定积分在物理上的应用举例
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应⽤定积分在物理中的应⽤⽬录：⼀．摘要⼆．变⼒沿直线所作的功三．液体的侧压⼒四．引⼒问题五．转动惯量摘要：伟⼤的科学家⽜顿，有很多伟⼤的成就，建⽴了经典物理理论，⽐如：⽜顿三⼤定律，万有引⼒定律等；另外，在数学上也有伟⼤的成就，创⽴了微积分。
微积分（Calculus）是⾼等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应⽤的数学分⽀。
它是数学的⼀个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应⽤。
微分学包括求导数的运算，是⼀套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可⽤⼀套通⽤的符号进⾏讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算⾯积、体积等提供⼀套通⽤的⽅法。
微积分最重要的思想就是⽤"微元"与"⽆限逼近"，好像⼀个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成⼀⼩块⼀⼩块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就⾏。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是⼀种数学思想，‘⽆限细分’就是微分，‘⽆限求和’就是积分。
⽆限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是⽤⼀种运动的思想看待问题。
微积分堪称是⼈类智慧最伟⼤的成就之⼀。
在⾼中物理中，微积分思想多次发挥了作⽤。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插⼊若⼲个分点 a=X0在每个⼩区间[Xi-1，Xi]上任取⼀点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与⼩区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ?=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在⼩区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作： ()dx x f ab ?即： ()()ini iab x f I dx x f ?==∑?==11设物体在连续变⼒F(x)作⽤下沿x 轴从x=a 移动到x=b,⼒的⽅向与运动⽅向平⾏,求变⼒所作的功.在[a,b]上任取⼦区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变⼒F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a=例1．在⼀个带+q 电荷所产⽣的电场作⽤下，⼀个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场⼒为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：-=-==b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=?∞+2例2. 在底⾯积为S 的圆柱形容器中盛有⼀定量的⽓体，由于⽓体的膨胀，把容器中的⼀个⾯积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中⽓体压⼒所作的功.解：建⽴坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反⽐，即xSpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===?例3.⼀蓄满⽔的圆柱形⽔桶⾼为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的⽔全部吸出需做多少功？解：建⽴坐标系如图，在任⼀⼩区间[x,x+dx]上的⼀薄层⽔的重量为dx g 23πρ??（KN ）这薄层⽔吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299?==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压⼒设液体密度为ρ深为h 处的压强：h g pρ=*当平板不与⽔⾯平⾏时，所受侧压⼒就需⽤积分解决.例4.⼀⽔平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的⼀个端⾯所受的侧压⼒. 解：建⽴坐标系如图.所论半圆的⽅程为 2 2xR y-±=()R x ≤≤0利⽤对称性，侧压⼒元素 dx x R x g dP222-=ρ端⾯所受侧压⼒为322322R g dx x R x g P ?=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，⼩窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压⼒元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ，故端⾯所受侧压⼒为 ()dx x R x R g PR R222++=?-ρ令 t R x sin =↓Rg 0222arcsin 224?+-=ρ3R g ρπ=引⼒问题质量分别为1m ，2m 的质点，相距r ，⼆者间的引⼒：⼤⼩：221rmm kF =⽅向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引⼒，则需⽤积分解决.例5.设有⼀长度为l ，线密度为µ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有⼀质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引⼒.解：建⽴坐标系如图.细棒上⼩段[x ，x+dx]对质点的引⼒⼤⼩为22xa dxm kdF +=µ故垂直分⼒元素为αcos dF dF y22xa a x a dx m k +?+-=µ()2322x a dxakm +-=µ棒对质点的引⼒的垂直分⼒为()+-=2023222l yxa dxa km F µ2222l x a a x a km+-=µa a l km +-=µ棒对质点引⼒的⽔平分⼒0=x F故棒对质点的引⼒⼤⼩为22412la a l km F +=µ说明1.