材料力学课件 孙训方第五版
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【材料力学】孙训方第五版4-4
dq a A c b B d A1 O
O1 B1 y
x
A1 B 1 AB AB A1 B 1 OO 1
x
OO1
y
( y )dq dq
dq
竖向对称轴为y轴，中性轴为z轴
x
y
......
(1)
2012-6-6
10
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。
A
o
y
zdA
A
z
z
dA
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。 静矩的量纲： L
3
y
2012-6-6
29
S 静矩： z
ydA ,
A
S
y
zdA
A
二. 形心 回顾理论力学的 质心计算公式： 均质等厚薄板质 心位于中面形心
yc Sz A , zc
yc
ydm
V
o zc yc
●
m ax
W z [ ]
2012-6-6
16
空心圆形：
矩形： b z
圆形： d
D d z z
h
y
Iz
Wz Iz h 2
2012-6-6
y
3
bh 12
Iz
2
d
64
4
y
Iz
3
d
(1 )
4
D
D
64
4
bh 6
Wz
Iz d 2
d
32
Wz
O1 B1 y
x
A1 B 1 AB AB A1 B 1 OO 1
x
OO1
y
( y )dq dq
dq
竖向对称轴为y轴，中性轴为z轴
x
y
......
(1)
2012-6-6
10
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。
A
o
y
zdA
A
z
z
dA
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。 静矩的量纲： L
3
y
2012-6-6
29
S 静矩： z
ydA ,
A
S
y
zdA
A
二. 形心 回顾理论力学的 质心计算公式： 均质等厚薄板质 心位于中面形心
yc Sz A , zc
yc
ydm
V
o zc yc
●
m ax
W z [ ]
2012-6-6
16
空心圆形：
矩形： b z
圆形： d
D d z z
h
y
Iz
Wz Iz h 2
2012-6-6
y
3
bh 12
Iz
2
d
64
4
y
Iz
3
d
(1 )
4
D
D
64
4
bh 6
Wz
Iz d 2
d
32
Wz
材料力学(孙训方课件)
2--2截面处截取的分离体如图（c）
Y qL Q q( x a) 0 Q2 q x 2 a qL
2 2
qL
1
2
q
剪力等于梁保留一侧横 向外 力的代数和。外力对截 面的 形心顺时针为正。
( Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x 2 a ) 2 0 2 1 M 2 q( x 2 a ) 2 qLx 2 2
A
O
x
B
M ( ) Px P(R Rcos ) PR(1 cos ) (0 )
Q( ) P 1 Psin (0 ) N ( ) P (0 ) 2 Pcos
③根据方程画内力图
M图 R P
A
O +
x
每一段的内侧点、驻点（Q=0点）
qa A B Q a
q
a
C x
BA段： Q BA qa；M BA 0； Q AB qa；M AB qa 2
若载荷、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数的 增量等于上图的面积。
简易作图法: 利用内力和外力的几何关系、图形的突变规律及 面积增量关系（或特殊点的内力值）作图的方法。
[例4-4-1] 用简易作图法画下列各图示梁力图。
qa A B C a a 特殊点: q 解: 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
§4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
材料力学1 第五版 孙训方 第二章 拉伸压缩、剪切
F
F
(Sign convention for axial force)
m
m FN
（1）若轴力的指向背离截面，
则规定为正的， F
称为拉力(tensile force). （2）若轴力的指向指向截面，
则规定为负的，称为压力 (compressive force). FN
m
m
F
m
(Axial Tension & Compression，shear)
F
m
F
(Axial Tension & Compression，shear) m 若取 右侧为研究对 象，则在截开面上的轴 力与部分左侧上的轴力 F 数值相等而指向相反. m F m F
FN
m
m FN m F
(Axial Tension & Compression，shear)
2、轴力符号的规定
B F
C
2
Fx 0 Fy 0
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0 FN 2 20kN FN1 28.3kN
FN 1
y
FN 2 45° B
F
西工大
x
FN 1 28.3 103 1 90106 P a 90MP a A1 202 106 4 FN 2 20103 6 1 2 89 10 Pa 89MPa 6 A2 15 10
(Axial Tension & Compression，shear)
例题2-2
A 1
45°
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。 已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面 杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象
材料力学 孙训方第五版PPT课件
为负（压应力）
例题3 如图所示正方形截面的梯形柱，柱顶受轴向压力P作用，上
段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。
求：上、下段柱的底截面1-1，2-2上的应力。
解： N 1 1 P G 1 1 7 .5 k N
P 200
11N A 1 11 10 1.7 2 .5 01 .2 034.375105Pa
思考？
P
P
P/2 P
PP
PP
P/2
该杆件是轴向拉伸变形吗？
.
