自考高等数学(工本)考试重点
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
专升本高等数学知识点汇总-知识归纳整理
专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）普通形式的定义域：x ∈Rcbx ax y b kx y ++=+=2（2） 分式形式的定义域：x ≠0xky =（3） 根式的形式定义域：x ≥0x y =（4） 对数形式的定义域：x ＞0x y alog =二、函数的性质1、函数的单调性当时，恒有，在所在的区间上是增加的。
21x x <)()(21x f x f <)(x f 21x x ，当时，恒有，在所在的区间上是减少的。
21x x <)()(21x f x f >)(x f 21x x ，2、 函数的奇偶性定义：设函数的定义区间对于坐标原点对称（即若，则有）)(x f y =D D x ∈D x ∈-(1) 偶函数——，恒有。
)(x f D x ∈∀)()(x f x f =-(2) 奇函数——，恒有。
)(x f D x ∈∀)()(x f x f -=-三、基本初等函数1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。
c y =),(+∞-∞x 2、幂函数：， (是常数)。
它的定义域随着的不同而不同。
图形过原点。
u x y =u u 3、指数函数知识归纳整理定义: ， (是常数且，).图形过（0,1）点。
x a x f y ==)(a 0>a 1≠a 4、对数函数定义: ， (是常数且，)。
图形过（1,0）点。
x x f y alog )(==a 0>a 1≠a 5、三角函数(1) 正弦函数: xy sin =， ， 。
π2=T ),()(+∞-∞=f D ]1,1[)(-=D f (2) 余弦函数: .x y cos =， ， 。
π2=T ),()(+∞-∞=f D ]1,1[)(-=D f (3) 正切函数: .x y tan =， ， .π=T },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π),()(+∞-∞=D f (4) 余切函数: .x y cot =， ， .π=T },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π),()(+∞-∞=D f 5、反三角函数(1) 反正弦函数: ，，。
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此文档下载后即可编辑《高等数学（工本）》考试重点第一章 空间解析几何与向量代数1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=2. 向量的投影3. 数量积与向量积：向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1︒z z y y x x b a b a b a ++=⋅ .2︒b a ⊥的充要条件是：0=⋅b a.3︒b a =∧)cos(向量的数量积公式：.1︒b a b a b a b a b a b a b b b a a a ix y y x z x x z y z z y zyxz y x)()()(-+-+-==⨯.2︒=ϕsin .3︒b a //的充要条件是0=⨯b a4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A =点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M点向式：nz z m y y l x x oo o -=-=-5. 二次曲面第二章 多元函数微分学6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式： .1︒),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.2︒设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===dxdvv z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=.3︒设0),,(=z y x FFzFy y z Fz Fx x z -=∂∂-=∂∂ 全微分公式：设),,(y x f z =dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=7. 复合函数与隐函数的偏导数8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数第三章 重积分10. 二重积分计算公式：.1︒⎰⎰=DkA kd σ（A 为D 的面积）.2︒⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(1212),(),(),(y y cd Dx x ba dx y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕσ.3︒⎰⎰⎰⎰=Drdr r r f d d y x f )()(12)sin ,cos (),(θϕθϕβαϑϑϑσ11. 三重积分计算公式：.1︒利用直角坐标系计算，Ω为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(2121 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx d z y x f σ.2︒利用柱面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===z y r y r x ϑϑsin cos⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(212121),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑϑϑr z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f.3︒利用球面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰=),(),(2)()(2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑϕβαϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr r r r r f d d12. 重积分的应用公式：.1︒曲顶柱体的体积：⎰⎰=Ddxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑.2︒设V 为Ω的体积：⎰⎰⎰Ω=dv V.3︒设∑为曲面),(y x f z =曲面的面积为σd f f S Dy x ⎰⎰++=221第四章 曲线积分与曲面积分 13. 对弧长的曲线积分 （1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则⎰⎰+=ba Ldx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()(则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdx t t t t f dl y x f L)()()](),([),(22（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为⎰=Ldl S 。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
专升本数学必考知识点总结
专升本数学必考知识点总结一、数列与数列的概念1.数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数，这组数之间有规律性，可表示为an，其中n为数列的项数，an表示第n个元素。
2.数列的分类常见的数列有等差数列、等比数列、等差-等比数列等。
其中，等差数列指的是相邻两项之间的差值是一个常数；等比数列指的是相邻两项之间的比值是一个常数；等差-等比数列指的是相邻两项之间即存在等差又存在等比。
3.数列的通项公式数列的通项公式是指通过一定的规律，找到数列中任意一项的表达式。
常见的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
4.数列的求和公式数列的求和公式是指通过一定的规律，求得数列中前n项和的表达式。
对于等差数列，求和公式为Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn为前n项和。
二、函数及图像的性质1.函数的概念函数是对于自变量的一种映射规律，通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数表达式。
2.函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、极值等。
奇函数指的是当自变量的正负发生变化时，函数值的正负也会发生变化；偶函数指的是当自变量的正负发生变化时，函数值不变。
周期性指的是函数具有重复性，其图像在一定的区间内具有重复的性质。
3.函数的图像函数的图像是表示函数的一种形象化表达，可以通过图像了解函数的性质和规律。
常见的函数图像有线性函数、二次函数、三次函数等。
4.函数的导数函数的导数是表示函数变化率的量，是刻画函数变化的重要工具。
函数f(x)在x点的导数为f'(x)，表示在x点的变化率。
三、极限及数列极限1.极限的概念极限是函数在某一点或无穷远处的性质，在数学中具有重要的应用。
通常表示为lim(f(x))=A，表示当x趋近于某一点时，函数f(x)的值趋近于A。
2.数列极限数列极限是指数列的变化规律，通常表示为lim(an)=A，表示当数列的项数趋近于无穷大时，数列的值趋近于A。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。
4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。
5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。
7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。
8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。
9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。
以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。
00023高等数学(工本)
00023 高等数学（工本）引言高等数学是一门基础性的数学课程，它的内容和方法贯穿于各个学科的研究中。
本文档将介绍高等数学的一些基本概念和方法，帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。
一、函数与极限1.1 函数的概念函数是数学领域中一种基本的数学对象，它描述了输入和输出之间的关系。
函数可以用多种方式表示，包括数学表达式、图形或者数据集合等。
1.2 极限的定义极限是高等数学中一个重要的概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过极限的概念，可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。
