传输原理 5 管道中的流动
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r2 x x max 1 2 R
• 从上式可见，圆管内层流流动的速度分布也是抛物型的 (回转抛物面)，它称为圆管中的泊松(Poiseuille)流。
5.1 圆管中的层流流动
(2) 流量与平均流速 • 通过圆管的体积流量为：
Q x 2 rdr 2 x max
冶金传输原理
冶金传输原理第一部分流体力学 第五章：管道中的流动 吴铿 2011.03.01 北京科技大学冶金与生态工程学院
第五章
管道中的流动
• 5.1 圆管中流体的层流流动 • 5.2 湍流的流动 • 5.3 普朗特混合长度理论
• 5.4 圆管内湍流速度分布
• 5.5 圆管内的摩擦阻力系数 • 5.6 气体通过固体散料层的公式
5.3 普朗特混合长度理论
• 普朗特混合长度理论其基本思 想是把湍流中微团的脉动类比 于气体分子的运动。为简单起 见，考虑平面平行定常流动的 情形(右图所示)。 • 普朗特认为，在平均自由程的距离内，某一流体微团 不与其它微团相碰，保持自己的动量；超出此距离才 发生碰撞，从而改变动量。 • 根据动量定理，这种流层之间单位时间内动量的变化， 就等于流层之间的摩擦阻力，即
' t y x
d x x x y1 l ' x y1 l ' dy
• 混合长度理论假定，速度差 等于微团经自由程l′纵向脉 动后，引起的流层微团沿x轴方向的脉动速度 ，因此：
d x l' dy
' x
' ' 同量级，即： • 普朗特进一步假定υ 和 υ x
2
0 dx dx * l ky dy dy
d x
1 dy * k y
5.4 圆管内湍流速度分布
• 积分后可得 x 1 ln y c ' x 1 y* * k ln c 1 * * k v 令 c ' c ln k v • 在光滑圆管中，根据实验可知k=0.4，c=5.5，代入上 式，井把自然对数改为常用对数后就得到速度分布的 对数规律： x y* 5.75lg 5.5 * v • 由层流底层到湍流核心的转变点的对应值如下： * y 11.6v δl为层流底层的名 11.6 y 或 l 义厚度。 v *
• 自由剪切湍流：边界为自由面而无固体壁限制的湍流。 例如自由射流及两股汇合的平行流动等属于这种流动。
• 壁面剪切湍流：壁面剪切湍流指存在固体壁边界的湍流。 管内及物体壁面边界层的湍流属于此类。
5.2 湍流的流动
五、湍流的切应力
• 由于湍流运动时相邻流体层 的质点之间不断地相互交换， 所以在直角坐标系下(右图)， 流体中某一点处除 具有水平速度υx以外，还有垂直方向的脉动速度υy′。 • 切应力与脉动产生的宏观动量之间的关系： F n dA dV A t V • 由于υy′存在而穿越控制体上(下)面的、x方向的动量流 密度为：
1 xm x, y, z t1
t0 t1
t0
x, y, z, t dt
x
5.2 湍流的流动
• 引入平均值后，瞬时物理量可表示成：
' ' x xm x , y ym y , z zm z' , P P m P'
• 根据平均值的定义公式，脉动值的均值应为零，即：
5.1 圆管中的层流流动
• [例题1] 设有μ=0.1Pa· s，ρ=850 kg/m3的油，流过 长为L=3000m，直径d=300mm的铸铁管，流量 Q=41×10-3 m3/s。试求摩擦压力损失△P。
解：首先判断流动是层流还是湍流。
Q 41103 m 0.58m/s A 0.32 4 m d 850 0.58 0.3 Re 1479 2300 因此属于层流。 0.1 64 64 0.0433 Re 1479 2 L m 3000 850 0.582 P 0.0433 61906 Pa d 2 0.3 2
5.2 湍流的流动
四、几种典型的湍流
• 定常湍流：空间各点物理量的平均值不随时间变化的湍 流，也称为准定常湍流。若平均值随时间变化，称为非 定常湍流。 • 均匀各向同性湍流：均匀各向同性湍流：均匀指不同空 间点处的湍流特性都是一样的，各向同性指同一空间点 的不同方向上的湍流特性都是一样的，如果二者兼备， 则称为均匀各向同性湍流。
F 0 2 RL R2P
