一元二次不等式及其解法(例题分类)

一对一个性化辅导教案

一元二次不等式及其解法

【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：

250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为

{}2

1

x x x x x ><或，不等式2

0ax

bx c ++<的解集为{}21x x x x <<

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照

0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或

20ax bx c ++<(0)a >的解集.

二次函数

c

bx ax y ++=2（0>a ）的图象

20(0)ax bx c a ++=>的根

有两相异实

根

)(,2121x x x x <

有两相等实

根

a

b

x x 221-

==

无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}

2

1

x x x x x ><或

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}

21

x x x

x <<

∅

∅

要点诠释：

（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.

要点三、解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：

①0∆>时，求出两根12x x 、

②0∆=时，求根a

b

x x 221-==③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.

要点诠释：

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式

（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->

举一反三：

【变式1】已知函数222,0,

()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩

解不等式f (x )＞3.

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解关于x 的不等式：ax 2-x+1>0

【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：

【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1

(2≠<++-a x a

a x

【变式2】求不等式12x 2

－ax ＞a 2

(a ∈R )的解集． .

例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0；

类型三：一元二次不等式的逆向运用

例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.

举一反三：

【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3

【变式2】已知220ax x c ++>的解为11

32x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.

【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.

类型四：不等式的恒成立问题

例5．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，数m 的取值围.