3n次方根和n次算术根.
第四章 实数指数幂(1)精品教案
1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) ；（2） ；(3) ；(4) ．
板书设计
第四章实数指数幂
概念：
一般地，如果 ＞ ，那么 叫做 的 次方根．
说明：
（1）当n为偶数时，正数 的n次方根有两个，分别表示为 和 ,其中 叫做 的 次算数根；零的n次方根是零；负数的n次方根没有意义．
《数学》课程教案
课题
第四章
实数指数幂(1)
教学目标
（1）复习整数指数幂的知识；
（2）了解n次根式的概念；
（3）理解分数指数幂的定义。
课型
理论课
课时
2
教学重点
分数指数幂的定义；
教学难点
根式和分数指数幂的互化；
教学方法
传统式
教学过程
备注
第一课时
第四章实数指数幂
引入新授：
问题：
如果 ，则x=；x叫做9的；
解（1） ， ，故 ；
（2） ， ，故 ；
（3） ， ，故 ．
例2将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1） ；（2） ；（3） ．
分析要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化．
解（1） ， ，故 ；
（2） ， ，故 ；
（3） ， ，故 ．
说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m、n的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数．
并且规定当 时， =； =．
将整数指数幂的概念进行推广： =．
概念：
规定： ，其中 ＞1．当 为奇数时， ；当 为幂推广到有理数指数幂．
立方根的求解
立方根的求解在数学中，立方根是一个重要的概念。
它是指一个数的三次方根，即将一个数自乘三次得到的结果。
求解一个数的立方根是一项实际应用广泛的数学运算，它在科学、工程等领域中具有重要意义。
本文将介绍一些求解立方根的方法以及其应用。
一、通常的求解方法1. 简单算术最常见的求解立方根的方法是使用简单的算术运算。
对于一个正数x，我们可以通过逐个尝试不同的数值，使得这个数的立方与x的差尽可能地趋近于零，即找到一个数a，使得a³ ≈ x。
在实践中，我们可以通过不断递增或递减一个初始值的方式来逼近答案。
这种方法简单但效率较低，特别是对于较大的数值。
2. 迭代法迭代法是一种更为高效的求解立方根的方法。
它通过反复使用递推公式逐渐逼近答案。
一个经典的迭代公式是牛顿迭代法：\[x_{n+1} = \dfrac{2x_n^3 + a}{3x_n^2}\]其中，\(x_n\)代表第n次迭代的结果，a是待求解的数值。
通过不断迭代公式，我们可以逐渐逼近立方根的解。
二、近似解法除了上述常见的求解方法外，还存在一些近似解法，它们提供了更快速但可能不太准确的计算结果。
1. 查表法查表法是一种基于预先计算和储存的近似解法。
我们可以创建一个立方根的查找表，其中包含了一系列已经计算好的立方根的数值。
当需要求解某个数的立方根时，我们只需在查找表中找到最接近目标数的近似立方根值，这样可以大大缩短计算时间。
然而，查表法的缺点是需要事先计算和储存大量的数据，且对于表中没有的数值，我们仍然需要使用其他的方法来进行求解。
2. 数值逼近法数值逼近法是一种通过近似函数求解立方根的方法。
通过选取合适的逼近函数，我们可以根据已知的数值进行数值计算。
例如，可以使用泰勒级数展开，或者使用其他数值逼近方法，如二分法等。
这些方法可以更快速地给出近似解，但代价是可能会引入一定的误差。
三、立方根的应用求解立方根在实际生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 工程学在工程学中，立方根的求解经常用于电力、声学和信号处理等方面。
2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
m
[微思考] 在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，
为什么必须规定 a>0?
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝a n
＝0，无研究价值．
m
3
②若 a<0，a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝2 －23无意
义，故为了避免上述情况规定了 a>0.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算 新课程标准 1．理解 n 次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数 指数幂之间的相互转化．
m
2．通过对有理数指数幂 a n (a>0 且 a≠1；m，n 为整数且 n>0) 含义的认识，了解 指数幂的拓展过程．掌握分数指数幂的运 算性质．
m2－2mn＋n2等于 A．2m
B．2n
()
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二 分数指数幂的运算
[学透用活]
[典例 2] 计算下列各式(式子中字母都是正数)：
2
(1)(0.027)
3
＋12275
[解]
(1)
3
a·4
1
a＝a 3
1
·a 4
＝a
7 12
.
