 0||≠+B A B A A +,E B A A B =+--)()(12A B B A 121)()(---=+E B B A A =+--12))((121))((--+-=B B A A AB E +BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=)(BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+B A +11--+B A A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A ||||||||1111----+=+B B A A B A B A +0||1≠-A 0||1≠-B 0||≠+B A 0||11≠+--B A 11--+B A B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B E故同理可证 .（2）因为故同理可证.E A B E A B E =++=---111))((B B A A B A 1111)()(----+=+A B A B B A 1111)()(----+=+])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A 11])()[(--+-+=A B B A I B A I AA A B B A ==-+=--11)(1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 1111111)()(-------+-=+B B A B B B A欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则TT A A )()(11--=；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）TT A A )()(**=；（4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*=== （2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211 于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n A A A A A A A A A A212221212111*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n Ta a a a a a a a a A 212221212111 可推出TA 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A =（4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且ll A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ijn A k 1-, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**== 反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==*（2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i n i i n i i i ni ni i ni i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=故), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此)())(()())((11BA BA AB BA AB AB --= 即BA AB = 充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--= 所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E例6 设A 是)2(>n n 阶方阵,**)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明： （1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*=即E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有n A E A A A AA ||||||||||||**===若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆.由E B A A B =+--)()(12 可知A B B A 121)()(---=+ 由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+ （2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A 因为 A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A 0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A 故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证 A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故 1111111)()(-------+-=+A B A A A B A同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .。