苏教版数学高一苏教版必修一教案 指数函数(2)
2018-2019学年苏教版必修一3.1.2第1课时指数函数及其图象学案
3．1.2 指数函数第1课时 指数函数及其图象学习目标 1.理解指数函数的概念和意义(难点)；2.能画出指数函数的简图(重点)；3.初步掌握指数函数的有关性质(重点)．预习教材P64－67，完成下面问题： 知识点一 指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【预习评价】下列函数中一定是指数函数的有________(填序号)．(1)y ＝(－4)x; (2)y ＝(13)x ； (3)y ＝2×3x;(4)y ＝x 3；解析 y ＝(－4)x 的底数－4＜0，不是指数函数；y ＝2×3x 中3x 的系数等于2，不是指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的定义知，只有y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数．答案 (2)知识点二 指数函数的图象和性质续表指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵函数f (x )＝(a ＋1)x 是指数函数，且f (x )为减函数，∴0＜a ＋1＜1，∴－1＜a ＜0.答案 (－1,0)知识点三 比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 【预习评价】思考 若x 1＜x 2，则a x 1与a x 2(a ＞0且a ≠1)大小关系如何？ 提示 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为单调增函数．所以a x 1＜a x 2，当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为单调减函数，所以a x 1＞a x 2.题型一 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是________．解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 答案 1规律方法 (1)指数函数的解析式必须具有三个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x ；③a x 的系数是1. (2)求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件． 【训练1】 函数y ＝(2a 2－3a ＋2)·a x 是指数函数，求a 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3a ＋2＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝12.∴a 的值为12.题型二 指数型函数的定义域、值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝；(4)y ＝4x ＋2x ＋1＋1.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}． 又1x －4≠0，即≠1，故y ＝的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)．(3)y ＝的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵＞0，故函数y ＝的值域为(0,16]．(4)定义域为R .∵y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2， 又2x >0，∴y >1，故函数的值域为{y |y >1}． 规律方法 对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)这类函数， (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性求得此函数的值域．③求形如y ＝A ·a 2x ＋B ·a x ＋C 类函数的值域一般用换元法，设a x ＝t (t >0)再转化为二次函数求值域．【训练2】 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析 (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0，∴定义域为(－3,0]．(2)∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3，∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≤2，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2.答案 (1)(－3,0] (2)[－89，2]【探究a ，b ，c ，d 与1的大小关系是________．解析 方法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知c ＞d ＞1，b ＜a ＜1. ∴b ＜a ＜1＜d ＜c .方法二 如图，作直线x ＝1，与四个图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b ＜a ＜1＜d ＜c .答案 b ＜a ＜1＜d ＜c【探究2】 已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1； (4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |.解 (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移一个单位得到． (2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到． (3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x 的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象． 【探究3】 试画出y ＝2|x －1|的图象．解 y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，21－x ，x ＜1＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.而y ＝2x －1可由y ＝2x向右平移1个单位得到，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1可由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 向右平移一个单位得到． 图象如下：【探究4】 直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜0，2x －1，x ≥0图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点． 需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，故a ∈(0，12)．规律方法 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象变换：(1)平移变换：把函数y ＝a x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y ＝a x ＋φ的图象；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y ＝a x －φ的图象；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x ＋φ的图象；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x －φ的图象．即“左加右减，上加下减”．(2)对称变换：函数y ＝a －x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称；函数y ＝ －a x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于x 轴对称；函数y ＝－a －x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于原点对称；函数y ＝a |x |的图象关于y 轴对称；函数y ＝|a x －b |的图象就是y ＝a x －b 在x 轴上方的图象不动，把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方． (3)一般的情形：①函数y ＝|f (x )|的图象由y ＝f (x )在x 轴上方图象与x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y ＝f (|x |)的图象由函数y ＝f (x )在y 轴右方图象与其关于y 轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.课堂达标1．若函数y ＝(a 2－5a ＋7)(a －1)x 是指数函数，则a 的值为________．解析 由指数函数的定义可得a 2－5a ＋7＝1， 解得a ＝3或a ＝2， 又因为a －1>0且a －1≠1， 故a ＝3. 答案 32．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析 当x ＋1＝0，即x ＝－1时，a x ＋1＝a 0＝1，为常数，此时f (x )＝4＋1＝5， 即点P 的坐标为(－1,5)． 答案 (－1,5)3．函数y ＝的值域是________．解析 ∵x 2－1≥－1，∴y ＝≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 又y ＞0，∴函数值域为(0,2]． 答案 (0,2]4．已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限． 解析 取a ＝12，b ＝－2，所以得函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，由图象平移的知识知，函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象是由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限． 答案 一5．若函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a ＞0，a ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a ＞0，a ≠1.∴a＝6，即实数a的值为6.课堂小结1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.4．当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.。
数学苏教版必修1指数函数(教案)
指数函数（一）教学目标：使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：指数函数的概念、图象、性质教学难点：指数函数的图象、性质教学过程：教学目标(一)教学知识点1.指数函数.2.指数函数的图象、性质.(二)能力训练要求1.理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象、性质.3.培养学生实际应用函数的能力.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.●教学重点指数函数的图象、性质.●教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系.●教学方法学导式引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.●教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)第二张：例1 (记作§2.6.1 B）第三张：例2 (记作§2.6.1 C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知识都是为我们学习指数函数打基础.现在大家来看下面的问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是y =2x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x 作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.下面，我们给出指数函数的定义. Ⅱ.讲授新课 1.指数函数定义一般地，函数y =a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R .［师］现在研究指数函数y =a x (a ＞0且a ≠1)的图象和性质，先来研究a ＞1的情形.例如，我们来画y =2x 的图象列出x ,y 的对应值表，用描点法画出图象：例如，我们来画y =2-x 的图象.可得x ,y 的对应值，用描点法画出图象.也可根据y =2-x 的图象与y =2x 的图象关于y 轴对称，由y =2x 的图象对称得到y =2-x 即y =(21)x的图象. 我们观察y =2x 以及y =2-x 的图象特征，就可以得到y =a x (a ＞1)以及y =a x (0＜a ＜1)的图象和性质.3.例题讲解［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.解：设这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y . 经过1年，剩留量y =1×84%=0.841； 经过2年，剩留量y =0.84×84%=0.842； ……一般地，经过x 年，剩留量y =0.84x 根据这个函数关系式可以列表如下： 0.500.420.35用描点法画出指数函数y =0.84的图象.从图上看出y =0.5只需x ≈4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半. 评述：(1)指数函数图象的应用. (2)数形结合思想的体现.［例2］说明函数y =2x +1与y =2x 的图象的关系，并画出它们的示意图.分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题. 解：比较函数y =2x +1与y =2x 的关系： y =2-3+1与y =2-2相等， y =2-2+1与y =2-1相等， y =22+1与y =23相等， ……由此可以知道，将指数函数y =2x 的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y =2x +1的图象.评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.Ⅲ.课堂练习 1.课本P 74练习1在同一坐标系中，画出下列函数的图象： (1)y ＝3x ；（2）y ＝（31）x . 2.课本P 73例2(2).说明函数y ＝2x －2与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图.解：比较y ＝2x －2与y ＝2x 的关系y ＝2-1－2与y ＝2-3相等， y ＝20-2与y ＝2-2相等，y ＝23－2与y ＝21相等， ……由此可以知道，将指数函数y ＝2x 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y ＝2x -2的图象.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.Ⅴ.课后作业（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象： (1)y =10x ； (2)y =(101)x. 2.作出函数y =2x －1和y =2x +1的图象，并说明这两个函数图象与y =2x 的图象关系.答：如图所示，函数y ＝2x －1的图象可以看作是函数y ＝2x 的图象向右平移两个单位得到.函数y ＝2x ＋1的图象可以看作是函数y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到（二）1.预习内容： 课本P 73例3 2.预习提纲：(1)同底数幂如何比较大小?(2)不同底数幂能否直接比较大小? ●板书设计Ⅰ.复习引入引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是 y ＝2x .引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为 y ＝0.85x .在y ＝2x , y ＝0.85x 中指数x 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.Ⅱ.讲授新课1．指数函数的定义函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定a ＞0,且a ≠1呢？①若a ＝0，则当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义.②若a ＜0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义. 如y ＝(-2)x ，这时对于x ＝14 ，x ＝12 ，…等等，在实数范围内函数值不存在.③若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x ＝1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1。
苏教版高中学案数学必修第一册 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 幂函数、指数函数与对数函数的综合
函数，且 = ( − )在(, +∞)上是增函数，所以()在(, +∞)上是增函数.
