拉姆齐模型(第一部分)

储蓄的价值 从t期到s期 如何变化
t期的储蓄 （它可能为负）
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非蓬齐博弈：将任意时刻s的财富 贴现到当前，应为非负。
limeR(s) K(s) 0
s
H
K kAL kA(0)L(0)e(ng)t
lim lim eR(s) K(s) 0
eR(s)e(ng)tk(s) 0
s
H
s
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储蓄
每个家庭在 0 时期有
L0 / H 个成员
每个家庭在 0 时期拥有
K 0 / H 的资本
作出储蓄—消费决策
当期收入
消费
每将 人全
提部
产品市场
（完全竞争）
购提 买供 产产 品品
供 资 要素市场
1 单
本 （完全竞争） 租
位给
劳厂 动商
付出工资，一个家庭获得：
Lt At f kt kt f kt
H
付资本报酬，一个家庭获得：
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关于家庭效用函数的说明：
2.家庭无限期的效用
21
22
关于家庭效用函数的说明：
3.家庭无限期效用函数的现值
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u(Ct )
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(1)连续的复利计算和贴现 计算
由于时间 t被假定为连续的，利息 率也被假定
按照复利连续计算
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lim (1 / n)nt
n
lim[11/(n / )](n/ )t et n
新古典生产函数：Y F(K, AL) 根据欧拉定理：Y Y K Y AL
K (AL)
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二、模型中决策主体的行为（厂商）
资本的边际产品：FK, AL f (k)
K
有效劳动的边际产品：f k kf k
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厂商目标：利润最大化
max F K, AL WL rK
r F K, AL f k
内生经济增长理论之 拉姆齐-卡斯-库普曼模型(1)
1
问题的提出
在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数， 储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态 的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对 应于最优资本存量和最优消费）相比会出现 “过度储蓄”（即“过度积累”）的情况， 而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无 效的。当时，只有在给定在当前消费与未来 消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增 加储蓄率的合理性。
Kt f kt
H
厂商（很多）
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厂商的行为总结
厂商 竞争性厂商获得零经济利润。
在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本 r(t) f (k(t))
报酬率等于其边际产品： 劳动的真实工资等于其边际产品：
W (t) A(t) f (k(t)) k(t) f (k(t))
每单位有效劳动的真实工资：
w(t) f (k(t)) k(t) f (k(t))
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模型说明
与索洛模型相似： 本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生
的。 与索洛模型不同： 模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互
作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再 是外生的。 在R-C-K模型中，经济总量的动态学由微观层 次的决策决定。
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一、模型的基本假定
厂商 ✓ 大量厂商，每一厂商具有同索洛模型相同
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CRRA的本质：边际效用对消费的弹性
dU ' (C) dC
•
U
C ' (C)
lim
C 0
U
' (C) /U C / C
' (C)
lim
C 0
U ' (C) C
•
U
C ' (C)
边际效用变动的百分比（边际效用的变动率）
消费变动的百分比（消费的变动率）
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由于本模型中没有不确定性，故家庭对风险的态度
4
模型说明
索洛模型主要从生产角度研究平衡增长路径， 空间是一维的；
R-C-K模型从生产者、家庭两个角度研究 增长路径，空间是二维的。
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循环图
家庭
租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费
相互拥有
厂商
销售产品，获得利润
雇佣劳动，支付工资
租用资本，支付利息
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模型所描述的经济体： 厂商租用资本雇佣劳动用以生产并销售产品， 而数量固定的长生不老家庭供给劳动、持有 资本、消费并储蓄。这回避了所有的市场不 完美性，以及由异质家庭和代际联系造成的 所有问题，因此提供了一个理论上的参照系。
✓ 家庭最初资本持有量为：
✓ 没有折旧
K 0
H
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一、模型的基本假定
家庭在每一时点上将其收入(来自它从所供给 的劳动和资本上取得，以及从厂商那里可能获 得的利润)用于消费和储蓄，比例取决于最大 化一生效用的目标。
家庭效用函数：
