高一数学 函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数的奇偶性定义：

1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．

2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．

二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；

3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；

4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；

)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；

5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：

奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）

偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）

奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单

调递增。）

偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系

(1)若奇函数f(x)在[a ，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上是增函数，且有最小值－M.

(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性

如果函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于直线⑮______对称．

一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的对称轴方程是⑯______. 两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b

a x +=对称. 2、函数的周期性

函数的周期性的定义：设函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在非零常数T ，使得对任意的x ∈D 都有⑰________，则函数

f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

(3)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈N ＋)也一定是f (x )的周期． 若函数f (x )对定义域中任意x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝－

1

f x

(a ≠0)，则函数f (x )是

周期函数，它的一个周期是⑱________.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点

)0,2

(a

对称; 六、函数的奇偶性的判断

函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：

（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查()f x -是否与()f x -、)(x f 相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；

若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系)()(x f x f ±=-怎样成立？

若)()(x f x f =-成立，则为偶函数；若)()(x f x f -=-成立，则为奇函数；

若)()(x f x f ±=-成立，则为既是奇函数也是偶函数；若)()(x f x f ±=-都不成立，则为非奇非偶函数。

2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．

3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其

对称区间上的性质．

4．若T 是f (x )的一个周期，则kT (k ≠0，k ∈Z )也是f (x )的周期．

5．(1)若函数f (x )存在两条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数；若函数f (x )具有奇偶性，又

有一条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用．

（2）、图像法：

f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）

（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 （4）、性质法

（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：

1)若f (x )与g (x )都是奇函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上， f (x )＋g (x )，f (x )－g (x )都是奇函数，f (x )·g (x )与

f x

g x

为偶函数． 2)若f (x )与g (x )都是偶函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上，