二、微积分2.1 导数与微分导数和微分是微积分的基本概念，它们描述了函数在某个点处的变化率。
通过导数和微分，可以研究函数的最值、拐点和曲线的切线等问题。
2.2 积分与不定积分积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某个区间上的累积效应。
通过积分，可以求解曲线下的面积、求解物理学中的平均值等问题。
三、级数3.1 数项级数数项级数是一种特殊的数列，它的每一项都是一个数。
通过对数项级数的求和，可以研究级数的收敛性和发散性，以及求解级数的和的问题。
3.2 函数项级数函数项级数是一种特殊的函数序列，它的每一项都是一个函数。
通过对函数项级数的求和，可以研究函数项级数的收敛性和发散性，以及求解函数项级数的和的问题。
四、微分方程微分方程是描述变量之间关系的方程，它是自然科学和工程技术中一种常见的数学模型。
通过求解微分方程，可以预测和分析各种现象和问题，如物体的运动、电路的行为等。
结论高等数学是一门基础性的数学课程，它具有广泛的应用领域和深远的影响。
本文档介绍了高等数学的一些基本概念和方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用高等数学知识。
参考文献1.Stewart, J. (2008). Calculus: Early Transcendentals.Cengage Learning.2.Cao, W. (2013). 微积分学教程. 北京大学出版社.以上文档使用Markdown格式编写，方便阅读和编辑。
高等数学工本自考资料
高等数学工本自考资料
"高等数学"是大学数学的一部分，包括微积分学、数学分析、线性代数、概率统计等内容。
如果你正在自学高等数学，以下是一些建议和可能的资料来源：
1. 教材和参考书籍：
* 教材：使用主流的高等数学教材，例如《高等数学》（同济大学出版社）、《数学分析》（清华大学出版社）等。
* 参考书籍：可以根据自身理解难度选择一些参考书，如《数学分析习题集》、《线性代数习题集》等。
2. 在线教育平台：
* Coursera、edX、网易云课堂等：这些平台上可能有一些高等数学的在线课程，包括视频讲座、作业和测验。
3. 学习网站和资源：
* Khan Academy：提供大量的数学学科视频教程，包括微积分、线性代数等。
* Wolfram Alpha：用于数学问题求解的强大工具，可以输入数学问题，它会提供解答和详细步骤。
4. 问题集和习题册：
* 选择一些高等数学的问题集和习题册，逐步提高解题能力。
* 常用的高等数学题库：《高等数学习题集》（同济大学出版社）、《数学分析习题集》等。
5. 网络论坛和社群：
* 参与数学学习社群，如知乎数学版块、数学学习交流群等，向其他学习者请教问题，分享学习心得。
6. 学习计划和时间管理：
* 制定合理的学习计划，确保每个知识点都有足够的时间消化。
* 注意时间管理，确保每天都有一定的学习时间。
7. 扩展阅读和应用：
* 阅读相关的数学文献、论文，了解数学的应用领域。
* 尝试将学到的知识应用到实际问题中，加深理解。
以上是一些建议，具体的学习资料选择应根据个人的学习风格和理解难度进行调整。
4月全国自考高等数学(工本)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中,方程1222222=++cz b y a x 表示的图形是( )A.椭圆抛物面B.圆柱面C.单叶双曲面D.椭球面2.设函数z =x 2y ,则=∂∂xz( ) A.212-y yxB.x xyln 2C.x x yln 22 D.()12-y yx3.设Ω是由平面01=-+-z y x 及坐标面所围成的区域,则三重积分=⎰⎰⎰Ωdxdydz ( ) A.81 B.61 C.31 D.21 4.已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( ) A.2C 1x +C 2cos x B.2Cx +cos x C.cos x +C (2x -cos x ) D.C (2x -cos x )5.设幂级数∑∞--1)3(n n nx a在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛2C.发散D.敛散性不定二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数y x y z cos sin =,则=∂∂xz. 7.已知dy e dx e y x yx +++是某函数()y x u ,的全微分,则()=y x u , .8.设∑是上半球面()01222≥=++z z y x ,则对面积的曲面积分⎰⎰∑=dS .9.微分方程x y 2sin =''的通解为y= .10.无穷级数∑∞=0!2n nn 的和为 .三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P (3,-1,0)并且与直线321-=-=z y x 垂直的平面方程. 12.设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x z ∂∂,yz∂∂. 13.设方程xyx ln=确定函数()y x z z ,=,求全微分dz. 14.求函数()22,xy y x y x f +=在点(1,-1)沿与x 轴正向成30°角的方向l 的方向导数.15.求空间曲线t z t y t x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,22,22π处的切线方程.16.计算二重积分()dxdy e I Dy x⎰⎰+-=22,其中区域D ：.0,422≥≤+y y x17.计算二次积分⎰⎰=22sin ππydx xxdy I . 18.计算对弧长的曲线积分()⎰+-L ds y x 132,其中L 是直线2-=x y 上从点(-1,-3)到点(1,-1)的直线段. 19.计算对坐标的曲线积分⎰+Lydx xdy 其中L 是抛物线2x y =上从点(-2,4)到点(2,4)的一段3弧.20.求微分方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. 21.判断级数()∑∞=-+-131321n n nn 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?22.设函数()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求系数b 7.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数()y x xy y x y x f 311381021,22-----=的极值.24.设曲线()x y y =在其上点(x ,y )处的切线斜率为x +y ,且过点(-1,e -1),求该曲线方程. 25.将函数()2312+-=x x x f 展开为(x +1)的幂级数.。
自考高等数学(工本)串讲笔记
考试大纲说明一、本课程的基本要求与重点本课程的基本要求为：１．获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法．２．获得线性代数初步知识．本课程的重点是：一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用．二、课程考核要求１．函数（考核要求）（１）清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素———定义域和对应法则，知道什么是函数的值域．（２）清楚函数与其图形之间的关系．（３）会计算函数在给定点处的函数值．（４）会由函数的解析式求出它的自然定义域．（５）知道函数的三种表示法———解析法、表格法、图像法及它们各自的特点．（６）清楚分段函数的概念．·１·第一部分（７）清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义．（８）会判定比较简单的函数是否具有上述特性．（９）知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数．（１０）会求比较简单的函数的反函数．（１１）知道函数的定义域和值域与其反函数的定义域和值域之间的关系．（１２）清楚函数与其反函数的图形之间的关系．（１３）清楚函数的复合运算的含义及可复合的条件．（１４）会求比较简单的复合函数的定义域．（１５）会作多个函数按一定顺序的复合；会把一个函数分解成几个简单函数的复合．（１６）知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域，基本特性和图形．（１７）知道反三角函数的主值范围．（１８）知道初等函数的构成．（１９）会对比较简单的实际问题通过几何、物理或其他途径建立其中蕴含的函数关系．２．极限和连续（考核要求）（１）知道数列的定义、通项及其在数轴上的表示．（２）知道单调数列和有界数列，会判别比较简单的数列的单调性和有界性．（３）理解数列收敛的含义及其几何意义．·２·高等数学（工专）（４）知道级数的定义，了解级数的收敛和发散的概念．（５）知道级数收敛的必要条件．（６）会判断等比级数的敛散性并在收敛时求出其和．（７）理解各种函数极限的含义及其几何意义．（８）理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极限之间的关系．（９）熟知极限的四则运算法则，并能熟练地运用．（１０）熟知两个重要极限，并能熟练运用．（１１）理解无穷小量的概念．（１２）理解无穷小量与变量极限之间的关系．（１３）掌握无穷小量的性质．（１４）理解无穷大量的概念，知道它与无穷小量的关系．（１５）会判别比较简单的变量是否为无穷小量或无穷大量．（１６）清楚无穷小量之间高阶、同阶、等价的含义．（１７）会判断两个无穷小量的阶的高低或是否等价．（１８）清楚函数在一点连续和单侧连续的定义，知道它们之间的关系．（１９）知道函数在区间上连续的定义．（２０）知道连续函数经四则运算和复合运算后仍是连续函数．·３·第一部分（２１）知道单调的连续函数必有单调并连续的反函数．（２２）知道初等函数的连续性．（２３）清楚函数在一点间断的定义和两类间断点．（２４）会找出函数的两类间断点．（２５）会判别分段函数在分段点处的连续性．（２６）知道闭区间上连续函数必有界，并有最大值和最小值．（２７）知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理．（２８）会用零点定理判断函数方程在指定区间中根的存在性．３．一元函数的导数和微分（考核要求）（１）熟知函数的导数和左、右导数的概念，知道它们之间的关系．（２）知道函数在一点的导数的几何意义．（３）知道导数作为变化率的实际意义．（４）知道函数在区间上可导的含义．（５）知道曲线在一点处切线和法线的定义并会求它们的方程．（６）清楚函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件．（７）能熟练运用可导函数的和、差、积、商的求导法则．·４·高等数学（工专）（８）熟练掌握复合函数的求导法则．（９）对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数，会用对数求导法计算其导数．（１０）清楚反函数的求导法则．（１１）熟记基本初等函数的求导公式并能熟练运用．（１２）理解由函数方程所确定的一元函数（隐函数）的含义．（１３）会求由一个函数方程所确定的隐函数的导数．（１４）知道高阶导数的定义，了解二阶导数的物理意义．（１５）会求初等函数的二阶导数．（１６）理解由参数方程所确定的函数的含义．（１７）会求参数式函数的一阶与二阶导数．（１８）了解微分作为函数增量的线性主部的含义．（１９）清楚函数的微分与导数的关系及函数可微与可导的关系．（２０）熟知基本初等函数的微分公式．（２１）熟知可微函数的和、差、积、商及复合函数的微分法则．（２２）会求函数的微分．