稳定子量子纠错技术的分析研究

（南京信息工程大学）卢 晶 赵 远 东 杨 雄
Ｌｕ ，Ｊ ｉｎｇ Ｚｈａｏ ，Ｙｕａｎｄｏｎｇ Ｙａｎｇ ，Ｘｉｏｎｇ
摘要： 量子密码学已经成为未来信息安全研究的重要方向，
越来越大越多的人关注这个方向的发展。本文主要讨论了
用于纠正量子通信中错误的稳定子量子纠错码技术， 并且
分 析 了 它 和 基 于 传 统 纠 错 技 术 的 ＣＳＳ 量 子 纠 错 码 的 不 同 之
不等式满足下式：
２ｋ（３ｎ＋１）≤２ｎ
编码 ｋ＝１ 时， ｎ＝５ 使 得 该 式 成 立 且 ｎ 是 满 足 该 式
的最小值。正如上面所述， 用 ５ 位量子态编码 １ 位信
息， 需要（ ５－ １） ＝４ 个稳定子生成元。为了阐述方便， 举
例下述四个生成元
Ｍ１＝ＸＺＺＸＩ
Ｍ２＝ＩＸＺＺＸ
Ｍ３＝ＸＩＸＺＺ
Ｍ４＝ＺＸＩＸＺ
将四个生成元化成 ４×１０ 的矩阵 Ｈ：
卢晶： 硕士研究生 基金项目：国家科技部专项资金资助项目 ＤＩＢ２０１１６ 电话： ０１０－６２１３２４３６， ６２１９２６１６（ Ｔ／Ｆ） 《现场总线技术应用 ２００ 例》
２ 量子纠错基本原理
２．１ 量子纠错与经典纠错的差异
源自文库
量子纠错技术是在经典纠错技术的基础上发展
起来的， 但又存在着利用经典纠错理论无法解决的问
处。最后结合一个实例予以说明该技术的优势所在和发展
趋势。
关键字： 纠错码； 量子； 稳定子；量子纠错
中图分类号： ＴＰ４８６
文献标识码： Ａ
文章编号：１００８－ ０５７０（２００５）１２－ ３－ ００４９－ ０３
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ｔｒｅｎｄ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｃｕｒｉｔｙ ｉｎ ｆｕｔｕｒｅ，ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｐｅｏｐｌｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｔ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｒｒｏｒ － ｃｏｒｒｅｃｔ－ ｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ｕｓｉｎｇ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ ｃｏｄｅｓ ｔｏ ｄｉｍｉｎｉｓｈ ｔｈｅ ｆａｕｌｔ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｉｎ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ．Ｗｅ ａｔｔｅｍｐｔ ｔｏ ｏｕｔｌｉｎｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ＣＳＳ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ ｃｏｄｅｓ ａｎｄ ｉｔ．Ａｌｓｏ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｉｔｓ ａｄｖａｎｔａｇｅ ａｎｄ ｉｔｓ ｔｒｅｎｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：Ｅｒ ｒ ｏｒ － Ｃｏｒ ｒ ｅｃｔｉｎｇ，ｃｏｄｅｓ，Ｑｕａｎｔｕｍ，Ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ ，Ｑｕａｎ－ ｔｕｍ ｅｒ ｒ ｏｒ － ｃｏｒ ｒ ｅｃｔｉｎｇ