当细棒很长时，可视l 为⽆穷⼤，此时引⼒⼤⼩为akm µ2⽅向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引⼒沿y 轴从a 处移动到b （a dy ly y l km dW 22412+-=µ+-=b aly y dyl km W 2242µ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2cos xa dxakm dF dF y +-=?-=µα()2322sin xa xdxkm dF dF x +=?=µα∴ ()+-=lyxa dxa km F 02322µ()+=lxkm F 02322µ引⼒⼤⼩为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需⽤积分解决. 例6.设有⼀个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中⼼与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建⽴坐标系如图.设圆盘⾯积为ρ.对应于[x,x+dx]的⼩圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为321212I MRR dx x ===?πρπρ ??? ?=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建⽴坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平⾏y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RR y--=222I ρdx x R xR2224-=?ρtdt t R 220ρ（令x=Rsint ）244141MRR ==ρπ ??? ?=2R M πρ1. ⽤定积分求⼀个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1）先⽤微分分析法求出它的微分表达式dQ ⼀般微分的⼏何形状有：条、段、环、带、扇、⽚、壳等. （2）然后⽤定积分来表⽰整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应⽤：变⼒做功，侧压⼒，引⼒，转动惯量等.○1抓起污泥后提出井⼝，已知井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓⽃提升到井⼝，问克服重⼒需做多少焦⽿（J ）功？（99考研）提⽰：作x 轴如图.将抓起污泥的抓⽃由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓⽃⾃重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -?=30502抓⽃升⾄x 处所需时间：3x（s ）提升抓⽃中的污泥：-=32020003()dx x x W??-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没⼀点处线密度的⼤⼩等于该点到原点距离的⽴⽅，再点O 处有⼀单位质点，求星形线在第⼀象限的弧段对这质点的引⼒.提⽰：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ?=dF dF x()ds yx x yx k 222122+?+=kxds =kyds dF dF y=?=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin3sin cos 3cos ?+-??=? ??=2042sin cos 3πtdt t k a253ka=同理253kaF y=故星形线在第⼀象限的弧段对该质点的引⼒⼤⼩为2253kaF =在⾼中物理中还有很多例⼦，⽐如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引⼒势能等都⽤到了微积分思想，所有这些例⼦都有它的共性。
定积分物理应用公式
定积分物理应用公式定积分在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们计算一些重要的物理量，如质心、力矩和功等。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 质心的计算：质心是一个物体的平均分布位置，可以用定积分来计算。
对于一维情况下的质心计算，我们可以使用以下公式：质心位置x_c = (1/M) * ∫(x * dm)其中，M是物体的总质量，x是物体的位置，dm是质量元素。
通过对物体的质量进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以质量进行积分，就可以得到质心的位置。
2. 力矩的计算：力矩是一个物体受力时产生的转动效应，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的力矩计算，我们可以使用以下公式：力矩M = ∫(r x F) dx其中，r是力矩臂的长度，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，再乘以力矩臂的长度，就可以得到力矩的大小。
3. 功的计算：功是一个物体在受力作用下所做的功，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的功计算，我们可以使用以下公式：功W = ∫(F dx)其中，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，就可以得到功的大小。
以上是定积分在物理学中的一些应用。
通过定积分的计算，我们可以得到质心的位置，力矩的大小和功的大小，从而帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过测量和实验来获取所需的物理量，然后将其代入相应的定积分公式中进行计算。
这样可以帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
定积分在物理学中有着重要的应用，可以帮助我们计算质心、力矩和功等物理量。
通过定积分的计算，我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分的应用于物理学
定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念，它可以描述一个函数在一定区间内的面积。
除了数学上的应用之外，定积分在物理学中也有广泛的应用。
一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个基本的物理量。
对于一个以某个加速度运动的物体，我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。
而得到位移后，我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。
