第3.2节随机向量,随机变量的独立性(1)随机向量及其分布

( p1 + p2 + L + pr )
的一般项，而且
ki ≥ 0 k1 + k2 +L+ kr = n
n
∑
n! k2 p1k1 p2 L prkr = 1 k1 ! k2 !L kr !
【多元超几何分布】
袋中装有i号球N i 只，i = 1, 2,L , r , N 1 + N 2 + L + N r = N , 从中随机摸取n只，若以ξ1 , ξ 2 ,L , ξ r 分别表 示摸到第1, 2,L , r号球的个数，则 N 1 N 2 N r L n1 n2 nr P {ξ1 = n1 , ξ 2 = n2 ,L , ξ r = nr } = N n
(3) 二维离散型随机变量 定义
若二维随机变量 ( ξ, η ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( ξ, η )为二维离散型 随机变量.
二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 (ξ , η )所有 可能取 的 值为 ( x i , y j ), i , j = 1, 2,L , 记 P {ξ = x i , η = y j } = pij , i , j = 1, 2,L , 称 此 为二维离散型随机变量 (ξ ,η ) 的分布 律 , 或 随机变量 ξ 和 η 的联合分布 律. 概率分布或分布 列。
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 域内的概率.
y ( x, y) •
o
x
(2) 分布函数的性质 1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 ,即对于任 意固定的 y , 当 x 2 > x1 时 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y ), 对于任意固定的 x ,当 y 2 > y1时 F ( x , y 2 ) ≥ F ( x , y1 ). 2o 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1, 且有
x →−∞
对于任意固定的 y , F (−∞, y) = lim F ( x, y) = 0, 对于任意固定的 x , F ( x,−∞) = lim F ( x, y ) = 0,
y →−∞
F ( −∞ ,−∞ ) = x lim F ( x , y ) = 0, → −∞
y → −∞
F ( +∞ ,+∞ ) = x lim F ( x , y ) = 1. → +∞
1 2 1 P{ξ = 1,η = 2} = ⋅ = , 3 2 3
2 1 1 P{ξ = 2,η = 2} = ⋅ = . 3 2 3
2 1 1 P{ξ = 2,η = 1} = ⋅ = , 3 2 3
p11 = 0,
1 p12 = p21 = p22 = , 3
故 ( ξ, η )的分布律为
η
i =1
n
= {ξ (ω ) ∈ C n } ∈ F
其中C n = ∏ ( −∞, xi )为R n中的n维矩形
i =1
n
定义3.2.2 对于任意 n 个实数x1 , x2 ,L, xn , n 元函数
F ( x1 , x2 ,L, xn ) = P{(ξ1 < x1 ) I (ξ2 < x2 ) ILI (ξn < xn )} ＝P{ξ1 < x1 , ξ2 < x2 ,L, ξn < xn }
∫
x
p( x , y ) d x d y
y x −( 2 x + y ) d x d y , x > 0, y > 0, ∫0 ∫0 2e = 0, 其 它.
得
(1 − e − 2 x )(1 − e y ), x > 0, y > 0. F ( x, y) = 其它. 0,
例4 设二维随机变量 (ξ , η ) 具有概率密度
2e − (2 x + y ) , x > 0, y > 0, p( x , y ) = 其 它. 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); (2) 求概率 P {η ≤ ξ }.
解
(1) F ( x , y ) = ∫
y
−∞ −∞
P { x1 ≤ ξ < x2 , y1 ≤ η < y2 }
= P{ξ < x2 , y1 ≤ η < y2 } − P {ξ < x1 , y1 ≤ η < y2 }
= P {ξ < x2 ,η < y2 } − P{ξ < x2 ,η < y1 }
− P {ξ < x1 ,η < y2 } + P {ξ < x1 ,η < y1 } ≥ 0,
∫
x
p( u, v ) d u d v
则称(ξ ,η )是连续型的二维随机变量, 函数p( x , y ) 称为二维随机变量 (ξ ,η ) 的概率密度, 或称为随 机变量 ξ 和 η 的联合概率密度.
二维连续型随机变量的性质 (1) p( x , y ) ≥ 0.
( 2) ∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
p( x , y ) d x d y = F ( ∞ , ∞ ) = 1.
称为随机变量 ξ＝(ξ1 , ξ 2 , L , ξ n )的联合分布函数 .
在n维随机变量中，同样需要讨论连续型与离散型 两种情况，下面我们只简单介绍几种常见的n维随机 变量的分布。
(1) 二维随机变量的分布函数
设 (ξ ,η ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) = P {(ξ < x ) I (η < y )} = P {ξ < x ,η < y } 称为二维随机变量 (ξ ,η ) 的分布函数, 或称为随 机变量ξ 和 η 的联合分布函数.
xi < x y j < y
∑ ∑
pij ,
其中和式是对一切满足 xi < x , y j < y 的 i , j 求和.
【多项分布】 在试验中，若每次试验的结果为
A1 , A2 ,L , Ar , 而P ( Ai ) = pi , i = 1, 2,L , r , 且p1 + p2 + L + pr = 1, 重复这样的试验n次，并假定这样的试验是相
(3) 设G是xOy平面上的一个区域, 点(ξ ,η )落在G内 的概率为
P{(ξ ,η ) ∈ G } = ∫∫ p( x , y ) d x d y .