∣ + ∣> ,
由( + ) < ()得(| + |) < (||)，所以ቐ∣ ∣> ,
所以
∣ + ∣<∣ ∣,
( + ) > ,
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1
1.当0 < ≤ 时，4 < log ，则实数的取值范围是() B
2
A.(0,
2
2
)B.( , 1)C.(1,
2
2
2)D.( 2, 2)
[解析]易知 < < ，则函数 = 与 = 的图象大致如图所示，只需满足
C.()在定义域内是偶函数D.()的图象关于直线 = 1对称
[解析]由| − | > ，得函数 = | − |的定义域为{| ≠ }.设
− , > ,
() =∣ − ∣= ቊ
则()在(−∞, )上单调递减，在(, +∞)上单调递
或 = .当 = 时，得 = ，解得 = .当 = 时，得 = ，即 = .
所以函数的定义域为[, ]( ≤ )，
所以当 = ， = 时， + 最大为3.
9.已知()是定义在[−2,2]上的奇函数，当 ∈ (0,2]时，() = 2 − 1，函数
1
2
1
4
因为() = log 2 (2 − 4 ) = log 2 [−(2 )2 + 2 ] = log 2 [−(2 − )2 + ]，所以当
2013版高考数学 3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用课件 苏教版必修1
关于时间的函数关系式.
解
设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量
y=1×0.84=0.841；
经过2年，剩留量
y=0.84×0.84=0.842
…… 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84x（x>0）.
【例4】某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利
3期后的本利和为
y=a(1+r)3
……
x期后的本利和为 y=a(1+r)x， x∈N*，
审清题意，建立 相应的函数模 型
即本利和y随存期x变化的函数关系式为 y=a(1+r)x， x∈N*. （2）将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式，得 y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元) 即5期后的本利和约为1117.68元.
系 （1） 解:
1 27
y 3
2 ( x 1)
（2）
（3） y
3
2x
(1)y=32x的图象向左平移1个单位； (2)因为 y 3
1 2
2( x 1 ) 2 ，所以y=32x的图象向左平移
个单位；
(3)因为 y 32 x 3 3
3 2
3 2( x ) 2 ，所以y=32x的图象向右平移
2
在其定义域内y为增函数，则函数的最大值为7，最 小值为
1 . 4
时间应分配得精密，使每年、每月、每日 和每小时都有它的特殊任务。
第2课时 指数函数及其性质的应用
1、掌握指数函数的图象；(重点）
2、会解简单的指数型方程；（重点、难点） 3、掌握函数图象的平移变换和对称变换.(重点、难点）
苏教版必修一：第三章 指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 第1课时
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
2019版高中数学苏教版必修一课件：第三章 3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
解析 1 年后价格为 8 100×(1－13)＝8 100×23＝5 400(元)， 2 年后价格为 5 400×(1－13)＝5 400×23＝3 600(元)， 3 年后价格为 3 600×(1－13)＝3 600×23＝2 400(元)． 答案 2 400元
知识点二 与指数函数复合的函数单调性 1．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同
规律方法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较， 可以利用指数型函数的单调性来判断． (2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用 指数型函数图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间 值来比较． (4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值 0,1进行分组，再比较各组数的大小．
(2)分情况讨论： ①当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6， ∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得 x<－1 或 x>5； ②当 a>1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当 0<a<1 时，x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)； 当 a>1 时，(－1,5)．
(1)1.72.5,1.73；(2)0.6－1.2,0.6－1.5； (3)2.3－0.28,0.67－3.1.
解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函 数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增加的． 又2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数都是0.6，故构造函 数y＝0.6x，则函数y＝0.6x在R上是减少的． 因为－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)(中间量法)由指数型函数的性质，知 2.3－0.28<2.30＝1， 0.67－3.1>0.670＝1， 所以2.3－0.28<0.67－3.1.
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第一章 集合 1.2 子集 全集 补集 2.1 函数的概念和图像 2.3 对数函数 2.5 函数与方程 探究案例 钢琴与指数曲线
第一章 集合
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1.1 集合的含义与表示
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2.1 函数的概念和图像
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2.2 指数函数
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2.3 对数函数
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1.2 子集 全
1.3 交集 并集
苏教版高一数学必修1全册课件【 完整版】
2019-2020年高中数学：第三章3.1.2《指数函数第2课时》word学案(苏教版必修1)
第2课时 指数函数的图象及性质1．掌握指数函数的性质． 2．了解函数图象平移的法则．3．会处理一些指数型函数的单调性、奇偶性问题．定义域：值域：过定点(0,1)，即当时，y ＝1当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＞0时，y ＞1； 可得函数________．答案：y ＝2x 2【做一做2】将函数y ＝2x的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得函数__________．答案：y ＝2x ＋1－1图象的变换规律剖析：(1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )，y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k ． (2)对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――————→关于原点对称y ＝－f (－x )，y ＝f (x )――————————————→保留y 轴右边的图象，去掉y 轴左边的图象并作关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)， y ＝f (x )————————→保留x 轴上方的图象将x 轴下方的图象翻折上去y ＝|f (x )|．题型一 图象变换【例1】说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －2；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2x－2．解：(1)将指数函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y ＝2x ＋1的图象．(2)将指数函数y ＝2x 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．(3)将指数函数y ＝2x的图象向上平移1个单位长度，就得到函数y ＝2x＋1的图象．(4)将指数函数y ＝2x 的图象向下平移2个单位长度，就得到函数y ＝2x－2的图象．反思：形如y ＝a x ＋h＋k 的函数，均可通过平移变换，由y ＝a x向左(右)平移|h |个单位，再向上(下)平移|k |个单位而得到．题型二 指数型函数的单调性和奇偶性【例2】若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数， (1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．分析：本题可通过奇函数的定义，得f (－x )＋f (x )＝0，推导出a 的值，而函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围；值域求解通常可利用单调性逐步求解．解：先将函数y ＝a ·2x－1－a 2x－1化简为y ＝a －12x －1． (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x＝0．∴a ＝－12． (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0．∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x －1＞－1，且2x－1≠0．∴0＞2x －1＞－1或2x－1＞0．∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12，即函数的值域为{11<22y y y ⎫>⎬⎭或-． (4)当x ＞0时，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1221211122=2121(21)(21)x x x x x x ------． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x＜22x．∴12x－22x＜0,12x－1＞0,22x－1＞0． ∴y 1－y 2＜0．∴y 1＜y 2．因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．反思：研究复合函数的单调性首先要弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成，然后根据“同增异减”法则作出判断．所以本题我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．求复合函数y ＝f ［g (x )］的值域，应分层进行，即首先求出内层函数u ＝g (x )的值域，它就是外层函数y ＝f (u )的定义域，然后根据y ＝f (u )的单调性再求出原函数的值域．【例3】求函数2+21=2x xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调区间，并证明．分析：有关单调性的证明，主要有两种方法：作差比较或作商比较，本题是指数函数型问题，可用作商比较法．解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22＋2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 21＋2x 1＝2222112212x x x x +--（）＝2121(2)12x x x x -++)(（），∵x 2＞x 1，∴x 2－x 1＞0. 当x 1，x 2∈(－∞，－1)时，x 1＋x 2＋2＜0.于是2121(2)12x x x x -++)(（）＞1，即y 2＞y 1.此时函数单调递增；当x 1，x 2∈(－1，＋∞)时，x 1＋x 2＋2＞0， 于是2121(2)12x x x x -++)(（）)＜1，即y 2＜y 1，此时函数单调递减．综上所述，所求函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．反思：因为同底数幂相除，底数不变，指数相减，此法则在指数函数的运算中起到重要作用，本题如通过作差比较，则显得繁琐了．1如果函数f (x )＝a x＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么a ，b 满足的条件为________．解析：由条件可知，原函数为单调减函数，从而0＜a ＜1，再由平移知识得－1＜b －1＜0.答案：0＜a ＜1且0＜b ＜12在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ax 的图象只可能是________．解析：由指数函数图象可知0＜b a ＜1，对于①，有a ＞0，－12＜－b2a＜0，从而满足此条件．答案：①3怎样由y ＝4x的图象，得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124－2x －2的图象？解：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124－2x －2＝2－4＋2x －2＝4x －2－2，所以将y ＝4x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124－2x－2的图象． 4若曲线y ＝(a －1)·2x－a2恒过定点，求定点坐标．解：由条件得y ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫2x －12－2x，令2x－12＝0得x ＝－1，此时y ＝－12，所以所求定点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 5关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x＝5－a 有负根，求a 的取值范围．解：由条件得x ＜0时，5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x＞1，从而a ＜4，即a 的取值范围是(－∞，4)．以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。
江苏省南京师范大学附属中学高中数学苏教版必修一课件：2.2.2指数函数 (共18张PPT)
进一步研究
不宜过早总结比较两个幂大小的方法，而应关注学生 是否认识到单调性是研究不等关系的工具．
谢谢!