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
一、内力
1、内力的概念：物体内部相邻部分之间相互作用的力
2、内力的计算（截面法）
m
P
P
X 0
m
P
N
N
P
NF0
NF
.
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、内力正负号的规定
N
N
同一截面位置处左、右两侧截面上的内力必须具有相 同的正负号
2N A22 22000 110036 100MPa
m ax2100M P a
.
第四节 拉、压杆件的变形
3P
3P
P
P
L1
L2
L3
（3）
D LD L 1D L2D L3
N1L1 N2L2 N3L3 EA1 EA2 EA3
2 2 ( 0 0 1 0 1 )0 9 1 0 3 2 0 0 2 5 0 1 0 1 6 0 1 3 .5 2 2 0 0 0 1 1 0 0 3 9 2 2 5 0 0 0 1 1 0 0 3 6
令： ' λ：材料泊松比
材料力学(孙训方)PPT课件
[例3-2-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55P1 n
9.55500 300
A
15.9(kN m)
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 5 2 9. 5 1 35 5 0 4 .0 0 7(8 k m N) m 49 .5P n 5 49. 5 3 25 0 0 6 0 0 .3(7km N)
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
其中：P n
— —
功率，马力（PS） 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78 kNm
9.56 kNm
D
6.37 kNm
x
例 32-2已知 :m12kN m,m2 4kN m,m3
1kN m,m4 1kN m,求:各段扭矩及画扭
解：1——1:
m4 3 m3 2 m2 1 m1
M0 m1T10
T1 m1 2kNm
材料力学(II)材料力学孙训方课件
材料力学的基本原理
弹性力学的基本原理
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律 的科学。
胡克定律
胡克定律是弹性力学的基本定律之一，它指出在弹性限度 内，物体的应力和应变之间成正比关系。
弹性模量
弹性模量是描述材料弹性性能的重要参数，它表示材料抵 抗变形的能力。
圣维南原理
圣维南原理是弹性力学中的一个基本原理，它指出当一个 物体受到局部外力作用时，物体内部的应力分布只受该局 部外力作用的影响。
轻质高强材料
随着航空航天、汽车等行业的快速发展，对 轻质高强材料的力学性能需求越来越高，这 涉及到对新型复合材料、金属基复合材料等 材料的强度、韧性、疲劳性能等方面的深入 研究。
智能材料
智能材料是一种能够感知外部刺激并作出相 应响应的材料，其力学性能具有非线性、时 变等特点，需要深入研究其本构关系、破坏 准则等方面的内容。
数值模拟与真
利用人工智能技术对复杂的材料行为进行数 值模拟和仿真，提高模拟的精度和效率，缩
短研发周期。
THANKS
[ 感谢观看 ]
多场耦合下的材料力学研究
热-力耦合
在高温环境下，材料的力学性能会受到温度的影响，需要研究温度场与应力场之间的相 互作用关系。
流体-力耦合
在流体环境中，如航空航天器、船舶等，需要考虑流体对结构的作用力以及流体的流动 对结构的影响。
人工智能在材料力学中的应用
机器学习在材料力学中的 应用
利用机器学习算法对大量的实验数据进行处 理和分析，预测材料的力学性能，优化材料 的设计。
CHAPTER 03
材料力学的基本分析方法
有限元分析方法
有限元分析是一种数值分析方法，它将复杂的物理系 统分解为较小的、易于处理的单元，通过求解这些单
弹性力学的基本原理
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律 的科学。
胡克定律
胡克定律是弹性力学的基本定律之一，它指出在弹性限度 内，物体的应力和应变之间成正比关系。
弹性模量
弹性模量是描述材料弹性性能的重要参数，它表示材料抵 抗变形的能力。
圣维南原理
圣维南原理是弹性力学中的一个基本原理，它指出当一个 物体受到局部外力作用时，物体内部的应力分布只受该局 部外力作用的影响。
轻质高强材料
随着航空航天、汽车等行业的快速发展，对 轻质高强材料的力学性能需求越来越高，这 涉及到对新型复合材料、金属基复合材料等 材料的强度、韧性、疲劳性能等方面的深入 研究。
智能材料
智能材料是一种能够感知外部刺激并作出相 应响应的材料，其力学性能具有非线性、时 变等特点，需要深入研究其本构关系、破坏 准则等方面的内容。
数值模拟与真
利用人工智能技术对复杂的材料行为进行数 值模拟和仿真，提高模拟的精度和效率，缩
短研发周期。
THANKS
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多场耦合下的材料力学研究
热-力耦合
在高温环境下，材料的力学性能会受到温度的影响，需要研究温度场与应力场之间的相 互作用关系。
流体-力耦合
在流体环境中，如航空航天器、船舶等，需要考虑流体对结构的作用力以及流体的流动 对结构的影响。
人工智能在材料力学中的应用
机器学习在材料力学中的 应用
