全国高中物理竞赛几何光学训练题答案

【训练题答案】1、两块平面镜宽度均为5=L cm ，相交成角︒=12α，如图（a ）所示，构成光通道。

两镜的右端相距为2=d cm ，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。

试问入射光线与光通道的轴成的最大角度m ax ϕ为多少，才能射到光接收器上？解：从最大角度射入的光线应当与光接收器表面相切。

为了简化解题，可以讨论入射光线在两块平面镜之间未经受多次反射就通过平面镜系统的情况。

如图（b ）所示，由三角形AOC 得到光接收器圆柱形表面的半径 2sin2αd r L =+L d r -=2sin2α由于平面镜的反射不会影响到光线到接收器圆心的垂直距离，故可以不考虑多次反射的情况。

从三角形ABO 中可以知道477.02sin 21sin =-=+=αβd L r L r 故 ︒=5.28β于是 ︒=+=5.342max αβϕ2、如图（a ）所示，两平面镜A 和B 的镜面分别与纸面垂直，两镜面的交线过图中的O 点，两镜面间夹角为︒=15α，今自A 镜面上的C 点处沿与A 镜面夹角︒=30β的方向在纸面内射出一条光线，此光线在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。

设两镜面足够大，1=CO m 。

试求：（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？ （2）光线自C 点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？ 解：首先就一般情况进行讨论，如图（b ）。

设光线第一次在平面镜B 上发生反射时，CD 为入射光线，DE 为反射光线，又设图中的A 为平面镜A 关于OB 的对称镜面，则图中E D '图（a ） 图（b ）图(a)与DE 也关于OB 对称，即DE E D ='。

又由光的反射定律和图中的对称关系容易得出：C 、D 、E '三点在同一直线上，且E D '对平面镜1A 的入射角等于DE 对平面镜A 的入射角。

因此光线由E D C --所经过的路径和它将进一步发生反射的情况，可以用光线在D 处不发生反射而沿直线前进至镜面1A 上的情况来代替。

对于E 点反射后的光线EF ，通过同样的分析也可用F E ''来代替，其中平面镜1B 为平面镜B 关于1A 的对称镜面，F '为直线CD 与平面镜1B 的交点。

显然，对于以后的各次反射，我们按照上法依次类推下去，其等效关系都能照样成立。

根据以上分析，我们自OB 出发，每隔α角画一块对称镜面，如图（c ）所示。

令其自OB 镜面起，依次为第1、第2、…第n 、第)1(+n 块镜面，再做射线CD ，使其依次与所有可能相交的镜面相交，设其相交后的最后一块镜面为第n 块，其交点K ，则有 αn AOK =∠这样得出的图的意义是：CD 射线与每一块镜面相交一次，则相当于光线在AB 两镜面间反射一次，在K 点相当于发生最后一次反射，此后的光线不再与第)1(+n 块镜面相遇，即光线此后将在AB 两镜面间平行于某一镜面向外射出。

由图可见，由于第n 块镜面与CD 射线相交，而第)1(+n 块镜面与CD 射线不相交，故n 值应满足关系式是βαβα++≤︒<+)1(180n n 所以 1180+≤-︒<n n αβ（*）（1）根据（*）式结合本题所给的条件有10180=-︒αβ故得9=n ，即光线自C 点出发后，还将分别在A 、B 镜面上总共发生9次反射，这样便可确定其最后一次反射是发生在平面镜B 上。

（2）光线自C 点出发至最后一次在B 镜面上发生发射，所经历的总路程长等于图中CK 的长度。

在图中OCK ∆中，有图（b ）E A图（c ） BA︒==∠135αn COK ︒=--︒=∠15180αβn CKO以θ表示CKO ∠，由正弦定理有)sin(sin αθn CKOC = 73.223222sin )sin(=-=⋅=θαn CO CK （m ）光线由C 至K 所经历的时间即为光线由C 出发，在A 、B 间多次反射至最后一次在B 镜面上反射所经历的总时间，即98101.910373.2-⨯=⨯==c CK t （s ）3、在半径2=R m ，孔径5.0=d m 的凹面镜的焦点位置上，放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能到达该圆形屏幕。

试求圆形屏幕直径。

解：对凹面镜的所有近轴光线，经凹面镜反射后都将会聚于啊凹面镜的焦点上，显然，本题中的平行于主轴的光线不能看成近轴光线。

如图（a ）所示，O 为凹面镜的曲率中心，F 为其焦点，h 表示凹面镜孔径之半。

过P 点的平行于主轴的光线反射后交主轴于1F 点，则2cos 211RR OF OF FF -=-=α 在直角三角形FQ F 1中，应用小量近似，可得2321122sin )cos 1(sin 2sin 2sin 2sin )2cos 2(2sin 2tan R h R R RR RR FF FF x ≈⋅=-=-=-=≈=αααααααααα将数值代入后可得95.1=x mm 。