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第6章 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
() = (3 − 10) 是增函数，则 =__.
8
− = ,
= ,
[解析]当 > 时， = 在[−, ]上单调递增，所以൝
解得ቐ
此时
= ,
= .
() = ( − ×
)
= ( −
)
.因为 −
< ，所以()是减函数，不合
奇函数”.
（1）已知函数() = 2 + 2 − 4( ∈ , ≠ 0)，试判断()是否为“局部奇函数”？
并说明理由；
解由题意知，若()为“局部奇函数”，则关于的方程() + (−) = 0有解，
当() = 2 + 2 − 4时，(−) = 2 − 2 − 4，
1
2
.因为
+
A.(0, +∞)B.(0,1)C.(1, +∞)D.(0, )
[解析] =
<
+
+
=
+−
+
< ，− <
=−
−
+
< ， <
所以函数的值域为(, ).故选B.
> ，所以 + > ，所以
−
则(1 ) − (2 ) = (1 −
1
)
1
1
− (2 − )
2
因为1 ，2 ∈ (0, +∞)，且1 <
1
= (1 − 2 )(1 +
).
1 2
苏教版高中数学必修一第三章指数函数教学设计
即：1.情景设置，形成概念2.发现问题，深化概念3.深入探究图像，加深理解性质4.强化训练，落实掌握5.小结归纳6.布置作业（一）情景设置，形成概念1、引例：折纸问题：让学生动手折纸问题1：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间有什么关系？（2x y =）②记折前纸张面积为1，对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间有什么关系？（1()2x y =）问题2： ①x y 2=、1()2x y =及0.999879x y =这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？（引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x y a =的形式。
自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数）2、形成概念：（1）定义：形如x y a =（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。
问题3：一个新的数学概念的引入，一定要有研究的价值和意义。
此定义中，你觉得对底数a 有何要求？为什么？3．发现问题、深化概念例1：判断下列函数是否为指数函数，为什么？1）ｙ=-3ｘ 2）ｙ=31/x 3) ｙ=(-3)x 4) ｙ=31+x ，5）(1)x y a =+ 例2： 1）若函数ｙ=(2a -3a+3) a x是指数函数，求a 值。
2）指数函数f(x)= a x （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。
（待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程））（二）深入研究图像，加深理解性质问题4：指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，也是很重要的初等函数。
我们应研究指数函数的哪些性质？又该如何研究呢？（图象——性质，具体——一般）学生操作： 操作一：利用描点法作函数2xy =与1()2x y =的图象； 操作二：利用描点法作函数3x y =与1()3x y =的图象； 问题5：（1）指数函数2x y =与1()2x y =的图象有何关系？函数3x y =与1()3x y =的图象有何关系？你能得到一般性结论吗？（2）指数函数2x y =、1()2x y =、3x y =、1()3x y =的图象有何有什么共同特征？又有什么区别呢？你能得到一般性结论吗？（学生观察图象得出结论）操作三：（借助几何画板演示）函数x y a =当1>a 和10<<a 时的若干个图象，请同学们观察，（1）当5.1=a ，2=a ，3=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？（2）当8.0=a ，5.0=a ，3.0=a ……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？请你概括一下对数函数应具有什么性质。
指数函数——分数指数幂2
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第n章
章名
2.3 课题名称
复习回顾
上节课我们学习了哪些主要内容？ 上节课我们学习了哪些主要内容？
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第n章
章名
2.3 课题名称
巩固练习
1．求值：2 3 × 3 1.5 × 6 12 . ．求值：
说明 在化简求值的综合运算中应注意将小数化分数， 在化简求值的综合运算中应注意将小数化分数， 根式化成分数指数幂； 根式化成分数指数幂；指数运算是建立在同底的基础 上因此，在运算中注意将底数转化为相同的底数． 上因此，在运算中注意将底数转化为相同的底数．
课后思考
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第n章
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．
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章名
2.3 课题名称
巩固练习
D
．
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第n章
章名
2.3 课题名称
例题讲解
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第n章
章名
2.3 课题名称
例题讲解
解方程： 例2 解方程：
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说明 将指数合理拆 分，进而利用平方 立方和， 差，立方和，立方 差等公式因式分解 是本题的关键， 是本题的关键，因 此请同学们课后及 时的复习相关的乘 法公式． 法公式．
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第n章
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2.3 课题名称
例题讲解
说明 本例着重体 整体代换” 现“整体代换”在 数学的的运用． 数学的的运用．
苏教版高中数学教材必修1 第n章 章名
2.3 课题名称
例题讲解
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第n章
高中数第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1.2用二分法求方程的近似解课件苏教版必修1
x 0
0.5
0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009
0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是
(
). (导学号51790116)
高中数第3章指数函数、对数函
数和幂函数3.4.1.2用二分法求方
程的近似解课件苏教版必修1
学习目标
重点难点
1.会用二分法求方程的近似
解.
重点:用二分法求方程的
近似解.
2.明确函数零点的近似值的
判断方法.
难点:零点近似值的判定
方法.
1.二分法的含义
(1)满足的条件:函数y=f(x)在区间(a,b)上连续不断且f(a)·f(b)<0.
1
则当 x∈(-∞,0)时,x >0, <0,
2
1
所以- >0,所以
2 1
2 1
f(x)=x - >0 恒成立.
所以 x - =0 在(-∞,0)内无实数解.
(导学号
典例导学
即时检测
一
二
1.准确理解“二分法”的含义:
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐
步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确
零点,都能用二分法求函数零点,故选A.
