2020年高考物理复习攻略：递推归纳法(教师版)

专题04递推归纳法

递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件,通过物理相关规律,再辅以数学方法来递推归纳,得出物理量变化的通式,从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物理问题时,要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件,因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。

譬如,在应用递推归纳法解解决动力学问题时,首先要分析物体的受力,进一步分析物体的运动情况,善于分析出物体运动中的相似阶段,把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段,每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动,有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量,或是运动周期相同,或是末速大小相等,或是位移大小相等,如此不一而足。因此,递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律,或是等差数列变化,或是等比数列变化,较难一点的是复合数列变化。

典例1（19年江苏卷）如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B ．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M 、N ,MN =L ,粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短）,反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m 、电荷量为-q 的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d ,且d

（2）欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M 的最大距离d m ； （3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场,PM =d ,QN =

2

d

,求粒子从P 到Q 的运动时间t ．

【答案】（1）qBd v m =

,（2）m d =（3）π2L m t d qB =+（）,π2L m t d qB =-（） 【解析】（1）粒子的运动半径 mv d qB =

解得qBd

v m

= （2）如图4所示,粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切

由几何关系得d m =d （1+sin60°）

解得m d =

（3）粒子的运动周期

2πm

T qB

=

a.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t 1,粒子斜向上射出磁场

1t 4

1

t +=T

可能1t 43

t +=T

可能1t 4

5

t +=T

…………………….

()）

（.........

3,2,1n t 4

1n 2t 1

=++=

T 当()d 23-1d 1n 2L ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++=时, T 12

1t 1=

解得 π2L m t d qB =+（） b.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t 2,粒子斜向下射出磁场

2t 4

2

t +=T

可能2t 44

t +=T

可能2t 4

6

t +=T

…….…………

2t 4

n

2t +=

T (n=1,2,3,………)

（b ）当d 231nd 2L ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+

+=,时, T 12

5t 2=

解得 π2L m t d qB =-（） 【总结与点评】本题第三小题求带电粒子在磁场中运动时间,带电粒子撞到水平板的次数分为奇偶次两种情况递推,求出两种情况下粒子在磁场中运动时间。

针对训练1a ．如图所示,以两虚线为边界,中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场,宽度为d ,两侧为相同的匀强磁场,方向垂直纸面向里。一质量为m 、带电量q +、重力不计的带电粒子,以初速度1v 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动,后进入电场做匀加速运动,然后第二次进入磁场中运动,此后粒子在电场和磁场中交替运动。已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍,第三次是第一次的三倍,以此类推。求 （1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功1W 。 （2）粒子第n 次经过电场时电场强度的大小n E 。 （3）粒子第n 次经过电场所用的时间n t 。

（4）假设粒子在磁场中运动时,电场区域场强为零。请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中,电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程,不要求标明坐标刻度值）。

【答案】（1）2

121221232121mv mv mv W =-=,（2）qd mv n E n 2)12(21+=

,（3）1

)12(2v n d v d t n n +== 【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由r

v m qvB 2=得

qB mv

r = 则v 1：v 2：…：v n =r 1：r 2：…：r n =1：2：…：n

（1）第一次过电场,由动能定理得21212

212

32121mv mv mv W =-=

（2）第n 次经过电场时,由动能定理得2

212

121n n n mv mv d qE -=+

解得qd

mv n E n 2)12(2

1+=

（3）第n 次经过电场时的平均速度112

1

22v n v v v n n n +=+=

+, 则时间为1

)12(2v n d

v d t n n +== （4）如图2

【总结与点评】依据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式,可知带电粒子依次进入磁场的速度大小之比等于其在磁场中的轨道半径之比,可以求出每次进入磁场的速度,每次进入磁场的速度也是前次出电场的速度,以这个速度关系作为抓手,再结合动能定理即可递推归纳出第n 次经过电场的场强,至于第n 次在电场中匀加速的时间也就迎刃而解了。本题难度适中,运动模型虽然复杂一些,但模型相对单一,仅是电场与磁场周期性运动,应用的物理规律可以是动能定理,也可以是动力学运动规律,学生的得分率较高。

针对训练1b ．雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m 0,初速度为v 0,下降距离l 后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m 1。此后每经过同样的距离l 后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次变为m 2、m 3……m n ……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。 （1）若不计重力,求第n 次碰撞后雨滴的速度v n ′；

（2）若考虑重力的影响,a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v 1和v 1′；

b.求第n 次碰撞后雨滴的动能1

2

n m v n ’2。 【答案】（1）00'

v m m v n n =

,（2）gl m m m v m m m v m E n n n i n n n n n Kn ⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑-=210220202

'212

1 【解析】（1）若不计重力,则 ： '

00n

n v m v m = 00

'

v m m v n

n =

（2）若考虑重力的影响,