1 11
7
(2)原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
(4)原式＝(a
1 3
)2·a
1 2
·b
高中数学实数指数幂及其运算1理解n次方根的概念及性质课件人教版必修一
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a （m n，a 0） a
m n
nm
（4）（ab）
m
a b
m m
由
am an
=
a
mn
（m n，a 0）
a0
a a 3 3 a3
3
3
a
0
1
a 35 1 2 a a a2 5 a
将正整数指数幂推广到整数指数幂
an
和
1.5 ， ， ，（ 2的过剩近似值）； 1.42 1.415 .....
来近似地计算无理指数幂 3 2的不足或过剩近似值。如果 ２ 的任何一个有理数 不足近似值记为 a ，其相应的有理数过剩近似值为 b ， 那么当 n 无限增大
3 ， ， 3 3
1.5 1.42
n
1.415
时，
数
an , bn 就逼近于一个实数
a a 2b 2c 1 2 bc
2
2 分数指数
若x a，则x叫a的平方根（或二次方根）
2
a 0时，两个平方根： ， a a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
a只有一个立方根
方根
若存在实数x，使x n = a a ? R ，n （ 则x叫a的n 次方根。 1，n N + ），
求a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方 ,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a0 n a 数 a a 0 不存在
n
a 0 a 0
a 根式
n 根指数
n
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1
n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。
分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。
教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。
将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。
教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。
根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。
但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。
二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。
然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。
教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。
由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。
然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。
通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。
三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。
湘教版高中数学必修第一册第4章4-1-1 4-1-2第1课时根式课件
学习效果·课堂评估夯基础
1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的
是( )
题号
1
√
2
3
√
√
4
BCD [结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．]
5
√
题号
1
2
3
4
5
题号
1
2
√
3
4
5
题号
4．若x3＝－5，则x＝________．
1
21
1
2
3
4
5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
√ × ×
－8
π－3
关键能力·合作探究释疑难
－1
[母题探究] (变条件)将本例(2)的条件“－3<x<3”改为“x≤－3”，则结果又是 什么？
反思领悟 有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通 过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在 利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
运算．(重点、难点、易错点)
行运算，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
正 算术根
xn＝a
根指数
被开方数
思考1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存
在n次方根？n为偶数呢？
3 [－3，＋∞)
a
|a| 0
偶次
[提示] 不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0．
第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1 实数指数幂和幂函数 4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂
根号开根号的运算法则
根号开根号的运算法则
根号开根号的运算法则为：先计算出最里面根号的值，再接着开外面的根号。
例如，对于$\sqrt{2}\times\sqrt{2}$，可以先计算出$\sqrt{2}$的值为$2$，然后计算$\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\times2=4$。
根式开方法则是根式的运算法则之一，算术根开n次方，把根指数扩大n倍，被开方数不变。
非算术根的开方不总是可能的，负数的奇次方根开奇次方时，一般先将给定根式化为算术根后再按法则开方。
保留根号是为了科学严谨，开根号取近似是为了实际应用。
如需了解更多关于根号开根号的运算内容，可以继续向我提问。
伸优培训学校网络直播课模板第二讲：立方根和N次方根(教师版)
第十二章 实数第2讲 立方根&N 次方跟立方根和开立方一、【知识点精讲】1.立方根与平方根类似,有：如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,3a ”表示,读作“三次根号a ”3a a 叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根”,x 3a 2.开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算. 3.立方根的性质我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到3333a a a a ==.（以上a 是实数）方法与技能：一个数的立方根记作“3a ,根指数3不能忽略. 由于38,有382=,()328-=-,有382-=-,可见3388-=一般地,如果a >0则,33a a -=-如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来. 典型剖析二、【典型例题】【例1】 求下列各式的值：（1364（2364-（3327125-（431-【分析】 由立方根的意义,如果3x a =,那么x 就叫做a 的立方根,x 3a 可知a 的立3a 33a a =.