第二十二讲《统计学》讲义
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二次曲线趋势模型 T(t) = a + bt + ct 2 ， 曲线中的三个 参 a、b、c 可根据最小二乘法原理求得。 、 、 可根据最小二乘法原理求得。 若用直接法估计参数， 若用直接法估计参数，则可采用最小二乘法导出的 三个标准方程式： 三个标准方程式：
∑y = na + b∑t + c∑t 2 2 3 ∑ty = a∑t + b∑t + c∑t ∑t 2 y = a∑t 2 + b∑t 3 + c∑t 4
解此联立方程式， 解此联立方程式，即可求得参数 a、b、c 的值，从而确 、 、 的值， 定二次曲线趋势方程。 定二次曲线趋势方程。
若采用简捷法估计参数， 也就是取时间数列的中间时期为原点， 则有 若采用简捷法估计参数， 也就是取时间数列的中间时期为原点， 上述联立方程式可简化为： ∑t =0，上述联立方程式可简化为：
• 由于季节变动是一种各年变化形态大体相同， 由于季节变动是一种各年变化形态大体相同， 且每年重现的周期性变动， 且每年重现的周期性变动，因而不论是哪个年 份，同一个月或同一个季度的表现特征总是相 同的。所以我们可以利用一个表示季节特征的 同的。 指标来反映其季节变动特征。 指标来反映其季节变动特征。该指标在乘法模 型中称为季节指数 季节指数（ 型中称为季节指数（也称为季节比率或季节变 动系数），在加法模型中称为季节变差 ），在加法模型中称为季节变差。 动系数），在加法模型中称为季节变差。对时 间数列季节变动的直接测定一般均根据乘法模 间数列季节变动的直接测定一般均根据乘法模 型进行。其方法主要有同期直接平均法和趋势 型进行。 剔除法两种。下面分别加以介绍。 剔除法两种。下面分别加以介绍。
t2
ty -6 -10 -1wk.baidu.com0 9 16 18 20
t2y
t4
T(t) 1.90 5.00 7.14 8.33 8.57 7.86 6.19 44.99
9 4 1 0 1 4 9 28
18 20 7 0 9 32 54 140
81 16 1 0 1 16 81 196
将表中数据代入联立方程(简捷式 将表中数据代入联立方程 简捷式): 简捷式
45 = 7a + 28c 20 = 28b = 28a +196c 140
解此联立方程， 解此联立方程，得：
ˆ a =8.3334
ˆ b = 0.7143
ˆ c = −0.4762
则有二次曲线趋势方程： 则有二次曲线趋势方程：
ˆ T(t) = 8.3334+0.7143t −0.4762t2
1.求一季度平均数 yt 求一季度平均数
1 141 yt = (49+ 48+ 44) = = 47 3 3
其余各季以此类推。 其余各季以此类推。 2．求三年各季总平均数 yt ．
1 (141+ 303 + 488 +153) 12 1 或= (355 + 360 + 370) 12 1 或= (47 +101+162.7 + 51 = 90.4 ) 4 yt =
∑y = na + c∑t 2 ∑ty = b∑t 2 2 4 ∑t y = a∑t + c∑t
2
现以表 9－11 中资料举例说明。 － 中资料举例说明。 某商品进口额二次曲线计算表 表 9－11 － 某商品进口额二次曲线计算表
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计 进口额 （万元） y 2 5 7 8 9 8 6 45 t -3 -2 -1 0 1 2 3 0
lgT(t) = lga +t lgb
则有： 若令 Y = lgT(t), A = lga, B= lgb，则有：
Y= A+ Bt
所以，指数趋势模型参数的估计，可以根据最小二乘法的原理，参 所以，指数趋势模型参数的估计，可以根据最小二乘法的原理， 照直线趋势模型参数的确定方法给出计算公式. 照直线趋势模型参数的确定方法给出计算公式