2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量，而质心则是一个系统的重心。
对于一个由若干个质点组成的系统，我们可以将每个质点的质量加起来，然后用质心的坐标来描述整个系统。
这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。
3.力和功在物理学中，力是另一个基本的物理量。
对于一个物体在某个力场中做功，我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。
与此同时，我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。
二、例子：牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则，它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。
具体而言，我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。
假设一个物体受到一个恒定的力F作用，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = ma其中，a是物体的加速度，m是物体的质量。
为了求解这个方程，我们需要将其改写为以下形式：a = F/m这个定理告诉我们，当一个物体受到一个力的作用时，它的加速度是与它的质量成反比例的。
因此，我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。
假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式，我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。
一旦我们知道了加速度函数，我们就可以将它关于时间的定积分求解出来，得到物体在受到力的作用下所走过的位移。
这个过程可以用以下公式来描述：x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中，v0是物体的初始速度，a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。
定积分在物理上的应用-文档资料
例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
端 面 上 所 受 的 压 力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0
R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
连 线 方 向 ．
m 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 距 为 1, m 2相
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取 任 一 小 区 间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解 在端面建立坐标系如图
定积分在物理学的应用例题
定积分在物理学的应用例题在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它常常被用于描述连续体的各种性质、计算质量、能量、电荷等物理量，以及求解各种物理学中的问题。
在这篇文章中，我们将通过几个例题来展示定积分在物理学中的应用。
例题1：质量分布密度假设有一根长为L的均匀细杆，其质量总量为M。
现在我们想要求解该均匀细杆上某一段长度x1到x2的质量。
设均匀细杆上距离起点的位置为x，则单位长度上的质量可以表示为m=ML。
因此，在位置x1到x2的质量可以用定积分表示：∫m x2x1(x)dx=∫MLx2x1dx=ML∫dx2x1x=ML(x2−x1)这个例题展示了定积分在计算质量分布密度中的应用。
例题2：力的合成现在考虑一个粒子受两个力F⃗1和F⃗2的作用，两个力的大小均与位移s成正比。
我们想要计算总共进行的功。
根据定积分的定义，总功可以表示为：W=∫(F⃗1+F⃗2)s0⋅ds⃗=∫|F⃗1+F⃗2|scosθds其中θ表示两力之间的夹角。
通过定积分，我们可以求出粒子受到两个力合成后的总功。
例题3：电荷分布假设有一连续带电线段，其线密度为λ(x)，我们想要计算带电线段产生的电场。
根据库仑定律，线元dx处在距离x处产生的电场为dE=14πε0λ(x)dxr2，其中r表示距离。
带电线段产生的总电场可以表示为：E=∫dL0E=∫14πε0Lλ(x)dxr2通过定积分，我们可以求解连续带电线段产生的总电场强度。
结语通过以上例题，我们展示了定积分在物理学中的应用。
定积分不仅可以帮助我们描述物理现象，计算各种物理量，还可以解决物理学中复杂问题。
在物理学研究中，定积分是一个强大而灵活的工具，对于理解和解决物理问题起着至关重要的作用。
希望这些例题能够帮助读者更好地理解定积分在物理学中的应用。
定积分在物理学上的应用
二、一物体按规律x c t 3 作直线运动，媒质的阻力与 速度的平方成正比，计算物体由 x 0 移至x a 时，克服媒质阻力所作的功 .
三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10 米和 6 米，高为20 米，较长的底边与水面相齐.计算闸门 的一侧所受的水压力 .
七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流 速越小，实验测定，某处的流速 v 与 流处到管子 中心的距离 r 之间 有关系式v k ( a2 r 2 ) ,其中 k 为比例 常数， a 为油管 半径.求通过油管的流 量（注：当流速为常量时，流量 = 流速 截面积）.
练习题答案
一、800 ln 2(焦耳).
四、半径为 r 的球沉 入水中，球的上部与水面相切， 球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作 多少功？
五、一块高为 a ，底为 b 的等腰三角形薄板，垂直地 沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄 板每面所受的压力 .
六、设有一半径为 R ，中心角为 的圆弧形细棒，其 线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的 质点 M ，试求这细棒对质点 M 的引力 .
o x Rx
故圆盘对y 轴的转动惯量为
细条质量:
I y 2
R x2
R
R2 x2 dx 4 R x2
0
R2 x22dxy dx
4 02 R4 sin2 t cos2 t d t
(令 x R sin t)
1 R4 1 M R2
4
4
(
M
R2
)
五、小结
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.