【解答】 （1）33464,644==Q（2）()33464,644-=-∴-=-Q 3364644-==-（3）33327273,51251255⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭Q（4）()3311,11-=-∴-=-Q【例2】 判断题（对的打“√”,错的打“×”） （1）1的立方根是1±. （2）任何数都有立方根.（333a b =那么0a b -=.（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.（6364的平方根是4±.【解答】（1）（×）. 1的立方根是1.（2）（√）.任何实数a 都有唯一的立方根,记作3a （3）（√）.3a a 的立方根,则33a a =;同理,33b b =.33a b =可推出3333a b =,即a b =.0b -=.（4）（√）. 33a a =--Q∴两个互为相反数的立方根也互为相反数.(5) (×) Q 如果一个数x 的立方根是它本身,3,x x ∴=()210.x x -=0x ∴=或1±.如果一个数x 的平方根是它本身,则x x =,则()2,10x x x x =-=,所以0x ∴=或1.（6）（√）()336341616==,它的平方根为4±.【例3】 若a <0,323a a =______________.【解答】Q a 332323,0a a a a a a a a =-==-+=.3,x x =【例4】 求下列各数的立方根（1）0.216 （2）338- （3）125± 【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法,求带分数的立方根,要先将带分数化为假分数.33a a -=331251255-==-,但对于平方根来说不能适用,因为复数没有平方根. 【解答】（1）30.60.216=Q0.216∴的立方根是0.6,30.2160.6=.（2）32738125-=-Q ,而332728⎛⎫-=- ⎪⎝⎭338∴-的立方根是32-,即333382-=-.（3）()335125,5125=-=-Q125∴的立方根是5,31255=; 125-的立方根是5-,即31255-=-.三、【课堂针对练习】1. 判断（1）125512的立方根是58和58- （ ）（2）1216-的的立方根是没有意义的 （ ）（3）127-的立方根是13- （ ） （4）164的立方根是4 （ ）（5）35是27125±的立方根 （ ）2.下列说法正确的是（ ）（A ）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数 （B ）任何一个数必有立方根和平方根 （C ）一个数的立方根必与这个数同号 （D ）负数没有立方根 3. 求下列各数的立方根：(1)343(2)(3)0216-4.求下列各式的值：33333125117(1)(2)0.027(3)48527⎛+⎝5.计算：()3333331163(1)27(2)310.125216964---n 次方根一、【知识点精讲】1.n 次方根如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根,也可叙述为“如果n x a =(n 是大于1的整数),那么x 就叫做a 的n 次方根”,x n a 平方根和立方根是n 次方根的特例.2.开n 次方求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方,a 叫做被开方数, n 叫做根指数. n 次方根简称为“方根”;开n 次方简称“开方”. 3.n 次方根的性质由于n 次方根包含平方根和立方根在内,而平方根和立方根有不同的性质,这使得研究n 次方根的性质时,必然要把指数按奇数或偶数分别进行研究.与立方根类比：实数a 的奇次方根有且只有一个,n a ,其中被开方数a 是任意一个实数,根指数n 是大于1的奇数.与平方根类比：正数a 的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n n a ”表示,读作“n 次根号a ”,负n 次根用“n a -表示,其中被开方数0a >,根指数n 是正偶数（当2n =时,在n a ±n ）,负数的偶次方根不存在.因为零的n 次方等于零,所以零的n 次方根等于零,00n =方法与技能：研究n 次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来考虑,学习奇次根式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法之一.综上,无论n 为奇数还是偶数,对于正数a 的正n 次方根都记作n a 称为正数a 的n 次.nkn mk m a a =（n 为大于或等于2的整数）即根指数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去,这一公式可以顺用,即将nk mk a .nm a 反过来,n m a 化为nk mk a二、【典型例题】【例1】 求值：（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根（4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）32243-【分析】 运用乘方运算求方根的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,反数要充分理解,求n 次方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语言表述是很重要的,给书写也带来简便.【解答】 （1）5232=Q∴32的五次方根5322==（2）()5232-=-Q∴-32的五次方根5322=-=-（3）()4216±=Q∴16的四次方根6642==± （4）()6264±=Q∴64的六次方根6642==±（5）()60.20.000064±=Q∴0.000064的六次方根60.0000640.2==±（6）52323243⎛⎫-=-⎪⎝⎭Q ∴32243-的五次方根53222433=-=-【例2】 选择题：1.下列语句中,正确的是（ ） （A ）正数a 的n n a （B ）如果n 是偶数,当且仅当a 是非负实数时,n a （C ）零的n 次方根无意义 （D ）任何实数都能开方2.5x -在实数范围内能开偶次方根的条件是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）5x ≥ （C ）5x ≤ （D ）0x ≤ 【分析】理解立方根和开立方的概念 【解答】1.（B ）当n 是奇数时,正数a 的n 次方根记作“n a ”, 当n 是偶数时,正数a 的n 次方根记作“n a ,故（A ）错.当a 为非负实数时,a 有偶次方根,n a n 是偶数）有意义,故（B ）对.零的n 次方为零,故（C ）错.负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D ）错. 2.（C ）由被开方数50x -≥解得5x ≤,故选（C ）.【例3】求适合下列等式中的x .（1）3910x -= （2）4810x = 【分析】理解开n 次方与n 次乘方互为逆运算的关系【解答】（1）x 是910-的立方根,因为3391010--=（）,所以310-是910-的立方根,因此310x -= ,即0.001x =.（2）由已知可知,x 是810的四次方根,由于248(10)10±=,所以210±是810的四次方根,因此210x =±,即100x =±.三、【课堂针对练习】1.132-的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ）3. 423⎛⎫- ⎪⎝⎭的四次方根是（ ）4. 5(5)-的五次方根是（ ） 5.如果(0,)n x a a n =≥是偶数,那么x =6.