利用机器学习算法对大量的实验数据进行处 理和分析，预测材料的力学性能，优化材料 的设计。
CHAPTER 03
材料力学的基本分析方法
有限元分析方法
有限元分析是一种数值分析方法，它将复杂的物理系 统分解为较小的、易于处理的单元，通过求解这些单
材料力学(I)第三章(配孙训方版)(第五版)PPT课件
T
2 r02
T
2A0
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
第三章 扭 转 (Torsion)
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 ·超静定问题 §3–6 等直圆杆在扭转时的应变能 §3–7 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形 §3–8 开口和闭合薄壁截面杆在自由扭转时的应力和变形
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R
R L
´
a
b
´
c
d
dx
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dAr0 T
r0 AdA r0 2 r0 T
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
各圆周线的形状、大小和间 距均未改变，仅绕轴线作相对转 动；各纵向线均倾斜了同一微小
角度 。
可假设： 1. 横截面变形后仍为平面； 只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
可认为： 圆周扭转时可视为
材料力学第5版(孙训方编)
FAy
F
(b)
5. 将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程
FN1a FN3
1 2
a
FN
2
(2a)
F
(3a)
0
联立求解得
FN3
3 2F 110 2
，FN1
2FN3
6 2F 110 2
，FN2
4FN3
12 2F 110 2
17
第六章 简单的超静定问题
Ⅱ. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力
所以这仍然是一次超静定问题。
23
第六章 简单的超静定问题
2. 变形相容条件(图c)为 l1 l3 e
这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。 3. 利用物理关系得补充方程：
FN1l FN3l e EA E3 A3
24
第六章 简单的超静定问题
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
MA
Me
MB
Me
Mea l
M eb l
34
第六章 简单的超静定问题 (a)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC
M A
M eb l
从而有
C
TAC a GI p
M eab lGI p
35
第六章 简单的超静定问题
例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧 配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求 铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上 切应力沿半径的变化情况。
而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为
FN1
FN 2
FN3
2 c os
2
孙训方第五版 材料力学课件-高等教育出版社
扭转
T n
纯弯曲
M
M
第二章 轴向拉伸和压缩
主讲教师：郑新亮
2016年12月13日星期二
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最 简单的一种变形形式。 1、工程实例
拉杆 P
压杆
P
P
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
2、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合 变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短
变 形
{
弹性变形 塑性变形
材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力
第二节 变形固体的基本假设
材料力学对变形固体所做的几个基本假设：
1 均匀连续性假设
变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形 固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。
2 各向同性假设
变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质 的材料为各向同性材料。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
ζ
1、正应力的概念：
内力在横截面上的分布集度
N A