定积分在物理中的应用
b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作 业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功 问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
数学分析10.5定积分在物理中的某些应用
第十章 定积分的应用 5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1：如图所示为一管道的圆形闸门(半径为3米). 问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？ 解：圆的方程记为：x 2+y 2=9.由相同深度的静压强等于水的比重(v)与深度(x)的乘积，当△x 很小时，闸门上从深度x 到x+△x 的狭条△A 所受的静压力为： △P ≈dP=2vx 2x 9-dx. 闸门上所受的总压力为： P=⎰-302x 9vx 2dx=18v.二、引力例2：一根长为l 的均匀细杆，质量为M ，在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量为m 的质点。
试求细杆对质点的万有引力。
解：如图，细杆位于x 轴上的[-2l ,2l ]， 质点位于y 轴上的点a.任取[x, x+△x]⊂[-2l ,2l ]，当△x 很小时， 把这一小段细杆看作一质点， 其质量为dM=lMdx. 于是它对质点m 的引力为： dF=2r kmdM =l Mx a km 22⋅+dx. 又dF x =dFsin θ, dF y =dFcos θ, 且F x =⎰-22x dF ll =0；F y =⎰-22y dF l l =-2θcos M x a km 2022⎰⋅⋅+l l dx=-2⎰+2022 )x a (kmMa 23ll dx=-a 4a 2kmMa 22l +.例3：设有一半径为r 的圆弧形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心正上方距圆弧所在平面为a 的地方有一电量为q 的点电荷. 试求圆弧形导线与点电荷之间作用力(引力或斥力)的大小.解：把中心角为d φ的一小段导线圆弧看作一点电荷，其电量为dQ=δrd φ. 它对点电荷q 的作用力为： dF=2ρkqdQ =22r a kqr δ+d φ. dF z =dFcos θ=dF ·22r a a +=23)r a (akqr δ22+d φ. ∴它们之间的作用力为：F z =⎰π20z dF =⎰+π202223)r a (akqr δd φ=23)r a (πakqrδ222+.三、功与平均功率例4：一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水。
定积分在物理学中的应用
这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为
则动能为
因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
代入上式得
——第二宇宙速度
例3 半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的
例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功
解 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 由题设 9.8=0.02k k= 490 F=490x
要求的是变力所作的功 用微元法 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1] 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力）
一、变力沿直线作功
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。
四、平均值和均方根
关于定积分的应用说明三点：
1。选择合适的坐标系 2。善于根据问题的性质和要求构造积 分元素，主要是选择好参数，并能正 确地确定出积分限， 3。具体计算定积分时，要特别注意和 充分并且慎重应用对称性及等量关系 以简化定积分的计算，对此，熟悉区 域或曲线的形状，对于解决问题是十 分有益的。
定积分在物理中的应用
km a2 x2
M l
dx.
由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不
能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴
两个方向上, 得
dFx dF sin , dFy dF cos .
由 cos a
得垂直方向总合力为
a2 x2
Fy
l
2 l
dFy
2
2
l 2
kmMa
所作功的微分为
I
2 0
R
sin2
t
dt
.
一个周期所作功为
W
I
2 0
R
T sin2 t dt,
0
于是,平均功率为:
P W I02R T sin2 t dt
T 2 0
I
2 0
R
2 sin2
s ds
I
2 0
R
2
(1 cos 2s)ds
2 0
4 0
1 2
I02 R.
例4 一圆锥形水池, 池
口直径 30 米, 深 10米,
O
池中盛满了水. 试求将
全部池水抽出池外需作
10
x
的功?
解 如图建立直角坐标系.