下列式子中,正确的是54444()11()11((1)1()11A B C D ±=±=±-=--=7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值.(1) 12-的三次方的三次方根 （2）164的六次方根（3）—8平方的六次方根 8.计算：4334356)四【课后作业布置】1.338270m n +-=,则3()m n -的立方根= . 2.若0,a <()()23311a a --的值.3.已知28m n A m +-=+是8m +的算术平方根, 245m n B n -+=+5n +的立方根, 求35A B -的立方根.4. 解方程：327(1)80x -+=5. .立方根有如下性质：333333,a aab a b b b==(1)计算：30.0121.6⨯.(2)设3323,m n ==用含m n 、33164881、6.下列各式不正确的是4343()82()(6)6()1255()()nnA B C D a a n -=--=-=-=是奇数7. ()(0)x y zy z z x x y xyz xyz x y z+++++≠=8.计算：2007200733321)421)9.已知n 是自然数, a ()n n n n a a =成立.试讨论n 及a 的取值范围.。
2第二讲 立方根和开平方根 n次方根
第二讲 立方根、开立方、n 次方根【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C（2）下列说法正确的是（ ）A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数B 任何一在个数必有立方根与平方根C 一个数的立方根必与这个数同号D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”， 3a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。
2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。
（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。
（1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
（2） 只有零的立方根是它本身。
（3） 只有零的平方根是它本身。
（4） 1的平方根与立方根相同。
【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =ba m +是m 的立方根，而y=36-b 是x 的相反数，且m=3a-7。
求a 、b 、m 的值.【解】由题意,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+7363a m m b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==825m b a2、立方根有如下性质：3ab =3a ∙3b ，3b a =33ba计算：（1）36.2101.0⨯的值 （2）设32=m ,33=n ,用含m 、n 的代数式表示348、38116【解】（1）36.2101.0⨯=3216001.0⨯=3001.0∙3216=0.1×6=0.6（2）348=386⨯=36×38=332⨯×2=2mn38116=381163=3332728⨯⨯=333332728⨯⨯=n m 32 —————————————————————————————【典型例题2】求下列各数的立方根：(1)1000 (2)278- (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-32（3）-0.1 （4）0【知识点】求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】(1)下列各式中值为正数的是( )(A)()355.2- (B)-()324.3- (C)30 (D)37-【解】D(2)下列说法中正确的是（ ） (A)278的立方根是32± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832=-- 【解】C（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3a (B)()ab =-3 (C)3a b = (D)a b =3【拓展题2】1、 求最小正整数n ,使332n 为整数【解】n =22、 小明有一个正方体模型1，小杰也做了一个正方体模型2，他的模型边长是小明的正方体边长的2倍。
笔算开n次方的方法
笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 4123319876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 9297061757................................397^5-390^5____________________________________________1 482625811954321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 242655709408851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997010254547000000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433443520609199551....................39711^5-39710^5_________________________________________1156356673393780044900000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商1119117001570432051621599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 3967182334799327840100000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 7041901386565548357443232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 692528094823377948265676800000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 917049019214028715187411930649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 775479075609349233078264869351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
苏教版必修第一册4.1指数课件
4.1
指数
学习目标
1.理解n次方根和根式的含义. 2.理解分数指数幂的含义，了解无理数指数幂的含义. 3.通过对有理数指数幂和实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程. 4.掌握指数幂的运算性质. 核心素养：数学抽象、数学运算
新知学习
【概念理解】 1.数a的n次方根x满足xn＝a，因此求a的n次方根就是求一个数的n次方等于a. 2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广. 3.n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算.