典例导学
即时检测
一
二
1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是(
).
答案:C
解析:由题图知,只有C中有变号零点,能用二分法求零点.
高中数学 第24课时分数指数幂2教学案 苏教版必修1 教案
一、复习提问 1、根式的概念2、正数和零的分数指数幂的意义3、有理指数幂的运算性质二、例题分析例1、判断下列各式正误（1）()R a a ∈=10（2）n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛()Z n b ∈≠，0（3）t r t r a a a +=⋅)(Q t r R a ∈∈，， （4）实数a 的n 次方根是n a ()+∈N n例2、计算下列各式(式中字母都是正数) （1）46394369)()(a a ⋅ （2）3222212)()()(---÷⋅b a ab b a（3）)221(2323131--xx x （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656165212132362b a b a b a例3、化简（1）43321328116411008-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅ （2）()5.0212001.0492513-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）322b a ab ba （4）323222323222-----------++yxy x yxy x例4、计算下列各式 （1）)0(322>⋅a aa a （2）()2114121300132104272325.0--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5、已知2=x ，求11115.12121-++++x x x x 的值。
三、随堂练习1、下列运算中正确的是。
（1）a a a =⋅4334 （2）a a a =÷3132 （3）03232=⋅-a a （4）a a =441)(2、化简（1）3252)(a a ⋅ （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3241322131414132b a b a b a3、已知()321=+-a a ，求33-+a a 的值。
四、回顾反思1、熟练掌握分数指示幂与根式的互化；2、熟练运用有理指数幂的运算性质解决问题。
高中数学 3.1.2《指数函数(2)》教案 苏教版必修1
3.1.2 指数函数（2）教学目标：1．进一步理解指数函数的性质；2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；教学重点：指数函数的性质的应用；教学难点：指数函数图象的平移变换．教学过程：一、情境创设1．复习指数函数的概念、图象和性质练习：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 ．若a ＞1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．若0＜a ＜1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象恒过(0，1)，那么对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a2x 1的图象恒过哪一个定点呢？二、数学应用与建构例1 解不等式：（1）0.533x ≥；（2）0.225x <； （3）293x x ->；（4）34260x x ⨯-⨯>． 小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．例2 说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）22x y -=； （2）22x y +=； （3）22x y =-； （4）22xy =+． 小结：指数函数的平移规律：y ＝f (x )左右平移⇒ y ＝f (x ＋k )(当k ＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移⇒ y ＝f (x )＋h (当h ＞0时，向上平移，反之向下平移)．练习：（1）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数的图象．（2）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数的图象．（3）将函数2123x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 ．（4）对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a2x 1的图象恒过的定点的坐标是 ．函数y ＝a 2x －1的图象恒过的定点的坐标是 ．小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．（5）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝2x 和y ＝2|2|的图象？ （6）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝|2x －1|的图象？小结：函数图象的对称变换规律．例3 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1－2x ，试画出此函数的图象．例4 求函数1421x x y -=-+的最小值以及取得最小值时的x 值．小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．练习：（1）函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于 ；（2）函数y ＝2x 的值域为 ；（3）设a ＞0且a ≠1，如果y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值；（4）当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，求实数a 的取值范围．三、小结1．指数函数的性质及应用；2．指数型函数的定点问题；3．指数型函数的草图及其变换规律．四、作业：课本P71-11，12，15题．五、课后探究（1）函数f (x )的定义域为(0，1)，则函数()222x x f -的定义域为 ． （2）对于任意的x 1，x 2∈R ，若函数f (x )＝2x ，试比较1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫⎪⎝⎭与的大小．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高一数学必修一：指数函数教案
高一数学必修一：指数函数教案以下是作者为大家整理的关于《高一数学必修一：指数函数教案》，供大家学习参考！教学目标：1、知识目标：使学生知道指数函数的定义，初步掌控指数函数的图像和性质。
2、能力目标：通过定义的引入，图像特点的视察、发觉进程使学生知道理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发觉能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：通过学生的参与进程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、坚持不懈的治学精神。
教学重点、难点：1、重点：指数函数的图像和性质2、难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过色彩的区分，加深其感性认识。
教学方法：引导——发觉教学法、比较法、讨论法教学进程：一、事例引入T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。
什么是函数?S： --------T：主要是体现两个变量的关系。
我们来推敲一个与医学有关的例子：大家对“非典”应当并不陌生，它与其它的沾染病一样，有一定的埋伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁育，病原体的繁育方式有很多种，分裂就是其中的一种。
我们来看一种球菌的分裂进程：C：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。
一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2 x )S，T：(讨论) 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的情势(指数情势)，从函数特点分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数——点题。
二、指数函数的定义C：定义：函数 y = a x (a>0且a≠1)叫做指数函数，x∈R.。
问题 1：为何要规定 a > 0 且a ≠1?S：(讨论)C： (1)当 a <0 时，a x 有时会没成心义，如 a=﹣3 时，当x=就没成心义;(2)当 a=0时，a x 有时会没成心义，如x= - 2时，(3)当 a = 1 时，函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。
高一数学必修一第二、三章(指数函数——函数模型的应用)完整版教案大全 所有教案
2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算第1课时根式根式的定义及相关概念阅读教材P48～P49的有关内容，完成下列问题．(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示(3)根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．【练习】(1)若x3＝8，则x＝________.(2)若x2＝4，则x＝________.【解析】(1)∵23＝8，∴由x3＝8可知x＝38＝323＝2.(2)∵(±2)2＝4，∴由x2＝4可知，x＝±2.【答案】(1)2(2)±2根式的性质阅读教材P50探究及例1的有关内容，完成下列问题．(1)n0＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)－a(a<0)(n为大于1的偶数)．【练习】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(－2)2＝－2.()(2)(3a3)＝a.()(3)(416)＝±2.()【解析】(1)×－2没意义．(2)√当n为奇数时，na n＝a.(3)×416＝2.【答案】(1)×(2)√(3)×关键词：na n(na)n求下列各式的值．(1)(5)2；(2)(3－3)3；(3)4(－2)4；(4)(3－π)2.【思路点拨】直接利用根式的性质化简．【自主解答】 (1)(5)2＝5；(2)(3－3)3＝－3； (3)4(－2)4＝424＝2；(4)(3－π)2＝(π－3)2＝|π－3|＝π－3.1．对于形如na n 的题目，化简时务必注意n 的奇偶性，特别当n 为偶数时，要注意a 的正负．2．对于形如(na )n 的题目，直接利用性质求解便可． [变式训练]1．已知4(a ＋1)4＝－a －1，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由4(a ＋1)4＝－a －1，可知－a －1≥0， ∴a ≤－1.【答案】 (－∞，－1]若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4. 【思路点拨】被开方数非负―→得x 的范围―→去根号变成绝对值 ―→去绝对值―→化简【自主解答】 由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎨⎧2x －1≥0 2－x ≥0即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3.解答此类问题时首先应去根号，此时应将被开方数化为完全平方的形式，最后结合根式性质求解．[变式训练]2．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 【解】 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4. ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，(－3<x <1)－4，(1≤x <3)1.na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)|a | (n 为偶数.2．(na )n ＝a ，其不受n 的限制，a 的取值范围视n 的奇偶而定．1.481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对【解析】481＝434＝3.【答案】 A2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6m D.5－m 【解析】 因为C 选项中为m 的偶次方根，故m ≥0. 【答案】 C3．计算下列各式的值． (1)(3－5)3＝________. (2)(－b )2＝________.【解析】 (3－5)3＝－5；(－b )2＝－b . 【答案】 (1)－5 (2)－b4．当8<x <10时，化简：(x －8)2＋(x －10)2. 【解】 ∵(x －8)2＋(x －10)2＝|x －8|＋|x －10|，又8<x <10，所以x －8>0，x －10<0，∴原式＝x －8＋10－x ＝2. 作业：课后反思：第2课时 指数幂及运算分数指数幂的意义阅读教材P 50～P 51的有关内容，完成下列问题．(1)a 13＝________；(2)a 45＝________； (3)a －32＝________.