将池中深度为 x 到 x + 的一薄层水Δ抽x到池口
15 y
x x+Δx
所作的功 W 的微元为
dW vxdV ,
而
dV
π
15
1
x 10
2
dx,
因此
于是求得
一、液体静压力
例1 如图所示为管道
的圆形闸门(半径为 3
米). 问水平面齐及直 径时,闸门所受到的水 的静压力为多大(设水
定积分在物理学上的应用
1.3 引力
例 4 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒，在其垂线上距棒 a 单位处有
一质量为 m 的质点 M，试计算该棒对质点 M 的引力．
解 取如图所示坐标系，使细棒位于 y 轴，质点 M 位于 x 轴，棒的中点为原点
O，由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向的分
G
amdy
(a2 y2 )
3 2
2Gml
a
1． 4a2 l2
高等数学
高等数学
1.1 变力沿直线所做的功
许多物理量的计算可以根据微元法思想，利用定积分计算解决．下面介绍 几个定积分在物理学上应用的实例．
从物理学知道，当物体在恒力 F 的作用下，沿力的方向做直线运动，将物 体移动了距离 s 时，力 F 所做的功为
W Fs ．
但在实际问题中，常常需要计算变力所做的功，下面我们通过举例来说明 如何计算变力沿直线所做的功．
W
5
88.2xdx
0
88.2
x2 2
5
0
1102.5
(kJ)
1.2 水压力
由物理学知识可知：在水深为 h 处点的压强为 p gh ，这里 是水的密度，如
果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深 h 处，那么平板一侧所受的水压力为 F pA ．
如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同，平板上各点处的压强 p 也 不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算．
因有 F(0.05) 40 ，即 0.05k 40 ，故得 k 800 ．于是可得到 F(x) 800x ，
则功元素为
dW 800xdx． 于是，弹簧从 15 cm 拉长到 18 cm，所做的功为
定积分的物理应用
定积分的物理应用在物理学中，定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
定积分可以用于求解某一物理量在给定范围内的总量、平均值、功率等问题，为理解和解决物理问题提供了强大的数学支持。
本文将探讨定积分在物理学中的几个典型应用。
一、质点运动中的位移和路径长度在物理学中，研究质点在空间中的运动是一项基础工作。
定积分可以用来计算质点在一段时间内的位移和质点沿着某一曲线运动的路径长度。
假设质点在一维坐标轴上运动，位移是计算质点所在位置与初始位置之间的距离差。
可以用定积分来描述质点在一段时间内的位移，其计算公式为：\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]其中，v(t)表示质点运动的速度函数，t1和t2表示计算位移的时间段。
路径长度是描述质点沿着某一曲线运动的总距离。
即使质点速度在不同位置的大小和方向都不同，也可以通过定积分来计算路径长度。
计算公式如下：\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[dx(t)]^2 + [dy(t)]^2 + [dz(t)]^2} \]其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示质点在x轴、y轴和z轴上的位置函数。
二、力学中的功和能量在力学中，定积分可以用来计算力学系统中的功和能量。
功是描述力对物体做功的量，可以通过定积分来计算。
在一维情况下，力对物体做功的公式为：\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx \]其中，F(x)表示作用在物体上的力，x1和x2表示计算功的位置范围。
能量是物理系统的重要性质，也可以通过定积分来计算。
例如，在弹簧振子系统中，弹性势能可以用以下定积分表示：\[ E = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} kx^2 dx \]其中，k表示弹簧的弹性系数，x1和x2表示弹簧伸缩的位置范围。
三、流体力学中的流量和质量在流体力学中，定积分可以用来计算流体在一定时间内通过某一截面的流量和质量。
5.6定积分在物理上的应用
解
_
1
y
1 (1 x 2 )dx 2
1 (1) 1
3
例6 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低
体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验
测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为
10t t 2 0 t 5 c
C(t
)
25e
k
(
60 0
5
1 (5t 2 1 t 3 ) 5 5 ek(t5) 60
60
3 0 12k
5
11.63(单位 / ml )
三、平均速度
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
故作用在活塞上的
力为 功元素为 所求功为
S
o a xx dx b x
例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
kq
1 r
b a
k
q
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 .
