第二章光纤光学基本方程

n
r
ddθs
2n r r
dθ dr ds ds
0
（ 2.5a ） （ 2.5b ）
Z 分量
d ds
n
r
dz ds
0
（ 2.5c）
设 x 0，y 0 为入射点， L0 ,M 0 , N0 为入射点方向余弦，
n0 为入射点折射率。
由上三式得光线轨迹（路径与z 的关系）：
z
r
N 0dr
r0
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式
❖ 麦克斯韦方程式的微分形式
H
D t
J
•时变磁场可以产生时变电场
E B t
B 0
•时变电场可以产生时变磁场 •磁场是无源的
D
•电场是有源的
光纤中不存在电流和自由电荷，则有： D 0, J 0
▪ 由： E i0H
▪ 等式左边：
E {E0 e r i[t k0S r ]}
[e ik0S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
[ik0e ik0S r S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
0
k0
第二章 光纤光学的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
er
dnr
dr
dr ds
dn
ds
nK
er
dnr
dr
dr ds
dn ds
n r
dr ds
dn ds
❖ 上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内
n’ n
eR
n’ >n
dr/ds
❖ 重写曲率矢量和光线方程展开式：
K
d 2r ds 2
1
R
eR
nK
er
dnr
dr
dr ds
dn ds
n r
dr ds
2．电磁波的波动现象
❖ 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 ❖ 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种
传播现象。 ❖ 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场
与电场的切向和法向分量均连续，即：
E1t E2t H1t H 2t B1n B2n D1n D2n
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
2.2 程函方程与射线方程
❖ 光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大 小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电 磁波的传播可以近似为平面波。
❖ 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振： ▪ 程函方程 ▪ 射线方程
目的：得到任意光波导中的光线轨迹
1、 程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。
dn ds
❖ 上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
K
1
R
eR
n r nr
❖ 因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
n r nr
0时，eR 与er 夹角小于
2
；
n r n r
0时，eR
与er
夹角大于
2
；
eR
❖ 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n’ n dr/ds
n’ >n
➢ 分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
➢ 利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程 为标量波动方程
➢ 设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离 时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹 （Helmholtz
➢ 推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、 均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。
❖ 亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的 场分布。
❖ 用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两 种解法：
▪ 矢量解法
▪ 标量解法。
❖ 矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条 件的波动方程的解。
❖ 标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与 光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场 方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。
❖ 相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点附近介 质折射率。
❖ 光线方程：
d ds
n(r )
dr
ds
n(r )
❖ 光线向折射率大的方向弯曲。
2.3 波导场方程
❖标量解法 ❖矢量解法
一、标量解法
1．标量近似
❖ 在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其
中的E和H几乎与光纤轴线垂直。 ❖ 横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直
❖
————即光纤中的波导场方程
❖ 其中：横向拉普拉斯算符 横向传播常数
2 t
2
2 z 2
纵向传播常数
2 n2k02 2 nk0 cosz
波矢与z轴的夹角
3．标量波导场方程解的推导思路
（1）首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程 （2）将其在圆柱坐标系中展开 （3）用分离变量法求解横向场Ey （4）根据麦氏方程中E和H的关系可得出横向磁场
❖ 得到
{S r • S r }E0 n 2E0 0
即
S r • S r n 2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) n r
或
S r
x
2
S r
y
2
S r
z
2
n 2 x ,y ,z
相位梯度 S r 方向与光波传播方向一致，其模等于介 质折射率； 程函方程给出波面变化规律：
▪ 在均匀介质中，光波传输方向不变； ▪ 在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变； ▪ 若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等
相面确定光线轨迹。
2、射线方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径
dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,