４．微分中值定理和导数的应用（考核要求）（１）能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义．（２）能正确陈述拉格朗日中值定理并清楚其几何意义．·５·第一部分（３）知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数．（４）清楚应用洛必达法则的条件，能熟练地使用洛必达法则计算００和∞∞类型未定式的值．（５）能识别其他类型的未定式，并会应用洛必达法则求其值．（６）清楚导数的符号与函数单调性之间的关系．（７）会确定函数的单调区间和判别函数在给定区间上的单调性．（８）会用函数的单调性证明简单的不等式．（９）理解函数极值的定义．（１０）知道什么是函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系．（１１）掌握函数在一点取得极值的两种充分条件．（１２）会求函数的极值．（１３）知道函数最值的定义及其与极值的区别．（１４）清楚最值的求法并能解决比较简单的求最值的应用问题．（１５）清楚曲线在给定区间上“凹”“凸”的定义．（１６）会确定曲线的凹凸区间．（１７）知道曲线的拐点的定义，会求曲线的拐点．（１８）知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线．·６·高等数学（工专）５．一元函数积分学（考核要求）（１）清楚原函数和不定积分的定义，了解它们的联系与区别．（２）理解微分运算和不定积分运算互为逆运算．（３）熟记不定积分的基本性质．（４）熟记基本积分公式，并能熟练运用．（５）能熟练运用第一换元积分法（即凑微分法）．（６）掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型．（７）会求比较简单的有理函数的不定积分．（８）掌握分部积分法，能熟练地用它求几种常见类型的不定积分．（９）清楚微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义．（１０）能识别可分离变量的微分方程并会求解．（１１）能识别一阶线性微分方程并会求解．（１２）理解定积分的概念并了解其几何意义．（１３）清楚定积分的区别，知道定积分的值完全取决于被积函数和积分区间，与积分变量采用的记号无关．（１４）掌握定积分的基本性质．（１５）能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义，知道连续函数在区间上的平均值的概念及其求法．（１６）理解变上限积分是积分上限的函数并会求其导数．·７·第一部分（１７）掌握牛顿莱布尼茨公式，并领会其重要的理论意义．（１８）会用牛顿莱布尼茨公式计算定积分．（１９）会计算分段函数的定积分．（２０）掌握定积分的换元积分法和分部积分法．（２１）知道对称区间上奇函数或偶函数的定积分的性质．（２２）清楚无穷限反常积分的概念及其敛散性．（２３）在被积函数比较简单的情况下会依据定义判断反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值．（２４）会计算在直角从标系中平面图形的面积．（２５）会计算旋转体的体积．（２６）会求曲线的弧长．（２７）会计算变速直线运动在一定时间段内所经历的路程．（２８）会计算变力沿直线段所做的功．６．线性代数初步（考核要求）（１）知道关于线性方程组的一些基本概念．（２）熟知二、三阶行列式的定义．（３）会在一定条件下用克莱姆法则求线性方程组的解．（４）掌握行列式的各种性质．（５）掌握行列式的按行（列）展开．（６）会利用行列式的性质化简行列式并计算其值．·８·高等数学（工专）（７）知道矩阵的定义及有关概念．（８）知道什么是零矩阵和单位矩阵．（９）清楚矩阵的初等行变换的定义．（１０）知道什么是行最简形矩阵，会用初等行变换把矩阵化成行最简形．（１１）知道线性方程组的初等变换的定义，清楚初等变换不改变方程组的解．（１２）掌握求解线性方程组的消元法．（１３）知道线性方程组可能无解，或有唯一解，或有无穷多个解．（１４）在有无穷多个解的情况下会求出方程组的一般解．（１５）知道线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，能熟练地用矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行最简形的方法求方程的解．（１６）掌握矩阵的加法和数乘矩阵运算及其运算规则．（１７）掌握矩阵的乘法及其运算规则．（１８）掌握矩阵的转置及有关的运算规则．（１９）清楚矩阵的运算规则与数的运算规则的异同．（２０）清楚方阵的行列式的定义及有关方阵乘积的行列式的结果．（２１）知道方阵的伴随矩阵的定义和有关结果．（２２）清楚可逆矩阵和逆矩阵的定义及矩阵可逆的·９·第一部分条件，知道可逆矩阵的基本性质．（２３）会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵．三、有关说明及试卷结构１．自学教材《高等数学（工专）》全国高等教育自学考试指导委员会组编，主编吴纪桃，漆毅，北京大学出版社，２００６年版．２．试卷结构（１）题分及考试时间试卷满分１００分，考试时间为１５０分钟．（２）内容比例第一、二章：函数及其图形，极限和连续约１５分第三、四章：一元函数微分学约４０分第五章：一元函数积分学约３０分第六章：线性代数初步约１５分（３）题型比例单项选择题、填空题、计算题、综合题（包括应用题和证明题），题量依次为：５，１０，８，２，共计２５题，所占分数依次约为１０分，３０分，４８分，１２分，共计１００分．·０１·高等数学（工专）? 考点精要一、函数１．函数的基本特性（１）有界性．（２）单调性．（３）奇偶性．（４）周期性．２．常用函数的类型（１）基本初等函数：常值函数：ｙ＝ｃ；幂函数：ｙ＝ｘμ（μ为实常数）；指数函数：ｙ＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；对数函数：ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；三角函数：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ，ｙ＝ｓｅｃｘ，ｙ＝ｃｓｃｘ；反三角函数：ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ．（２）反函数．（３）复合函数．（４）初等函数．（５）分段函数．·１１·第二部分二、极限与连续１．有关定义级数设数列｛ｕｎ｝，称∑∞ｎ＝１ｕｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ＋…为数项级数，简称级数．级数的部分和对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，称ｓｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的部分和．级数的敛散对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ＝ｓ，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，称ｓ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的和；若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ不存在，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ发散．函数的极限若当ｘ无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→＋∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋于负无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→－∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→－∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当｜ｘ｜无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ ∞ 时的极限，记为·２１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ｘ０时的极限，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从小于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的左极限，记为ｆ（ｘ０－０）＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从大于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的右极限，记为ｆ（ｘ０＋０）＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝Ａ．无穷小量若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝０，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷小量，也称无穷小，类似地也有ｘ→ ∞，ｘ→ｘ－０，ｘ→ｘ＋０时的无穷小．无穷大量若当ｘ无限趋近于ｘ０时，｜ｆ（ｘ）｜无限增大，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷大量，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝∞．类似地也有其他无穷大量ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝＋∞，ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝－∞，等等．无穷小量的阶设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝０，ｇ（ｘ）非零．·３１·第二部分若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是比ｇ（ｘ）高阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｃ（≠０），则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）同阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝１，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）等价的无穷小．函数的连续性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续，否则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处间断．左连续若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处左连续．右连续若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处右连续．函数在闭区间［ａ，ｂ］上连续若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内处处连续，且在点ａ右连续，在点ｂ左连续，则称函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续．