椭圆的参数方程

x2 8

y2
1
l
y
X-y+4=0
则点 P到直线距离 d | 2 2 cos sin 4 |
2
O
x

| 3cos(
) 4|
2
，其中 c os

2
2 3
, sin


1 3
.
图1-2
当 cos( ) 1 时，d取最小值 2 .
2
此时,
cos

cos(
) cos
y
l l'
l //
P
O
P/
l ///
x
小结：
(1)椭圆的参数方程以及参数方程和普通方程的互化. （2）明白椭圆的参数方程在求最值问题上有其优越性。 （3）点到直线的距离可转化为平行直线间的距离。
x2 y2
y3
已知椭圆方程
16
9
1,求
x 5 的范围。(用两种方法做)
2.椭圆参数方程的应用
y
O
A
x
练习1
x2 y2
2、动点P(x,y)在曲线 9 4 1 上变化 ，求Z=2x+3y
的最大值和最小值
最大值6 2 ,最小值 6 2 .
练习2
在 x2 y2 1中x+y-c 0恒成立， 94
求实数c的取值范围
2.椭圆参数方程的应用
例1.已知点A（1，0），点P在椭圆 x2 y2 1上移动，问：点P
M
F2 x
y
F2
M
ox
F1
2.怎样把椭圆的普通方程和参数方程互化？
普通 设参数θ 参数 方程 消去参数θ 方程
课堂练习
1. 将下列参数方程化为普通方程,普通方 程化为参数方程:
（1）{xy

3cos 2 sin
(为参数）（2）{xy

8cos 6sin
(为参数）
x2 y2 1
y =bsinθ（θ为参数）
这就是所求点M的轨迹的参数方程
新课讲授
在
x =acosθ
y =bsinθ（θ为参数）
中：
联想到 sin 2 cos 2 1
将两个方程变形，得：x cos
a
所以有：
x2 y2 a2 b2 1
y sin
b
y
wk.baidu.com
BA
M

O
Nx
由此可知,点M的轨迹是椭圆.
为椭圆
C.曲线
x =5cosθ
y =4sinθ（θ为参数）不是椭圆
x =5cosθ
D.曲线 y =4sinθ（θ为参数且 0 ） 不是椭圆
课堂练习
3.曲线的参数方程
x y

cos2 2sin2
(是参数），则此曲线是（
D）
A、椭圆 B、直线 C、椭圆的一部分 D、线段
4 3 ,y=

5 3
即当点P的坐标为
（
4 3
±5 3
）时，|AP| min =
6 3
2.椭圆参数方程的应用
例2.已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b

o)
,求椭圆内接矩形
面积的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为P (a cos,bsin )
Q S矩形 4 a cos bsin 2ab sin 2 2ab
94
x2 y2 1 64 36
（3）x42

y2 9
1
(4)x2

y2 16
1
x =2cosθ
y =3sinθ（θ为参数）
x =cosθ
y =4sinθ（θ为参数）
2、下列结论正确的是：（ D ）
A.曲线
x =5cosθ
y =5sinθ（θ为参数）
为椭圆
B.曲线
x =5cosθ
y =4cosθ（θ为参数）
在何处时使|PA|的值最小？
4
y
解：因为点P（x,y)在椭圆 x2 y2 1 上，可设
：
x y
=2cosθ = sinθ
4 (θ为参数)
O
A
x
则|AP|= (2 cos 1)2 (sin )2 =
当cosθ= 32时，|AP| min=
6 3
3(cos - 2)2 2
33
此时,x=
y
NMA
B

O
x

xbcos y asin
( 为参数).
标准方程:
x2 a2

y2 b2
1a

b

0
x =acosθ
参数方程: y =bsinθ（θ为参数）
标准方程:
y2 a2

x2 b2
1(a
b
0)
x=bcosθ
参数方程: y =asinθ（θ为参数）
y
F1 o
y l l'
由 x y m 0

x
2
8y2

8
9 y 2 2my m2 8 0
P
O
x
4m2 4 9(m2 8) 0 m 3
由图形可知： m 3 时，P 到直线 l : x y 4 0
的距离最小,此时 P( 8 , 1.) 33
过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂 足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参
数方程。 y
解：设点M（x,y), θ是以ox为始边，
oA为终边的 正角。θ为参数那么：
x=ON=|OA|cosθ=acosθ y=NM=|OB|sinθ=bsinθ
BA
M(x,y)

O
Nx
x =acosθ
当

k
2

4
(k Z )时，S矩形

2ab最大。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.
2.椭圆参数方程的应用
练习：在椭圆 x2 8y 2 8上求一点P,使P到直线 l : x y 4 0
的距离最小.
y l
方法一:
O
x
方法二：
图1-2
2.椭圆参数方程的应用
方法一： 设 P(2 2 cos ,sin )
我们把方程
x =acosθ
y =bsinθ（θ为参数）
叫做椭圆
x2 y2 a2 b2
1(a b o)
的参数方程。
椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b
o)
的参数方程为：
x =acosθ
y =bsinθ（θ为参数）
1.上面椭圆的参数方程a ,b的几何意义是什么？
a是椭圆的长半轴长,b是椭圆的短半轴长
课堂练习
x 3 cos
1.已知椭圆的参数方程

y

sin

（ 是参数）
则此椭圆的长轴长是_2___3，短轴长是__2_。
2.二次曲线
x y

5cos（
3sin
是参数）的左焦点坐标为（-
4，0）
椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
的参数方程是怎样的？
4. 椭圆的参数方程
知识回顾 圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ (θ为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
对于我们现在学习的椭圆是否也有与之对应的参数方程呢？
新课讲授
例5、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)
为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，
sin(
)sin


22 3
,
sin sin( ) cos cos( )sin 1 .
3
P点的坐标( 8 , 1).
33
2.椭圆参数方程的应用
方法二:把直线l 平移至l' ,l'与椭圆相切,
此时的切点 P 就是最短距离时的点.
即设： l': x y m 0