进行了对数变换， 由于趋势值 T(t) 进行了对数变换，所以其观测值 y 也要 的计算公式为： 进行对数变换， 进行对数变换，即 Y= lg y 。则有 lga, lg b 的计算公式为： ˆ = n∑t lg y − ∑t∑lg y lgb n∑t 2 − (∑t)2
lg y ∑t ˆ=∑ lga − lgb n n
（一）同期直接平均法
• 同期直接平均法是测定季节变动最简单的方法，使用 同期直接平均法是测定季节变动最简单的方法， 这种方法的基本条件是： 这种方法的基本条件是： • 第一，要有至少连续三年以上各季或各月的数据资料； 第一，要有至少连续三年以上各季或各月的数据资料； 连续三年以上各季或各月的数据资料 • 第二，实际时间序列中没有明显的长期趋势和循环波 第二，实际时间序列中没有明显的长期趋势和循环波 因为同期直接平均法， 动。因为同期直接平均法，不能剔除时间序列中长期 趋势和循环波动的影响，当数列中存在这种影响时， 趋势和循环波动的影响，当数列中存在这种影响时， 季节指数就会偏高或偏低， 季节指数就会偏高或偏低，从而无法正确反映出季节 变动的规律。 变动的规律。
若用简捷法则有： 若用简捷法则有： ˆ = ∑t lg y lgb 2 ∑t 现以表 9－10 中资料举例说明。 － 中资料举例说明。
lg y ˆ=∑ lga n
表 9－10 －
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 合计 进口额 （万元）y 3.0 4.2 5.7 8.3 11.5 16.0 22.4 31.0 44.6 60.1 84.3 118.6 163.9 —
S(t) = yt / yt
具体计算方法见表 9－12 －
表 9－12 －
年份 2006 2007 2008 合计 平均 季节指数 （%）
某种农产品收购量
一季度 49 48 44 141 47 52 二季度 98 105 100 303 101 111.7 三季度 159 158 171 488 162.7 180
3．求一季度季节指数 ．
S(t) = yt yt = 47 90.4 = 52%
其余各季以此类推。 其余各季以此类推。
• 这里的季节指数实际上是以三年总平均收购量 这里的季节指数实际上是以三年总平均收购量 为基础100%，来观察各季度平均收购量为总 为基础 ， 平均收购量的百分之多少， 平均收购量的百分之多少，用以说明各季度收 购量的高低。从各季度季节指数可以看出， 购量的高低。从各季度季节指数可以看出，一、 四季度收购量只占一年平均收购量的52%和 四季度收购量只占一年平均收购量的 和 56.4%，处于低谷；而第三季度收购量则比平 ，处于低谷； 均收购量高出80%（180%-100%），是收购 ），是收购 均收购量高出 （ ）， 量的高峰，其次为第二季度。 量的高峰，其次为第二季度。
则有对数直线趋势方程为： 则有对数直线趋势方程为： lgT(t) =1.3480 + 0.1451t 原点： （原点：2001 年） 求反对数可得： 求反对数可得：
ˆ b =100.1451 =1.3967 a =101.3480 = 22.2844 则该公司进口额的指数曲线趋势方程为： 则该公司进口额的指数曲线趋势方程为：
• 例如，当序列存在较强的上升趋势时，年末季节指数会远高于年 例如，当序列存在较强的上升趋势时， 初季节指数；当序列存在较强的下降趋势时， 初季节指数；当序列存在较强的下降趋势时，年末季节指数会远 低于年初季节指数。 低于年初季节指数。所以只有在序列的长期趋势和循环变动不明 可以忽略不计时， 显，可以忽略不计时，使用同期直接平均法测定季节变动才比较 准确。 准确。
（原点为 2005 年）
ˆ 值代入， 可以看出， 将表中 t 值代入，得表末栏的趋势值 T(t) 。可以看出，实际观测 值与趋势值拟合得相当好。 值与趋势值拟合得相当好。
三、季节变动的测定