U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
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C(t)是每个人的消费 L(t)是经济体中的总人口 H是经济中的家庭数 L / H是每个家庭中的人口 u[C(t)]L(t) / H是t时刻家庭的总瞬时效用
是时间偏好率，表示获得效用越晚价值 越低，越大，则相对于现期消费，家庭对
未来的消费估价越小
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关于家庭效用函数的说明：
1.相对风险回避系数不变的效用函数：
Constant relative risk aversion (CRRA)
相对风险回避系数（coefficient of relative risk aversion ---CRRA）
现在（0期） 未来（t期）
1
e t
1/ et et
1
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U
0
etu(C(t))
L(t) H (t)
dt
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关于家庭效用函数的说明：
4.改写家庭的目标函数：依据每单位有效劳 动的平均消费
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二、模型中决策主体的行为（厂商）
(一)厂商： 厂商使用资本和劳动力，按其边际产品付酬， 销售所生产的产品，由于是完全竞争市场， 而且规模报酬不变，所以获得零利润。
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如果趋近于零，则效用几乎是C的线性函数：
经济含义：因此家庭也就愿意消费的大的波动
以利用贴现率与储蓄报酬率之间小的差异。
具体而言，可以证明任意两时点的消费之间
的替代弹性为1 / 。
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注释（1）：为什么效用函数要除以 1
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注释（2）： 1的特殊情况
根据罗必塔 法则
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根据：（ax）' ax ln a
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二、模型中决策主体的行为（家庭）
（二）家庭
1.目标函数：
maxU
t
0
e
t
u
C
t
Lt
H
dt
约束条件：一生消费的现值不能超过其 初始财富加上一生劳动收入的现值。
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二、模型中决策主体的行为（家庭）
2.家庭的预算约束----家庭的收入和支出
家庭的收入来自： （1）自从所供给的劳动，劳动的收入。 （2）资本上取得的收入。 （3）以及它从厂商那里可能得到的利润， 用于消费和储蓄，以最大化一生效用。
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Ramsey-Cass-Koopmans模型
一、模型的基本假定 二、模型中决策主体的行为 三、模型的动态学 四、参数变化的影响 五、收敛速度 六、政府行为 七、模型总结
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模型说明
基本思想： 1.储蓄率事实上是由家庭在约束条件下最大 化一生效用来决定的； 2.是否储蓄是在当期消费与未来消费之间作 出选择，其中蕴含着一个两难：增加当期消 费会增加当期效用，但减少储蓄又意味着未 来可能消费的减少； 3.家庭会根据目标函数进行动态最优决策， 产生一个有效折衷，产生储蓄、消费的最优 时间路径。
没有直接意义。但也决定了家庭在不同时期转换消 费的愿望:越小 随着消费的上升，边际效用下降的
幅度越小，因此家庭也就越愿意允许其消费随着时间
t变动。
θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家 庭就越不愿意消费的波动。
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相对风险厌恶系数
常数相对风险厌恶系数（跨期替代弹性）意味 着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。 但 决定了家庭在不同时期转换消费的愿望， 越小，跨期消费替代弹性越大，这表明边际效 用随消费量增大而递减的速度变慢，而从家庭 越愿意接受消费较大的波动。
初始财富
一生劳动收入的贴现值
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2.人均化处理——经济中的最小变量
用每单位有效劳动的平均消费和平均劳动 收入来表示该预算约束
设c(t)为每单位有效劳动的平均消费， 家庭在t时期的总消费: C(t)L(t) / H c(t) • A(t)L(t) / H
家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动 的工资w(t)乘以A(t)L(t) / H
资本的边际产品为资本的真实报酬率，也即真 实利率，在t时为：
rt f kt
一个工人在t时的劳动收入等于A乘以有效劳动
的边际产品： Atwt wt f kt kt f kt
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没有新家庭，长生不老， 按不变增长率 n 增长：在
t 时期有 Lt / H 个成员，
即 L0e nt / H
家庭（H 个）
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一生的消费支出和劳动收入面临贴现 问题，其利率如何计算？
代表性家庭将r和w的路径看做是既定的。
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代表性家庭的预算约束：其一生消费的贴现 值不能超过其初始财富加上其一生劳动收入 的贴现值。
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定义R(t) t r( )d 0
更一般地说，R(t )表明了在期间[0, t ] 上连续以复利计算利息的结果。
的生产函数Y=F(K,AL) ；