第一类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）都存在，而ｘ０是ｆ（ｘ）的间断点，则称ｘ０是第一类间断点．第二类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）至少有一个不存在，则称ｘ０是ｆ（ｘ）的第二类间断点．·４１·高等数学（工专）２．收敛级数的性质与判别法（１）设ｃ是非零常数，则级数∑∞ｎ＝１ｕｎ与∑∞ｎ＝１ｃｕｎ有相同的敛散性，且在收敛时有∑∞ｎ＝１ｃｕｎ＝ｃ∑∞ｎ＝１ｕｎ．（２）去掉或改变∑∞ｎ＝１ｕｎ的前有限项的值，不会改变级数的敛散性．（３）若∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ都收敛，则∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）也收敛，且∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）＝∑∞ｎ＝１ｕｎ±∑∞ｎ＝１ｖｎ．（４）必要条件若∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎ→∞ｕｎ＝０．（５）正项级数收敛的充要条件若ｕｎ≥０（ｎ＝１，２，…），则∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛的充要条件是它的部分和｛ｓｎ｝有界．（６）正项级数的比较判别法设∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ是两个正项级数，且ｕｎ≤ｖｎ（ｎ＞Ｎ）．若∑∞ｎ＝１ｖｎ收敛，则∑∞ｎ＝１ｕｎ·５１·第二部分收敛；若∑∞ｎ＝１ｕｎ发散，则∑∞ｎ＝１ｖｎ发散．３．函数极限的有关性质和结论（１）唯一性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）存在，则极限值唯一．（２）局部有界性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则存在ｘ０的某去心的邻域，使得当ｘ在该邻域内时，ｆ（ｘ）有界．（３）保序性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，且Ａ＞Ｂ，则存在ｘ０的某去心邻域，使得当ｘ在该邻域内时，有ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）．推论１若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则Ａ≥Ｂ．推论２（保号性）若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ａ，且ａ＞０（ａ＜０），则在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）＞０（ｆ（ｘ）＜０）．推论３若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥０，且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则Ａ≥０．（４）极限的运算法则设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则ｌｉｍｘ→ｘ０［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］＝Ａ±Ｂ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ，·６１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ（Ｂ≠０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｃｆ（ｘ）＝ｃＡ（ｃ为常数），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆｋ（ｘ）＝Ａｋ（ｋ是正整数）．（５）极限存在的夹逼准则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在ｘ０的某去心邻域内满足ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤ｈ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．以上关于函数的性质和结论在ｘ→ ∞，ｘ→ｘ＋０，ｘ→ｘ－０时也有相应的结果．４．无穷小量的有关性质（１）有限个无穷小量的代数和是无穷小量．（２）有限个无穷小量的乘积是无穷小量．（３）有界变量乘无穷小量是无穷小量．（４）常数乘无穷小量是无穷小量．（５）极限与无穷小量的关系ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ的充要条件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋α，其中ｌｉｍｘ→ｘ０α＝０．（６）无穷小量与无穷大量的关系当ｘ→ｘ０时，若ｆ（ｘ）是无穷小量，且ｆ（ｘ）≠０，则１ｆ（ｘ）就是无穷大量；若ｆ（ｘ）是无穷大量，则１ｆ（ｘ）就是无穷小量．５．连续函数的有关性质（１）函数连续的充要条件函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连·７１·第二部分续的充要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处既左连续，又右连续．（２）连续函数四则运算法则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在点ｘ０处连续，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）（ｇ（ｘ０）≠０）也在点ｘ０处连续．（３）连续函数的复合运算法则若ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ０处连续，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０＝φ（ｘ０）处连续，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ０处连续．（４）连续函数的求极限法则若ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ）＝ｕ０，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０处连续，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））＝ｆ（ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ））＝ｆ（ｕ０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））ｕ＝φ（ｘ）ｌｉｍｕ→ｕ０ｆ（ｕ）＝ｆ（ｕ０）．（５）连续函数的反函数的连续性若ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉｘ上单调连续，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）在区间Ｉｙ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｙ），ｙ∈Ｉｘ｝上单调且连续．（６）基本初等函数在其定义域内连续．（７）初等函数在其定义区间内连续．（８）闭区间上连续函数的性质若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则①（有界性定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有界；②（最值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得最大值、最·８１·高等数学（工专）小值；③（介值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得介于它的最小值与最大值之间的一切值；④（零点定理）若ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内必有零点，即存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０．６．重要的结果（１）两个重要极限：ｌｉｍｘ→０（１＋ｘ）１ｘ＝ｅ，ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘｘ＝１．（２）常用的极限：ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０（｜ａ｜＜１），ｌｉｍｎ→∞ｎ槡ａ＝１（ａ＞０），ｌｉｍｘ→∞ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋…＋ａｎｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋…＋ｂｍ＝ａ０ｂ０，ｎ＝ｍ，∞，ｎ＞ｍ，０，ｎ＜ｍ烅烆．（３）常见的级数的敛散性：等比级数∑∞ｎ＝０ａｒｎ，当｜ｒ｜＜１时收敛，当｜ｒ｜≥１时发散；调和级数∑∞ｎ＝１１ｎ，发散；ｐ－级数∑∞ｎ＝１１ｎｐ，当０＜ｐ≤１时发散，当ｐ＞１时收敛．·９１·第二部分（４）常用的等价无穷小：当ｘ→０时．ｓｉｎｘ～ｘ，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，１－ｃｏｓｘ～ｘ２２，ｅｘ－１～ｘ，ｔａｎｘ～ｘ，ａｒｃｔａｎｘ～ｘ．三、导数与微分１．有关定义设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域内有定义，则有下列定义式：导数ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；导函数ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）Δｘ，ｘ∈Ｕ（ｘ０）；左导数ｆ′－（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０－ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；右导数ｆ′＋（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０＋ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０．·０２·高等数学（工专）微分若Δｙ＝ＡΔｘ＋ｏ（Δｘ），则ｄｙｘ＝ｘ０＝ＡΔｘ．二阶导数ｆ″（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ′（ｘ０＋Δｘ）－ｆ′（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ′（ｘ）－ｆ′（ｘ０）ｘ－ｘ０．２．概念之间的关系函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导的充分必要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处的左、右导数存在且相等，即ｆ′（ｘ０）存在ｆ′－（ｘ０）＝ｆ′＋（ｘ０）．可导，可微，连续之间的关系为：３．导数与微分的几何意义与物理意义导数的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率．