第二章 测量系统的误差及抑制

次测量的平均值的比值，并且通常将其结果表示成非分数的形式，所 以也叫百分误差。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而相对误差则可以比 较不同测量结果的可靠性。
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§2.3 计算误差
3 1 4 3 4 r ，该球体的体积 V 3 3 3 1
3 1 3 1
变化的系统误差。通常用判断准则来发现系统误差。
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1、马利科夫判据。马利科夫判据是判别有无累进性系统误差的常
用方法。把n个等精度测量值所对应的残差v按测量先后顺序排列，把 残差分成两部分求和，再求其差值D。测量次数n有可能是偶数也有可 能是奇数。 当n为偶数时， 当n为奇数时，
( n 1) / 2
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2
§2.1 测量系统的概念
测量系统是用来对被测特性定量测量或定性评价的仪器或量具、 标准、操作、方法、夹具、软件、人员、环境和假设的集合，涉及获 得测量结果的整个过程。本节将从实例出发介绍测量系统的概念。
图2.1 TEMA DIC 2D非接触多点应变测量系统
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D
v
i 1
n/2
i

i i n / 2 1
v
n
n
(2-6)
D
v
i 1
i

i i ( n 1) / 2
v
(2-7)
当含有累进性误差时，前后两部分明显不同，D明显异于零。所以 当D近视为零时，则表明测量数据中不含累进性系统误差，若D明显 不为零，则测量数据中存在累进性误差。
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2、阿卑-赫梅特判据。通常用阿卑-赫梅特判据来检验周期性误差
的存在。把测量数据按测量顺序排列，将对应的残差两两相乘，然后
求其和的绝对值，再与测量值方差估计值 相比较，若下式成立，则
2
系统中存在周期性系统误差。
vv
i i 1
n 1
i 1

n 1
2
(2-8)
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第二章 测量系统的误差及抑制
§2.1 测量系统的概念 §2.2 测量误差 2.2.1 系统误差 2.2.2 偶然误差(随机误差) 2.2.3 绝对误差 2.2.4 相对误差 §2.3 计算误差 2.3.1 从一个实例说起 2.3.2 算法稳定性很重要
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§2.4 模型误差与最佳测量方案 2.4.1 误差合成公式 2.4.2 误差见相关性的讨论 2.4.3 最佳测量方案 §2.5 误差的抑制 2.5.1 基于测量方法的误差抑制 2.5.2 基于数据处理的误差抑制
正确做法应该是
5 5 5 x1 (10 10 4 ) / 2 10 5 x 2 1 / x1 10
类似例子说明， 4、减少运算次数。减少运算次数能够避免误差积累。 5、增加原始数据的有效位数。
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2.3.2 算法稳定性很重要
误差的传播与积累：在多重运算中，原始数据的误差导致最终结 果也有误差的过程称为误差的传播。在计算过程中，如果误差不增长， 则称该算法是稳定的，否则，算法是不稳定的。
d
2 2
，则有
dt
2
0
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4
c1 cos t c 2 sin t
c1 c 2 sin( t )
2 2
(2-4)
可见，单摆做正弦运动。周期
T
2

。
在上述单摆受力分析过程中，假定摆线长度不变、悬线无质量、 单摆不受空气影响，甚至取，会产生一定的固有偏差，即模型误差。 模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为 数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响，对问题作一些简化。因
，依次递推，有
S 1 0 . 0884
S 6 0 . 0244 、 S 4 0 . 0343 、S 5 0 . 0285 、 S 7 0 . 0209 S 3 0 . 0431 、 S 2 0 . 0580 、
舍入产生的误差称为舍入误差。
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上述例子属于间接测量。也有人用时间间隔测量来确定单摆周期。 图2.3中用磁性摆球代替普通小球，利用磁性球对干簧继电器的控制， 启动或终止电子计时电路，直接获得周期值(直接测量)。
显然，磁性球方案也会引入误差。因为 这种情况下，所测周期是磁性球与干簧管作 用时的单摆周期；与不存在干簧管情况下的 单摆系统周期有区别，也会对测量结果带来 偏差。该偏差也可归入模型误差范畴。
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例3.近似计算 S n 解：据题意，有


1 0
x
n
x5
n
dx
，其中n=1,2,3...,8。
n 1
S n 5 S n 1

1 0
x 5x x5
dx

1 0
x
n 1
dx
1 n
(2-12)
变形，有递推关系
Sn 1 n 5 S n 1
0 . 050
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2.2.1 系统误差
在同一测量条件下，多次重复对同一量值进行测量时，测量误差 的绝对值和符号保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误 差，称为系统误差。系统误差出现一定的规律，如果能确知其影响因 素的规律时，可以对这些误差进行控制或加以修正。
不变的系统误差，常用校准的方法来检查恒定的系统误差是否存 在，通常用标准仪器或者标准装置来发现并确定系统误差的数值。
l g
计算时，存在计算误差，包括截断误差、有效值位数的舍入误差。
测量误差：由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可 能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一 定的差异，这种差异就是测量误差。
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截断误差：由于实际运算只能完成有限项或有限步运算，因此要
将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化，对无穷过程进行截断， 这样产生的误差称为截断误差。 舍入误差：在数值计算过程中，由于计算工具的限制，我们往往 对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作为该数的近似值，这种由
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2.2.2 偶然误差(随机误差)
在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素， 会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做
偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测 量点的位置不准确，实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、 振动等因素的影响而产生微小变化等，这些因素的影响一般是微小的， 而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找 出原因加以排除。
3
例1.设有一个球体，其半径为r
( 3 1) 6 0.019246 8 ( 2 3 ) 3 0 . 019227 26 15 3 0 . 0185 3 3 1 8 0 . 019236 6 3 1 ( 3 1) 1 0 . 019237 3 (2 3 ) 1 0 . 019238 26 15 3
假定摆线长度不变、悬线无质量、单摆不受 空气影响，摆球受力为
l
mg sin ma ml
d 2Leabharlann (2-1)dt2
sin

即，

d
2
m g
mg
dt
2

g l
sin 0
2 ,令
(2-2)
g l
图2.2 单摆模型
式(2-2)中,当θ很小时， sin (2-3) 解得：
图2.3 磁性球控制干簧管
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§2.2 测量误差
无论是直接测量、还是间接测量，测量不可能无限精确，物理量的 测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就
是前文所述的测量误差。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，
测量误差是不可避免的，只能减小。 根据测量误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类。 根据误差表示的形式，又可将误差分为绝对误差、相对误差。
S3 、
(2-13)
0 . 0833
对初始值
S 4 0 . 166
S 0 ln 6 ln 5 0 . 182
S2 ,依次递推有S 1 0 . 090 、
S 8 12 . 5 。 S 6 4 . 98 、S 7 25 . 0 、 S 5 1 . 03 、 、 显然，结果出现负数是错误的；其次，数值大幅度跳跃也是不对的。
似乎是确定的值，但实际上，随算法的不同结果有差别。取 3 =1.73205。

后三种算法结果接近，并且充分接近真 实值；但是，前三种算法效果要差一些， 这是有两个接近的数做减法引起的。
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类似例子说明： 1、两个数值相近的数不宜做减法。一旦出现有关情况，可采用数 学恒等式进行转换，如
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系统误差产生的原因： 1、仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如， 各种刻度尺的热胀冷缩，温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。 2、实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的 考虑不周也会造成误差。例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用伏安 法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。 3、测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在 测量中造成误差。 系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。我 们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因， 采取适当措施降低它的影响。