根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向
一致，大小等于： dr ds
ik0S r
e E0 r i[t k0S r ]
k0S r E0 r 0H0 r
Q r E0 r
0 k0
H0 r
0 00
H0 r
H0 r
❖ 由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E0 H0
r H0
n2
E0
（2.2a） （2.2b）
r • E0 0
（2.2c）
n(r) n0
2
1
r0 r
2
x 0M 0 y 0L0 2 r02
1/ 2
N
2 0
（ 2.6 ）
只要光纤折射率分布和入射点确定，就可计算光线轨迹。
x
z
y
小结
❖ 程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系
Q(r )2 n 2 r
❖ 光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。
dS(r)
ds
dr ds
S r
式2.3
S r
n(r)
S
r
S r 2
n(r)
n(r)2
n(r)
n(r)
故对
S
求导式为： d ds
n(r)
dr ds
n(r) （2.4)
切线方向上的单位 光程沿路径变化率
射线方程
折射率梯度
射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。 一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。
2、矢量解法的结果
Ez
AJ m(Ur )e jm CK m(Wr )e jm
e j(t z ).......(r e j(t z ).......(r
a) a)
Hz
BJ m(Ur )e jm DK m(Wr )e jm
e j(t z ).......(r e j(t z ).......(r
d ds
dr ds
0
表示光线路径为直线。
例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播
❖ 球对称：折射率仅仅是半径r的函数
n n
❖ 射线方程：d
ds
r
n
dr ds
n
er
denrrdndrr
dr
推导光线走向的表达式如下：
展开射线方程：
d
r
n
d 2r ds 2
dr ds
dn ds
er
dnr
例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）
d 射线方程：ds
n(r)
dr ds
n(r)
a
s
因 n = 常数
改写成：
d 2r n ds 2 0
b r
r 其解为矢量直线方程： sa b
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通
过物理r=意b点义。：dds
dr ds
表示光线路径的曲率变化量。
S r S r
z dr/ds
由程函方程 S(r ) n r
dr
ds
因此
S r n(nr()rd)r
ds
（2.3)
S(r)
dr 路径S r r+dr
y
x
相位梯度等于路径切线方向上的单位光程
上式对路径 S 求导 d
ds
n(r)
dr ds
d ds
S(r)
等式右边：
d ds
S(r)
a) a)
其中，定义了 U k02n12 2 ,W 2 k02n22
Jm(Ur)是m阶第一类标准贝塞尔函数，Km(Wr)是m阶 第二类修正贝塞尔函数。常数A、B、C、D由边 界连续条件确定。
2.4 模式及其基本性质
❖ 导波模 ❖ 纵向传播常数 ❖ 模式分布 ❖ 横向传播常数 ❖ 相速度与群速度
平面波在任意方向传输的波函数：
Er ,t E0(r )exp it k • r
相位因子 k • r nk0 • r
▪ 波函数略去时间因子
k
0
00，n
0
Er ,t E0(r )exp it k0S(r )
同理：
H r ,t H 0(r )exp it k0S(r )
由麦克斯韦方程推导程函方程:
的横截面上的这种场分布称为是横电磁波，即TEM 波。 ❖ 因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间
矢量E变为沿传输方向其方向不变（仅大小变化）的
标量E。
2、分离变量
❖令
(x, y, z) (x, y)eiz
❖ 代入亥姆赫兹方程
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
❖ 得到
t2(x ,y ) 2(x ,y ) 0
Hx的解答式 （5）根据电场和磁场的横向分量可用麦氏方程求出
轴向场分量EZ、HZ的解答式
二、矢量解法
1、理论计算的三大步骤：
①、利用圆柱坐标系（r,φ,z）中的亥姆霍兹方程求 出Ez、Hz
②、由Ez和Hz利用麦克斯韦方程组求出Er、Eφ、Hr、 Hφ
③、利用Eφ、 Hφ在纤芯和包层交界处连续的特点， 即在r=a处Eφ1＝Eφ2、 Hφ1＝ Hφ2求出导波特征方程。
例3：光线在圆柱体中的传播
z
光线方程：d ds
n(r)
dr ds
n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
dn /d =0, dn /dz =0
r 分量
d ds
n
r
dr ds
rn
r
dθ ds
2
dnr
dr
分量
d ds
dr
d 2r ds 2
1
n
er
dnr
dr
dr ds
dn
ds
❖ 据其微大分小几就何是，路等径式曲左线侧的曲dds率。ddsr 是光线路径的曲率矢量，
❖ 令曲率矢量为：K
d 2r ds 2
1
R
eR
K
1
R
R是曲率半径，eR 是曲线主法线方向
❖ 代入光线方程展开式：
❖ 用 n 乘 K 有:
K
1
n
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
❖ 光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
2E(x, y, z) k 2E(x, y, z) 0 2H (x, y, z) k 2H (x, y, z) 0
书P3（1.2-8）式
❖ 其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数 （也叫波数）。k0为真空中的波数。
❖ 对应于每一阶贝塞尔函数（m取某一确定整数）， 都存在多个解（以n＝1，2，…表示）,记为βmn。
❖ 每一个βmn值对应于一个能在光纤中传输的光场 的模式。
❖ 根据不同的m与n的组合，光纤中将存在许多模式, 记为HEmn或EHmn。
❖ m表示导波模式的场分量沿纤芯沿圆周方向出现 最大值的个数，n表示沿径向出现最大值的个数。
r • H0 0
❖ 三个矢量正交，相位梯度与 ❖ 波面法线方向一致。
（2.2d）
E 相位梯度
H
❖ 利用光线理论的几何光学近似条件：
0,k0
❖ 将（2.2a）代入（2.2b） ❖ 得到
S r {S r E0} n 2E0 0
利用矢量恒等式
A B C A C B A B C
一、 导波模
❖ 导波光是一种特定的电磁场分布，其传输必须满 足一定条件，称这种特定的电磁场分布为“模”。
❖ 导波模式分类：
x
H
E
yz
E
H
芯层 包层
TE横电模
EZ=0
E H
H E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
芯层 包层
TM横磁模 HZ=0
❖ 导波模式分类：
光线
E B
❖混合模： EH Ez>Hz
HE Hz>Ez
二、纵向传播常数