【方法技能】解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论 的联系，这样才能使问题迅速得到解决.
随堂小测
AD ABDC来自B 1谢 谢！
②④
【巧记】 正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生. 负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同. 负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零.
【知识拓展】整数指数幂与分数指数幂的对照
整数指数幂
指数幂中的指数 从整数拓展到了
四、实数指数幂及其性质 1.无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂aα（a>0，α为无理数）是一个确定的实数.这 样，我们就将指数幂ax（a>0）中指数x的取值范围从整数逐步拓展 到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
2.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s， 均有下面的运算性质. （1）aras＝ar+s（a>0，r，s∈R）； （2）（ar）s＝ars（a>0，r，s∈R）； （3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈R）.
典例剖析
【方法总结】根式化简与求值的一般方法 1.先分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简. 2.多重根式的化简方法 （1）当所求根式是含有多重根号的式子时，要弄清被开方数，由里向外化为分数指数幂，然后进行运算. （2）对于根式的计算结果，没有特殊要求时，一般用分数指数幂的情势表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果， 但结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数幂.
根号式的计算方法
根号式的计算方法（原创实用版3篇）篇1 目录1.引言：介绍根号式的计算方法的重要性和必要性2.根号式的基本概念：定义和符号3.根号式的计算方法：平方根、立方根和 n 次方根的计算4.根号式的性质：根号内的数值、正负性、乘法和除法规则5.实际应用：根号式在数学、物理和工程等领域的应用案例6.结论：总结根号式的计算方法和性质的重要性和应用价值篇1正文根号式的计算方法是数学中一个重要的领域，它在解决许多实际问题中都发挥着重要的作用。
了解和掌握根号式的计算方法，对于提高我们的数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下根号式的基本概念。
根号式是用来表示一个数的平方、立方或其他高次幂的符号，通常用根号符号“√”表示。
例如，如果我们说一个数的平方根，就是指这个数的二次方根，用数学符号表示就是√x。
同样，一个数的立方根就是指这个数的三次方根，用数学符号表示就是√x。
在了解了根号式的基本概念后，我们来看一下根号式的计算方法。
平方根的计算方法是通过开平方，即将一个数不断平方直到得到所需的数值。
例如，9 的平方根就是 3，因为 3等于 9。
立方根的计算方法是通过开立方，即将一个数不断立方直到得到所需的数值。
例如，27 的立方根就是 3，因为 3等于 27。
对于 n 次方根，我们可以使用类似的方法，即将一个数不断 n 次方直到得到所需的数值。
除了计算方法外，根号式还有一些重要的性质。
首先，根号内的数值必须是非负的，因为任何数的平方都是非负的。
其次，根号式的正负性由根号内的数值决定。
例如，√9 和√(-9) 分别表示正 3 和负 3。
此外，根号式还满足乘法和除法规则，即√a ×√b = √(ab) 和√a ÷√b = √(a/b)。
最后，让我们来看一下根号式在实际应用中的案例。
在数学领域，根号式被广泛应用于代数、几何、微积分等学科。
在物理和工程领域，根号式也被广泛应用于计算物体的速度、加速度、位移等物理量。
1.2.1《n次方根 》-根式的概念-高职数学
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
数学中的根与指数应用技巧