单位： 帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2、正应力的符号规定：
当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之 为负（压应力）
2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
讨论： cos 2 sin 2 2
45 90
0
o
o
,max
T n
纯弯曲
M
M
第二章 轴向拉伸和压缩
主讲教师：郑新亮
2016年12月13日星期二
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最 简单的一种变形形式。 1、工程实例
拉杆 P
压杆
P
P
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
2、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合 变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短
变 形
{
弹性变形 塑性变形
材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力
第二节 变形固体的基本假设
材料力学对变形固体所做的几个基本假设：
1 均匀连续性假设
变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形 固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。
2 各向同性假设
变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质 的材料为各向同性材料。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
ζ
1、正应力的概念：
内力在横截面上的分布集度
N A
单位： 帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2、正应力的符号规定：
当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之 为负（压应力）
2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
讨论： cos 2 sin 2 2
45 90
0
o
o
,max
材料力学(孙训方课件)
无 应 力 集 中 的 光 滑 试的 持 久 极 限 件
2、 —— 尺寸系数：
大 尺 寸 光 滑 试 件 的 持限 久 光滑小试件的持久限
( r )
r
3、 —— 表面质量系数：
构件持久限
光滑试件持久限
( r ) ( r )d
如果循环应力为剪应力，将上述公式中的正应力换为剪应力即可。
当 : b 900MPa 时， 1.25 K
当 : b 920MPa 时， 应用直线插值法
1.28 1.25 K 1.25 (920 900) 1.26 100 900
由表查尺寸系数
0.81
§16－5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 一、对称循环的疲劳容许应力:
2、裂纹尖端严重的应力集
中促使微观裂纹逐渐扩展， 形成宏观裂纹。 3、裂纹尖端一般处于三向拉 应力状态，不易出现塑性变 形，当裂纹扩展到一定限度
时，将会骤然迅速扩展，使
构件截面严重削弱，从而发 生突然脆性断裂。
§16－2
交变应力的几个名词术语 一、循环特征： min ; ( min max ) max r max ; ( max min ) min
第十六章
§16–1 概述
交变应力
§16–2 交变应力的几个名词术语
§16–3 材料持久限及其测定
§16–4 构件持久限及其计算 §16–5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 §16–6 非常温静载下,材料力学性能简介
§16－１ 概 述 一、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化，这 种应力称为交变应力。
P
P
折铁丝
二、交变应力下，构件产生疲劳破坏，疲劳破坏的特点:
2、 —— 尺寸系数：
大 尺 寸 光 滑 试 件 的 持限 久 光滑小试件的持久限
( r )
r
3、 —— 表面质量系数：
构件持久限
光滑试件持久限
( r ) ( r )d
如果循环应力为剪应力，将上述公式中的正应力换为剪应力即可。
当 : b 900MPa 时， 1.25 K
当 : b 920MPa 时， 应用直线插值法
1.28 1.25 K 1.25 (920 900) 1.26 100 900
由表查尺寸系数
0.81
§16－5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 一、对称循环的疲劳容许应力:
2、裂纹尖端严重的应力集
中促使微观裂纹逐渐扩展， 形成宏观裂纹。 3、裂纹尖端一般处于三向拉 应力状态，不易出现塑性变 形，当裂纹扩展到一定限度
时，将会骤然迅速扩展，使
构件截面严重削弱，从而发 生突然脆性断裂。
§16－2
交变应力的几个名词术语 一、循环特征： min ; ( min max ) max r max ; ( max min ) min
第十六章
§16–1 概述
交变应力