5.1 圆管中的层流流动
• 考虑到直径d=2R，定义λ为圆管的摩擦阻力系数，也称 沿程阻力系数： 0 4F P 1 2 1 2 L1 2 m Ld m m 2 8 d2 • 在得到阻力系数λ后，流动的压力降△P、沿程损失△hf =△P/γ和壁面剪应力分别给出如下： 2 2 P L 1 2 m L m h f 0 m P d 2 g 8 d 2 8 Lm 64 L m 2 64 • 对于层流可得：P λ = 2 d R d 2 m Re m d 其中Re 是对于圆管直径和平均速度而言的雷诺数。
• 5.7 管路计算
5.1 圆管中的层流流动
• 有一半径为R的无限长 直圆管，不可压黏性流 体在压力梯度dP/dx的 作用下作定常直线层流 运动。设圆管水平放置， 忽略质量力，现讨 论管内流动的速度分布、流量及阻力。 根据流场边界是轴对称的特点，取柱坐标系(r, θ, x)的x 轴与管轴重合，如图所示。 (1) 速度分布 柱坐标系中的纳维-斯托克斯方程公式可简化为： 1 d d x 1 dP r r dr dr dx
0
R
R
0
或
R4 Q P 8 L
r2 R2 x max 1 2 rdr 2 R
泊松定律
• 根据流量Q可以求出圆管截面上的平均流速υm：
Q P 2 m R 2 R 8 L
1 m x max 2
• 可见，圆管层流流动的平均速度是最大速度的一半。
dy y
5.4 圆管内湍流速度分布
• 将上式两边分别除以ρ，令υ*=(τ0/ρ)1/2，称之为切应力 速度，则上式可写为： x * y 层流底层中的速度分布规律 * v 在湍流核心区：假设湍流附加切应力τt等于边壁切应 力τ0，即τt =τ0，则有：
d x 2 t l ( ) 0 dy • 将公式(5-38)两边分别除以ρ，并考虑l=ky，开方后得：
L 0.057 Re d
5.2 湍流的流动
三、湍流的描述
• 右图表示管道中某 点的轴向速度随时 间的变化曲线。
• 研究思路：把湍流 场可看成是统计平均场和随机脉动场的叠加，然后应 用统计平均的方法，从纳维-斯托克斯方程出发研究平 均运动的变化规律。 • 对于管内某点的轴向瞬时速度，其时间平均值定义为
A ' y
xm
dA xm dA dA
' x A ' y A ' y ' x
5.2 湍流的流动
• 对上式右侧在相当长的时间内取平均，并考虑到脉动 的平均值为0，则积分动量关系式的平均值形式为(定 常湍流)：
' ' ' ' ' F ( ) dA ( ) dA ( x m y xm m y x m yx )m dA A A A
Re大于某上界时，完全发展的湍流 • 从空间角度看，即使Re >Recr，在管内中心沿流动方向 也存在着层流区、过渡区和湍流区。
5.2 湍流的流动
二、充分发展流
• 无论层流还是湍流， 都假定流体充满圆管 的整个截面。在实际 管道中，从入口处开 始，流动有一个逐渐发展的过程。如图所示，假设均 匀流进入直径为d的直圆管。将入口至边界层汇合这一 段称为入口段，其长度为L，而充分发展流是层流还是 湍流则取决于雷诺数。 • 对于圆管内的层流，入口段的长度由下式近似给出
' ' ' F y Ax x y Ax y Ax
5.3 普朗特混合长度理论
• 上式两边同除以δA，即得湍流剪应力： • 由于 d x = x y1 + l' - x y1 ，对其进行泰勒(Taylor) 级数展开，并略去高阶项可得：
y
5.3 普朗特混合长度理论
d x ' ' t kl ' x y m dy • 因为τt与dυx/dy同号，上式应改写成：
d x kl ' dy
' y
2
2
d x d x t l dy dy
2
• l 称为混合长度，其数值将在具体问题中通过假定及 实验结果来确定。可以得到：
2
d x t l dy • 可见，湍流黏性系数μt与流场有关。从物理概念上不难理 解，它远远大于由分子运动引起的层流黏性系数μe。
5.4 圆管内湍流速度分布
• 由图可见，在紧靠壁面附 近，存在着很大的速度梯 度。此区域通常称为层流 底层。在离壁面一定距离 后，速度分布趋于平坦， 此区域通常称为湍流核心 区。介于层流底层和湍流核心的中间区域，两种流动状 态并存，称为过渡层区。 在层流底层内:流动状态接近于层流，又因其厚度很薄， 速度分布可认为是线性的，故： d x x 0