数学中的根与指数应用技巧在数学中，根与指数是一种重要的应用技巧。
它们在求解方程、计算复利问题以及描述增长和衰减等现象方面起着关键作用。
本文将介绍根与指数的基本概念、常见应用技巧以及解决问题时的注意事项。
一、根的应用技巧根是一个数的算术平方根、立方根或n次方根，它可以用来解决各种方程和求解问题。
根的计算需要关注以下几个方面：1. 算术平方根：计算一个数的算术平方根时，我们需要找到一个平方等于该数的数。
例如，√16=4，因为4的平方等于16。
平方根常用于计算面积、长度和体积等。
2. 算术立方根：计算一个数的算术立方根时，我们需要找到一个数，使其立方等于该数。
例如，³√27=3，因为3的立方等于27。
立方根常用于计算物体的体积和边长等。
3. n次方根：当我们需要计算一个数的n次方根时，我们需要找到一个数，使其n次方等于该数。
例如，⁴√16=2，因为2的4次方等于16。
n次方根常用于计算物理和工程问题中的变量等。
在实际应用中，我们可以使用计算器或数学软件来求解较复杂的根。
对于简单的情况，我们可以通过列举平方数、立方数或使用二分法等方法来计算根。
二、指数的应用技巧指数是根的逆运算，它经常用于描述增长和衰减的速度。
指数的应用技巧包括以下几个方面：1. 指数函数：指数函数是以常数e为底数的函数，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数在自然科学和社会科学中有广泛的应用，如物质衰变、人口增长和金融利息等。
指数函数的性质使得它能够描述快速增长和指数衰减的现象。
2. 复利计算：复利是指投资或存款本金加上利息再次投资或存款所得到的收益。
复利的计算涉及指数的概念，可以通过以下公式求解复利问题：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A是最终金额，P是本金，r是年利率，n是复利次数，t是时间。
3. 指数法则：指数法则是解决指数运算问题的基本规则。
其中，a^m * a^n = a^(m+n)表示相同底数的指数相乘时，底数保持不变，指数相加；a^m / a^n = a^(m-n)表示相同底数的指数相除时，底数保持不变，指数相减；(a^m)^n = a^(m*n)表示指数的指数等于两者相乘。
老教材初中数学目录
初中几何目录（老教材）第一章、线段、角一、直线、射线、线段1.1 直线1.2 射线、线段1.3 线段的比较和画法读一读长度单位二、角1.4 角1.5 角的比较1.6 角的度量读一读角的度量和60进制1.7 角的画法小结与复习复习题一自我测验一第二章、相交线、平等线一、相交线、垂线2.1 相交线、对顶线2.2 垂线2.3 同位角、内错角、同旁内角二、平行线2.4 平行线及平行公理读一读观察与实验2.5 平行线的判定2.6 平行线的性质2.7 空间里的平行关系2.8 探究性活动：制作长方体形状的包装纸盒三、命题、定理、证明2.9 命题2.10 定理与证明读一读推理小结与复习复习题二自我测验二读一读有关几何的一些历史附录部分习题答案或提示第三章、三角形一、三角形3.1 关于三角形的一些概念3.2 三角形三条边的关系3.3 三角形的内角和二、全等三角形3.4 全等三角形读一读全等变换3.5 三角形全等的判定（一）3.6 三角形全等的判定（二）3.7 三角形全等的判定（三）3.8 直角三角形全等的判定3.9 角的平分线三、尺规作图3.10 基本作图3.11 作图题举例读一读三等分角四、等腰三角形3.12 等腰三角形的性质3.13 等腰三角形的判定读一读三角形中边与角之间的不等关系3.14 线段的垂直平分线3.15 轴对称和轴对称图形五、勾股定理3.16 勾股定理3.17 勾股定理的逆定理读一读勾股定理的证明小结与复习复习题三自我测验三第四章、四边形一、四边形4.1 四边形4.2 多边形的内角和读一读巧用材料二、平行四边形4.3 平行四边形及其性质4.4 平行四边形的判定4.5 矩形、菱形4.6 正方形读一读完美的正方形4.7 中心对称和中心对称图形4.8 实习作业三、梯形4.9 梯形4.10 平行线等分线段定理4.11 三角形、梯形的中位线小结与复习复习题四自我测验四第五章、相似形一、比例线段5.1 比例线段5.2 平行线分线段成比例定理读一读黄金分割二、相似三角形5.3 相似三角形5.4 三角形相似的判定5.5 相似三角形的性质读一读位似变换小结与复习复习题五自我测验五附录部分中英文词汇对照表第六章、解直角三角形一、锐角三角函数6.1 正弦和余弦6.2 正切和余切6.3 用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角二、解直角三角形6.4 解直角三角形6.5 应用举例读一读中国古代有关三角的一些研究6.6 实习作业小结与复习复习题六自我测验六第七章、圆一、圆的有关性质7.1 圆7.2 过三点的圆7.3 垂直于弦的直径7.4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系7.5 圆周角7.6 圆的内接四边形二、直线和圆的位置关系7.7 直线和圆的位置关系7.8 切线的判定和性质读一读为什么车轮做成圆的？