因此，圆形屏幕直径为3.9mm 。

4、有一只厚玻璃缸，底厚5cm ，内盛4cm 深的水，如图（a ）所示。

已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。

如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？F O Q1F P α2 αhα 图（a ）解：所谓的“竖直向下看”，可以理解成小角度的折射，这是一个重要的条件。

在图（b ）中，从缸底A 点发出一条光线经过F 、E 向J 方向射出，入眼观察后感觉A 点在D 处，人看到缸底下表面离水面的距离就是KD CK CD +=。

过F 做JD 的平行线FH ，有KLD ∆≌BFH ∆，BH KD =， 所以 BH IL CD += ①因为当时θ很小时，有θθsin tan =，而α、β、γ都很小，所以在ILE ∆，有 ααsin tan IE IE IL == ② 在IFE ∆中，有ββsin tan IE IE IF == ③ 由②、③式可得水n IF IFIL ==αβsin sin ④ 在BHF ∆中有 ααsin tan BF BF BH == ⑤ 在BAF ∆中有 γγsin tan BF BF BA == ⑥ 由⑤、⑥式可得玻璃n BA BA BH ==αγsin sin ⑦ 将④⑦式代入①式，可得)cm (4.36.8163.314BA =+=+=）（玻璃水n n IF CD5、（第十七届全国中学生物理竞赛预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板H ，厚3.0 cm ，折射率 1.5n =。

在其下表面下2.0 cm 处有一小物S ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L ，其焦距30cm f =，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S 位于透镜的主轴上，如图（a ）所示。

若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S 的像就在S 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?解：物体S 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。

设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A 和B ，S 作为物，通过玻璃板H 的下表面折射成像于点1S 处，由图（b ），根据折射定律，有sin sin n i n r '=式中 1.0n '=是空气的折射率，对傍轴光线，i 、r 很小，sin tan i i ≈，sin tan r r ≈，则AD ADn SA S A= βα 图（b ）BHFCI水玻璃Ey AJK L D 图（a ）式中SA 为物距，1S A 为像距，有1S A nSA = （1） 将1S 作为物，再通过玻璃板H 的上表面折射成像于点2S 处，这时物距为11S B S A AB =+．同样根据折射定律可得像距 12S BS B n=（2） 将2S 作为物，通过透镜L 成像，设透镜与H 上表面的距离为x ，则物距2u x S B =+．根据题意知最后所成像的像距()v x SA AB =-++，代入透镜成像公式，有2111fx S B x SA AB -=+++ （3）由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得1.0cm x = （4） 即L 应置于距玻璃板H 上表面1.0 cm 处。

6、如图所示，全反射棱镜上方6cm 处放置一物体AB ，棱镜直角边长为6cm ，棱镜右侧10cm 处放置一焦距的101=f cm 的凸透镜，凸透镜右侧15cm 处再放置一焦距为102=f cm 的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率（全反射棱镜的折射率1.5n =）。

解：物体AB 经斜面全反射，在它的右侧成像，但像的位置却不能根据平面镜成像的特点确定，因光线经直角面时均要发生折射。

对斜面来说，它看到的物体AB 离三棱镜上侧直角面的距离1369(cm)2h nh ==⨯= 经棱镜斜面成的像在棱镜的右侧（垂直于图中主轴），离右侧直角面的距离应为 13315(cm)l h =++=但对棱镜右侧的凸透镜来说，它看到的像离棱镜右侧直角面的距离应为视深2h ，即151.510(cm)h l h ===图（b ）6cm6cm10cm 15cm AB︒45︒45所以对凸透镜来说)cm (20cm )1010(1=+=u 由凸透镜成像公式111111f v u =+ 得 cm 201=v 则对凹透镜来说215(cm)u d v =-=- 由成像公式222111f v u =+ 得 210cm v =结果表明最后的像成在凹透镜右侧距离凹透镜10cm 处，为倒立实像。

最后像的放大率为1212||||2v vm u u =⋅=。

7、球形介质中物体的视深会发生变化。

有一个直径为8cm 的实心玻璃球内有一个小气泡，当观察者沿着气泡和球心连线的方向观看时，气泡似距球面2cm ，那么气泡和球面的实际距离是多少呢？（玻璃的折射率 1.5n =）解：如图所示。

设气泡位置在P 点，气泡发出的光线经D 点折射后射入人眼。

因为人是沿着气泡和球心连线的方向观看，所以α，β，i ，r ，θ角都很小。

入射角i βθ=-，折射角r αθ=-，气泡的视深CP '。

1sin sin i i n r r βθαθ-===- 因为 sin BD BDP D P C αα==='' sin BD BDPD PC ββ=== sin BDODθθ==所以1BD PC BD OD n BD P C BD OD-='-P ' α P β CBθ Ori D解得 2.4(cm)(1)n OD P CPC OD P C n '⋅⋅=='+-8、(第十九届全国中学生物理竞赛复赛）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为1n 和2n ，则透镜两侧各有一个焦点（设为1F 和2F ），但1F 、2F 和透镜中心的距离不相等，其值分别为1f 和2f 。