以我们可以只用 Ｚ，Ｘ 来表示任意一个生成元 Ｍ。假设
Ｍ 有 ５ 位如 Ｘ１Ｚ２Ｙ３Ｘ４Ｉ５ 则可以用 ２×５ 个位表示该生
成元， 左边为 Ｚ 算子， 右边为 Ｘ 算子； 若某位为 Ｚ 则 Ｚ
部分该位置 １， 同理若某位为 Ｙ＝Ｚ＊Ｘ 则在 Ｚ，Ｘ 部分该
位均设 １。上述 Ｍ 可表示为： （ ０１１００｜１０１１０） 。
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中 文 核 心 期 刊 《 微 计 算 机 信 息 》（ 管 控 一 体 化 ）２００５ 年 第 ２１ 卷 第 １２－３ 期
制备在｜０＞态。然后进行编码 Ｃ： Ｃ（｜!＞｜０＞）＝｜!ｅ＞ ｜!ｅ＞为编码后的 ｎ 位量子态。设编码态出错是出
量子态；
４）经 典 纠 错 方 法 依 靠 直 接 对 经 典 位 测 量 来 获 得 纠
错信息， 而量子学中对量子态的测量会导致量子态信
息的改变。
所以基于上述原因， 我们需要研究一种不同于传
统纠错技术， 适用于量子纠错的理论。
２．２ 量子纠错基本原理
由于量子位容易和环境相互作用使得编码量子
信息的量子态和环境产生纠缠， 使得编码信息散失到
术 — ——＞ ｂ｜ １＞＋ｅ｜０＞。但是经典纠错中不存在小错累计问
题；
创 ３）经 典 纠 错 方 法 利 用 冗 余 位 插 入 技 术 使 得 受 保 护
信 息 拷 贝 在 多 个 位 当 中 ， 一 旦 少 数 位 出 错 利 用 “少 数
新 服 从 多 数 ”原 则 进 行 纠 正 。 但 在 量 子 计 算 中 无 法 拷 贝
些不足：
１）该理论以经 典 纠 错 码 为 基 础 ， 不 具 有 更 好 的 一
般性；２）ＣＳＳ 量子纠错码的位相出错和位反出错需要分
别进行计算， 无法从一步测量计算中同时得到结果，
效率不高。为了构造一种更普遍， 更高效的量子纠错
编 码 ， １９９６ 年 Ｇｏｔｔｅｓｍａｎ， Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ 提 出 了 稳 定 子 纠
１ 引言
量子力学和相对论， 混沌理论被称为二十世纪的 三 大 发 现 。量 子 密 码 学 是 量 子 力 学 和 信 息 学 相 结 合 产 生的一门新兴学科， 目前已引起全球各国政府科研机 构的重视， 它改变了传统密码学依赖数学基础的特 征， 依靠量子物理学定律提供信息的绝对安全性。量 子 密 码 学 １ 系 统 建 立 在 Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ 测 不 准 原 理 和 量 子不可克隆定理基础之上： 首先， 对量子态的测量会 干扰量子态本身， 使得窃听方式必然会留下痕迹被合 法用户发现； 其次， 否定了利用量子复制机来克隆与 输入量子态完全一致的量子态。因此， 量子密码学原 则上可以提供不可破译， 不可窃听的完全保密系统。