7.9 三角形的内切圆*7.10 切线长定理*7.11 弦切角*7.12 和圆有关的比例线段三、圆和圆的位置关系7.13 圆和圆的位置关系代数目录（老教材）第一章、代数初步知识1.代数式2.列代数式3.代数式的值4.公式读一读谈谈储蓄的利息5.简易方程小结与复习复习题一自我测验一第二章、有理数1.有理数的意义2.1 正数与负数2.2 数轴2.3 相反数2.4 绝对值2.有理数的运算2.5 有理数的加法2.6 有理数的减法读一读中国是最早使用负数的国家2.7 有理数的加减混合运算读一读实际中的正负数2.8 有理数的乘法2.9 有理数的除法读一读求平均数2.10有理数的乘方2.11有理数的混合运算2.12近似数与有效数字2.13用计算器进行数的简单计算小结与复习复习题三自我测验三第三章、整式的加减3.1整式3.2同类项3.3去括号与添括号3.4整式的加减读一读内容与丰富的数—0小结与复习复习题三自我测验三第四章、一元一次方程1.等式和方程4.1等式和它的性质4.2方程和它的解2.一元一次方程的解法和应用4.3一元一次方程和它的解法读一读同解方程4.4一元一次方程的应用读一读关于代数的故事小结与复习复习题四自我测验四附录部分习题答案第五章、二元一次方程组5.1 二元一次方程组5.2 用代入法解二元一次方程组5.3 用加减法解二元一次方程组5.4 三元一次方程组的解法举例5.5 一次方程组的应用读一读关于中国古代的一次方程组小结与复习复习题五自我测验五第六章、一元一次不等式和一元一次不等式组6.1 不等式和它的基本性质6.2 不等式的解集6.3 一元一次不等式和它的解法读一读同解不等式6.4 一元一次不等式组和它的解法小结与复习复习题六自我测验六第七章、整式的乘除一整式的乘法7.1 同底数幂的乘法7.2 幂的乘方与积的乘方7.3 单项式的乘法7.4 单项式与多项式相乘7.5 多项式的乘法二乘法公式7.6 平方差公式7.7 完全平方公式读一读关于(a+b)2的推广一整式的除法7.8 同底数幂的除法7.9单项式除以单项式7.10多项式除以单项式小结与复习复习题七自我测验七附录部分习题答案第八章、因式分解8.1 提公因式法数8.2 运用公式法8.3 分组分解法读一读用配方法分解二次三项式小结与复习复习题八自我测验八第九章、分式9.1分式9.2分式的基本性质9.3分式的乘除法9.4分式的加减法读一读繁分式9.5含有字母系数的一元一次方程9.6探究性活动：a=bc型数量关系9.7可化为一元一次方程的分式方程及其应用小结与复习复习题九自我测验九第十章、数的开方10.1平方根10.2用计算器求平方根10.3立方根读一读 n次方根和n次算术根10.4 用计算器求立方根10.5实数读一读为什么21/2不是有理数？复习题十自我测验十第十一章、二次根式11.1二次根式11.2二次根式的乘法读一读比较二次根式的大小11.3二次根式的除法11.4最简二次根式读一读二次根式应用举例11.5二次根式的加减法11.6二次根式的混合运算11.7 二次根式的化简小结与复习复习题十一自我测验十一附录一平方根表与立方根表附录二部分习题答案附录三部分中英文词汇对照表第十二章、一元二次方程一一元二次方程12.1 用公式解一元二次方程12.2 用因式分解法解一元二次方程的解法读一读我国古代的一个一元二次方程12.3 一元二次方程的根的判别式*12.4 一元二次方程的根与系数的关系12.5 二次三项式的因式分解（用公式法）12.6 一元二次方程的应用12.7 可化为一元二次方程的分式方程读一读简单的高次方程的解法二简单的二元二次方程组12.8 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组成的方程组*12.9 由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组·小结与复习·复习题十二·自我测验十二第十三章、函数及其图象13.1 平面直角坐标系13.2 函数13.3 函数的图象13.4 一次函数13.5 一次函数的图象和性质读一读二元一次方程组的图象解法13.6 二次函数y=ax2的图象13.7 二次函数y=ax2+bx+c的图象13.8 反比例函数及其图象·小结与复习·复习题十三·自我测验十三第十四章、统计初步14.1 平均数14.2 众数与中位数14.3 方差14.4 用计算器求平均数、标准差与方差14.5 频率分布读一读怎样从总体中抽取样本？14.6 实习作业·小结与复习·复习题十四·自我测验十四附录一部分习题答案附录二部分中英文词汇对照表。