' ' ' ' xm 0, ym 0, zm 0, P m 0
• 以平均速度为υm的均匀来流(湍流)为例，定义为湍流度 ε为：
1
m
' 2 x ' 2 y
' 2wk.baidu.comz
• 流体流动状态的变化，与来流的Re数，来流的湍流度、 壁面粗糙度以及外部主流的压力梯度等有关。
5.1 圆管中的层流流动
• 将上式两边对r积分，得：
1 dP 2 x r c1 ln r c2 4 dx
• 由于在r=0处，υx为有限值，因此c1=0。c2由边界条件： r=R，υx=0来确定，因此 R 2 dP c2 4 dx • 于是，管内速度分布为：
1 dP 2 2 x R r 4 dx
• 将ρ(υx′υy′)m也看成是一个切应力，即湍流流动的切应 力(雷诺应力)，如下所示： d xm ' ' t ( x y )m t dy • 综上所述，湍流中的总摩擦应力，应等于黏性切应力 与湍流切应力之和，即： d xm e t t dy
• 若考虑长度为L的一段管道，设上游截面1与下游截面2 之间的压力差为△P=P1-P2>0，则
dP P dx L
5.1 圆管中的层流流动
• 速度分布可改写为：
1 P 2 2 x R r 4 L
• 在管轴r=0处，速度达到最大值： P 2 x max R 4 L • 这样，公式还可以表示成：
5.1 圆管中的层流流动
(3) 阻力及阻力系数 • 管内层流剪应力分布为： P r r 2L • 在管轴r=0上，τ =0 ；在管壁上达到最大值τ0 ：
P 0 R 2L
• 由于长度为L的圆管对流体的摩擦阻力F与两截面上压 力差的合力之间相互平衡，即流体流经L长度圆管所克 服摩擦阻力F，其动力来源于压力降△P，因此
5.2 湍流的流动
一、临界雷诺数
• 雷诺通过圆管内的黏性流动实验，发现一定条件下层 流转化为湍流的控制因素是雷诺数Re。由层流转变为 湍流的雷诺数称为临界雷诺数Recr，它不是一个固定 的值，依赖于外部扰动的大小。 • 实验证明：Recr的下界约为2000。 Re<2000时，层流状态
Re>2000而小于某一上界时，共存或间隙发生
• 从上式可见，圆管内层流流动的速度分布也是抛物型的 (回转抛物面)，它称为圆管中的泊松(Poiseuille)流。
5.1 圆管中的层流流动
(2) 流量与平均流速 • 通过圆管的体积流量为：
Q x 2 rdr 2 x max
冶金传输原理
冶金传输原理第一部分流体力学 第五章：管道中的流动 吴铿 2011.03.01 北京科技大学冶金与生态工程学院
第五章
管道中的流动
• 5.1 圆管中流体的层流流动 • 5.2 湍流的流动 • 5.3 普朗特混合长度理论
• 5.4 圆管内湍流速度分布
• 5.5 圆管内的摩擦阻力系数 • 5.6 气体通过固体散料层的公式
5.3 普朗特混合长度理论
• 普朗特混合长度理论其基本思 想是把湍流中微团的脉动类比 于气体分子的运动。为简单起 见，考虑平面平行定常流动的 情形(右图所示)。 • 普朗特认为，在平均自由程的距离内，某一流体微团 不与其它微团相碰，保持自己的动量；超出此距离才 发生碰撞，从而改变动量。 • 根据动量定理，这种流层之间单位时间内动量的变化， 就等于流层之间的摩擦阻力，即
' t y x
d x x x y1 l ' x y1 l ' dy
• 混合长度理论假定，速度差 等于微团经自由程l′纵向脉 动后，引起的流层微团沿x轴方向的脉动速度 ，因此：
d x l' dy
' x
' ' 同量级，即： • 普朗特进一步假定υ 和 υ x
2
0 dx dx * l ky dy dy
d x
1 dy * k y
5.4 圆管内湍流速度分布
• 积分后可得 x 1 ln y c ' x 1 y* * k ln c 1 * * k v 令 c ' c ln k v • 在光滑圆管中，根据实验可知k=0.4，c=5.5，代入上 式，井把自然对数改为常用对数后就得到速度分布的 对数规律： x y* 5.75lg 5.5 * v • 由层流底层到湍流核心的转变点的对应值如下： * y 11.6v δl为层流底层的名 11.6 y 或 l 义厚度。 v *