定积分应用与物理意义
定积分应用与物理意义定积分是微积分的重要概念之一，在数学领域有广泛的应用。
然而，在物理学中，定积分也扮演着重要的角色，具有深刻的物理意义。
本文将探讨定积分在物理学中的应用以及相应的物理意义。
一、定积分在速度与位移计算中的应用在物理学中，速度与位移是描述物体运动的重要参数。
通过定积分，我们可以计算在某一时间段内的平均速度和位移。
考虑一个运动物体在时间 t=0 秒到 t=T 秒之间的运动情况。
我们用函数 v(t) 表示物体在不同时刻 t 时的速度。
为了计算物体在这段时间内的位移，我们将速度函数 v(t) 进行定积分：∫[0, T] v(t) dt这里的积分上限是 T，下限是 0，积分结果表示物体在 [0, T] 时间段内的位移。
这个位移值具有明确的物理意义，它告诉我们物体相对于起始点的位置发生了多大的变化。
二、定积分在力学中的应用定积分在力学中的应用非常广泛，包括质点力学和刚体力学等方面。
1. 质点力学中的应用在质点力学中，定积分可以用来计算质点所受合力对其做的功。
考虑一个质点在力 F(t) 作用下从位置 A 移动到位置 B，我们可以将力 F(t) 与质点的位移进行内积，然后进行定积分：∫[A, B] F(t) · ds这里的积分路径是从位置 A 到位置 B，并且 F(t) 是该路径上的力向量，ds 是路径的微小位移向量。
积分结果表示力 F(t) 所做的总功，这个值告诉我们质点在从 A 到 B 的过程中获得或失去的能量。
2. 刚体力学中的应用在刚体力学中，定积分可以用来计算刚体受到的力矩对其做的功。
考虑一个刚体在力矩 M(t) 作用下，我们可以将力矩 M(t) 与刚体的角位移进行内积，然后进行定积分：∫[θ1, θ2] M(t) · dθ这里的积分上限是θ2，下限是θ1，积分结果表示力矩 M(t) 所做的总功，这个值告诉我们刚体在从角度θ1 变化到角度θ2 的过程中获得或失去的能量。
定积分的物理应用
定积分的物理应用定积分是微积分中的重要概念，它在物理学中有着广泛的应用。
本文将探讨定积分在物理学中的几个主要应用领域。
一、质点运动的位移与速度质点在一定时间内的位移可以通过定积分来计算。
假设质点在时间区间[a, b]内的速度函数为v(t)，则质点在该时间区间内的位移可以用定积分表示为：S = ∫[a,b] v(t) dt其中，S表示质点的位移量。
这个定积分表示了质点在从a时刻到b时刻的速度变化的累积效果，即位移量。
二、质点运动的加速度与速度速度的变化率称为加速度。
根据牛顿第二定律，质点的加速度可以表示为质点所受的力对质点质量的比值。
因此，如果我们知道质点在某个时间区间内的加速度函数a(t)，那么质点在该时间区间内的速度变化可以用定积分表示为：Δv = ∫[a,b] a(t) dt其中，Δv表示速度的变化量。
这个定积分表示了质点在从a时刻到b时刻的加速度变化的累积效果，即速度的变化量。
三、质点受力的功与能量在物理学中，功可以理解为力对质点产生的能量转移。
假设一个质点在沿着一个直线运动，并受到一个作用力F(x)的作用。
则质点在从点a到点b的位移过程中所受到的力的功可以用定积分表示：W = ∫[a,b] F(x) dx其中，W表示受力的功。
这个定积分表示了力F(x)对质点在从点a 到点b的位移过程中所作的功。
四、连续介质的质量与密度在连续介质力学中，定积分也有着重要的应用。
考虑一个线密度为ρ(x)的连续介质，它在区间[a, b]中的质量可以用以下定积分表示：m = ∫[a,b] ρ(x) dx其中，m表示连续介质的质量。
这个定积分表示了在区间[a, b]中，密度函数ρ(x)所围成的面积，即连续介质的质量。
五、物体的质心与力矩物体的质心是物体质量均匀分布时的平衡点。
对于一个质量为m(x)的物体，可以用定积分来求解其质心位置：x_c = ∫[a,b] x * m(x) dx / ∫[a,b] m(x) dx其中，x_c表示物体的质心位置。
定积分在物理中的应用
探究:变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从 xБайду номын сангаасa移动到x=b(a<b),那么如何计算变力 y F(x)所做的功W呢？ y=F(x)
f(b) f(a)
由”四步曲”能得到
W F ( x)dx
a
b
O
a
b
x
例题讲解：变力作功
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡 位置拉到离平衡位置L米处，求克服弹 力所作的功.