• 我们分析和测定季节变动的目的主要在于： 我们分析和测定季节变动的目的主要在于： • 第一，认识和掌握事物以往的季节变动规律， 第一，认识和掌握事物以往的季节变动规律， 作为当前经济活动或规划未来发展的参考依据； 作为当前经济活动或规划未来发展的参考依据； • 第二，测定出季节变动值，并将其从时间序列 第二，测定出季节变动值， 中剔除，以便于其他变动因素的分析。 中剔除，以便于其他变动因素的分析。
（二）长期趋势剔除法
• 对明显存在长期趋势的时间序列，要测定其季 对明显存在长期趋势的时间序列， 节变动，必须首先剔除其长期趋势，然后再进 节变动，必须首先剔除其长期趋势， 行季节变动分析， 行季节变动分析，这种方法称为长期趋势剔除 长期趋势的测定，可采用移动平均法和最 法。长期趋势的测定，可采用移动平均法和最 小二乘法。 小二乘法。在前者基础上测定季节变动可称为 移动平均比率法； 移动平均比率法；而在后者基础上测定季节变 动可称为趋势比率法 趋势比率法。 动可称为趋势比率法。
（2）指数曲线趋势模型参数a、b的估计。 指数曲线趋势模型参数a 的估计。
指数曲线趋势模型为： 指数曲线趋势模型为：
T(t) = abt
b 的增加而增加； 式中 a、 为参数。 b >1， 、 为参数。 若 增长率随着 t 的增加而增加； b <1， 若 的增加而降低。 增长率随着 t 的增加而降低。当 a > 0, b <1时，趋势值 T(t) 逐渐降到 为极限。 以 0 为极限。 为确定指数曲线趋势模型的参数 a、b，可将等式两端取对数， 、 ，可将等式两端取对数， 将其化为对数直线形式： 将其化为对数直线形式：
某公司进口额对数趋势直线计算表
Lgy 0.4771 0.6232 0.7559 0.9191 1.0607 1.2041 1.3502 1.4914 1.6493 1.7789 1.9258 2.0740 2.2145 17．5242 t -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 —
单位： 单位：百公斤
四季度 49 49 55 153 51 56.4 合计 355 360 370 1085 90.4 400.1
从表中数据可以看出，该农产品收购量不存在明显的长期趋势， 从表中数据可以看出，该农产品收购量不存在明显的长期趋势，所以可 以用同期直接平均法测定季节变动。 以用同期直接平均法测定季节变动。 现以第一季度季节指数计算过程说 明。
用同期直接平均法计算季节指数的步骤为： 用同期直接平均法计算季节指数的步骤为： 1．将各年同季或同月数据按年顺序排列。 ．将各年同季或同月数据按年顺序排列。 2．各年同期数值求和平均，得各季或各月平均数 yt 。 ．各年同期数值求和平均， 3．各季或各月平均数求和平均，得全部数据的总平均数 yt 。 ．各季或各月平均数求和平均， 4．各期平均数除以总平均数，得季节指数。 ．各期平均数除以总平均数，得季节指数。 用公式表示即： 用公式表示即： 各 同 (同 或 月平 数 年 期 季 同 ) 均 ×100% 季节指数= 季节指数 总 均 平 数
ˆ T(t) = 22.4844×1.3967t
（原点：2001 年） 原点：
值代入趋势方程， 将代表各年的 t 值代入趋势方程，即可得各年趋势值如表 8-10 最后一 栏所示。 栏所示。 将趋势值与实际观测值比较， 将趋势值与实际观测值比较，可以看出该趋势模型对实际时间数列拟合得 很好。
（3）二次曲线趋势模型参数a、b、c的估 二次曲线趋势模型参数a 计。
t2
tlgy -2.8626 -3.1160 -3.0236 -2.7573 -2.1214 -1.2041 0.0000 1.4914 3.2986 5.3367 7.7032 10.3700 13.2870 26．4019
T(t) 3.0 4.2 5.9 8.2 11.4 16.0 22.3 31.1 43.5 60.7 84.8 118.4 165.4 —
36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 182
