正态分布

例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)
S(X,∞)＝S(-∞,-X)
数学形式
( X − µ)2 1 , − ∞ < X < ∞ exp − f (X ) = 2 2σ σ 2π π＝ .14159， 是以2.72818为底的自然对数指数 3 exp X ~ N(µ,σ 2 ), µ为X的总体均数，σ为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（norm curve ） al
x
图1
图2
图3
0.6
f (X )
总结：
0.5
N(−1,0.8 )
2
0.4
N(0,1 )
N(1,1.2 )
2位置，σ决定曲线的“胖瘦” 决定曲线的位置， 0.2 决定曲线的“ 决定曲线的位置 决定曲线的 胖瘦”
0.1
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
例题2.下列函数是正态密度曲线的是（）. 例题 下列函数是正态密度曲线的是（） 下列函数是正态密度曲线的是（）
2
− ( x) = 1 e f 2π σ
( x−µ )2
2σ 2
②在“标准正态分布表”中，相应x0的值 0)是指总体 标准正态分布表” 相应 的值φ(x 是指总体 取值小于x 的概率， 取值小于 0的概率，即φ(x0)=P(x<x0)，如图 左边的阴影 ，如图5左边的阴影 所示． 所示． (Ⅰ) x0≥0时，则φ(x0)的值可在标准正态分布表中查到． 的值可在标准正态分布表中查到． Ⅰ 时 的值可在标准正态分布表中查到
频率 组距
产品 尺寸 (mm)
2、启发诱导，探求新知 启发诱导，
(1)正态分布与正态曲线 正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高， 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头 的特征，像这种类型的总体密度曲线， 低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就 是或近似地是以下一个特殊函数的图象： 是或近似地是以下一个特殊函数的图象：
σ=1 -3 -2 -1
o
图2
1
2 3
x
(Ⅱ) x0<0时，可利用其图象的对称性获得 0) = 1－φ(-x0)来求出，如图 ． Ⅱ 来求出， 时 可利用其图象的对称性获得φ(x － 来求出 如图6 (Ⅲ) P(x1<x<x2) = φ(x2) －φ(x1)，再由 Ⅰ)(Ⅱ)求出，如图 右边阴影部分． Ⅲ 求出， 右边阴影部分． ，再由(Ⅰ Ⅱ 求出 如图5右边阴影部分 y y
σ=2
µ
5、标准正态分布 、
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为： 的两个参数为：µ=0,σ=1 记为 N(0,1)
经标准正态变量 变换：一般正态分布N(µ,σ 2 )被转化为 u 标准正态分布N(0,1); 其中u = X −µ
σ
u2 1 f (u) = exp − , − ∞ < X < ∞ 2 2π
2π
2π
(3)任取 1<0,x2<0，且x1<x2，有 任取x ， 任取
x x > ⇒e 2 2
2 1 2 2
2 x1 2
>e
2 x2 2
⇒
1 e 2π
2 x1 − 2
<
1 e 2π
2 x2 − 2
,
则f(x1)<f(x2)，即当 ，即当x<0时，f(x)是递增 时 是递增 同理可得， 是递减的． 的． 同理可得，当x>0时，f(x)是递减的． 时 是递减的
标准正态曲线
根据正态函数，画出三条正态曲线： 例1 根据正态函数，画出三条正态曲线： ①µ=－1,σ=0.5, － ②µ=0,σ=1, ③µ=1,σ=2． ．
y
µ=－1 －
y
µ=0 σ=0.5 σ=1
y
µ=1 σ=2
-3 -2 -1
o
1
2
x
-3 -2 -1
o
1
2 3
x
-3 -2 -1
o
1 2 3
4
方差相等、 方差相等、均数不等的正态分布图示
µ=0 µ= -1 µ= 1
σ=0.5
固定, 若 固定 随 值 的变化而 沿x轴平 轴平 移, 故 µ 称为位置 参数； 参数；
σ µ
µ3
µ1
µ2
均值相等、 均值相等、方差不等的正态分布图示
σ=0.5
µ=0
σ=1
固定, 若 u固定 σ 大 曲线矮而胖； 时, 曲线矮而胖； 小时, 小时 曲线瘦 σ 故称 而高, 而高 σ 为形状参数。 为形状参数。
µ
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
µ
x2 x1
6、标准正态分布与利用标准正态分布表求概率 、
①在正态函数 中，当µ = 0，σ = 1时，正态总体称为标准 ， 时 x 1 −2 正态总体，相应的函数表示式是： 正态总体，相应的函数表示式是： f ( x) = e , x ∈ (−∞,+∞) 2π y 相应的曲线称为标准正态曲线，如图2，记作N(0,1) ． 相应的曲线称为标准正态曲线，如图 ，记作 µ=0
x ∈ (−∞,+∞) y
µ=0 σ=1
标准正态总体的函数表示式 标准正态总体的函数表示式
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
1 −2 f (x) = e , x ∈(−∞,+∞) 2π
x2
标准正态曲线
正态总体的函数表示式 正态总体的函数表示式
− 1 f (x) = e 2πσ ( x−µ )2 2σ 2
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征； ； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
解:
f (1)对于任意的 ∈R，(− x) = 对于任意的x∈ ， 对于任意的
1 e 2π
( − x )2 − 2
=
1 e 2π
x2 − 2
= f ( x),
x2 (2)令 u = ，eu是关于 的增函数 是关于u的增函数 令 2
2
∵u≥0，当u=0，即x=0时，eu取得最小值． ， ， 时 取得最小值． 1． 1 − x2 取最大值 ∴当x=0时， f ( x) = 时 e
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
, x ∈(−∞,+∞)
y
（1）当x = µ 时,函数值为最大. （2）f (x) 的值域为 (3) f (x) 的图象关于
1 (0, ] 2πσ
µ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x =µ
对称.
f (x)为增函数. （4）当 x∈ （－∞， （－ ，µ] 时 当 x∈ µ，+∞） 时f (x)为减函数. （ ， ）
y
µ=－1 － σ=0.5
曲线有没有对称轴、最高点？ ② 曲线有没有对称轴、最高点？ ④当µ一定时，曲线形状变化又如何？ 一定时，曲线形状变化又如何？ 一定时
y
x=µ µ=1 σ=2
y
µ=0
y σ=0.5
σ=1 σ=2
σ=1