0
10
40
60
t
（30＋60） 30 1350(m) 2 不是所有的路程题都适用定积分的几何 意义求解
练习1:现学现用 一物体沿直线以v=2t+3(t 的单位:s,v的 单位：m/s)的速度运动，求物体在3s~5s 间行进的路程。
方法一：s
2
5
3
(2t 3) dt 5 3
2
(t 3t )
3 3 2 1050 ( 60 90 60) ( 402 90 40) 4 4
1350(m)
小结 :做变速直线运动的物体所经过 答：汽车 1分钟行驶了 1350m. b 的路S, s v(t )dt (v(t ) 0)
a
例题讲解:变速直线运动的路程
1
1 3 1 3 (5 2 2 ) (5 1 1 ) 3 3 8 3
练习3:能力提升
一物体在变力F(x)=5-x2作用下，沿与 F(x)成300方向作直线运动，则由x=1运 4 3 动到x=2时F(x)作的功为（ (J ) ） 2 3 2 0 W (5 x ) cos30 dx F(x)
定积分在物理中的某些应用
检疫
注册申请
条件：申办注册登记的出口动物饲养场，应具备独立法人资格， 不具独立法人资格的，由其拥有独立法人资格的上级主管单位
提出注册登记申请。 受理单位：所在地直属检验检疫机构。 所需材料及数量:申请注册时，需提交《申请表》和《企业法 人营业执照》复印件、饲养场平面图和彩色照片(包括场区全 貌、进出场区及生产区消毒通道、栏舍内外景、兽医室、发病 动物隔离区、死亡动物处理设施、粪便处理设施、隔离检疫舍 等)以及饲养管理制度和动物卫生防疫制度等资料，一式3份。 实施一场一证制度。同一企业所属的位于不同地点的饲养场应
W a F ( x)dx
2022年9月1日10时36分
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14
例8. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹 簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常 数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx
O x
64g (kJ )
x+dx
x
2022年9月1日10时36分
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19
例13. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
x
相应于区间[x，x+dx]的球体中
的薄片(球台)的体积约为
R+x
dV (R2 x2 )dx
v =1吨/米3 ，于是受到的静压力 为 P 2vx 9 x2 dx 从而闸门受到的总压力为
3
o x
y
x dx
P
3
2vx
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浅谈定积分的意义
纯粹几何图形而言，定积分的意义是由曲线、x轴，区间起点的垂直线x=a、
区间终点的垂直线x=b，所围成的面积。
也可以广义而言，定积分的几何意义就是“抽象的面积”。例如：如果横 轴是体积，纵轴是压强，“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功； 如果横轴是时间，纵轴是电流，“抽象面积”的意义是电源对外放出的电 量、、、、、、 定积分是一种重要的数学思想，如今定积分思想广泛应用于物理、医学、 经济学、化工等领域，具有极大的应用价值。
上述公式计算，而是应用定积分思想，采用元素法来计算。
例.有一长度为L，密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m
的质点M，计算该棒对质点M的引力。
解：建立坐标系
取y为积分变量，y∈[这一区间对应
y+dy]，
的棒上小段可近似看成质点，
质量为ρdy，小段与质点的距 离为
定积分在物理上的应用举例
目录
1.用定积分求解平均功率问题 2.用定积分求解引力问题
一、平均功率问题
二、引力问题
质量分别为M、m的质点，相距r，两者间引力： 大小：
F K
Mm
方向：沿两质点的连线
r
2
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该
点的距离是变化的，且各点对该点的引力方向也是变化的，故不能用
THANK YOU
r
a
2
y
2
细杆对质点的引力：
dF k mρdy
a
2
y
2
水平方向的分力：
dFx dF cos( π - ) -dF cos a amρdy
a
2
y
2
dF k
(a y )
2
2
3 2
F
x
k
L 2 L 2
amρdy
(a y )
2
2
3 2
2kmρL a (4a 2 L 2)