2019考研数学：如何计算二重积分
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
二重积分计算法考研精华课件.ppt
观函数 化累次
定次序 算积分
二重积分的计算, 积分次序是关键. 一画积分区域图, 二辨区域的类型, 三观被积之函数, 四定次序表区域, 五化累次算积分.
例4 计算 1 y2 d x d y, 其中D由曲线 y D 和直线 y x, x 0 围成.
解
D ( x, y) 0 y
y
解法1 将D看作X–型区域, 则
2
yx
D {( x, y) 1 x 2 , 1 y x}
I
2
1 d
x
x1 x yd
y
2
1
1 2
x y2
xd 1
x
1
o 1 2x
12
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2 将D看作Y–型区域, 则
D {( x, y) 1 y 2 , y x 2}
tan
y x
(三)平面区域在极坐标系中的面积元素
d d d
(四) 极坐标系中平面区域的分类与表示
平面区域 简单区域 D (, ) , 1( ) 2( )
非简单区域（可用从极点出发的射线与以极点为圆心
的同心圆划分为若干个间单区域）
D上
2. 积分域 D关于 y 轴对称,则
0
f ( x, y) 是关于 x 的奇函数
f ( x, y)d
D
2 f ( x, y)d
f ( x, y) 是关于 x 的偶函数
D右
例13 计算 y 4 x2, y 3x , x 1 所围成.
其中D 由
考研数学中二重积分的计算方法与技巧
考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。
例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨二重积分的计算方法，包括定积分、极限方法和变换法。
首先，我们来回顾一下定积分的概念。
定积分是在一个区间上对函数进行积分的方法，可以看作是对函数在该区间上面积的测量。
对于一维的函数，如f(x)，定积分的计算方法可以通过求解反导函数F(x)的值来实现。
具体而言，定积分是将函数f(x)在区间[a,b]上的每个小矩形的面积累加起来，得到的结果就是函数在该区间上的定积分。
对于二重积分，它的计算稍微复杂一些。
二重积分可以看作是在一个二维的区域上对函数进行积分的方法。
通常情况下，二重积分的计算可以分为两个步骤：首先，将二重积分转化为定积分的形式；然后，利用定积分的计算方法进行求解。
对于二重积分的转化，常用的方法有直角坐标转换和极坐标转换。
直角坐标转换适用于矩形区域，它将二重积分转化为两个一维的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为x和y，区域为D，函数为f(x,y)，则二重积分的计算可以表示为：∬f(x,y)dA = ∫(∫f(x,y)dy)dx其中，第一个定积分在区域D上对y进行积分，第二个定积分在整个区域D上对x进行积分。
极坐标转换适用于圆形或者具有旋转对称性的区域，它将二重积分转化为极坐标系下的定积分。
具体而言，设二重积分的变量为r和θ，区域为D，函数为g(r,θ)，则二重积分的计算可以表示为：∬g(r,θ)rdrdθ其中，第一个定积分在区域D上对r进行积分，第二个定积分在整个区域D上对θ进行积分。
除了定积分的方法，还可以使用极限方法来计算二重积分。
极限方法是通过将计算区域划分成无穷多个小矩形或者小三角形，然后将其面积累加起来得到积分的值。
具体而言，对于二重积分的计算，可以将区域D划分成很多个小矩形或者小三角形，然后根据这些小区域的面积和函数值进行累加，最后取极限即可得到二重积分的值。
最后，我们来介绍一种常用的变换法，即换元法。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
2019考研数学：高数各章节重要考点汇总
一、函数极限连续1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。
2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。
3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值定理)，并会应用这些性质。
重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim(sinx/x)=1，lim(1+1/x)=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。
难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。
二、一元函数微分学1、理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。
2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。
了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。
会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。
3、理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。
4、理解函数极值的概念，掌握函数最大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。
5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。
6、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。
罗必塔法则函数的极值和最大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。
难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。
三、一元函数积分学1、理解原函数和不定积分和定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。
8.2 二重积分的计算法
y 4 2
(3) 闭区域D用不等式表示
D : 2y x y 4y
2 2
D : 2sin r 4sin ,0
o x
f ( x, y )d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
d
0
4 sin
2 sin
f (r cos , r sin )rdr
D
y
积分区域D : x 2 y 2 2 x
o
2 x
2 2
D : 0 r 2cos ,
2
2
x y dxdy d
2
2 cos
D
2
0
r rdr
8 3 cos d 3 2
2
32 8 8 2 2 I3 2 1 9 3 3 3
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr ]d
d
( )
0
f (r cos , r sin )rdr。
12
(3) 极点在D的内部时
闭区域D用不等式表示
r ( )
D : 0 r ( ),0 2 f ( x, y )d
d
4 0
D : 1 r 2,0
o
1
2
x
2
1
15 2 r dr 128
3
20
( 3) 4 x y dxdy ,
2 2
y
D : x 2 y 2 16 D1 D2 D1 : x y 4,
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
2019考研数学第二类曲面积分的计算