用简捷法计算得对数趋势直线参数 lga, lg b 的值为： 的值为： ˆ ∑t lg y = 26.4019 = 0.1451 lgb = 2 182 ∑t
ˆ lga = ∑lg y 17.5242 = =1.3480 n 13
∑y = na + b∑t + c∑t 2 2 3 ∑ty = a∑t + b∑t + c∑t ∑t 2 y = a∑t 2 + b∑t 3 + c∑t 4
解此联立方程式， 解此联立方程式，即可求得参数 a、b、c 的值，从而确 、 、 的值， 定二次曲线趋势方程。 定二次曲线趋势方程。
若采用简捷法估计参数， 也就是取时间数列的中间时期为原点， 则有 若采用简捷法估计参数， 也就是取时间数列的中间时期为原点， 上述联立方程式可简化为： ∑t =0，上述联立方程式可简化为：
• 由于季节变动是一种各年变化形态大体相同， 由于季节变动是一种各年变化形态大体相同， 且每年重现的周期性变动， 且每年重现的周期性变动，因而不论是哪个年 份，同一个月或同一个季度的表现特征总是相 同的。所以我们可以利用一个表示季节特征的 同的。 指标来反映其季节变动特征。 指标来反映其季节变动特征。该指标在乘法模 型中称为季节指数 季节指数（ 型中称为季节指数（也称为季节比率或季节变 动系数），在加法模型中称为季节变差 ），在加法模型中称为季节变差。 动系数），在加法模型中称为季节变差。对时 间数列季节变动的直接测定一般均根据乘法模 间数列季节变动的直接测定一般均根据乘法模 型进行。其方法主要有同期直接平均法和趋势 型进行。 剔除法两种。下面分别加以介绍。 剔除法两种。下面分别加以介绍。
t2
ty -6 -10 -1wk.baidu.com0 9 16 18 20
t2y
t4
T(t) 1.90 5.00 7.14 8.33 8.57 7.86 6.19 44.99
9 4 1 0 1 4 9 28
18 20 7 0 9 32 54 140
81 16 1 0 1 16 81 196
将表中数据代入联立方程(简捷式 将表中数据代入联立方程 简捷式): 简捷式
45 = 7a + 28c 20 = 28b = 28a +196c 140
解此联立方程， 解此联立方程，得：
ˆ a =8.3334
ˆ b = 0.7143
ˆ c = −0.4762
则有二次曲线趋势方程： 则有二次曲线趋势方程：
ˆ T(t) = 8.3334+0.7143t −0.4762t2
1.求一季度平均数 yt 求一季度平均数
1 141 yt = (49+ 48+ 44) = = 47 3 3
其余各季以此类推。 其余各季以此类推。 2．求三年各季总平均数 yt ．
1 (141+ 303 + 488 +153) 12 1 或= (355 + 360 + 370) 12 1 或= (47 +101+162.7 + 51 = 90.4 ) 4 yt =
∑y = na + c∑t 2 ∑ty = b∑t 2 2 4 ∑t y = a∑t + c∑t
2
现以表 9－11 中资料举例说明。 － 中资料举例说明。 某商品进口额二次曲线计算表 表 9－11 － 某商品进口额二次曲线计算表
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 合计 进口额 （万元） y 2 5 7 8 9 8 6 45 t -3 -2 -1 0 1 2 3 0
lgT(t) = lga +t lgb
则有： 若令 Y = lgT(t), A = lga, B= lgb，则有：
Y= A+ Bt
所以，指数趋势模型参数的估计，可以根据最小二乘法的原理，参 所以，指数趋势模型参数的估计，可以根据最小二乘法的原理， 照直线趋势模型参数的确定方法给出计算公式. 照直线趋势模型参数的确定方法给出计算公式
进行了对数变换， 由于趋势值 T(t) 进行了对数变换，所以其观测值 y 也要 的计算公式为： 进行对数变换， 进行对数变换，即 Y= lg y 。则有 lga, lg b 的计算公式为： ˆ = n∑t lg y − ∑t∑lg y lgb n∑t 2 − (∑t)2