§16–2 交变应力的几个名词术语
§16–3 材料持久限及其测定
§16–4 构件持久限及其计算 §16–5 对称循环下，构件的疲劳强度计算 §16–6 非常温静载下,材料力学性能简介
§16－１ 概 述 一、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化，这 种应力称为交变应力。
P
P
折铁丝
二、交变应力下，构件产生疲劳破坏，疲劳破坏的特点:
【材料力学】孙训方第五版2-5
1 FN ( x) dx 2
FN 2 ( x) dx ( x x dW 2 EA
dx
W
2014-8-20
L
内力为分 FN 2 ( x) dx 段常量时 2 EA
F N i2 Li W i 1 2 Ei A i
n
1
N（ x） F N( x )
三、 拉压杆的比能 v ： x
dx
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
16
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
FN 2 A2
FN 1
FN 2 α
y
A
x
1 1 A2 F2 120 106 2 12.74 10 4 1.732 3 176.7 103 N 176.7kN
B
T
T P / 3 11.55kN
C
3
（2) 钢索的应力为： A B 800 60° 60°
C
400
P 400
T 11 .55 10 9 151MPa A 76 .36
（3) C点位移为：
P C T 2 L 外载看成缓慢加载 2 2 EA T 2L C PEA 能量法：利用应变能的概念解决与结构物 11.552 1.6 或构件的弹性变形有关的问题，这种方法 20 177 76.36 称为能量法。 0.79mm
n－安全因数，n>1
1.25～2.5(塑性材料） 安全因数n ： 2.5～3.0（脆性材料）
2014-8-20
6
二、强度设计准则
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
材料力学第5版(孙训方编,高等教育出版社)第四章
FB
Fa l
AC段梁
FS(x)
M x
FSx FA
Fb l
0 x a
M x
FA x
Fb x l
0
x
a
第30页 / 共207页
材料力学 F
F
FS(x)
x
M x
如截面法，保留右侧梁， 计算更简便。
第四章 弯曲应力
Fb
Fa
FA l , FB l
CB段梁
FS x
Fb l
F
F
l
l
b
Fa a x l
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
第6页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲 以及特殊条件下的非对称弯曲）。
l
F l a x
l
第15页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力（参见课本P8）；梁的 横截面上作用在纵向平面内的 内力偶矩是与梁的弯曲相对应， 故称为弯矩。
第16页 / 共207页
体(图b)的平衡条件可知：
FS
FA
Fl
l
a,
M
FA x
Fl a
l
x
第13页 / 共207页
材料力学
第四章 弯曲应力
它们的指向和转向如图b中
材料力学第5版(孙训方编)第三章
A t dA T
即
G dj 2dA T dx A
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
单位 m4。它是横截面几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ
3. 作扭矩图
第三章 扭转
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
第三章 扭转
4.78
6.37
15.9
4.78
第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式
计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e}Nm
{P}kw 103 2π{n} r
60
9.55 103
{P}kw {n} r
m in
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的
情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
水轮发电机
第三章 扭转
§3-2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指 r0 的圆筒
10
Me
m
Me
材料力学(孙训方课件)
Pcr ( 1l )
2
L
(0.7 0.5)
2
40 .3kN
8 4 图（b） I min I z 3.89 10 m
图（a）
图（b）
Pcr
2 500 113 .6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200
( 2l )
Pcr 2
2 EI
(0.5 L) 2
2
2E
d 4
64 2
0.5 L
3 Ed 4
8 L2
（2）下端固定，上端自由，y为中性轴 （左右失稳） d 4 d 2 a 2 2E 2 2 4 2 EI y 64 Pcr 2 L2 2 L2
Pcr
