Ridgelet变换在图像边缘提取中的应用
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rk [ l ] = FR A T f ( k , l) =
1
p ( i , j) ∈L k , l
∑
f [ i , j ] , k ∈ z2 p , l ∈zp ( 8)
对特定大小 ( 素数大小 ) 的离散图像进行有限 Radon 变换 ,每个方向 k 上将产生一个 FRA T 序列 , 对应于输出 矩阵 { FR A T f [ k , l ] , ( k , l) ∈ Pi , j } 的一列 。因此 ,有限 Ra2 don 变换的结果是产生一个 p 3 ( p + 1) 的 Rado n 系数矩 阵 。对 Radon 系数矩阵的每列分别进行一维离散多尺度 Wavelet 变换 ,最终得到 Ridgelet 系数矩阵 { FRA T f [ k , l ] ,
t) d x
( 5)
为 f ( x) 在 R2 上的 Rado n 变换 。 在 Radon 变换的各个投影方向上应用一维小波变换 即可得到 Ridgelet 变换 :
) = CR T f ( a , b,θ
ψ ( t) R (θ, t) d t ∫
a, b f R2
( 6)
3 有限 Ridgelet 变换[ 5]
1 引言
图像边缘处理是图像处理与分析的基础内容 。图像 的边缘是由灰度的不连续性反映的 。通常边缘可分为以下 两种 : (1) 阶跃性边缘 , 它两边像素的灰度值有着显著的不 同; (2) 屋顶状边缘 , 它位于灰度值从增加到减小的转折 点。 随着图像处理技术的发展 ,已经形成了许多经典的边 缘提取方法 ,如微分算子边缘提取 、 边界闭合 、 哈夫变换等 。 经典的边缘检测算子在精度和抗噪声等方面的性能不好 , Wavelet 变换进行边缘提取时 , 只是在一维奇异信号检测 方面比较好 ,二维图像处理时是利用张量积构造可分离的 小波 ,因此方向性提取不足 。 为了克服方向性不足 ,Do M N 和 Vetterli M 提出了一 种可逆的 、 正交化 的 有 限 Ridgelet 变 换 即有 限 脊 波 变换 ( Finite Ridgelet Transform) 。 本文将有限脊波变换应用于图像的边缘提取过程 , 并 与经典的边缘提取方法 、 小波方法进行了比较 。
3
Ridgelet 变换在图像边缘提取中的应用 Ridgelet Transfo r m fo r Edge Detectio n
宋 芬 , 袁修贵 , 张艳杰 SONG Fen ,Y UANG Xiu2gui , ZHANG Yan2jie ( 中南大学数学科学与计算技术学院 , 湖南 长沙 410083) ( School of Mathematical Science and Computing Technology ,Central South University , Changsha 410083 ,China) 摘 要 : 本文介绍了 Ridgelet 变换理论 ,利用 Ridgelet 变换的多方向性 ,提出一种基于正交有限 Ridgelet 变换的图像 边缘提取方法 ,并将本文方法与传统的边缘提取方法进行了比较 。实验表明 ,有限脊波变换有更好的边缘提取效果 。 Abstract :In t his paper , we first int roduce t he Ridgelet t heo ry , and t hen p ropo se an edge detection met hod based on t he ort ho no rmal finite Ridgelet t ransform using t he multi2direction of t he Ridgelet t ransform. And we co mpare t he t raditio nal method and t he wavelet met hod wit h t his met hod. Experiment s show t hat using t he Ridgelet met hod has better edge detec2 tio n effect t han ot hers. 关键词 : Ridgelet 变换 ; 小波变换 ; 边缘提取 Key words :Ridgelet t ransfo rm ;wavelet t ransform ;edge detection 中图分类号 : TP301. 6 文献标识码 :A
( x co s θ+ x sin θf ( x)δ ∫
1 2
R2
(6) 对图像进行边缘提取 。
5 实验结果
选取图像 Bubble ,大小为 256 3 256 ,对图像加噪 ,再做 有限脊波变换变换提取边缘 , 并且与其他传统方法 ( So bel 算子 、 Robert s 算子 、 Prewitt 算子 、 Log 算子 、 Canny 算子 ) 进行比较 。 实验后所得的图像如图 1 所示 。可以看出 , 用本文方 法相比其他方法对噪声有更好的抑制作用 , 对边缘的定位 也比较准确 ,边缘连续性更强 。