lg y ∑t ˆ=∑ lga − lgb n n
（一）同期直接平均法
• 同期直接平均法是测定季节变动最简单的方法，使用 同期直接平均法是测定季节变动最简单的方法， 这种方法的基本条件是： 这种方法的基本条件是： • 第一，要有至少连续三年以上各季或各月的数据资料； 第一，要有至少连续三年以上各季或各月的数据资料； 连续三年以上各季或各月的数据资料 • 第二，实际时间序列中没有明显的长期趋势和循环波 第二，实际时间序列中没有明显的长期趋势和循环波 因为同期直接平均法， 动。因为同期直接平均法，不能剔除时间序列中长期 趋势和循环波动的影响，当数列中存在这种影响时， 趋势和循环波动的影响，当数列中存在这种影响时， 季节指数就会偏高或偏低， 季节指数就会偏高或偏低，从而无法正确反映出季节 变动的规律。 变动的规律。
若用简捷法则有： 若用简捷法则有： ˆ = ∑t lg y lgb 2 ∑t 现以表 9－10 中资料举例说明。 － 中资料举例说明。
lg y ˆ=∑ lga n
表 9－10 －
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 合计 进口额 （万元）y 3.0 4.2 5.7 8.3 11.5 16.0 22.4 31.0 44.6 60.1 84.3 118.6 163.9 —
S(t) = yt / yt
具体计算方法见表 9－12 －
表 9－12 －
年份 2006 2007 2008 合计 平均 季节指数 （%）
某种农产品收购量
一季度 49 48 44 141 47 52 二季度 98 105 100 303 101 111.7 三季度 159 158 171 488 162.7 180
3．求一季度季节指数 ．
S(t) = yt yt = 47 90.4 = 52%
其余各季以此类推。 其余各季以此类推。
• 这里的季节指数实际上是以三年总平均收购量 这里的季节指数实际上是以三年总平均收购量 为基础100%，来观察各季度平均收购量为总 为基础 ， 平均收购量的百分之多少， 平均收购量的百分之多少，用以说明各季度收 购量的高低。从各季度季节指数可以看出， 购量的高低。从各季度季节指数可以看出，一、 四季度收购量只占一年平均收购量的52%和 四季度收购量只占一年平均收购量的 和 56.4%，处于低谷；而第三季度收购量则比平 ，处于低谷； 均收购量高出80%（180%-100%），是收购 ），是收购 均收购量高出 （ ）， 量的高峰，其次为第二季度。 量的高峰，其次为第二季度。
则有对数直线趋势方程为： 则有对数直线趋势方程为： lgT(t) =1.3480 + 0.1451t 原点： （原点：2001 年） 求反对数可得： 求反对数可得：
ˆ b =100.1451 =1.3967 a =101.3480 = 22.2844 则该公司进口额的指数曲线趋势方程为： 则该公司进口额的指数曲线趋势方程为：
• 例如，当序列存在较强的上升趋势时，年末季节指数会远高于年 例如，当序列存在较强的上升趋势时， 初季节指数；当序列存在较强的下降趋势时， 初季节指数；当序列存在较强的下降趋势时，年末季节指数会远 低于年初季节指数。 低于年初季节指数。所以只有在序列的长期趋势和循环变动不明 可以忽略不计时， 显，可以忽略不计时，使用同期直接平均法测定季节变动才比较 准确。 准确。
（原点为 2005 年）
ˆ 值代入， 可以看出， 将表中 t 值代入，得表末栏的趋势值 T(t) 。可以看出，实际观测 值与趋势值拟合得相当好。 值与趋势值拟合得相当好。
三、季节变动的测定
• 我们分析和测定季节变动的目的主要在于： 我们分析和测定季节变动的目的主要在于： • 第一，认识和掌握事物以往的季节变动规律， 第一，认识和掌握事物以往的季节变动规律， 作为当前经济活动或规划未来发展的参考依据； 作为当前经济活动或规划未来发展的参考依据； • 第二，测定出季节变动值，并将其从时间序列 第二，测定出季节变动值， 中剔除，以便于其他变动因素的分析。 中剔除，以便于其他变动因素的分析。