2019考研数学：第二类曲面积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。
下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲面积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。
（一）直接法（化为二重积分）1. 设有向曲面xy D y x y x z z ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑xy D dxdyy x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(若有向曲面的法线向量与z 轴正向夹角为锐角，即曲面的上侧，上式中取正号，否则取负号；2. 设有向曲面yz D z y z y x x ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑yz D dydz z y z y x P dydz z y x P ),),,((),,(若有向曲面的法线向量与x 轴正向夹角为锐角，即曲面的前侧，上式中取正号，否则取负号；3. 设有向曲面zx D x z x z y y ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑zx D dzdxz x z y x Q dzdx z y x Q )),,(,(),,(若有向曲面的法线向量与y 轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，上式中取正号，否则取负号。
评注：计算第二类曲面积分，可以分为三步：（1）把空间曲面∑投影到某一平面（以xoy 面为例），得到投影区域D （投影时，∑上的任何两点的投影点不能重合）；（2）把曲面方程),(y x z z =代入到被积函数中；（3）把dxdy 改写成dxdy ±，其中∑为为上侧、右侧、前侧时取正号，否则取负号。
（二）高斯公式法高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑闭曲面∑围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 dv z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++或dv z R y Q x P dS R Q P ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++)cos cos cos (γβα这里的∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。
9[1].2_二重积分的计算法
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n
n
1 (C) ∫ dx ∫ dy . 0 0 (1 + x )(1 + y )
n
1 (D) ∫ dx ∫ dy . 2 0 0 (1 + x )(1 + y )
1 1
∫∫ f ( x, y)dσ = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σi λ→0 i =1 D
10
9.2 二重积分的计算法
lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f ( x)dx
为底, 是区间 [ϕ 1 ( x0 ), ϕ 2 ( x0 )]为底 曲线 z = f (x0, y)为曲边的 为曲边的 曲边梯形. 曲边梯形
ϕ2( x0 )1 0z来自z = f ( x, y)
z = f (x0, y)
y = ϕ2( x)
D
A( x0 ) = ∫ϕ ( x ) f ( x0 , y )dy
y
1
原式 = ∫ dy ∫
0
1
y 2 − xy d x
3 y 2 0
y= x
D
2 y( y − x) = −∫ 0 3
2 2 1 2 = ∫ y dy = . 9 3 0
dy
O
1
x
积分域既是 X型又是 型 型又是Y型 型又是
14
9.2 二重积分的计算法
计算二次积分
2 计算二次积分∫ dx ∫ sin y dy 例 0 x 1 1
13
9.2 二重积分的计算法
研究生考题(三 研究生考题 三, 四) 7分 分
其中D是由直线 计算二重积分 ∫∫ y 2 − xy dxdy , 其中 是由直线 所围成的平面区域. y = x , y = 1, x = 0 所围成的平面区域 解 原式 =
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。
其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。
接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。
其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。
在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。
除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。
不同的坐标系下，二重积分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小区域的面积和进行求和。
在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差等统计量。
因此，掌握二重积分的计算方法对于深入理解微积分的应用具有重要意义。
总之，二重积分的计算方法是微积分中的重要内容，通过对不同坐标系下的二重积分进行计算，可以更好地解决实际问题。
希望本文对读者对二重积分的计算方法有所帮助。
2019考研高数重点讲解：二重积分_毙考题
2019考研高数重点讲解：二重积分
二重积分是高数考察重点，本阶段复习要重视基础且要打好基础，下面小编重点讲解本知识点，考生注意理解应用：
2019考研高数重点讲解：二重积分
二重积分
1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)
平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。
平面薄片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ;其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。
平面薄片对质点的引力(FxFyFz)
2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。
3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。
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(一)二重积分的计算方法
考研数学大纲指出，要求考生掌握计算二重积分的直角坐标法和极坐标法。
老师认为不能忽略首先应用对称性尝试化简要计算的二重积分。
本文不再赘述这3个化简和计算二重积分的计算方法，请详汤老师编著的《考研数学复习大全》的相关内容。
下面请随老师看一下2018年数学(三)的一道二重积分真题。
上述的解法(三)很简洁，如果熟练掌握这种计算二重积分的计算方法，对计算这类二重积分
会带来一些方便;当然多掌握一种方法的前提条件是，首先熟练掌握考试大纲要求的基本方法，否则就是舍本逐末之举(因为基本方法也能计算上述真题)。
本文讨论了一道二重积分计算题
的多种解法，希望能对小伙伴们的2019考研数学复习有些帮助。