海南高考真题 数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）理科数学第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--，（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（A ）{}1 （B ）{12}，（C ）{}0123，，， （D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2nm （C ）4m n（D ）2mn（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A（B ）32（C（D ）2（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： （15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；（II）求数列{}b的前1 000项和.n18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=.（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.(I)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F. (I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B 两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.（I）求M；（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案 1.【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．2.【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．3.【解析】D ()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--= 解得8m =， 故选D ．4.【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-， 故选A ．5.【解析】B E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法 故选B ．6.【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． 由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．7.【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．8.【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=， 第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ．9.【解析】D ∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．10.【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中， 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．11.【解析】A 离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F M e MF MF F F ===---A ．12.【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +='=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．13.【解析】2113 ∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin baB A =解得2113b =．14.【解析】②③④15.【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），16.【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ）()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．三.解答题17.（本题满分12分）【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=18.（本题满分12分）试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.850.300.051.23EX a a=⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.2319.（本小题满分12分）试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH D O +=+==， 故'D H OH ⊥.又'D H EF ⊥，而OH EF H ⋂=， 所以'D H ABCD ⊥平面.By（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()'3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则'n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n=-.于是cos ,2550m n m n m n⋅<>===， 295sin,25m n <>=.因此二面角'B D A C --20.（本小题满分12分）试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （II ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk -=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233ktk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<.因此k 的取值范围是)2.21.本小题满分12分）试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a+单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e22.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆ 则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=23.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||AB =得23cos ,tan 8αα==， 所以l的斜率为3或3-.24.试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+。