FR I T k [ m ] = DW T{ rk [ j ]} ( 9)
方向特性 ,能对奇异特征信号进行表示 。实验证明 ,该方法 优于其他传统的边缘检测方法 。
参考文献 :
[ 1 ] Gonzalez R C , Woods R E. 数字图像处理 [ M ] . 第二版 . 北
4 wenku.baidu.com于有限 Ridgelet 变换的边缘提取
其中 , k 表示直线的斜率 ,它可在集合 z 2p = { 0 , 1 , …, p - 1} 中取值 ; 另一个下标 l 表示截距 , l 的取值范围是 z p 。 定义 4 ( 有限 Rado n 变换 ) 对于定义在点集 z 2 p 的图 像 f [ i , j ] = ( i , j ∈z p) :
( k , l) ∈ Pi , j } ,则为有限 Ridgelet 变换 。可将有限脊波变
图1 对于 Bubble 的不同提取边缘方法的比较
6 结束语
本文介绍了 Ridgelet 变换的理论 , 提出了基于 Ridge2
let 变换的图像边缘提取方法 。Ridgelet 变换具有多分辨多
换定义为 :
首先定义有限域平面上的直线 ,定义集合 z p = { 0 , 1 , …, p - 1} , p 是一素数 ,有限域平面上的直线定义为 : { ( i , j) : j = ki + l ( mod p) , i , l ∈ z p } , k ∈ z p
L k, l = { ( l , j) : j , l ∈ z p } , k = p ( 7) 可见有限域平面 z 2 上的一条 “直线” 也可用两个下标表达 。 p
利用小波变换能检测出点状奇异性的优点 , 我们将图 像先进行 Rado n 变换 , 将二维的转换成一维的 , 再利用小 波变换检测出奇异性 ,在此基础上提取图像边缘 [ 6 ,7 ] 。 基于有限 Ridgelet 变换的图像边缘提取算法 :
是大于 n 的最小素数 。 (2) 对图像加噪声 。 (3) 对噪声图像进行有限 Radon 变换 ,得到 Radon 域上的一个 p 3 ( p + 1) 系数矩阵 。由于 FRA T 使得图像沿直线方向进行能量 集中 ,因此具有直线奇性的图像经过有限脊波变换后 , 幅值越大的 系数就越有可能对应于图像的直线奇性 , 幅值小的系数对应图像 的点奇异性 。 (4) 选取适当的小波对 Radon 系数矩阵进行小波变换 , 得到 Ridgelet 域上的系数矩阵 。 (5) 对处理后的 Ridgelet 系数矩阵用正交有限 Ridgelet 反变换 重构图像 。
θ θ - 1/ 2 ψ ψ( x1 co s + x2 sin - b) θ ( x) = a a, b,
a
( 3)
其中 , ψ( x) 为一维 Wavelet 函数 。称变换 :
) = CR T f ( a , b,θ
ψ ∫
R2
θ a, b,
( x) f ( x) d x
( 4)
为 f ( x) 在 R2 上的 Ridgelet 变换 。
[1 ]
2 连续 Ridgelet 变换
定义 1 [ 2 ] 设光滑函数 ψ: R → R ,满足条件 ψ( t) d t =
R
∫
0 及容许条件 :
K ψ =
∫
ψ ξ ) ^( 2 ξ
2
ξ< ∞ d
( 1)
对于参数集 γ ,定义 R2 → R 函数 :
- 1/ 2 ψ ψ( ux - b) γ ( x) = a
a
( 2)
则称 ψ γ 由容许条件生成的 Ridgelet 函数 。其中 , a 称为 Ridgelet 的尺度参数 , u 表示方向 , b 为位置参数 。 θ, sin θ ) , x = 定义 2 [ 2 ,3 ] ( Ridgelet 变换) 令 u = ( co s
( x1 , x2 ) 时 ,Ridgelet 函数为 :
3 收稿日期 :2007211222 ; 修订日期 :2008202220 作者简介 : 宋芬 (19842) ,女 ,湖南株洲人 ,硕士生 ,研究方向为数字图像处理 ; 袁修贵 , 博士 , 教授 , 研究方向为地震数据处理 、 小波分 析及其应用 ; 张艳杰 ,硕士生 ,研究方向为偏微分方程数值解 。 通讯地址 :410083 湖南省长沙市中南大学南校区数学科学与计算技术学院 袁修贵 ; E2mail : songfen_530 @yahoo . co m. cn
CN4321258/ TP ISSN 10072130X
计算机工程与科学
COMPU TER EN GIN EERIN G & SCIENCE
2009 年第 31 卷第 5 期
Vol1 31 ,No1 5 ,2009
文章编号 :10072130X ( 2009) 0520062202
(1) 对 n 3 n 的原图像进行预处理 , 得到 p 3 p 的图像 , 其中 p
京 : 电子工业出版社 ,2003.
