幅角原理

2）设b是f的m级极点，则b必是 的一级极点，且 .
证：由所设，1）在 的某个领域内，有 .其中 在 的领域内解析，且 .
即 ,由 在 点解析便知： 是 的一级极点，且 .
2)由所设在 的某去心领域内，有 ,其中 在 的某去心领域内解析，且 ,于是 .
由于 在 点解析,故 为 的一级极点，且
定理6.1设 为围线， 满足1） 在 内除可能极点外解析;
2） 在 上解析，且不取零，则
.
（其中 与 分别表示 在 内部零点个数与极点个数几级算几个）
证明：（1）由已知条件知， 在内至多只能有有限个零点与有限个极点，设 为 在 内部不同的零点，其级分别为 ， 为 在 内部不同的极点，其级分别为 ，由引理知， 在 上解析。在 内部除了一级极点， 与 处均解析.由留数定理，得
（2.）令 ，则
所以 = = =
推论：若 在 内部解析，则
注:辐角原理中的条件2）可减弱为： 连续到 上，且 在 上
例8：设 ： 试验试辐角原理
解： 满足辐角原理条件。又
3.儒歇定理
定理6.2Hale Waihona Puke Baidu 为围线， 与 满足：1）它们在 内解析，且连续到 ，
2）在 上 ，则
证明：由已知条件， 与 都在 内部解析，且连续到
6.证明方程 的所有根都在圆环 内。
教学后记
（一）授课思路（三）讲解要点及各部分具体内容：
一幅角原理
1.亚纯函数
定义1设 在区域内除了有极点外处处解析，则称为亚纯函数
例如，有理函数，
全纯函数可看作亚纯函数的特例。
引理1，设 在环线 上解析且不为零，在 内部亚纯，则 在 内部只有有限个零点与极点。
引理2.设a为f的n级零点，则 必是 的一级极点，且
授课题目
§3幅角原理及其应用
授课类型
理论课
首次授课时间
2009年12月10日
学时
2
教学目标
掌握复变函数积分的概念,积分存在的条件及积分计算法和性质.
重点与难点
重点：复变函数积分存在的条件及其计算法和性质.
难点：复变函数计算法和性质.
教学手段与方法
黑板
讲授
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
证明它的全部零点在左半平面Rez<0内
3.设 内解析，且 ，证明 在 内必有不动点。
4.证明： 在右半平面恰好有一个根。
5n次方程(p(z)=)a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）
在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根
首先证明存在R>0，方程在圆|z|<R内恰有n个根
其次证明，对z0 |z0|=R0≥R，均有|p(z0)|>0
在 上， ，
要证明 即可
但
故只要证明
记 ，它把 变为 平面上曲线
但 故 不会绕平面原点 .
从而
例9：求 在内根个数
解：设 ，则它们在 内解析连续到 ： ，在 上，
由儒歇定理，
例10：判断 在 有几个根
解：设 ， ，
1设 ，求
2设n次多项式p(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）
在虚轴上没有零点， ， 为虚轴上从 指向 的路径，