专题 椭圆中的定点、定值问题

椭圆中的定点、定值问题

椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思想运用常见题型．

例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P 1(1，1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝

⎛⎭⎪⎫1，32四点中恰有三点在椭圆C 上．

(1) 求C 的方程；

(2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．

例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝

⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；

(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

思维变式题组训练

1. 已知椭圆E ：x 2

a

2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为M (0,1)，两条过M 的动弦MA ，MB 满足MA ⊥MB .对于给定的实数a (a >1)，动直线AB 是否经过一定点？如果是，求出定点坐标(用a 表示)；反之，请说明理由．

2. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12

，右准线方程是直线l ：x ＝4，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B (点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方)．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) ① 求证：分别以PA ，PB 为直径的两圆都恒过定点C ；

② 若AC →＝12

CB →，求直线PC 的方程．

例3已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32

，点A (a,0)，B (0，b )，C (0,0)，△OAB 的面积为1.

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 设P 为椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：AN ·BM 为定值．

例4已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)．

(1) 求圆M 的方程；

(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR

为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．

思维变式题组训练

1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．

(1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；

(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CE OA 2

为定值．

2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22

，椭圆的右顶点为A .

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．