[ 2 ] Ridgelet C E J . Theory and Applications : [ Ph D Thesis ] [ D ] . Depart ment of Statistics , Stanford Universit y ,1998. [3] Candes E J , Ridgele D D. A Key to Higher2Dimensional In2 ter mittency [ J ] . Philo sop hical Transactions Royal Societ y , 1999 ,357 (1760) :249522509. [4] Beylkin G. Discrete Radon Transform [ J ] . IEEE Trans on ASSP ,1987 ,35 (2) :1622172. [5] Do M N , Vetterli M. The Finite Ridgelet Transform for Im2 age Representation [ J ] . IEEE Trans on Image Processing , 2003 ,12 (1) :16228. [6 ] 袁修贵 ,张安 . Ridgelet 变换及其在图像降噪中的应用 [J ] . 计
Address :School of Mat hematical Science and Co mp uting Technology ,Cent ral Sout h Universit y ,Changsha , Hunan 410083 ,P. R. China
62
在二维中 ,点和线是通过 Rado n 变换关联在一起的 , 因此小波与脊波也是通过 Rado n 变换来联系的 。 定义 3 [ 4 ] ( Radon 变换) 设 f ( x) 为一可积二元函数 , 称变换 : θ, t) = Rf (
1
p ( i , j) ∈L k , l
∑
f [ i , j ] , k ∈ z2 p , l ∈zp ( 8)
对特定大小 ( 素数大小 ) 的离散图像进行有限 Radon 变换 ,每个方向 k 上将产生一个 FRA T 序列 , 对应于输出 矩阵 { FR A T f [ k , l ] , ( k , l) ∈ Pi , j } 的一列 。因此 ,有限 Ra2 don 变换的结果是产生一个 p 3 ( p + 1) 的 Rado n 系数矩 阵 。对 Radon 系数矩阵的每列分别进行一维离散多尺度 Wavelet 变换 ,最终得到 Ridgelet 系数矩阵 { FRA T f [ k , l ] ,
t) d x
( 5)
为 f ( x) 在 R2 上的 Rado n 变换 。 在 Radon 变换的各个投影方向上应用一维小波变换 即可得到 Ridgelet 变换 :
) = CR T f ( a , b,θ
ψ ( t) R (θ, t) d t ∫
a, b f R2
( 6)
3 有限 Ridgelet 变换[ 5]
1 引言
图像边缘处理是图像处理与分析的基础内容 。图像 的边缘是由灰度的不连续性反映的 。通常边缘可分为以下 两种 : (1) 阶跃性边缘 , 它两边像素的灰度值有着显著的不 同; (2) 屋顶状边缘 , 它位于灰度值从增加到减小的转折 点。 随着图像处理技术的发展 ,已经形成了许多经典的边 缘提取方法 ,如微分算子边缘提取 、 边界闭合 、 哈夫变换等 。 经典的边缘检测算子在精度和抗噪声等方面的性能不好 , Wavelet 变换进行边缘提取时 , 只是在一维奇异信号检测 方面比较好 ,二维图像处理时是利用张量积构造可分离的 小波 ,因此方向性提取不足 。 为了克服方向性不足 ,Do M N 和 Vetterli M 提出了一 种可逆的 、 正交化 的 有 限 Ridgelet 变 换 即有 限 脊 波 变换 ( Finite Ridgelet Transform) 。 本文将有限脊波变换应用于图像的边缘提取过程 , 并 与经典的边缘提取方法 、 小波方法进行了比较 。
3
Ridgelet 变换在图像边缘提取中的应用 Ridgelet Transfo r m fo r Edge Detectio n