128L （3）下端固定，上端自由， z为中性轴 （前后失稳） d 4 2E 2 2 EI z 3 Ed 4 64 Pcr 2 2 128L2 2 L 2 L
比较可知，（3）中为最小的临界载荷
3 Ed 2
2
d
2
4a 2
(2)
Pcr
(3)
例 12-2-4 铰接桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。 A 1.6m 解：(1)：平衡分析 N AB 临界力 B
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
cr a b
cr a b s
s a
2
L
(0.7 0.5)
2
40 .3kN
8 4 图（b） I min I z 3.89 10 m
图（a）
图（b）
Pcr
2 500 113 .6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200
( 2l )
Pcr 2
2 EI
(0.5 L) 2
2
2E
d 4
64 2
0.5 L
3 Ed 4
8 L2
（2）下端固定，上端自由，y为中性轴 （左右失稳） d 4 d 2 a 2 2E 2 2 4 2 EI y 64 Pcr 2 L2 2 L2
Pcr
128L （3）下端固定，上端自由， z为中性轴 （前后失稳） d 4 2E 2 2 EI z 3 Ed 4 64 Pcr 2 2 128L2 2 L 2 L
比较可知，（3）中为最小的临界载荷
3 Ed 2
2
d
2
4a 2
(2)
Pcr
(3)
例 12-2-4 铰接桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。 A 1.6m 解：(1)：平衡分析 N AB 临界力 B
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
cr a b
cr a b s
s a
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22
N22 A22
27.5103 0.4 0.4
1.719105 Pa
2
G2
400 2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、斜截面上的应力：
P
P
P
α
Nα
N P
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
P
α
pα
p
N A
P A
P cos cos
解：N AC
NBC
P 2 cos30o
20 2 3
11.55kN
NAC
根据强度条件：
2
A
B
NBC 30° 30°
AC
BC
N AC
d 2
C
d 9.3mm
P
C
4
P
第三节 强度计算
例题3 图示为钢木结构，AB为木杆：AAB=10×103mm2， [σ]AB=7MPa；BC为钢杆：ABC=600mm2， [σ]BC=160MPa；求B点 可吊起的最大荷载P。
A
cos
σα
P
α
pα
τα
p p
cos cos cos cos2 sin cos sin sin 2
2
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
讨论：
cos2
2
sin 2
0o 45o 90o
内力在横截面上的分布集度
N
A
单位：
帕斯卡 Pa （=N/m2）
常用单位： MPa=106 Pa GPa=109 Pa
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2、正应力的符号规定：
当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之
为负（压应力）
例题3 如图所示正方形截面的梯形柱，柱顶受轴向压力P作用，上
T
n
纯弯曲
M
M
第二章 轴向拉伸和压缩
主讲教师：郑新亮
2020年2月29日星期六
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最 简单的一种变形形式。
1、工程实例
拉杆
P 压杆
P
P
第一节 轴向拉伸与压缩的概念及实例
2、轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合
第一章 绪论
主讲教师：郑新亮
2020年2月29日星期六
第一节 材料力学的任务
在保证构件既安全又适用的 前提下，最大限度的发挥材料的 经济性能，为构件选择适当的材 料，设计合理的截面形状和尺寸。
材料力学：研究构件的承载能力
第一节 材料力学的任务
* 承载能力：构件承受荷载的能力
几个方面来考虑： ·强 度: 构件具有足够的抵抗破坏的能力 ·刚 度: 构件具有足够的抵抗变形的能力 ·稳定性: 对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态
0.0625mm
第四节 拉、压杆件的变形
3、内力正负号的规定
N
N
同一截面位置处左、右两侧截面上的内力必须具有相 同的正负号
符号规定：
轴力以拉力为正，压力为负（离开截面为正，反之为 负）
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题1 求图示各截面内力
1
2
6kN
18kN
8kN
3
4kN
1
2
3
6kN
N11
6kN
18kN
N22
6kN
18kN