切线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）；法线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝－１ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．导数的物理意义若ｓ＝ｓ（ｔ）是变速直线运动的位置函数，则ｓ′（ｔ０）是在ｔ０时刻的瞬时速度，ｓ″（ｔ０）是在ｔ０·１２·第二部分时刻的加速度．微分的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）Δｘ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线上在点ｘ＝ｘ０＋Δｘ处的纵坐标与点ｘ＝ｘ０处的纵坐标之差．微分的实际意义若ｆ′（ｘ０）≠０，则ｆ′（ｘ０）Δｙ是增量Δｙ的线性主部，与Δｙ的差是ｏ（Δｘ）．４．基本的求导公式与微分公式（１）（Ｃ）′＝０，ｄＣ＝０（Ｃ是常数）；（２）（ｘα）′＝αｘα－１，ｄ（ｘα）＝α（ｘα－１）ｄｘ（α为实常数）；（３）（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ，ｄ（ａｘ）＝ａｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｅｘ）′＝ｅｘ，ｄ（ｅｘ）＝ｅｘｄｘ；（４）（ｌｏｇａｘ）′＝１ｘｌｎａ，ｄ（ｌｏｇａｘ）＝１ｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｌｎｘ）′＝１ｘ，ｄ（ｌｎｘ）＝１ｘｄｘ；（５）（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ，ｄ（ｓｉｎｘ）＝ｃｏｓｘｄｘ；（６）（ｃｏｓｘ）′＝－ｓｉｎｘ，ｄ（ｃｏｓｘ）＝－ｓｉｎｘｄｘ；（７）（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃ２ｘ，ｄ（ｔａｎｘ）＝ｓｅｃ２ｘｄｘ；（８）（ｃｏｔｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ，ｄ（ｃｏｔｘ）＝－ｃｓｃ２ｘｄｘ；（９）（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ，ｄ（ｓｅｃｘ）＝ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ；（１０）（ｃｓｃｘ）′＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘ，ｄ（ｃｓｃｘ）＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ；（１１）（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝１１－ｘ槡２，ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝１１－ｘ槡２ｄｘ；（１２）（ａｒｃｃｏｓｘ）′＝－１１－ｘ槡２，·２２·高等数学（工专）ｄ（ａｒｃｃｏｓｘ）＝－１１－ｘ槡２ｄｘ；（１３）（ａｒｃｔａｎｘ）′＝１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）＝１１＋ｘ２ｄｘ；（１４）（ａｒｃｃｏｔｘ）′＝－１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｃｏｔｘ）＝－１１＋ｘ２ｄｘ；５．求导法则设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在点ｘ处可导，则［ｕ（ｘ）±ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）±ｖ′（ｘ），［ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｖ′（ｘ）ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）ｖ（ｘ［］）′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）ｖ２（ｘ），ｖ（ｘ）≠０，反函数的求导法则若函数ｘ＝φ（ｙ）在区间Ｉｙ内单调、可导，且φ′（ｙ）≠０，则其反函数ｙ＝ｆ（ｘ）在对应的区间Ｉｘ内单调、可导，且有ｆ′（ｘ）＝１φ′（ｙ），Ｉｘ＝｛ｘ｜ｘ＝φ（ｙ），ｙ∈Ｉｙ｝．复合函数的求导法则设函数ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ处可导，ｙ＝ｆ（ｕ）在相应的点ｕ＝φ（ｘ）处可导，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ处可导，且ｄｙｄｘ＝ｆ′（ｕ）φ′（ｘ）＝ｄｙｄｕ·ｄｕｄｘ．·３２·第二部分６．高阶导数的求法ｙ″，ｙ等较低阶导数的求法：ｙ″＝（ｙ′），ｙ＝（ｙ″）′．依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ即可．ｙ（ｎ）等较高阶导数的求法：依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ，…，看出规律，归纳出ｙ（ｎ）的表达式．在求ｙ（ｎ）时，一些已求出的结果可以作为公式：（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ；（ｘα）（ｎ）＝α（α－１）…（α－ｎ＋１）ｘα－ｎ；（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎｘ＋ｎπ（）２；（ｃｏｓｘ）（ｎ）＝ｃｏｓｘ＋ｎπ（）２．四、微分中值定理与导数的应用１．中值定理费马定理设函数ｆ（ｘ）在ｘ０处可导，并且在ｘ０的某邻域内恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）或ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０），则ｆ′（ｘ０）＝０．罗尔定理设函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝０．拉格朗日中值定理设函数ｆ（ｘ）满足：·４２·高等数学（工专）（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ或ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．２．洛必达法则００和∞∞型未定式的洛必达法则如果ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）满足下列条件：（１）ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｇ（ｘ）＝０（或∞）；（２）在点ａ的某去心邻域内，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）可导，并且ｇ′（ｘ）≠０；（３）ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）存在（或者为∞），则ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）．其他类型未定式的极限０·∞ 型，∞－∞ 型，００型，１∞型，∞０型等未定式均转换为００型和∞∞型未定式来计算．３．函数的性态函数的极值与最值（１）极大值与极小值的定义．·５２·第二部分（２）极值的必要条件如果ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则ｘ０必为函数ｆ（ｘ）的驻点或不可导点，亦即，要么ｆ′（ｘ０）＝０，要么ｆ′（ｘ０）不存在．（３）极值的第一充分条件设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）内连续，在去心邻域内可导．①如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＞０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．③如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）∪（ｘ０，ｘ０＋δ）时恒有ｆ′（ｘ）＞０，或恒有ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处没有极值．（４）极值的第二充分条件设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处具有二阶导数，并且ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）≠０．①若ｆ″（ｘ０）＜０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②若ｆ″（ｘ０）＞０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．（５）函数极值的计算方法：①求出导数ｆ′（ｘ）以及不可导的点；②求出函数ｆ（ｘ）的全部驻点（即求出方程ｆ′（ｘ）＝０在所讨论的区间内的全部根）；·６２·高等数学（工专）③考查ｆ′（ｘ）的每一个驻点、不可导点的左右两侧附近的符号，由第一充分条件判定这些点是否极值点，是极大点还是极小点，或求出二阶导数，由第二充分条件判别．④求出各极值点处的函数值，就是函数ｆ（ｘ）的全部极值．（６）闭区间上连续函数的最值的计算方法：①求出ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上的所有驻点和不可导点；②求出驻点、不可导点以及端点的函数值；③比较以上函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值．曲线的凹凸性与拐点（１）曲线的凹凸性及拐点的定义．（２）曲线凹凸性判别定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内具有二阶导数．①若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＞０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是下凸的（凹的）；②若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是上凸的（凸的）．（３）确定拐点以及凹凸区间的方法：①求ｆ″（ｘ），并求出在所讨论区间内的ｆ″（ｘ）不存在的点；②令ｆ″（ｘ）＝０，求出位于所讨论区间内的所有实根；·７２·第二部分③ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点将ｆ（ｘ）的定义域分成一些区间，由ｆ″（ｘ）在这些区间内的符号确定其是凹或凸区间．④在所讨论的区间讨论ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点的左右两侧的符号，确定该点是否为拐点．曲线的水平渐近线与铅直渐近线渐近线有水平渐近线和铅直渐近线，它们通过取极限的方法来确定．五、一元函数积分学（一）不定积分及其计算１．原函数与不定积分ｆ（ｘ）在Ｉ上的全体原函数组成的函数族为函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的不定积分，记为∫ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的一个原函数．