多次根号的计算公式
多次根号的计算公式一、二次根式（平方根）的计算公式。
1. 定义。
- 如果x^2=a(a≥slant0)，那么x叫做a的平方根，记作x = ±√(a)。
其中√(a)表示a的算术平方根（a≥slant0）。
2. 运算性质。
- (√(a))^2=a(a≥slant0)。
例如(√(4))^2=4。
- √(a^2)=| a|=a(a≥slant0) -a(a<0)。
例如√((-3)^2)=| - 3|=3。
- √(ab)=√(a)·√(b)(a≥slant0,b≥slant0)。
例如√(12)=√(4×3)=√(4)×√(3)=2√(3)。
- √(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥slant0,b>0)。
例如√(frac{8){2}}=(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
二、三次根式（立方根）的计算公式。
1. 定义。
- 如果x^3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。
2. 运算性质。
- (sqrt[3]{a})^3=a。
例如(sqrt[3]{2})^3=2。
- sqrt[3]{a^3}=a。
例如sqrt[3]{(-2)^3}=-2。
- sqrt[3]{ab}=sqrt[3]{a}·sqrt[3]{b}。
例如sqrt[3]{24}=sqrt[3]{8×3}=sqrt[3]{8}×sqrt[3]{3}=2sqrt[3]{3}。
- sqrt[3]{(a)/(b)}=frac{sqrt[3]{a}}{sqrt[3]{b}}(b≠0)。
例如sqrt[3]{(27)/(8)}=frac{sqrt[3]{27}}{sqrt[3]{8}}=(3)/(2)。
三、n次根式（n>3）的计算公式。
1. 定义。
- 如果x^n=a（n为大于1的整数），那么x叫做a的n次方根，当n为偶数时，a≥slant0，x = ±sqrt[n]{a}；当n为奇数时，x=sqrt[n]{a}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．n次方根和n次算术根
3．n次方根和n次算术根
这一章里，我们研究了数的平方根和立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．一般地，如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果x n＝a，那么，x叫做a 的n次方根．求a的n次方根的运算，叫做把a开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数．
例如，由于24＝16和(－2)4＝16，我们把2或－2叫做16的4次方根，这个运算叫做把16开4次方，16叫做被开方数，4叫做根指数．
如果a6＝64，a＝？请你求一下．
一般地，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．
我们已经知道，任何数都有一个立方根．下面来进一步看一看：32的5次方根是多少？－128的7次方根呢？
因为25＝32，所以2是32的5次方根；
因为(－2)7＝－128，所以－2是－128的7次方根．
一般地，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数．
我们还看到，
一般地，如果a＞0，n是正的奇数，那么，
正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根．零的n次方根也叫做零的n次算术根．
求一个数的方根的运算，叫做开方．很明显，开n次方与n次方互为逆运算．。