宋 芬 , 袁修贵 , 张艳杰 SONG Fen ,Y UANG Xiu2gui , ZHANG Yan2jie ( 中南大学数学科学与计算技术学院 , 湖南 长沙 410083) ( School of Mathematical Science and Computing Technology ,Central South University , Changsha 410083 ,China) 摘 要 : 本文介绍了 Ridgelet 变换理论 ,利用 Ridgelet 变换的多方向性 ,提出一种基于正交有限 Ridgelet 变换的图像 边缘提取方法 ,并将本文方法与传统的边缘提取方法进行了比较 。实验表明 ,有限脊波变换有更好的边缘提取效果 。 Abstract :In t his paper , we first int roduce t he Ridgelet t heo ry , and t hen p ropo se an edge detection met hod based on t he ort ho no rmal finite Ridgelet t ransform using t he multi2direction of t he Ridgelet t ransform. And we co mpare t he t raditio nal method and t he wavelet met hod wit h t his met hod. Experiment s show t hat using t he Ridgelet met hod has better edge detec2 tio n effect t han ot hers. 关键词 : Ridgelet 变换 ; 小波变换 ; 边缘提取 Key words :Ridgelet t ransfo rm ;wavelet t ransform ;edge detection 中图分类号 : TP301. 6 文献标识码 :A
( x co s θ+ x sin θf ( x)δ ∫
1 2
R2
(6) 对图像进行边缘提取 。
5 实验结果
选取图像 Bubble ,大小为 256 3 256 ,对图像加噪 ,再做 有限脊波变换变换提取边缘 , 并且与其他传统方法 ( So bel 算子 、 Robert s 算子 、 Prewitt 算子 、 Log 算子 、 Canny 算子 ) 进行比较 。 实验后所得的图像如图 1 所示 。可以看出 , 用本文方 法相比其他方法对噪声有更好的抑制作用 , 对边缘的定位 也比较准确 ,边缘连续性更强 。
FR I T k [ m ] = DW T{ rk [ j ]} ( 9)
方向特性 ,能对奇异特征信号进行表示 。实验证明 ,该方法 优于其他传统的边缘检测方法 。
参考文献 :
[ 1 ] Gonzalez R C , Woods R E. 数字图像处理 [ M ] . 第二版 . 北
4 wenku.baidu.com于有限 Ridgelet 变换的边缘提取
其中 , k 表示直线的斜率 ,它可在集合 z 2p = { 0 , 1 , …, p - 1} 中取值 ; 另一个下标 l 表示截距 , l 的取值范围是 z p 。 定义 4 ( 有限 Rado n 变换 ) 对于定义在点集 z 2 p 的图 像 f [ i , j ] = ( i , j ∈z p) :
( k , l) ∈ Pi , j } ,则为有限 Ridgelet 变换 。可将有限脊波变
图1 对于 Bubble 的不同提取边缘方法的比较
6 结束语
本文介绍了 Ridgelet 变换的理论 , 提出了基于 Ridge2
let 变换的图像边缘提取方法 。Ridgelet 变换具有多分辨多
换定义为 :
首先定义有限域平面上的直线 ,定义集合 z p = { 0 , 1 , …, p - 1} , p 是一素数 ,有限域平面上的直线定义为 : { ( i , j) : j = ki + l ( mod p) , i , l ∈ z p } , k ∈ z p
L k, l = { ( l , j) : j , l ∈ z p } , k = p ( 7) 可见有限域平面 z 2 上的一条 “直线” 也可用两个下标表达 。 p
利用小波变换能检测出点状奇异性的优点 , 我们将图 像先进行 Rado n 变换 , 将二维的转换成一维的 , 再利用小 波变换检测出奇异性 ,在此基础上提取图像边缘 [ 6 ,7 ] 。 基于有限 Ridgelet 变换的图像边缘提取算法 :