子组成 Ｐａｕｌｉ 算子群。例如 Ｍ＝Ｘ１⊙Ｚ２⊙Ｘ３⊙Ｙ４……
Ｚｎ 就是 ｎ 重直积， 每一位分别作用到 ｎ 位长量子态的
各个位上面。
设 Ｓ 为 ｎ 量子位 Ｐａｕｌｉ 算子群 Ｇｎ 的一个 Ａｂｅｌ 子
群， Ｓ 的元素 相互对易， 设 Ｓ 中 所 有 元 素 本 征 值 为＋１
的 共同本征空 间为 Ｈ， 则当｜!＞属 于 Ｈ 时 有 Ｍ｜!＞＝｜
中。Ｍ１＊Ｍ１＝Ｉ 的 Ｍ１ 算子本征值有＋１，－ １ 两种情况， 而 Ｍ１ 本 征 值 等 于＋１ 的 本 征 空 间 Ｈ 的 维 数 将 是 整 个 空 间维数的一半也就是 １／２＊２ｎ＝２ｎ－１ 同理可知 Ｍ２ 也有本 征值＋１，－ １ 而 Ｍ２ 和 Ｍ１ 共同本 征值＋１ 的本征空 间 是 Ｍ１ 本征值＋１ 的本征空间 维数的又一 半 １／２ （２ｎ－１）＝２ｎ－２ 依此类推， 每多一个生成元 Ｍｉ 本征值为＋１ 的共同本 征空间维数减一半， 所以 ｎ－ ｋ 个稳定子生成元， 码空 间维数＝（１／２）ｎ－ｋ＊２ｎ 所以一个 ｎ 位量子位编码一个 ｋ 位 信息需要 ｎ－ ｋ 个稳定子生成元。
但是， 由于量子通信和环境存在着相互作用， 这 种作用又引起编码量子态与环境态纠缠， 从而破坏量 子态信息； 再者， 量子编码本身就是复杂的量子计算， 很可能带入新的错误， 所以我们可以采用纠错技术使 得出错率降低到可以容忍的程度， 这就是量子纠错 码。本文主要阐述了量子纠错码技术中的稳定子量子 纠错码并给予一个具体的实例进行介绍。
因此针对一个特定的出错 Ｅａ， 不同的 Ｍｉ 测得的
结果也不同， 这样就可以通过对稳定子的所有生成元
Ｍｉ 进行测量来纠正所有的错误。
３．３ 稳定子量子纠错码应用实例分析
３．３．１ 稳定子量子编码
因为稳定子 Ｓ 是 Ｐａｕｌｉ 算子群 Ｇｎ 的一 个 Ａｂｅｌ 子
群，Ｍ∈Ｓ 且 算 子 一 共 有 ４ 种 ： Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｉ 其 中 Ｙ＝Ｚ＊Ｘ； 所
量子纠错码与传统纠错码一样需要指错子来指
出 哪位发生错 误， 稳定子纠 错 码 就 是 利 用 生 成 元 Ｍｉ 的 本征值来进行 判断： 如果 编 码 没 有 发 生 错 误 则 Ｍｉ 本 征 值 测 得 为＋１， 如 果 本 征 值 为－ １， 则 说 明 有 错 误 发 生。稳定子生成元 Ｍｉ 与出错算子 Ｅ 要么对易要么反 对易， 所以：
在其中的信息再提取出来恢复编码量子信息。
现在我们知道一个量子位和环境发生作用可能
发生的情况有以下几种：
Ｉ－ 没有错误
Ｘ－ 位反出错
Ｚ－ 位相出错 Ｙ－ 位反出错＋位相出错
现假设有一 ｋ 位的量子态｜!＞， 第一步人为地将该
量子态与其他量子态发生纠缠， 形成 ｎ 位的新量子
态， 为此需要引入 ｎ－ ｋ 位的量子位并且使这些量子位
技
３ 稳定子量子纠错码
１９９５－ １９９６ 年 Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ，Ｓｈｏｒ，Ｓｔｅａｎｅ 三人提出了
术 以经典纠错码为基础的量子纠错码理论方法， 即 ＣＳＳ
创 量子纠错码理论。该理论将经典码字看成是量子态， 利用经典码字的叠加构造编码的量子态， 其纠错借助
新 于经典纠错码的检验矩阵进行判断指错。虽然该理论 可以较好的应用在量子纠错上， 但是其仍然存在着一