8kN N33
解：
X 0
N11 N 22
60 18 6
0
N33 8 18 6 0
N11 6kN
N
22
12kN
N33 4kN
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
3、轴力图
反映轴力与截面位置关系的图线
例题2 画出图示杆件的轴力图
第一节 材料力学的任务
* 失效:由于材料的力学行为而使 构件丧失正常功能（承载能力） 的现象
几个方面来考虑：
·强 度：不因发生断裂或塑性变形而失效 ·刚 度：不因发生过大的弹性变形而失效 ·稳定性：不因发生因平衡形式的突然转变而失效
第一节 材料力学的任务
1.强度问题
第一节 材料力学的任务
强度失效
第一节 材料力学的任务
2.刚度问题
第一节 材料力学的任务
刚 度 失 效
第一节 材料力学的任务
3.稳定性问题
1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、 总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，5人死亡、
7人受伤 。
地面未夯实，局部杆受力大； 横杆之间的距离太大 2.2m>规定值1.7m; 与墙体连接点太少； 安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。
2、所有横向线均保持为直线，仍与变形后的纵向线垂直
根据实验，假设：
1、受拉杆件是由无数纵向纤维组成，各纤维伸长相等， 得出：横截面上各点处正应力相等。
2、变形后的横向线仍保持为直线，—变形后横截面仍保 持为平面（平截面假设）。
第二节 受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
横截面上的应力分布：
F
σ
1、正应力的概念：
75MPa
3
2
N2 A2
20 103 200 106
100MPa
max 2 100MPa
第四节 拉、压杆件的变形
3P
3P
P
P
L1
L2
L3
（3）
DL DL1 DL2 DL3
N1L1 N2L2 N3L3 EA1 EA2 EA3
2 (10)103 250103 20103 250103 200109 200106 1.5 200109 200106
,max
2
0
0
,max
2
0
第三节 强度计算
对于某一种材料，应力的增加是有限度的，超
过某一限值材料就会丧失承载能力。
轴向拉压杆的最大正应力：
max
Nmax A
强度条件：
max
Nmax A
式中： max 称为最大工作应力
工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据 实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和缩短量与 杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
（绝对）变形量： DL L1 L
DL NL A
DL NL EA
E：弹性模量（GPa） EA：抗拉（或抗压）刚度
令
DL L
N
A
E 虎克定律3P3PPPL1L2
解：（1）
L3
取分离体分别求出各段轴力
y （-）
20kN （+）
（-）
N1 N3 P 10kN N2 2P 20kN
x
10kN
10kN
第四节 拉、压杆件的变形
3P
3P
P
P
L1
L2
L3
（2）
1
N1 A1
N1 A2 1.5
1.5 (10)103 200 106
第四节 拉、压杆件的变形
P
P
L
d
P
P
d1 L1
纵向变形量：DL L1 L 横向变形量：Dd d1 d
纵向线应变： DL
L
横向线应变： ' Dd
d
令： ' λ：材料泊松比
第四节 拉、压杆件的变形
例题1 图示拉压杆。已知： P=10kN，L1=L3=250mm，L2=500mm， A1=A3=A2/1.5，A2=200mm2，E=200GPa。求：（1）试画出轴力图； （2）计算杆内最大正应力；（3）计算全杆的轴向变形。
第三节 外力、内力、应力的概念
1 外力：周围物体对所研究的构件施加的作用力
第三节 外力、内力、应力的概念
2 内力：弹性体受力后，由于变形，其内部各点均 会发生相对位移，因而产生相互作用力。
第三节 外力、内力、应力的概念
弹性体内力的特征:
(1)连续分布力系 (2)与外力组成平衡力系
第三节 外力、内力、应力的概念
P
3P 70kN
2P 96kN
P 40.4kN P 48kN
P 40.4kN
第四节 拉、压杆件的变形
P
P
L
P
P
L1
工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据 实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和缩短量与 杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
第四节 拉、压杆件的变形
稳定失效
第一节 材料力学的任务
疲劳失效 — 由于交变应力的作用,初始裂 纹不断扩展而引起的脆性断裂
松弛失效 — 在一定的温度下,应变保持不 变,应力随着时间增加而降低,从而导致构件 失效
第二节 变形固体的基本假设
机械或结构中的各种构件，都是由各 种材料制成的，由这些材料组成的固体 ，在外力作用下，都会发生形状及尺寸 的改变，即变形。
3.应力:内力在一点的分布集度。即单位
面积上的内力
P1