• 自由剪切湍流：边界为自由面而无固体壁限制的湍流。 例如自由射流及两股汇合的平行流动等属于这种流动。
• 壁面剪切湍流：壁面剪切湍流指存在固体壁边界的湍流。 管内及物体壁面边界层的湍流属于此类。
5.2 湍流的流动
五、湍流的切应力
• 由于湍流运动时相邻流体层 的质点之间不断地相互交换， 所以在直角坐标系下(右图)， 流体中某一点处除 具有水平速度υx以外，还有垂直方向的脉动速度υy′。 • 切应力与脉动产生的宏观动量之间的关系： F n dA dV A t V • 由于υy′存在而穿越控制体上(下)面的、x方向的动量流 密度为：
1 xm x, y, z t1
t0 t1
t0
x, y, z, t dt
x
5.2 湍流的流动
• 引入平均值后，瞬时物理量可表示成：
' ' x xm x , y ym y , z zm z' , P P m P'
• 根据平均值的定义公式，脉动值的均值应为零，即：
5.1 圆管中的层流流动
• [例题1] 设有μ=0.1Pa· s，ρ=850 kg/m3的油，流过 长为L=3000m，直径d=300mm的铸铁管，流量 Q=41×10-3 m3/s。试求摩擦压力损失△P。
解：首先判断流动是层流还是湍流。
Q 41103 m 0.58m/s A 0.32 4 m d 850 0.58 0.3 Re 1479 2300 因此属于层流。 0.1 64 64 0.0433 Re 1479 2 L m 3000 850 0.582 P 0.0433 61906 Pa d 2 0.3 2
5.2 湍流的流动
四、几种典型的湍流
• 定常湍流：空间各点物理量的平均值不随时间变化的湍 流，也称为准定常湍流。若平均值随时间变化，称为非 定常湍流。 • 均匀各向同性湍流：均匀各向同性湍流：均匀指不同空 间点处的湍流特性都是一样的，各向同性指同一空间点 的不同方向上的湍流特性都是一样的，如果二者兼备， 则称为均匀各向同性湍流。
F 0 2 RL R2P
5.1 圆管中的层流流动
• 考虑到直径d=2R，定义λ为圆管的摩擦阻力系数，也称 沿程阻力系数： 0 4F P 1 2 1 2 L1 2 m Ld m m 2 8 d2 • 在得到阻力系数λ后，流动的压力降△P、沿程损失△hf =△P/γ和壁面剪应力分别给出如下： 2 2 P L 1 2 m L m h f 0 m P d 2 g 8 d 2 8 Lm 64 L m 2 64 • 对于层流可得：P λ = 2 d R d 2 m Re m d 其中Re 是对于圆管直径和平均速度而言的雷诺数。
• 5.7 管路计算
5.1 圆管中的层流流动
• 有一半径为R的无限长 直圆管，不可压黏性流 体在压力梯度dP/dx的 作用下作定常直线层流 运动。设圆管水平放置， 忽略质量力，现讨 论管内流动的速度分布、流量及阻力。 根据流场边界是轴对称的特点，取柱坐标系(r, θ, x)的x 轴与管轴重合，如图所示。 (1) 速度分布 柱坐标系中的纳维-斯托克斯方程公式可简化为： 1 d d x 1 dP r r dr dr dx
0
R
R
0
或
R4 Q P 8 L
r2 R2 x max 1 2 rdr 2 R
泊松定律
• 根据流量Q可以求出圆管截面上的平均流速υm：
Q P 2 m R 2 R 8 L
1 m x max 2
• 可见，圆管层流流动的平均速度是最大速度的一半。
dy y
5.4 圆管内湍流速度分布
• 将上式两边分别除以ρ，令υ*=(τ0/ρ)1/2，称之为切应力 速度，则上式可写为： x * y 层流底层中的速度分布规律 * v 在湍流核心区：假设湍流附加切应力τt等于边壁切应 力τ0，即τt =τ0，则有：
d x 2 t l ( ) 0 dy • 将公式(5-38)两边分别除以ρ，并考虑l=ky，开方后得：
L 0.057 Re d
5.2 湍流的流动
三、湍流的描述
• 右图表示管道中某 点的轴向速度随时 间的变化曲线。
• 研究思路：把湍流 场可看成是统计平均场和随机脉动场的叠加，然后应 用统计平均的方法，从纳维-斯托克斯方程出发研究平 均运动的变化规律。 • 对于管内某点的轴向瞬时速度，其时间平均值定义为
A ' y
xm
