2020届黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟数学(理)试题
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22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为 .
（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
（2）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求 的值．
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 面积的最大值.
20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.
（2）若不等式 的解集为 ，且满足 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可得出 ，从而得出 的真子集的个数.
【详解】
∵集合 ，
集合 ，
∴ ，
∴集合 真子集个数是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的单调性，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.
15．在 中， ，点 为线段 上一动点，若 最小值为 ，则 的面积为___________.
评卷人
得分
三、双空题
16．在四面体 中， ，且 ， ， ，则该四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.
评卷人
得分
四、解答题
17．已知数列 满足， ， ，且 （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
绝密★启用前
2020届黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
A．10B．11C．12D．13
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ，过原点的直线交椭圆于 两点，以 为直径的圆过右焦点 ，若 ，则此椭圆离心率的取值范围是（）
1．已知集合 ，集合 ，则集合 真子集个数是( )
A．2B．3C．4D．8
2． 为虚数单位,则 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．在 的展开式中，中间一项的二项式系数为（）.
A．20B． C．15D．
4．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）
方案二：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组 个人的血总共需要化验 次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立.
2．C
【Biblioteka Baidu析】
【分析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数 的虚部为 ，不是 ，本题为基础题，也是易错题.
3．A
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
在 的展开式中，共有 项，中间一项是第 项，对应的二项式系数为
A．5或 B． 或 C． 或 D．5或
5．１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中， .根据这些信息，可得 （）
A． B． C． D．
12．已知函数 （其中无理数 ），关于 的方程 有四个不等的实根，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．曲线 （ 且 ）恒过定点P，则P点坐标为___________.
14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 __________．
（1）设方案二中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列.
（2）设 ，试比较方案二中， 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21．已知函数 .
（1）若 是 的导函数，讨论 的单调性；
（2）若 （ 是自然对数的底数），求证： .
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且垂直于底面 ， ， 分别是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）已知点 在棱 上且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
19．已知抛物线 （ ）上的两个动点 和 ，焦点为F.线段AB的中点为 ，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.
A． B． C． D．
6．已知 是两条不同的直线 是两个不同的平面,则 的充分条件是（）
A． 与平面 所成角相等B．
C． D．
7．已知点 和 在直线 的两侧，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． 或 D．
8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间 的人数为( )
（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
（2）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求 的值．
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 面积的最大值.
20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.
（2）若不等式 的解集为 ，且满足 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可得出 ，从而得出 的真子集的个数.
【详解】
∵集合 ，
集合 ，
∴ ，
∴集合 真子集个数是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的单调性，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.
15．在 中， ，点 为线段 上一动点，若 最小值为 ，则 的面积为___________.
评卷人
得分
三、双空题
16．在四面体 中， ，且 ， ， ，则该四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.
评卷人
得分
四、解答题
17．已知数列 满足， ， ，且 （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
绝密★启用前
2020届黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
A．10B．11C．12D．13
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ，过原点的直线交椭圆于 两点，以 为直径的圆过右焦点 ，若 ，则此椭圆离心率的取值范围是（）
1．已知集合 ，集合 ，则集合 真子集个数是( )
A．2B．3C．4D．8
2． 为虚数单位,则 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．在 的展开式中，中间一项的二项式系数为（）.
A．20B． C．15D．
4．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）
方案二：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组 个人的血总共需要化验 次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立.
2．C
【Biblioteka Baidu析】
【分析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数 的虚部为 ，不是 ，本题为基础题，也是易错题.
3．A
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
在 的展开式中，共有 项，中间一项是第 项，对应的二项式系数为
A．5或 B． 或 C． 或 D．5或
5．１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中， .根据这些信息，可得 （）
A． B． C． D．
12．已知函数 （其中无理数 ），关于 的方程 有四个不等的实根，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．曲线 （ 且 ）恒过定点P，则P点坐标为___________.
14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 __________．
（1）设方案二中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列.
（2）设 ，试比较方案二中， 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21．已知函数 .
（1）若 是 的导函数，讨论 的单调性；
（2）若 （ 是自然对数的底数），求证： .
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且垂直于底面 ， ， 分别是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）已知点 在棱 上且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
19．已知抛物线 （ ）上的两个动点 和 ，焦点为F.线段AB的中点为 ，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.
A． B． C． D．
6．已知 是两条不同的直线 是两个不同的平面,则 的充分条件是（）
A． 与平面 所成角相等B．
C． D．
7．已知点 和 在直线 的两侧，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． 或 D．
8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间 的人数为( )