全国高中物理竞赛几何光学训练题答案

【训练题答案】

1、两块平面镜宽度均为5=L cm ，相交成角︒=12α，如图（a ）所示，构成光通道。两镜的右端相距为2=d cm ，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。试问入射光线与光通道的轴成的最大角度m ax ϕ为多少，才能射到光接收器上？

解：从最大角度射入的光线应当与光接收器表面相切。为了简化解题，可以讨论入射光线在两块平面镜之间未经受多次反射就通过平面镜系统的情况。

如图（b ）所示，由三角形AOC 得到光接收器圆柱形表面的半径 2

sin

2α

d r L =

+

L d r -=

2

sin

2α

由于平面镜的反射不会影响到光线到接收器圆心的垂直距离，故可以不考虑多次反射的情况。

从三角形ABO 中可以知道

477.02

sin 21sin =-=+=

αβd L r L r 故 ︒=5.28β

于是 ︒=+=5.342max αβϕ

2、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角

︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜

面经多次反射后而不再与镜面相遇。设两镜面足够大，

1=CO m 。试求：

（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b ）。设光线第一次在平面镜B 上发生反射时，CD 为入射光线，DE 为反射光线，又设图中的A 为平面镜A 关于OB 的对称镜面，则图中E D '

图（a ） 图（b ）

图(a)

与DE 也关于OB 对称，即DE E D ='。

又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C 、D 、E '三点在同一直线上，且E D '对平面镜1A 的入射角等于DE 对平面镜A 的入射角。

因此光线由E D C --所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D 处不发生反射而沿直线前进至镜面1A 上的情况来代替。对于E 点反射后的光线EF ，通过同样的分析也可用F E ''来代替，其中平面镜1B 为平面镜B 关于1A 的对称镜面，F '为直线

CD 与平面镜1B 的交点。

显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。 根据以上分析，我们自OB 出发，每隔α角画一块对称镜面，如图（c ）所示。令其自OB 镜面起，依次为第1、第2、…第n 、第)1(+n 块镜面，再做射线CD ，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n 块，其交点K ，则有 αn AOK =∠

这样得出的图的意义是：CD 射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB 两镜面间反射一次，在K 点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第)1(+n 块镜面相遇，即光线此后将在AB 两镜面间平行于某一镜面向外射出。

由图可见，由于第n 块镜面与CD 射线相交，而第)1(+n 块镜面与CD 射线不相交，故

n 值应满足关系式是

βαβα++≤︒<+)1(180n n 所以 1180+≤-︒<

n n α

β

（*）

（1）根据（*）式结合本题所给的条件有

10180=-︒α

β

故得9=n ，即光线自C 点出发后，还将分别在A 、B 镜面上总共发生9次反射，这样便可确定其最后一次反射是发生在平面镜B 上。

（2）光线自C 点出发至最后一次在B 镜面上发生发射，所经历的总路程长等于图中CK 的长度。在图中OCK ∆中，有

图（b ）

E A

图（c ） B

A

︒==∠135αn COK ︒=--︒=∠15180αβn CKO

以θ表示CKO ∠，由正弦定理有

)

sin(sin αθn CK

OC = 73.22

3222sin )

sin(=-

=

⋅=

θ

αn CO CK （m ）

光线由C 至K 所经历的时间即为光线由C 出发，在A 、B 间多次反射至最后一次在B 镜面上反射所经历的总时间，即

98101.910

373

.2-⨯=⨯==

c CK t （s ）

3、在半径2=R m ，孔径5.0=d m 的凹面镜的焦点位置上，放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能到达该圆形屏幕。试求圆形屏幕直径。

解：对凹面镜的所有近轴光线，经凹面镜反射后都将会聚于啊凹面镜的焦点上，显然，本题中的平行于主轴的光线不能看成近轴光线。

如图（a ）所示，O 为凹面镜的曲率中心，F 为其焦点，h 表示凹面镜孔径之半。过P 点的平行于主轴的光线反射后交主轴于1F 点，则

2

cos 21

1R

R OF OF FF -=-=α 在直角三角形FQ F 1中，应用小量近似，可得

2

32

1122

sin )cos 1(sin 2sin 2

sin 2sin )2

cos 2(2sin 2tan R h R R R

R R

R FF FF x ≈⋅

=-=-=-=≈=ααααα

ααααα

将数值代入后可得95.1=x mm 。因此，圆形屏幕直径为3.9mm 。

4、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？

F O Q

1F P α2 α

h

α 图（a ）