精品推荐：应用基本不等式求最值解题模板

应用基本不等式求最值的解题模板

【考点综述】

基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【解题方法思维导图预览】

【解题方法】

解题方法模板一：配凑法

使用情景：某一类函数的最值问题

解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；

第二步使用基本不等式对其进行求解即可；

第三步得出结论.

解题模板应用： 例1 已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 【答案】1 【解析】 解题模板选择：

本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答. 解题模板应用：

第一步 配凑（凑项、凑系数等）成符合条件的不等式；

第二步 使用基本不等式对其进行求解；

当且仅当1x =时取等号 第三步 得出结论： 函数14245

y x x =-+-的最大值为1 练习

1. 已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B 【解析】

原式可化为：2

2

()1313(

)2

x y x y xy ++=+≤+，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.

2. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611

a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25

C ．36

D ．49

【答案】A 【解析】 由

111a b +=得：(1,1)1

a b a b a =>>-，代入416

11a b +--得到：

416416416(1)16

11111

1

a a a

b a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1

a a --即3

2a =时取等号.

故选：A

3. 已知正实数,a b 满足1a b +=，则

11b a b ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的最小值是（ ） A ．

11

2

B ．5

C

．2+

D

．3+

【答案】C 【解析】

解：22222111()22(222)()2

b b a b b a ab ab

b a

b ab ab ab

ab

++++++

+===

=，

当且仅当a =时取等号，即2a =-1b =-时等号成立，

故选：C ．

4. 已知21(0,0)a b a b +=>>，则21

b a

b

+的最小值等于________． 【答案】2 【解析】 解：由题意得

212222222

2b b

a b b a b a a b a b a b a b

++=+=++⋅+=

+

，当且仅当1a ==-时等号成立，所以

21

b a b

+的最小值为2． 故答案为：2 5. 已知04x <<，则414x x

+-的最小值为______． 【答案】94

． 【解析】

4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x x

x x

-=-，解得128

8,3x x ==

，又因为04x <<，所以83

x =时等号成立．

故答案为：9

4

．

解题方法模板二：分离法

使用情景：二次关系的分式函数的最值问题

解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；

第二步将其化简即可得到基本不等式的形式，

第三步并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.

解题模板应用：

例2 求

2710

(1)

1

x x

y x

x

++

=>-

+

的最小值。

【答案】9

【解析】

解题模板选择：

本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答.

解题模板应用：

第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；

第二步，将其化简即可得到基本不等式的形式，

第三步，运用基本不等式得出结论：

当且仅当1

x=时取等号

所以最小值为9

练习

1. 实数x 、y ，1x >-，且满足3xy y x +=-+ ，则x y +的最小值是（ ） A ．1 B

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】

3xy y x +=-+，()4134

11

11

x x y x x x -+-∴==

=-+++，

1x >-，10x ∴+>，()

44

1122211

x y x x x x ∴+=-+

=++-≥=++， 当且仅当1x =时，等号成立，因此，x y +的最小值是2. 故选：C.

2. 已知0x >，1y >-，且1x y +=，则22

31

x y x y +++最小值为

__________． 【答案】2+ 【解析】

22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛

⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

， 结合1x y +=可知原式31

1

x y =

++， 且

()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤

⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦

1422⎡≥+=⎢⎢

⎣

当且仅当32x y ==-.

即22

31

x y x

y +++最小值为2. 3. 已知正实数,x y 满足2

11x x y y ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

，则1x y +的最小值为____________.

【答案】2