!＞（Ｍ∈Ｓ）。
则该量子码为稳定子码， Ｓ 为稳定子。
３．２ 稳定子码基本原理
当 Ｍ１∈Ｓ 时， Ｍ１＊Ｍ１＝Ｉ，这是因为如果 Ｍ１＊Ｍ１＝－ Ｉ
那么算子 Ｍ１ 的本征值将不可能是＋１， 也就是不 在 Ｓ
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题， 大致可归纳为以下四种：
１）经 典 计 算 中 唯 一 发 生 的 错 误 就 是 位 反 出 错 而 量
子计算中除了位反出错外还有可能发生位相出错： ｜０＞
— ——＞｜０＞ ｜ １＞— ——＞ － ｜ １＞
技 ２） 量子位的一般态 ａ｜０＞＋ｂ｜ １＞有可能出现细微的
出 错 使 得 ａ，ｂ 产 生 偏 差 ， ａ｜０＞— ——＞ ａ｜０＞＋ｅ｜１＞， ｂ｜ １＞
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稳定子量子纠错技术的分析研究
Ｔｈ ｅ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒｃｈ ａ ｎ ｄ Ａｎ ａ ｌｙｓ ｉｓ ｏ ｆ Ｑｕ ａ ｎ ｔｕ ｍ Ｅｒｒｏ ｒ－ Ｃｏ ｒｒｅ ｃｔｉｎ ｇ Ｔｅ ｃｈ ｎ ｏ ｌｏ ｇ ｙ ｕ ｓ ｉｎ ｇ Ｓ ｔａ ｂ ｉｌｉｚｅ ｒ Ｃｏ ｄ ｅ ｓ
错算子 Ｅａ 之和， Ｅａ 是 ｎ 个出错算子的直积， 例如： Ｅａ＝ Ｚ１Ｘ２．．．．．．Ｘｎ－ １Ｉｎ 表示第一位位相出错， 第二位位反出 错 … …设环境态为｜ｅａ，则整个系统的出错态将是纠缠态：
Σ｜ｅａ＞Ｅａ｜!ｅ＞ 为了判断发生什么样的错误， 发生在哪一位， 需 要引入辅助态｜０＞辅。这样整个系统在纠错算子 Ａ 的作 用下变为： Ａ（Σ｜ｅａ＞Ｅａ｜!ｅ＞｜０＞辅）＝Σ｜ｅａ＞Ｅａ｜!ｅ＞｜ａ＞辅 现在测量辅助态｜ａ＞辅， 根据量子力学理论， 如果 测得态｜ａ＞辅， 则整个出错态将会坍缩到由该辅助态标 志的一个特殊的态上： ｜ｅａ＞Ｅａ｜!ｅ＞｜ａ＞辅 由于测量得到了 ａ 值， 这样就知道哪一位发生了 错误， 利用相反的出错算子 １／Ｅａ 作用到这个特殊态上 便 可 恢 复 正 确 态｜!ｅ＞。
环境中去， 所以如果我们可以得到量子态和环境构成
的复合系统的信息， 那么就可以对量子态和环境构成
的复合系统作用一个逆变换还原出量子信息。但是很
遗憾的是环境的因素是我们很难掌握的。基于这个原
因， 可以人工地使得量子位和量子位发生纠缠， 把编
码量子信息纠缠到许多量子位的纠缠态中， 而这些附
加量子位并不和环境因素一样不可控制， 可以将散布
错码理论。
３．１ 稳定子码的概念
在介绍稳定子之前， 先说明一下本征值和本征矢
量： 算子 Ｆ 作用到量子态｜!＞，若有一个常数 ｆ 使得： Ｆ｜
!＞＝ｆ｜!＞，那么则称常数 ｆ 是本征值， ｜!＞是相应的本征
向量。一个量子位和环境发生作用有四种可能： Ｘ，Ｙ，Ｚ，
Ｉ 其中位反位相出错 Ｙ＝Ｚ＊Ｘ， 加上正负号共有 ８ 个算
这样就可以方便的表示稳 定子生成元 Ｍｉ 以便进
行纠错指错。
对于每个量子位有 ３ 种出错态， 加上本身需要 １
维空间存放， 所以 ｎ 位量子态需要 ３ｎ＋１ 维空间。这样
编 码 ｋ 位 信 息 需 要 ２ｋ（３ｎ＋１）维 空 间 ， 为 了 使 得 编 码 效
率最高， 我们需要最少的位数来编码 ｋ 个量子态使得