第二章 测量系统的误差及抑制
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2.2.3 绝对误差
设某物理量的测量值为x,它的真值为a,则x-a=ε;由此式所表示的 误差ε和测量值x具有相同的单位,它反映测量值偏离真值的大小,所 以称为绝对误差。(即测量值与真实值之差的绝对值)。
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2.2.3 相对误差
误差还有一种表示方法,叫相对误差,它是绝对误差与测量值或多
,依次递推,有
S 1 0 . 0884
S 6 0 . 0244 、 S 4 0 . 0343 、S 5 0 . 0285 、 S 7 0 . 0209 S 3 0 . 0431 、 S 2 0 . 0580 、
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2、阿卑-赫梅特判据。通常用阿卑-赫梅特判据来检验周期性误差
的存在。把测量数据按测量顺序排列,将对应的残差两两相乘,然后
求其和的绝对值,再与测量值方差估计值 相比较,若下式成立,则
2
系统中存在周期性系统误差。
vv
i i 1
n 1
i 1
n 1
2
(2-8)
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变化的系统误差。通常用判断准则来发现系统误差。
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1、马利科夫判据。马利科夫判据是判别有无累进性系统误差的常
用方法。把n个等精度测量值所对应的残差v按测量先后顺序排列,把 残差分成两部分求和,再求其差值D。测量次数n有可能是偶数也有可 能是奇数。 当n为偶数时, 当n为奇数时,
( n 1) / 2
d
2 2
,则有
dt
2
0
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4
c1 cos t c 2 sin t
c1 c 2 sin( t )
2 2
(2-4)
可见,单摆做正弦运动。周期
T
2
。
在上述单摆受力分析过程中,假定摆线长度不变、悬线无质量、 单摆不受空气影响,甚至取,会产生一定的固有偏差,即模型误差。 模型误差:在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为 数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,对问题作一些简化。因
正确做法应该是
5 5 5 x1 (10 10 4 ) / 2 10 5 x 2 1 / x1 10
类似例子说明, 4、减少运算次数。减少运算次数能够避免误差积累。 5、增加原始数据的有效位数。
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2.3.2 算法稳定性很重要
误差的传播与积累:在多重运算中,原始数据的误差导致最终结 果也有误差的过程称为误差的传播。在计算过程中,如果误差不增长, 则称该算法是稳定的,否则,算法是不稳定的。
l g
计算时,存在计算误差,包括截断误差、有效值位数的舍入误差。
测量误差:由于仪器、实验条件、环境等因素的限制,测量不可 能无限精确,物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一 定的差异,这种差异就是测量误差。
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截断误差:由于实际运算只能完成有限项或有限步运算,因此要
将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断, 这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差:在数值计算过程中,由于计算工具的限制,我们往往 对一些数进行四舍五入,只保留前几位数作为该数的近似值,这种由
第二章 测量系统的误差及抑制
§2.1 测量系统的概念 §2.2 测量误差 2.2.1 系统误差 2.2.2 偶然误差(随机误差) 2.2.3 绝对误差 2.2.4 相对误差 §2.3 计算误差 2.3.1 从一个实例说起 2.3.2 算法稳定性很重要
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§2.4 模型误差与最佳测量方案 2.4.1 误差合成公式 2.4.2 误差见相关性的讨论 2.4.3 最佳测量方案 §2.5 误差的抑制 2.5.1 基于测量方法的误差抑制 2.5.2 基于数据处理的误差抑制
S3 、
(2-13)
0 . 0833
对初始值
S 4 0 . 166
S 0 ln 6 ln 5 0 . 182
S2 ,依次递推有S 1 0 . 090 、
S 8 12 . 5 。 S 6 4 . 98 、S 7 25 . 0 、 S 5 1 . 03 、 、 显然,结果出现负数是错误的;其次,数值大幅度跳跃也是不对的。
3
例1.设有一个球体,其半径为r
( 3 1) 6 0.019246 8 ( 2 3 ) 3 0 . 019227 26 15 3 0 . 0185 3 3 1 8 0 . 019236 6 3 1 ( 3 1) 1 0 . 019237 3 (2 3 ) 1 0 . 019238 26 15 3
图2.3 磁性球控制干簧管
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§2.2 测量误差
无论是直接测量、还是间接测量,测量不可能无限精确,物理量的 测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异,这种差异就
是前文所述的测量误差。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制,
测量误差是不可避免的,只能减小。 根据测量误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类。 根据误差表示的形式,又可将误差分为绝对误差、相对误差。
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2.2.2 偶然误差(随机误差)
在相同条件下,对同一物理量进行多次测量,由于各种偶然因素, 会出现测量值时而偏大,时而偏小的误差现象,这种类型的误差叫做
偶然误差。
产生偶然误差的原因很多,例如读数时,视线的位置不正确,测 量点的位置不准确,实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、 振动等因素的影响而产生微小变化等,这些因素的影响一般是微小的, 而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小,因此偶然误差难以找 出原因加以排除。
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2.2.1 系统误差