【答案】 (1)3a (2)5a 4 (3)1a3有理数指数幂的运算性质阅读教材P 51例2上面的有关内容，完成下列问题． (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 【练习】 化简：(1)a 34·a712＝________.(2)b2b＝________.(3)(ab 13)3＝________.【解析】(1)a 34·a712＝a34＋712＝a43.(2)b2b＝b2·b－12＝b32.(3)(ab 13)3＝a3b13×3＝a3b.【答案】(1)a 43(2)b32(3)a3b无理数指数幂阅读教材P52最后一自然段至P53的有关内容，完成下列问题．一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【思考】在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0?【提示】底数a大于零是必要的，否则会造成混乱，如a＝－1，则(－1)α是1还是－1就无法确定了，规定后就清楚了．关键词：na m＝amn(a>0，m，n∈N*，且n>1)将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a(a>0)；(2)13x(5x2)2(x>0)；(3)(4b－23)－23(b>0)．【思路点拨】把根式化为分数指数幂形式，再根据分数指数幂运算性质化简．【自主解答】(1)原式＝a·a12＝a32＝(a32)12＝a34.(2)原式＝13x·(x25)2＝13x·x45＝13x95＝1(x95)13＝1x35＝x－35.(3)原式＝[(b－23)14]－23＝b－23×14×(－23)＝b19.当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数．由里向外，用分数指数幂写出，然后再利用性质进行化简．[变式训练]1．(1)用根式表示下列各式：x35，x－35；(2)用分数指数幂表示下列各式(式中a均为正数)：a2a，a.【解】(1)x35＝5x3，x－35＝1x35＝15x3.(2)a2a＝a2a12＝a2＋12＝a52，a＝a12＝a122＝a14.化简(其中字母均表示正数)：(1)(0.064)－13－⎝⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；【思路点拨】(1)0.064＝0.43,0.01＝0.12.(2)把同底数的放在一起运算．【自主解答】(1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.若幂的底数能写成幂的形式，就先写成幂的形式，再利用有理指数幂的运算性质，先乘方，再乘除，最后加减．[变式训练]2．化简：44x·(－34x)·13y÷－63y2x.【解】 原式＝4×(－3)÷(－6)·x 14·x 14·1y 13÷y 23x 12＝2x 14＋14＋12y －13－23＝2xy －1＝2x y .(2014·潮州高一检测)已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；【思路点拨】 先把待求式子等价变形，再把“a 12＋a －12＝3”整体代入求值． 【自主解答】 (1)将a 12＋a －12＝3，两边平方得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.(2)a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47.对条件求值问题，常采用“整体代换”或“求值后代换”的方法求解．要注意运用恰当的变形，如分解因式等；用乘法公式时，还要注意开方时正负值的选取．[互动探究]3．在题设条件不变的情况下，求a 2－a －2的值． 【解】 ∵(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45， ∴a －a －1＝±45＝±3 5.∴a 2－a －2＝(a －a －1)(a ＋a －1)＝(±35)×7＝±21 5.1.na m＝a mn (a >0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．3．对于已知数值条件的化简求值问题，常利用“整体代入”的思想求解．1．下列运算正确的是( )A ．a ·a 2＝ a 2B ．(ab )3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5【解析】 A 不正确，因为a ·a 2＝a 3；B 不正确，因为(ab )3＝a 3b 3；D 不正确，因为a 10÷a 2＝a 8，故选C.【答案】 C 2．332可化为( ) A. 2 B.33 C.327D.27【解析】 332＝33＝27. 【答案】 D3.⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14的值是________． 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫354－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354×(－14)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－1＝53. 【答案】 534．化简下列各式(a >0，b >0)： (1)3a ·4a ；(2)a a a ； (3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3. 【解】 (1)原式＝a 13·a 14＝a 13＋14＝a 712. (2)原式＝a 12·a 14·a 18＝a 12＋14＋18＝a 78. (3)原式＝a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136.(4)原式＝(a 13)2·(ab 3)12＝a 23·a 12b 32＝a 23＋12b 32＝a 76b 32. 作业：课后反思：2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象和性质指数函数的概念阅读教材P54的有关内容，完成下列问题．一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.【思考】指数函数的定义中为什么规定a>0且a≠1?【提示】指数函数中规定a>0，且a≠1的原因(1)如果a＝0，当x>0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义．(2)如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，在实数范围内函数值不存在．(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.指数函数的图象和性质阅读教材P55～P56的有关内容，完成下列问题．(1)函数y ＝2x 的定义域为(0，＋∞)．( ) (2)函数y ＝2－x 在定义域是增函数．( )(3)函数y ＝3x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象关于y 轴对称．( )【解析】 (1)× y ＝2x 的定义域为R . (2)× y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ，其在R 上是减函数．(3)√ 画出两函数的图象观察便可． 【答案】 (1)× (2)× (3)√关键词：y ＝ 若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，求f (x )及f (－1)． 【思路点拨】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)――——→代点(2，9)求a 的值――→令x ＝－1得f (－1) 【自主解答】 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 因为f (x )的图象经过点(2,9)，代入得a 2＝9，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)， 所以f (x )＝3x ， 所以f (－1)＝3－1＝13.指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)解析式的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：系数为1的一次单项式x ； (3)系数：a x 的系数为1. [变式训练]1．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0， a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝1或a ＝2， a >0，a ≠1.故a ＝2.【答案】 2(2014·冀北高一检测)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0【思路点拨】 y ＝a x 的图象――→题意y ＝a x ＋b －1的图象――→识图参数a ，b 的范围【自主解答】 函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.【答案】 C [变式训练]2．(2014·洛阳高一检测)函数y ＝a x ＋3＋2(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 令x ＋3＝0得x ＝－3， 此时y ＝a 0＋2＝1＋2＝3.即函数y ＝a x ＋3＋2(a >0，且a ≠1)的图象过定点(－3,3)． 【答案】 (－3,3)求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝0.41x －1； (2)y ＝35x －1；(3)y ＝2x ＋1.【思路点拨】 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量x 的取值范围；函数的值域是函数在自变量范围内的函数值的集合．【自主解答】 (1)由x －1≠0得x ≠1， 即所求函数的定义域为{x |x ≠1}； 由1x －1≠0得y ≠1， 故所求函数的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，故所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥15； 由5x －1≥0，得y ≥1， 故所求函数的值域为{y |y ≥1}． (3)所求函数的定义域为R ；由2x >0得2x ＋1>1，故所求函数的值域为{y |y >1}．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法 (1)定义域函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． (2)值域①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域． [变式训练]3．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2.【解】 (1)由x －4≠0， 得x ≠4，∴定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．∵1x －4≠0，∴21x －4≠1， ∴y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由x －2≥0，得x ≥2.∴定义域为{x |x ≥2}． 当x ≥2时，x －2≥0，又0<13<1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}．1．判断一个函数是否为指数函数只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象变化趋势主要取决于参数a 的取值．当底数a 不定时，必须分“a >1”和“0<a <1”两种情况讨论．但无论哪种情况其图象恒过定点(0,1)．3．（不要求）对于形如y ＝a f (x )的值域，求解时先求f (x )的值域，再由y ＝a x 的单调性求y ＝a f (x )的值域．1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝(－2)x B ．y ＝x 3 C ．y ＝－2xD ．y ＝2x【解析】 结合指数函数的形式y ＝a x 可知，D 正确． 【答案】 D2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图2－1－3所示，则( )图2－1－3A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1【解析】 由指数函数的图象可知0<a <1，b >1. 【答案】 C3．函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)恒过定点________．【解析】 由x ＋1＝0得x ＝－1，故函数恒过定点(－1,1)． 【答案】 (－1,1)4．下列函数是指数函数吗？分别求函数的定义域、值域． (1)y ＝56x ＋1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ；(3)y ＝0.71x ；(4)y ＝π－x ； (5)y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12且a ≠1.【解】 (1)函数y ＝56x ＋1＝5·(56)x 不是指数函数，其定义域为R ，设t ＝6x ＋1，则t ∈R ，y ＝5t ∈(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 是指数函数，其定义域为R ，值域为(0，＋∞)．