２．不定积分的性质性质１∫［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｇ（ｘ）ｄｘ．性质２∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ≠０为常数）．性质３微分与积分互为逆运算：ｄｄｘ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）或ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ；·８２·高等数学（工专）∫Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ或∫ｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．３．基本积分公式微分与积分互为逆运算，其基本公式不再详述．４．不定积分的计算方法（１）直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法．（２）第一换元法（凑微分法）设ｆ（ｕ）具有原函数，ｕ＝φ（ｘ）可导，则∫ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ（ｕ）ｄ［］ｕｕ＝φ（ｘ）．（３）第二换元法设ｘ＝φ（ｔ）单调、可导，并且φ′（ｔ）≠０，又设ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）具有原函数，则有如下换元公式∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄ［］ｔｔ＝φ－１（ｘ），其中ｔ＝φ－１（ｘ）为ｘ＝φ（ｔ）的反函数．（４）分部积分法设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在区间Ｉ上有连续导数，则∫ｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－∫ｕ′ｖｄｘ或∫ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｖｄｕ．（二）微分方程一阶微分方程的解法（１）可分离变量的微分方程形如ｄｙｄｘ＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）·９２·第二部分或Ｍ１（ｘ）Ｍ２（ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ）Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝０的方程．（２）一阶线性微分方程形如ｄｙｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）的微分方程．当Ｑ（ｘ）＝０时，称之为齐次微分方程；而当Ｑ（ｘ）≠０时，称之为非齐次微分方程．解法：齐次方程的通解为ｙ＝Ｃｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘ（分离变量法）．非齐次方程的通解为ｙ＝ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋（）Ｃ（常数变易法）．（三）定积分及其应用１．定积分的几何意义２．定积分的存在定理：定理１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．定理２设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有界，并且只有有限个间断点，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．３．定积分的基本性质性质１∫ｂａ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．·０３·高等数学（工专）性质２∫ｂａｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ．性质３∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｃａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂｃｆ（ｘ）ｄｘ，其中ｃ∈［ａ，ｂ］性质４如果在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≡１，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｂａ１ｄｘ＝∫ｂａｄｘ＝ｂ－ａ．性质５设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，并且ｆ（ｘ）≥０（ｘ∈［ａ，ｂ］），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≥０．推论１设ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．推论２设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ．性质６设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且Ｍ和ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值．ｍ（ｂ－ａ）≤∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）．性质７（积分中值定理）如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一个点ξ∈［ａ，ｂ］，使得∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．·１３·第二部分４．微积分基本公式（１）积分上限的函数及其导数设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则变上限积分Φ（ｘ）＝∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，并且Φ′（ｘ）＝ｄｄｘ∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］）．注ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）．（２）微积分学基本定理定理３设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一个原函数，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］ｂａ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．５．定积分的换元法与分部积分法其换元法和分部积分法与不定积分类似，这里不再详述．６．无穷限反常积分设ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞］或（－∞，ｂ］或（－∞，＋∞）上连续，定义反常积分·２３·高等数学（工专）∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｂ→＋∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫ｂ－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍａ→－∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫＋∞－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＋∞０ｆ（ｘ）ｄｘ．若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．７．定积分的应用（１）几何应用①平面图形的面积设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，并且ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］），则由曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｇ（ｘ）以及直线ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ围成的图形的面积Ａ为Ａ＝∫ｂａ［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．同理可得Ａ＝∫ｄｃ［ψ（ｙ）－φ（ｙ）］ｄｙ．②旋转体的体积由连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ（ａ＜ｂ）以及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｂａπｆ２（ｘ）ｄｘ．由连续曲线ｘ＝φ（ｙ）与直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）·３３·第二部分以及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｄｃπφ２（ｙ）ｄｙ．③平面曲线的弧长弧长微元为ｄｓ＝（ｄｘ）２＋（ｄｙ）槡２＝１＋ｙ′槡２ｄｘ．ｓ＝∫ｂａ１＋ｙ′槡２ｄｘ．或ｓ＝∫βαｘ′２（ｔ）＋ｙ′２（ｔ槡）ｄｔ．（２）定积分的物理应用①变速直线运动的位移问题ｓ＝∫Ｔ２Ｔ１ｖ（ｔ）ｄｔ．②变力沿直线所做的功Ｗ＝∫ｂａＦ（ｘ）ｄｘ．六、线性代数初步（一）行列式１．行列式的概念２．余子式三阶行列式中划去ａｉｊ元素所在的第ｉ行和第ｊ列的元素，剩下的元素按原次序构成的二阶行列式称为ａｉｊ的余子式，记做Ｍｉｊ．而称Ａｉｊ＝（－１）ｉ＋ｊＭｉｊ为ａｉｊ的代数余子式．·４３·高等数学（工专）ｎ阶行列式的余子式定义类似三阶的定义．３．行列式的性质与计算（１）基本性质性质１转置行列式与原行列式有相同的值，即Ｄ′＝Ｄ．性质２将行列式中的某一行（列）的每个元素同乘以数ｋ所得的新行列式等于ｋ乘以该行列式．推论如果行列式中一行（列）的元素全是０，则行列式等于０．性质３ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１＋ａ′２１ａ２２＋ａ′２２ａ２３＋ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３＋ａ１１ａ１２ａ１３ａ′２１ａ′２２ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３．性质４如果行列式中两行（列）对应元素相同，则行列式等于０．推论如果行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式等于０．性质５将行列式中的某行（列）的所有元素乘以一个常数ｋ，然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．性质６互换行列式中的任意两行（列），行列式仅改变符号．