最短路径问题梳理

常见路径最值模型梳捋
按照路径最值问题的构成或解答方式分组。
模型组一
1 两点一线异侧和最小值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最 小． 问题解决：
结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．
模型组一
2. 两点一线同侧和最小值问题 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值 最小． 问题解决：
(分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通 过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型)
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´， 使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此 时
AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a
ห้องสมุดไป่ตู้
模型组三
解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于 点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
理由：由轴对称的性质知AP=A′P， 要使AP+PQ最小， 只需A′P+PQ最小，从而 转化为拓展模型1
模型组二
3. “胡不归”问题 基本模型：两定一动，动点在定直线上
问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点， P为直线l上一动点，要使 AP＋BP最小．
模型组四
2.异侧差最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－
PB|的值最小． 问题解决：
A▪
B▪
结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.
模型组四总结：
所求问题为两线段之差绝对值最小的问题，解决方式 为作 中垂线找交点。
所求问题为有公共端点的线段之和最小，解决方式 为连接 或作对称点后再连接。
模型组二
1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上 找一点Q，使 AP+PQ的值最小.
解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相 交于点P，此 时，AP+PQ最小；
模型组二
2. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线 OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.
模型组一
4. 两定点与两条直线上两动点问题 问题：点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点 C，使得四边形PQDC周长最小． 问题解决：
结论：将问题转化为上一种类型即可，PC＋CD＋ DQ的最小值为线段P’Q’长，则四边形PQDC的周长 的最小值为P’Q’＋PQ的值．
模型组一总结：
此类题的解题步骤： 第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等 于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)； 第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形； 第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用 “垂线段最短”找到最小值的位置．
模型组二总结：
所求问题为一定点，两动点的两线段之和，解决方式 为作 垂线段或作对称点后再作垂线段。
结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．
模型组一
3. 一定点与两条直线上两动点问题 问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C， 使得△PCD周长最小． 问题解决：
结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长 最小为线段的长．
3. 已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a
(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
将军遛马
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点 关于l的对称点，转化为上述模型
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l 的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B 交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段 PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为 A´´B+AB+PQ，即A´´B+AB+a
模型组三总结：
所求问题为无公端点线段之和的最小值问题， 解决方式 为平移或作对称点后再平移。
模型组四
1.同侧差最小值问题 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－ PB|的值最小． 问题解决：
结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.
模型组三
1. 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m 上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直） 要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得 AP+PQ+BQ最小
将军过桥
模型组三
2.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为 定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
模型组五
1. 同侧差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 问题解决：
结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB， 则|PA－PB|的最大值为线段AB的长．
模型组五
2.异侧差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB| 的值最大． 问题解决：
理由．
自练：
如图，已知抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于 C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个
最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于 点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相 似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理
（1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个
最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴 于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明
由．
结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.
模型组五总结：
所求问题为两线段之差绝对值最大，解决方式 为延长相交 或作对称点后再连接延长。
自练：
如图，已知抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于 C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．