(3)函数y ＝0.71x 不是指数函数，要使解析式有意义，必须x ≠0，因此该函数的定义域为{x |x ≠0}．设t ＝1x ，则t ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝0.7t 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)． (4)函数y ＝π－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 是指数函数，其定义域为R ，值域为(0，＋∞)．(5)函数y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12且a ≠1是指数函数，其定义域为R ，值域为(0，＋∞).作业：课后反思：第2课时 指数函数及其性质的应用比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)0.60.4和0.70.4.【思路点拨】(1)(2)同底，可借助指数函数单调性求解，(3)可引入中间量“1”求解；(4)图象法求解．【自主解答】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，∵0<0.6<1，∴函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，∴1.70.2>0.92.1.(4)在同一坐标系中，分别画出y＝0.6x与y＝0.7x的图象(如图)，由图象可知0．60.4<0.70.4.比较幂大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断，如本例(1)(2)．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断，如本例(4)．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(0或1)来判断，如本例(3)．[变式训练]1．(2014·台州高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．【解析】 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x 在R 上是减函数， 又f (m )>f (n )，故m <n . 【答案】 m <n如果a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围． 【思路点拨】 分a >1和0<a <1两种情况求解． 【自主解答】 ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7， ∴－5x >x ＋7，解得x <－76. ②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7， ∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，x 的取值范围是：当a >1时，x <－76； 当0<a <1时，x >－76.1．本例在求解过程中，因底数a 的范围不明，按“a >1”和“0<a <1”分类讨论求解．2．形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1讨论．3．形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．4．形如a x>b x的不等式：可借助图象求解，也可转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1求解．[变式训练]2．(2014·昆明高一检测)若a x ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x (a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．【解】 a x ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x ⇔a x ＋1>a 3x －5，当a >1时，可得x ＋1>3x －5， ∴x <3.当0<a <1时，可得x ＋1<3x －5， ∴x >3.综上，当a >1时，x <3； 当0<a <1时，x >3.(2014·安庆高一检测)已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值．【思路点拨】 (1)借助单调性的定义证明．(2)利用f (0)＝0，求a 的值．(3)借助(1)来求最小值．【自主解答】 (1)∵f (x )的定义域为R ，任取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －12x 1＋1－a ＋12x 2＋1＝2x 1－2x 2(1＋2x 1)(1＋2x 2).∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以不论a 为何实数f (x )总为增函数． (2)∵f (x )在x ∈R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12. (3)由(2)知，f (x )＝12－12x ＋1，由(1)知，f (x )为增函数，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝12－13＝16，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.1．若奇函数在原点处有定义，则f (0)＝0.2．研究函数的单调性、奇偶性要树立定义域优先的原则．3．解答此类问题时可依据所学的定理、定义逐一求解，从而达到各个击破的目的．[变式训练]3．(2014·福州高一检测)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明：f (x )为奇函数．(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． (3)求f (x )的值域．【解】 (1)由题知f (x )的定义域为R . f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x (3－x ＋1)·3x ＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)f (x )在定义域上是增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝3x 2－13x 2＋1－3x 1－13x 1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23x 1＋1 ＝2·(3x 2－3x 1)(3x 1＋1)(3x 2＋1).∵x 1<x 2，∴3x 2－3x 1>0,3x 1＋1>0,3x 2＋1>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )为R 上的增函数． (3)f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x >0⇒3x ＋1>1⇒0<23x ＋1<2⇒－2<－23x ＋1<0，∴－1<1－23x ＋1<1，即f (x )的值域为(－1,1)．1．幂的大小关系比较，常利用单调性法、图象法、中间变量法(0或1等)求解．2．对于a f (x )>a g (x )型的不等式，常借助指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的单调性分“a >1时，f (x )>g (x )”和“0<a <1时，f (x )<g (x )”两类分别求解．1．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a >c >bD ．b <c <a【解析】 ∵y ＝0.5x在R 上是减函数，又14<13<12，∴0.514>0.513>0.512，即c >b >a .【答案】 B2．(2014·上饶高一检测)若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 【解析】 ∵f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x ) ，故f (x )为偶函数． ∵g (x )的定义域为R ， 又g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )， 故g (x )为奇函数． 【答案】 B3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间[－1,2]上的最大值是________．【解析】 因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－1,2]上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，故14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2. 【答案】 24．画出函数y ＝2|x ＋1|的图象，并根据图象指出它的单调区间．【解】 由函数解析式可得y ＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1 (x <－1)， 2x ＋1 (x ≥－1).其图象分成两部分，一部分是将y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1(x <－1)的图象作出，而它的图象可以看作将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到，另一部分是将y 2＝2x ＋1(x ≥－1)的图象作出，而它的图象可以看作将y ＝2x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到．如图所示，由图知，单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，＋∞). 作业：课后反思：2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算第1课时 对数对数的概念阅读教材P 62“思考”及前四自然段的有关内容，完成下列问题． 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lg N .在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为ln N.【练习】(1)2x＝3，则x＝________；(2)10x＝5，则x＝________；(3)e x＝2，则x＝________.【解析】(1)∵2x＝3，∴x＝log23.(2)∵10x＝5，∴x＝lg5.(3)∵e x＝2，∴x＝ln2.【答案】(1)log23(2)lg5(3)ln2对数的性质阅读教材P62最后一自然段至P63的有关内容，完成下列问题．1．对数与指数间的关系当a>0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.2．对数的性质(1)负数和零没有对数；(2)log a1＝0；(3)log a a＝1.【练习】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)对数运算的实质是求幂指数．()【解析】(1)×因为－2<0，－8<0，故log(－2)(－8)无意义．(2)√由a x＝N⇔x＝log a N可知该句话正确．【答案】(1)×(2)√a求下列各式中x的值：(1)log x27＝32；(2)log2x＝－23；(3)x＝log2719；【思路点拨】根据对数的概念将式子转化为指数式，然后利用指数幂的运算求得结果．【自主解答】(1)由log x27＝32可得x32＝27，∴x＝2723＝(33)23＝9.(2)由log2x＝－23可得x＝2－23＝322.(3)由x ＝log 2719可得27x ＝19， ∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.1．log a N ＝x 与a x ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)是等价的，转化前后底数不变． 2．对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．[变式训练]1．求下列各式中x 的值． (1)log x 81＝2； (2)x ＝log 84； (3)lg x ＝－2; (4)5lg x ＝25.【解】 (1)因为log x 81＝2，所以x 2＝81， 又x >0，所以x ＝9.(2)因为x ＝log 84，所以8x ＝4， 即(23)x ＝22，于是3x ＝2，x ＝23. (3)因为lg x ＝－2，所以x ＝10－2＝0.01. (4)因为5lg x ＝25，所以log 525＝lg x . 又因为log 525＝2，所以lg x ＝2.∴x ＝100.关键词：a a求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)13＋22＝x .【思路点拨】 (1)log a 1＝0―→1＝a 0 (2)log a a ＝1―→a ＝a 1 (3)真数化简―→求对数【自主解答】 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1， ∴x ＝51＝5.(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(3)∵13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴log(2－1)13＋22＝log(2－1)(2－1)＝1.1．本例(3)易因“13＋22”不会变形而求不出x的值．2．“log a a＝1”及“log a1＝0”是对数运算的两个常用量，可以实现1,0与对数“log a a”及“log a1”的互化．