·５３·第二部分（２）行列式的拉普拉斯展开式定理１三阶行列式的值Ｄ等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即Ｄ＝ａｉ１Ａｉ１＋ａｉ２Ａｉ２＋ａｉ３Ａｉ３＝∑３ｊ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｉ＝１，２，３），Ｄ＝ａ１ｊＡ１ｊ＋ａ２ｊＡ２ｊ＋ａ３ｊＡ３ｊ＝∑３ｉ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｊ＝１，２，３），推论设Ｄ为三阶行列式，则它的任意一行（列）的元素与其某行对应元素的代数余子式的乘积之和有ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ａｉ３Ａｊ３＝∑３ｋ＝１ａｉｋＡｊｋ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛；ａ１ｉＡ１ｊ＋ａ２ｉＡ２ｊ＋ａ３ｉＡ３ｊ＝∑３ｋ＝１ａｋｉＡｋｊ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛．（３）克莱姆法则定理２若Ｄ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３≠０，则三元线性·６３·高等数学（工专）方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋ａ１３ｘ３＝ｂ１，ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋ａ２３ｘ３＝ｂ２，ａ３１ｘ１＋ａ３２ｘ２＋ａ３３ｘ３＝ｂ烅烄烆３有唯一解ｘ１＝Ｄ１Ｄ，ｘ２＝Ｄ２Ｄ，ｘ３＝Ｄ３Ｄ，其中Ｄｉ（ｉ＝１，２，３）就是将行列式Ｄ中的第ｉ列换为方程组的常数项得到的新的行列式．推论１若齐次线性方程组的系数行列式Ｄ≠０，则它仅有零解．推论２若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零．（二）矩阵１．矩阵及其运算（１）矩阵的定义（２）矩阵的运算①矩阵的加法与数乘将两个阶数相同的矩阵Ａ＝（ａｉｊ）与Ｂ＝（ｂｉｊ）的对应元素相加，所得到的新矩阵（ａｉｊ＋ｂｉｊ）称为矩阵Ａ与Ｂ的和，记做Ａ＋Ｂ．实数ｋ与矩阵Ａ＝（ａｉｊ）的各个元素相乘所得到的新矩阵（ｋａｉｊ）称为实数ｋ与矩阵Ａ的乘积，记做ｋＡ．矩阵加法与数乘具有如下性质（假定Ａ，Ｂ，Ｃ为同阶矩阵，Ｏ为同阶零矩阵）：·７３·第二部分１°Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；２°（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）；３°Ａ＋Ｏ＝Ａ；４°Ａ＋（－Ａ）＝Ｏ；５°（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ；６°ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ；７°ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ；８°１Ａ＝Ａ；９°０Ａ＝Ｏ；１０°（－１）Ａ＝－Ａ．②矩阵的乘法设Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｓ，Ｂ＝（ｂｉｊ）ｓ×ｎ，则矩阵的乘积的性质（假定下列出现的矩阵乘积均有意义）：１°（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）；２°Ａ（Ｂ±Ｃ）＝ＡＢ±ＡＣ；３°（Ｂ±Ｃ）Ａ＝ＢＡ±ＣＡ；４°Ａｍ×ｎＥｎ×ｎ＝Ｅｍ×ｍＡｍ×ｎ＝Ａｍ×ｎ（其中Ｅｎ×ｎ，Ｅｍ×ｍ均为单位阵）；５°（λＡ）Ｂ＝λ（ＡＢ）＝Ａ（λＢ）（其中λ为任意实数）．对于矩阵乘法，需要注意以下几点：１°只有当矩阵Ａ的列数和矩阵Ｂ的行数相等时，Ａ才能与Ｂ相乘，也就是说乘积ＡＢ才有意义．此时乘积矩阵ＡＢ的行数等于左边矩阵Ａ的行数ｍ，而列数等于右边·８３·高等数学（工专）。
专升本数学知识点总结
专升本数学知识点总结一、函数函数是专升本数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。
1、函数的定义设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
其中，x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域。
2、函数的性质（1）单调性：设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D，如果对于区间 I 上任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x) 在区间 I 上是单调增函数（或单调减函数）。
（2）奇偶性：设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意 x∈D，都有 f(x) ＝ f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于任意 x∈D，都有 f(x) ＝ f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
（3）周期性：设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，则称 f(x) 为周期函数，T 称为函数的周期。
3、常见函数（1）一次函数：y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）（2）二次函数：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）（3）反比例函数：y ＝ k/x（k ≠ 0）（4）指数函数：y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）（5）对数函数：y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）二、极限极限是研究函数在某个变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x₀时函数 f(x) 的极限：设函数 f(x) 在点 x₀的某个去心邻域内有定义，如果当 x 无限接近于 x₀（但不等于 x₀）时，函数f(x) 的值无限接近于一个常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当x → x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。
数学 专升本知识点总结
数学专升本知识点总结一、基本概念1. 数与代数数是数学研究的基本对象，代数是研究数的基本运算规则和性质的数学分支。
代数中的基本概念包括整数、有理数、实数、复数等，以及代数运算法则、代数方程和代数不等式等。
2. 函数函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了因变量随自变量变化而变化的规律。
函数的基本概念包括定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、极值点、零点等。
3. 极限极限是高等数学中非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的表现。
极限的基本概念包括左极限、右极限、无穷极限、函数的连续性、一致收敛性等。
4. 微积分微积分是数学中非常重要的一个分支，它描述了变化率和累积量的概念。
微积分中的基本概念包括导数、微分、积分、微分方程等。
5. 矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数的基本概念，它描述了向量和线性变换的代数结构。
矩阵和行列式的基本概念包括矩阵的运算、行列式的性质、线性方程组的解法等。
二、数学分析1. 实数的性质实数是数学中非常重要的一个概念，它包括有理数和无理数。
实数的性质包括稠密性、序列的性质、上确界和下确界的性质等。
2. 函数的性质函数是数学中非常重要的一个概念，它描述了数学对象之间的映射关系。
函数的性质包括可导性、可微性、连续性、一致收敛性等。
3. 极限的计算极限的计算是数学分析中非常重要的一个环节，它能够帮助我们理解函数在某一点附近的表现。
极限的计算方法包括洛必达法则、泰勒展开、拉比黑法则等。
4. 微分学微分学是数学中非常重要的一个分支，它描述了函数的变化率和斜率的概念。
微分学的基本概念包括导数、微分、微分中值定理、泰勒公式等。
5. 积分学积分学是数学中非常重要的一个分支，它描述了累积量的概念。
积分学的基本概念包括不定积分、定积分、变限积分、积分中值定理等。
三、高等代数1. 向量空间向量空间是高等代数中一个非常重要的概念，它描述了向量之间的线性组合和线性变换的结构。
向量空间的基本概念包括线性相关性、线性无关性、基、维数、子空间等。
专升本高数知识点归纳整理
专升本高数知识点归纳整理专升本高数是许多学生在继续深造过程中必须面对的一门重要课程。
它不仅涵盖了高等数学的基础知识点，还包含了一些更高级的数学概念和方法。
以下是对专升本高数知识点的归纳整理：一、极限与连续性- 极限的定义：数列极限、函数极限- 极限的性质：唯一性、有界性、保号性- 极限的运算法则：加、减、乘、除- 无穷小与无穷大- 连续性的定义：函数在某点的连续性- 连续函数的性质：局部有界性、最值定理二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义- 导数的运算法则：和、差、积、商- 高阶导数- 隐函数与参数方程的导数- 微分的概念：一阶微分- 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法- 定积分：定积分的定义、性质、计算- 定积分的应用：面积、体积、物理量- 反常积分：无穷限积分、无界函数积分四、级数- 级数的概念：数项级数、函数项级数- 级数的收敛性：正项级数、交错级数、绝对收敛- 幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数- 函数展开：泰勒公式五、多元函数微分学- 偏导数：一阶偏导数、二阶偏导数- 全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开六、多元函数积分学- 二重积分：直角坐标系、极坐标系- 三重积分：空间几何体的积分计算- 曲线积分：第一类曲线积分、第二类曲线积分- 曲面积分：第一类曲面积分、第二类曲面积分七、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程- 高阶微分方程：常系数线性微分方程- 微分方程的应用：物理、工程问题结束语专升本高数的学习是一个系统而深入的过程，需要学生具备扎实的数学基础和良好的逻辑思维能力。
通过不断的练习和思考，学生可以逐步掌握高数的精髓，为今后的学术研究和职业发展打下坚实的基础。
希望以上的知识点归纳整理能够对专升本高数的学习者有所帮助。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。
三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。
分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。
三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。
2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。
特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。
考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。
有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。