dA xm dA dA
' x A ' y A ' y ' x
5.2 湍流的流动
• 对上式右侧在相当长的时间内取平均，并考虑到脉动 的平均值为0，则积分动量关系式的平均值形式为(定 常湍流)：
' ' ' ' ' F ( ) dA ( ) dA ( x m y xm m y x m yx )m dA A A A
Re大于某上界时，完全发展的湍流 • 从空间角度看，即使Re >Recr，在管内中心沿流动方向 也存在着层流区、过渡区和湍流区。
5.2 湍流的流动
二、充分发展流
• 无论层流还是湍流， 都假定流体充满圆管 的整个截面。在实际 管道中，从入口处开 始，流动有一个逐渐发展的过程。如图所示，假设均 匀流进入直径为d的直圆管。将入口至边界层汇合这一 段称为入口段，其长度为L，而充分发展流是层流还是 湍流则取决于雷诺数。 • 对于圆管内的层流，入口段的长度由下式近似给出
' ' ' F y Ax x y Ax y Ax
5.3 普朗特混合长度理论
• 上式两边同除以δA，即得湍流剪应力： • 由于 d x = x y1 + l' - x y1 ，对其进行泰勒(Taylor) 级数展开，并略去高阶项可得：
y
5.3 普朗特混合长度理论
d x ' ' t kl ' x y m dy • 因为τt与dυx/dy同号，上式应改写成：
d x kl ' dy
' y
2
2
d x d x t l dy dy
2
• l 称为混合长度，其数值将在具体问题中通过假定及 实验结果来确定。可以得到：
2
d x t l dy • 可见，湍流黏性系数μt与流场有关。从物理概念上不难理 解，它远远大于由分子运动引起的层流黏性系数μe。
5.4 圆管内湍流速度分布
• 由图可见，在紧靠壁面附 近，存在着很大的速度梯 度。此区域通常称为层流 底层。在离壁面一定距离 后，速度分布趋于平坦， 此区域通常称为湍流核心 区。介于层流底层和湍流核心的中间区域，两种流动状 态并存，称为过渡层区。 在层流底层内:流动状态接近于层流，又因其厚度很薄， 速度分布可认为是线性的，故： d x x 0
' ' ' ' xm 0, ym 0, zm 0, P m 0
• 以平均速度为υm的均匀来流(湍流)为例，定义为湍流度 ε为：
1
m
' 2 x ' 2 y
' 2wk.baidu.comz
• 流体流动状态的变化，与来流的Re数，来流的湍流度、 壁面粗糙度以及外部主流的压力梯度等有关。
5.1 圆管中的层流流动
• 将上式两边对r积分，得：
1 dP 2 x r c1 ln r c2 4 dx
• 由于在r=0处，υx为有限值，因此c1=0。c2由边界条件： r=R，υx=0来确定，因此 R 2 dP c2 4 dx • 于是，管内速度分布为：
1 dP 2 2 x R r 4 dx
• 将ρ(υx′υy′)m也看成是一个切应力，即湍流流动的切应 力(雷诺应力)，如下所示： d xm ' ' t ( x y )m t dy • 综上所述，湍流中的总摩擦应力，应等于黏性切应力 与湍流切应力之和，即： d xm e t t dy
• 若考虑长度为L的一段管道，设上游截面1与下游截面2 之间的压力差为△P=P1-P2>0，则
dP P dx L
5.1 圆管中的层流流动
• 速度分布可改写为：
1 P 2 2 x R r 4 L
• 在管轴r=0处，速度达到最大值： P 2 x max R 4 L • 这样，公式还可以表示成：
5.1 圆管中的层流流动
(3) 阻力及阻力系数 • 管内层流剪应力分布为： P r r 2L • 在管轴r=0上，τ =0 ；在管壁上达到最大值τ0 ：
P 0 R 2L
• 由于长度为L的圆管对流体的摩擦阻力F与两截面上压 力差的合力之间相互平衡，即流体流经L长度圆管所克 服摩擦阻力F，其动力来源于压力降△P，因此
5.2 湍流的流动
一、临界雷诺数
• 雷诺通过圆管内的黏性流动实验，发现一定条件下层 流转化为湍流的控制因素是雷诺数Re。由层流转变为 湍流的雷诺数称为临界雷诺数Recr，它不是一个固定 的值，依赖于外部扰动的大小。 • 实验证明：Recr的下界约为2000。 Re<2000时，层流状态
Re>2000而小于某一上界时，共存或间隙发生