[变式训练]2．若lg(ln x)＝1，则x＝________.【解析】由lg(ln x)＝1＝lg 10，可知ln x＝10，∴x＝e10.【答案】e101．对数的概念中出现了两个等式：指数式a x＝N和对数式x＝log a N，这两个等式是等价的，它们之间的关系如下：根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可以将对数式化成指数式．2．log a a＝1及log a1＝0是两个常用的结论，可依此实现对数与指数的转化．1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5【解析】C不正确．log39＝2可化为32＝9.【答案】 C2．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)【解析】由对数式的含义可知，m－1>0，即m>1.【答案】 D3．ln e＋lg 1＝________.【解析】ln e＋lg 1＝1＋0＝1.【答案】 14．求下列各式的值：(1)log327；(2)log(2－3)(2＋3)－1.【解】(1)设log327＝x，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x＝3，即log327＝3.(2)因为(2＋3)－1＝12＋3＝2－3，所以log(2－3)(2＋3)－1＝log(2－3)(2－3)＝1.作业：课后反思：第2课时对数的运算对数的运算性质阅读教材P64～P65的有关内容，完成下列问题．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．【练习】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a(－2)＋log a(－4)＝log a8.()(2)log a b2＝2log a b.()(3)log a(M＋N)＝log a M＋log a N.()(4)log a MN＝log a M÷log a N.()【解析】(1)×因为log a(－2)、log a(－4)无意义．(2)×因为b的范围不清楚．(3)×因为log a M＋log a N＝log a(MN)．(4)×因为log a MN＝log a M－log a N.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×换底公式阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题．(1)log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1)．(2)log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．【练习】若lg 2＝a，lg 3＝b，则log23＝________.【解析】∵log23＝lg 3lg 2，又lg 2＝a，lg 3＝b，∴log23＝ba.【答案】b a求下列各式的值：(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【思路点拨】利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．【自主解答】(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg 2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg 2)·(lg 2＋1)＋(lg 2)2 ＝2＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝3.1．“a log a N ＝N ”称为对数恒等式，只要N >0，a >0，且a ≠1便可． 2．“lg 2＋lg 5＝1”这一结论，常常应用于化简求值，或数值变换(如lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2)中．[变式训练]1．计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5； (3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg 45.【解】 (1)原式＝log 1222＋log 123＝log 124＋log 123＝log 1212＝1. (2)原式＝lg 5005＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.(3)∵lg 45＝lg 4512＝12lg(5×9)＝12(lg 5＋lg 9)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 102＋lg 32＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0， lg 3＝0.477 1，∴lg 45＝12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.(2014·长沙高一检测)已知log 189＝a,18b ＝5，则a ，b 表示log 3645的值．【思路点拨】 思路一：log 3645＝log 1845log 1836；思路二：log 3645＝lg 45lg 36，log 189＝lg 9lg 18.【自主解答】 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ， 所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818， 又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a＋b 2－a.法二：因为log189＝a，即2lg 3lg 2＋2lg 3＝a，所以lg 2＝2(1－a)lg 3a.又18b＝5，即b＝lg 5lg 2＋2lg 3，所以lg 5＝2ba lg 3，所以log3645＝lg 5＋2lg 32lg 2＋2lg 3＝2ba＋24(1－a)a＋2＝a＋b2－a.1．换底公式的本质是“化异为同”，如本例两种方式均采用了化异底为同底，然后借助对数运算性质求解．2．换底公式log a b＝log c blog c a中的底数c常视题目需要，灵活选取．如没有特别要求，常取c＝10或c＝e.[变式训练]2．(1)(2012·安徽高考)(log29)·(log34)＝()A.14 B.12C．2 D．4(2)(2014·潍坊高一检测)已知2m＝5n＝10，则1m＋1n＝________.【解析】(1)log29·log34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.(2)由2m＝5n＝10可知，m＝log210，n＝log510.故1m＝lg 2，1n＝lg 5.从而1m＋1n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.【答案】(1)D(2)1一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)?【思路点拨】 由题目可知经过一年物质剩余的质量均是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】 假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13.由题意可知 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝13， ∴x ＝lg 13lg 34＝－lg 3lg 3－lg 4＝－0.477 10.477 1－0.602 0≈4.即估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.解对数应用题的一般步骤为 (1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知a x ＝N (a ，N 是常数，且a >0，a ≠1)，求x ；(3)可以利用图象法，也可以利用换底公式借助计算器来解数学模型； (4)还原为实际问题，归纳结论． [变式训练]3．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)．【解】 设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%， 则a (1－60%)n <0.1%a (设原来容器中的空气体积为a )， 即0.4n <0.001，两边取常用对数得n ·lg 0.4<lg 0.001， 所以n >lg 0.001lg 0.4＝－32lg 2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根，利用对数的运算性质把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则把它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．2．换底公式的作用在于“化异为同”，为更加便捷的应用对数的运算性质提供了保障．1．log23·log32的值为()A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】log23·log32＝lg 3lg 2·lg 2lg 3＝1.【答案】 A2．设a>0，a≠1，且x>y>0，n≥2，n∈N*，考虑下列等式：①(log a x)n＝n log a x；②log a(xy)＝(log a x)(log a y)；③log a xy＝log a x log a y；④log a nx＝1n log a x；⑤log a(x＋y)＝log a x＋log a y；⑥a log a x＝x；⑦log a x－yx＋y＝－log ax＋yx－y.其中正确等式的个数为()A．2 B．3C．4 D．5【解析】结合对数的运算性质可知①②③⑤错误，④⑥⑦正确．【答案】 B3．若3a＝2，则2log36－log38＝________.【解析】∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.【答案】2－a4．求下列各式的值．(1)lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2；(2)12lg3249－43lg8＋lg 245；(3)log535＋2log 122－log5150－log514.【解】(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5×lg(5×2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(2)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.(3)原式＝log535×5014＋2log12212＝log553－2×12＝3－1＝2.作业：课后反思：2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质对数函数的概念阅读教材P70前两个自然段，完成下列问题．一般地，把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x为自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．【练习】下列函数中，是对数函数的是________．(1)y＝log a x(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝log x6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)不是．真数是x，不是自变量x.(2)不是．对数式后加2.(3)不是．真数为x ＋1，不是x ，且系数为8，不是1. (4)不是．底数是自变量x ，不是常数． (5)是．底数是6，真数是x . 【答案】(5)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象及性质阅读教材P 70第三自然段至P 71的有关内容，完成下列问题.(1)若f (x )是对数函数，则f (1)＝0.( ) (2)函数y ＝log 2x 在R 上是增函数．( )(3)函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象一定位于y 轴的右侧．( ) 【解析】 (1)√ 因为f (x )的图象恒过定点(1,0)，即f (1)＝0. (2)× 因为函数y ＝log 2x 的定义域为(0，＋∞)． (3)√ 结合“a >1”及“0<a <1”的图象可知，其正确． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√求下列函数的定义域： (1)y ＝lg (2－x )； (2)y ＝1log 3(3x －2)；(3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．【思路点拨】 对于(1)既要保证根式有意义，又要保证真数大于零．对于(2)要保证分母不为0和真数大于0.对于(3)要保证对数式有意义．【自主解答】 (1)由题意得lg(2－x )≥0，即2－x ≥1，也即x ≤1.故函数y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． (2)由⎩⎨⎧ log 3(3x －2)≠0， 3x －2>0，得⎩⎨⎧3x －2≠1， 3x >2，解得x >23，且x ≠1.故函数y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >23且x ≠1.(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2， x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2且x ≠1.