空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。
如果向量的模为零，称为零向量。
定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。
一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。
将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。
不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。
2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。
以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。
三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。
零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。
向量加法的逆运算称为向量减法。
给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。
设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。
(完整版)专升本高等数学知识点汇总
(完整版)专升本高等数学知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）c bx ax y bkx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R（2）xk y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。
(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。
三、基本初等函数1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x y sin =π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(2) 余弦函数: x y cos =.π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(3) 正切函数: x y tan =.π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =.π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(ππ-=D f 。
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《高等数学（工本）》考试重点第一章 空间解析几何与向量代数1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=2. 向量的投影3. 数量积与向量积：向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b b a a a a == .1︒z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ .2︒b a ⊥的充要条件是：0=⋅b a.3︒ba b a b a =∧)cos(向量的数量积公式：.1︒k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a kj ib a x y y x z x x z y z z y zyxz y x)()()(-+-+-==⨯ .2︒ba ba ⨯=ϕsin.3︒b a //的充要条件是0=⨯b a 4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A n =点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：nz z my y lx x ooo-=-=-5. 二次曲面第二章 多元函数微分学6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式：.1︒),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂yv v z yu u z yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.2︒设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===dxdv v z dxdu u z dx dz ∂∂+∂∂=.3︒设0),,(=z y x F FzFy y z Fz Fx xz -=∂∂-=∂∂全微分公式：设),,(y x f z =dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=7. 复合函数与隐函数的偏导数8. 偏导数的应用：二元函数极值9. 高阶导数第三章 重积分10. 二重积分计算公式：.1︒⎰⎰=DkA kd σ（A 为D 的面积）.2︒⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(1212),(),(),(y y cdDx x badx y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕσ.3︒⎰⎰⎰⎰=Drdr r r f d d y x f )()(12)sin ,cos (),(θϕθϕβαϑϑϑσ11. 三重积分计算公式：.1︒利用直角坐标系计算，Ω为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx d z y x f σ.2︒利用柱面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===z y r y r x ϑϑsin cos⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(212121),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑϑϑr z r z r r dz z r r f rdrdx dv z y x f.3︒利用球面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰=),(),(2)()(2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑϕβαϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr r r r r f d d12. 重积分的应用公式：.1︒曲顶柱体的体积：⎰⎰=D dxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑.2︒设V 为Ω的体积：⎰⎰⎰Ω=dv V .3︒设∑为曲面),(y x f z =曲面的面积为σd f f S Dy x ⎰⎰++=221第四章 曲线积分与曲面积分13. 对弧长的曲线积分（1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则⎰⎰+=baLdx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()(则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdx t t t t f dl y x f L)()()](),([),(22（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为⎰=Ldl S 。
14. 对坐标的曲线积分（1）终点起点)()()(:)](,[),(b B a A x y L dxx x P dx y x P AB baL ABϕϕ==⎰⎰（2）[]终点起点)()()()(:)]()(),(),(βαψϕϕψϕβαB A t y t x L dtt t t P dx y x P ABL AB⎩⎨⎧=='=⎰⎰15. 格林公式及其应用格林公式：Qdy Pdxdxdy yP xQ LD+=∂∂-∂∂⎰⎰⎰)(其中L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。
16. 对面积的曲面积分 ⎰⎰⎰⎰++=∑Dxyy x dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)],(,,[),,( ∑=),(:y x z z17. 对坐标的曲面积分⎰⎰⎰⎰±=∑Dxydxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,( 下侧取负号上侧取正号∑=),(:y x z z第五章 常微分方程18. 微分方程基本概念 19. 三类微分方程(1)一阶线性微分方程：)()(x Q y x p y =+'通解])([)()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-(2)二阶常系数线性齐次微分方程公式：0=+'+''qy y p y 特征方程：02=++q pr r.1︒21r r ≠实根：通解为x r x r e c e c y 2121+=.2︒21r r =实根：通解为xr e c c y 1)(21+=.3︒i r βα±=21，：通解为)sin cos (21x c c e y xββα+= (3) 二阶常系数线性非齐次微分方程公式：axm e x P qy y p y )(=+'+''通解为*y y y += y 为对应齐次方程的通解xm k ex Q x yα)(*= *y 为所求方程的一个特解0=k ：a 不是特征方程的根 1=k ：a 是特征方程的单根2=k ：a 是特征方程的重根第六章 无穷级数20. 数项级数的基本概念以及基本性质 21. 数项级数的审敛法审敛准则公式：.1︒比值判别法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞><=∑∑∑∞=∞=∞=+∞→不定级数发散级数收敛级数1111,1),(1,1limn n n n n n nn n u u u q u u.2︒比较判别法：1）设n n v u ≤，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛。
2）设n n v u ≥，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。
22. 幂级数以及函数的幂级数展开式幂级数的收敛半径和收敛区间公式：.1︒收敛半径1lim +∞→=n n n a a R.2︒收敛区间： 1）[-R,R]2）[-R,R ）3）（-R ，R]设发散，右边开收敛，右边闭∑∞==1:n nn Ra R x发散，左边开收敛，左边闭）（∑∞=--=1:n nnR a R x.3︒Rx x R x x R x x R x x x x a n nn-=-=-+==--∑∞=000010)令（幂级数的展开式公式：.1︒+∞<<∞-+++++=x n xxx e nx!!212.2︒+∞<<∞--+-=x x x x x x!7!5!3sin 753.3︒+∞<<∞--+-=x xxxx !6!4!21cos 642.4︒11432)1ln(432≤<--+-=+x xxxx x.5︒1111132<<-+++=-x x x x x。