G
∂ 2 F ( x, y) ( 4)若p( x , y )在( x , y )连续, 则有 = p( x , y ). ∂x∂y
说明
几何上, z = p( x , y ) 表示空间的一个曲面.
故 F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) ≥ 0.
满足性质2，3，4的函数一定是某一随机变量的 分布函数，其中性质4是刻画二维随机变量分布函数 不可缺少的，它有区别于一维随机变量分布函数的 性质之一，即满足性质1，2，3的函数，推不出其满 足性质4.
互独立的，若以ξ1 , ξ 2 ,L , ξ r 分别A1 , A2 ,L , Ar出现的 次数，则
n! k2 L prkr P {ξ1 = k1 , ξ 2 = k 2 ,L , ξ r = kr } = p1k1 p2 k1 ! k2 !L kr !
其中ki ≥ 0, k1 + k2 + L + kr = n, 称此分布律为多项分 布，因为它是
∞ ∞
其中 pij ≥ 0,
pij = 1. ∑∑ i =1 j =1
二维随机变量 ( ξ, η )的分布列也可表示为
η
y1 y2 M yj M
ξ
x1 p 11 p 12 M p1 j
x2 p 21 p 22 M p2 j
L L L L
xi pi1 pi2 M p ij
L L L L
M
Biblioteka Baidu
M
M
例 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 ξ, η 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( ξ, η )的分布列与分布函数. 1 2 2 解 ( ξ, η )的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
1
(1,1)
o
1
2
x
F ( x , y ) = p11 + p12 = 1 3 ;
y
2 (1,2) 1
(1,1)
( 2,2)
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x > 2,1 < y ≤ 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 = 1 3 ;
(5)当x > 2, y > 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 + p12 + p22 = 1.
其中ni ≥ 0, n1 + n2 + L + nr = n, 称此分布律为多元超 几何分布
(3) 二维连续型随机变量 定义对于二维随机变量 (ξ ,η ) 的分布函数F ( x , y ),
如果存在非负的函数 p( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y) = ∫
y −∞ −∞
n 维随机变量的概念
定义 若随机变量 ξ 1(ω),…, ξ n(ω) 是 定义在同一 概率 F， P ）上 的随机变量，则称 空间（ Ω， ξ(ω)=( ξ1 (ω), L , ξ n(ω)) 为n维随机向量或随机变量。 对于任意n个实数x1 , x2 ,L , xn ,
{ξ1 (ω ) < x1 , ξ 2 (ω ) < x2 ,L , ξ n (ω ) < xn } = I {ξ i (ω ) < xi }
y → +∞
y
o
x
3 F ( x, y) = F ( x + + 0), − 0, y ), F ( x , y ) = F ( x , y −
o
即 F ( x , y ) 关于 x 左 连续 , 关于 y 也左 连续 .
4 o 对于任意 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), x1 < x 2 , y1 < y 2 , 有 F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) ≥ 0. 证明
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
p( x , y ) d x d y = 1,
表示介于 p(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P {(ξ , η ) ∈ G } =
∫∫ p ( x , y ) d x d y
G
P{ (ξ ,η ) ∈ G }的值等于以G为底 , 以曲面z = p( x , y ) 为顶面的柱体体积 .
1, 当x + y > −1, 设F ( x , y ) = 显然F ( x , y )满足性质 0 当x + y ≤ −1, 1， 2， 3，但是F (1,1) − F (1, −1) − F ( −1,1) + F ( −1, −1) = 1 − 1 − 1 + 0 = −1，因而其不满足性质4.
所以( ξ, η )的分布函数为
0, x ≤ 1 或 y ≤ 1, 1 F ( x, y) = , 1 < x ≤ 2, y > 2, 或 x > 2,1 < y ≤ 2, 3 1, x > 2, y > 2.
说明 离散型随机变量 ( ξ, η )的分布函数归纳为
F ( x, y) =
ξ
1 0 13
2 13 13
1 2
下面求分布函数
(1)当 x ≤ 1 或 y ≤ 1 时,
y
( 2,2)
( 2,1)
F ( x , y ) = P{ξ < x ,η < y} 2 (1,2)
= 0;
(2)当1 < x ≤ 2,1 < y ≤ 2时,
F ( x , y ) = p11 = 0;
(3)当1 < x ≤ 2, y > 2时,
第3.2节 随机向量,随机变量的独立 性(1) 随机向量及其分布
一、随机向量及其分布 二、边际分布 三、条件分布 四、随机变量的独立性
一、随机向量及其分布
在实际应用中往往必须同时考虑几个随机变量 及其它们之间的相互影响。例如，对于钢的成 份，需要同时指出它的含碳量，含硫量，含磷量 等等。这样对于每个样本点 ω ，试验的结果将是 一个向量 ( ξ 1 , ξ 2 , L , ξ n ) ，这个向量取值于n维欧 n R 几里德空间 。对于多维随机变量，我们当然 可以分别研究它们，一个一个的处理，然而这些 随机变量之间可能有联系，把它们作为一个整体 来考虑，还可以考虑它们之间的联系。