求与对数函数有关的定义域时，除了明确真数大于零外，还要注意底数中是否含有自变量，如果有，则要满足大于零且不等于1.[变式训练]1．(2013·广东高考)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)【解析】 要使函数有意义，需⎩⎨⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.【答案】 C画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)；(2)y ＝|log 12x |. 【思路点拨】(1)y ＝log 3x 的图象―——―→向右平移2个单位y ＝log 3(x －2)的图象． (2)y ＝log 12x 的图象――→翻折y ＝|log 12x |的图象．【自主解答】 (1)函数y ＝log 3(x －2)的图象如图所示，其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|log 12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x ≤1， log 2x ，x >1，其图象如图所示，其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．1．作复合函数图象时，可先作它的基本函数的图象，然后借助适当变换(如平移变换、对称变换等)逐步完成作图．2．对y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象，画图时应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. [变式训练]2．(1)(2014·晋中高一检测)函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )(2)(2014·张掖高一检测)函数y＝log a(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．【解析】(1)因为函数y＝log2|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图象可知A正确．(2)令2x－3＝1得x＝2，此时y＝1，即点P的坐标是(2,1)．【答案】(1)A(2)(2,1)1．一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的函数，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.2．无论a取何值，对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且图象落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增．1．下列函数是对数函数的是()A．y＝log a(2x)(a>0，且a≠1)B．y＝log a(x2＋1)(a>0，且a≠1)C．y＝log1x(a>0，且a≠1)aD．y＝2lg x【解析】由对数函数的定义可知C正确．【答案】 C图2－2－42．图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35【解析】法一：因为底数越大，函数图象越远离y轴的正方向，所以相应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次由大到小，即相应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为3，43，35，110，故选A.法二：如图：过点(0,1)作平行于x轴的直线，与曲线C1，C2，C3，C4的交点的坐标依次为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数函数的底数，显然a1>a2>a3>a4，所以相应于曲线C1，C2，C3，C4的a值依次由大到小，故选A.【答案】 A3．函数y＝log a(x－2)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．【解析】令x－2＝1，即x＝3时，y＝log a1＝0，即函数的图象恒过定点(3,0)．【答案】(3,0)4．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg (4－x )x －3； (2)y ＝log 0.1(4x －3).【解】 (1)由{ 4－x >0， x －3≠0，得x <4且x ≠3， 故所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)． (2)∵由⎩⎨⎧ 4x －3>0， log 0.1(4x －3)≥0，得⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤1，∴34<x ≤1.故所求定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.作业：课后反思：第2课时 对数函数及其性质的应用反函数阅读教材P 73的有关内容，完成下列问题．(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x (a >0，且a ≠1)． (2)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝log a x (a >0，且a ≠1)． 【练习】 (1)y ＝10x 的反函数是________． (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 的反函数是________．(3)y ＝log 13x 的反函数是________． (4)y ＝log 2x 的反函数是________．【答案】 (1)y ＝lg x (2)y ＝log 45x (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (4)y ＝2x比较下列各组数的大小． (1)log 1245与log 1267；(2)log 123与log 153；(3)log a 2与log a 3； (4)log 120.4与log 40.6.【思路点拨】 (1)中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；(2)中同真不同底，可结合图象判断；(3)中底数含有字母，需分类讨论；(4)中底数真数均不同，引入中间量“0”比较大小．【自主解答】 (1)y ＝log 12x 在(0，＋∞)上递减，又因为45<67，所以log 1245>log 1267.(2)因为在x ∈(1，＋∞)上，y ＝log 15x 的图象在y ＝log 12x 图象的上方，所以log 123<log 153.(3)当a >1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2<log a 3； 当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，所以log a 2>log a 3. 综上，a >1时，log a 2<log a 3；0<a <1时，log a 2>log a 3. (4)∵log 120.4>log 121＝0，log40.6<log 41＝0.∴log 120.4>log 40.6.比较对数值大小时常用的三种方法[变式训练]1．(2013·课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1， 由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D. 【答案】 D解下列不等式． (1)log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)； (2)log x 12>1.【思路点拨】 (1)函数y ＝log 2x 的单调性―→建立真数间的关系，注意真数大于0.(2)分“x >1”和“0<x <1”两类分别求解，同时注意log x x ＝1.【自主解答】(1)由题意知原不等式等价于⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6解得65<x <3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，3.(2)当x >1时，log x 12>1＝log x x ，解得x <12， 此时不等式无解．当0<x <1时，log x 12>1＝log x x ，解得x >12， 所以12<x <1.综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.1．解对数不等式一定要注意真数大于0，即“定义域优先”的原则． 2．本例(2)在求解中，因底数的范围不明而分“0<x <1”和“x >1”两类分别求解． [变式训练]2．(2014·临沂高一检测)若实数a 满足log a 23<1，求a 的取值范围． 【解】 不等式log a 23<1可化为log a 23<log a a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1， 23<a ，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1， 23>a ，，解得a >1或0<a <23.。
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3.1.2 指数函数（2）
教学目标：
1．进一步理解指数函数的性质；
2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；
教学重点：
指数函数的性质的应用；
教学难点：
指数函数图象的平移变换．
教学过程：
一、情境创设
1．复习指数函数的概念、图象和性质
练习：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 ．若a ＞1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．若0＜a ＜1，则当x ＞0时，y 1；而当x ＜0时，y 1．
2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象恒过(0，1)，那么对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x -1的图象恒过哪一个定点呢？
二、数学应用与建构
例1 解不等式：
（1）0.533x ≥；
（2）0.225x <； （3）293x x ->； （4）34260x x ⨯-⨯>．
小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．
例2 说明下列函数的图象与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）22x y -=； （2）22x y +=； （3）22x y =-； （4）22x y =+．
小结：指数函数的平移规律：y ＝f (x )左右平移⇒ y ＝f (x ＋k )(当k ＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移⇒ y ＝f (x )＋h (当h ＞0时，向上平移，反之向下平移)．
练习：
（1）将函数f (x )＝3x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象．
（2）将函数f (x )＝3-x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象．
（3）将函数2123x
y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 ．
（4）对任意的a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x -1的图象恒过的定点的坐标是 ．函数y ＝a 2x －1的图象恒过的定点的坐标是 ．
小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．
（5）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝2|x |和y ＝2|x -2|的图象？
（6）如何利用函数f (x )＝2x 的图象，作出函数y ＝|2x －1|的图象？
小结：函数图象的对称变换规律．
例3 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＜0时，f (x )＝1－2x ，试画出此函数的图象．
例4 求函数1421x x y -=-+的最小值以及取得最小值时的x 值．
小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．
练习：
（1）函数y ＝a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于 ；
（2）函数y ＝2-|x |的值域为 ；
（3）设a ＞0且a ≠1，如果y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值；
（4）当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，求实数a 的取值范围．
三、小结
1．指数函数的性质及应用；
2．指数型函数的定点问题；
3．指数型函数的草图及其变换规律．
四、作业：
课本P71-11，12，15题．
五、课后探究
（1）函数f (x )的定义域为(0，1)，则函数()
222x x f -的定义域为 ．
（2）对于任意的x 1，x 2∈R ，若函数f (x )＝2x ，试比较1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
与的大小．。