（二）长期趋势剔除法
• 对明显存在长期趋势的时间序列，要测定其季 对明显存在长期趋势的时间序列， 节变动，必须首先剔除其长期趋势，然后再进 节变动，必须首先剔除其长期趋势， 行季节变动分析， 行季节变动分析，这种方法称为长期趋势剔除 长期趋势的测定，可采用移动平均法和最 法。长期趋势的测定，可采用移动平均法和最 小二乘法。 小二乘法。在前者基础上测定季节变动可称为 移动平均比率法； 移动平均比率法；而在后者基础上测定季节变 动可称为趋势比率法 趋势比率法。 动可称为趋势比率法。
（2）指数曲线趋势模型参数a、b的估计。 指数曲线趋势模型参数a 的估计。
指数曲线趋势模型为： 指数曲线趋势模型为：
T(t) = abt
b 的增加而增加； 式中 a、 为参数。 b >1， 、 为参数。 若 增长率随着 t 的增加而增加； b <1， 若 的增加而降低。 增长率随着 t 的增加而降低。当 a > 0, b <1时，趋势值 T(t) 逐渐降到 为极限。 以 0 为极限。 为确定指数曲线趋势模型的参数 a、b，可将等式两端取对数， 、 ，可将等式两端取对数， 将其化为对数直线形式： 将其化为对数直线形式：
某公司进口额对数趋势直线计算表
Lgy 0.4771 0.6232 0.7559 0.9191 1.0607 1.2041 1.3502 1.4914 1.6493 1.7789 1.9258 2.0740 2.2145 17．5242 t -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 —
单位： 单位：百公斤
四季度 49 49 55 153 51 56.4 合计 355 360 370 1085 90.4 400.1
从表中数据可以看出，该农产品收购量不存在明显的长期趋势， 从表中数据可以看出，该农产品收购量不存在明显的长期趋势，所以可 以用同期直接平均法测定季节变动。 以用同期直接平均法测定季节变动。 现以第一季度季节指数计算过程说 明。
用同期直接平均法计算季节指数的步骤为： 用同期直接平均法计算季节指数的步骤为： 1．将各年同季或同月数据按年顺序排列。 ．将各年同季或同月数据按年顺序排列。 2．各年同期数值求和平均，得各季或各月平均数 yt 。 ．各年同期数值求和平均， 3．各季或各月平均数求和平均，得全部数据的总平均数 yt 。 ．各季或各月平均数求和平均， 4．各期平均数除以总平均数，得季节指数。 ．各期平均数除以总平均数，得季节指数。 用公式表示即： 用公式表示即： 各 同 (同 或 月平 数 年 期 季 同 ) 均 ×100% 季节指数= 季节指数 总 均 平 数
ˆ T(t) = 22.4844×1.3967t
（原点：2001 年） 原点：
值代入趋势方程， 将代表各年的 t 值代入趋势方程，即可得各年趋势值如表 8-10 最后一 栏所示。 栏所示。 将趋势值与实际观测值比较， 将趋势值与实际观测值比较，可以看出该趋势模型对实际时间数列拟合得 很好。
（3）二次曲线趋势模型参数a、b、c的估 二次曲线趋势模型参数a 计。
t2
tlgy -2.8626 -3.1160 -3.0236 -2.7573 -2.1214 -1.2041 0.0000 1.4914 3.2986 5.3367 7.7032 10.3700 13.2870 26．4019
T(t) 3.0 4.2 5.9 8.2 11.4 16.0 22.3 31.1 43.5 60.7 84.8 118.4 165.4 —
36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 182
用简捷法计算得对数趋势直线参数 lga, lg b 的值为： 的值为： ˆ ∑t lg y = 26.4019 = 0.1451 lgb = 2 182 ∑t
ˆ lga = ∑lg y 17.5242 = =1.3480 n 13