在同一测量条件下,多次重复对同一量值进行测量时,测量误差 的绝对值和符号保持不变,或在测量条件改变时按一定规律变化的误 差,称为系统误差。系统误差出现一定的规律,如果能确知其影响因 素的规律时,可以对这些误差进行控制或加以修正。
不变的系统误差,常用校准的方法来检查恒定的系统误差是否存 在,通常用标准仪器或者标准装置来发现并确定系统误差的数值。
此数学模型和实际问题有一定的误差,这种误差称为模型误差。
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此外,测量方法和测量仪器也会对测量结果带来偏差,而且会因 测量方法的不同有所差异。 例如,用测量悬线长度的方法来确定单摆周期,
T 2
2 g /l
2
l g
(2-5)
式(2-5)用于确定单摆周期过程中,在确定时,存在测量误差;在 、
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实验表明,大量次数的测量所得到的一系列数据的偶然误差都服
从一定的统计规律,这些规律有: 1、绝对值相等的正的与负的误差出现机会相同;
2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多;
3、误差不会超出一定的范围。 随机误差具有以下分布规律:对称性、单峰性、有界性、抵偿性。 由此可知对同一参数测量的次数较多时,即当n 时,随机误差的 算术平均值将逐渐接近于零。
似乎是确定的值,但实际上,随算法的不同结果有差别。取 3 =1.73205。
后三种算法结果接近,并且充分接近真 实值;但是,前三种算法效果要差一些, 这是有两个接近的数做减法引起的。
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类似例子说明: 1、两个数值相近的数不宜做减法。一旦出现有关情况,可采用数 学恒等式进行转换,如
舍入产生的误差称为舍入误差。
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上述例子属于间接测量。也有人用时间间隔测量来确定单摆周期。 图2.3中用磁性摆球代替普通小球,利用磁性球对干簧继电器的控制, 启动或终止电子计时电路,直接获得周期值(直接测量)。
显然,磁性球方案也会引入误差。因为 这种情况下,所测周期是磁性球与干簧管作 用时的单摆周期;与不存在干簧管情况下的 单摆系统周期有区别,也会对测量结果带来 偏差。该偏差也可归入模型误差范畴。
x1 接近x 2 时,lg( x1 ) lg( x 2 ) lg(
x1 x2 ) ;
x 接近0时, sin x
x 充分大时, 1 x
1 cos x
sin x 1 cos x
x
;
1
1 x
,
x
1 1 x ( x 1) )
arctan( 1 x ) arctan( x ) arctan(
假定摆线长度不变、悬线无质量、单摆不受 空气影响,摆球受力为
l
mg sin ma ml
d
2
(2-1)
dt
2
sin
即,
d
2
m g
mg
dt
2
g l
sin 0
2 ,令
(2-2)
g l
图2.2 单摆模型
式(2-2)中,当θ很小时, sin (2-3) 解得:
次测量的平均值的比值,并且通常将其结果表示成非分数的形式,所 以也叫百分误差。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度,而相对误差则可以比 较不同测量结果的可靠性。
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§2.3 计算误差
3 1 4 3 4 r ,该球体的体积 V 3 3 3 1
3 1 3 1
n e n 5 e 0 ,算法不稳 ,亦即,
定的原因在此。 1 1 1 S S e e n ,则可以产生一个稳定 反过来,取 n 1 n ,则 n 1 5n 5 5 的计算过程。 取 S8
1 1 1 0 . 0204 2 5 ( 8 1 ) 6 ( 8 1 )
D
v
i 1
n/2
i
i i n / 2 1
v
n
n
(2-6)
D
v
i 1
i
i i ( n 1) / 2
v
(2-7)
当含有累进性误差时,前后两部分明显不同,D明显异于零。所以 当D近视为零时,则表明测量数据中不含累进性系统误差,若D明显 不为零,则测量数据中存在累进性误差。
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系统误差产生的原因: 1、仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如, 各种刻度尺的热胀冷缩,温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。 2、实验本身所依据的理论、公式的近似性,或者对实验条件、测量方法的 考虑不周也会造成误差。例如,热学实验中常常没有考虑散热的影响,用伏安 法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。 3、测量者的生理特点,例如反应速度,分辨能力,甚至固有习惯等也会在 测量中造成误差。 系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离,其数值按一定规律变化。我 们应根据具体的实验条件,系统误差的特点,找出产生系统误差的主要原因, 采取适当措施降低它的影响。
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§2.1 测量系统的概念
测量系统是用来对被测特性定量测量或定性评价的仪器或量具、 标准、操作、方法、夹具、软件、人员、环境和假设的集合,涉及获 得测量结果的整个过程。本节将从实例出发介绍测量系统的概念。
图2.1 TEMA DIC 2D非接触多点应变测量系统
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因为根据积分式, 0 显然, 6 ( n 1)
( 1 n
1 Sn 1
1
x
n
6
dx
1 0
x
n
x5
dx
1 0
x
n
5
dx
*
(2-14)
1 n 5 S n 1 )
*
5 ( n 1)
*
en S n S n ( 。考察第步误差,
5 S n 1 ) 5 ( S n 1 S n 1 ) 5 e n 1
2、绝对值太小的数不宜做除数。可能会产生误差急剧增大或数值 溢出的情形。 3、避免两个绝对值相差很大的数做加减运算。
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x 10 x 1 0 的根。 例2.求解二次方程, 解:套用二次方程求根公式,经过8位浮点精度计算
2
5
x (10 5 10 5 4 ) / 2 10 5 1 5 5 x 2 (10 10 4 ) / 2 0
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例3.近似计算 S n 解:据题意,有
1 0
x
n
x5
n
dx
,其中n=1,2,3...,8。
n 1
S n 5 S n 1
1 0
x 5x x5
dx
1 0
Leabharlann Baidu
x
n 1
dx
1 n
(2-12)
变形,有递推关系
Sn 1 n 5 S n 1
0 . 050