是大于 n 的最小素数 。 (2) 对图像加噪声 。 (3) 对噪声图像进行有限 Radon 变换 ,得到 Radon 域上的一个 p 3 ( p + 1) 系数矩阵 。由于 FRA T 使得图像沿直线方向进行能量 集中 ,因此具有直线奇性的图像经过有限脊波变换后 , 幅值越大的 系数就越有可能对应于图像的直线奇性 , 幅值小的系数对应图像 的点奇异性 。 (4) 选取适当的小波对 Radon 系数矩阵进行小波变换 , 得到 Ridgelet 域上的系数矩阵 。 (5) 对处理后的 Ridgelet 系数矩阵用正交有限 Ridgelet 反变换 重构图像 。
θ θ - 1/ 2 ψ ψ( x1 co s + x2 sin - b) θ ( x) = a a, b,
a
( 3)
其中 , ψ( x) 为一维 Wavelet 函数 。称变换 :
) = CR T f ( a , b,θ
ψ ∫
R2
θ a, b,
( x) f ( x) d x
( 4)
为 f ( x) 在 R2 上的 Ridgelet 变换 。
[1 ]
2 连续 Ridgelet 变换
定义 1 [ 2 ] 设光滑函数 ψ: R → R ,满足条件 ψ( t) d t =
R
∫
0 及容许条件 :
K ψ =
∫
ψ ξ ) ^( 2 ξ
2
ξ< ∞ d
( 1)
对于参数集 γ ,定义 R2 → R 函数 :
- 1/ 2 ψ ψ( ux - b) γ ( x) = a
a
( 2)
则称 ψ γ 由容许条件生成的 Ridgelet 函数 。其中 , a 称为 Ridgelet 的尺度参数 , u 表示方向 , b 为位置参数 。 θ, sin θ ) , x = 定义 2 [ 2 ,3 ] ( Ridgelet 变换) 令 u = ( co s
( x1 , x2 ) 时 ,Ridgelet 函数为 :
3 收稿日期 :2007211222 ; 修订日期 :2008202220 作者简介 : 宋芬 (19842) ,女 ,湖南株洲人 ,硕士生 ,研究方向为数字图像处理 ; 袁修贵 , 博士 , 教授 , 研究方向为地震数据处理 、 小波分 析及其应用 ; 张艳杰 ,硕士生 ,研究方向为偏微分方程数值解 。 通讯地址 :410083 湖南省长沙市中南大学南校区数学科学与计算技术学院 袁修贵 ; E2mail : songfen_530 @yahoo . co m. cn
CN4321258/ TP ISSN 10072130X
计算机工程与科学
COMPU TER EN GIN EERIN G & SCIENCE
2009 年第 31 卷第 5 期
Vol1 31 ,No1 5 ,2009
文章编号 :10072130X ( 2009) 0520062202
(1) 对 n 3 n 的原图像进行预处理 , 得到 p 3 p 的图像 , 其中 p
京 : 电子工业出版社 ,2003.
[ 2 ] Ridgelet C E J . Theory and Applications : [ Ph D Thesis ] [ D ] . Depart ment of Statistics , Stanford Universit y ,1998. [3] Candes E J , Ridgele D D. A Key to Higher2Dimensional In2 ter mittency [ J ] . Philo sop hical Transactions Royal Societ y , 1999 ,357 (1760) :249522509. [4] Beylkin G. Discrete Radon Transform [ J ] . IEEE Trans on ASSP ,1987 ,35 (2) :1622172. [5] Do M N , Vetterli M. The Finite Ridgelet Transform for Im2 age Representation [ J ] . IEEE Trans on Image Processing , 2003 ,12 (1) :16228. [6 ] 袁修贵 ,张安 . Ridgelet 变换及其在图像降噪中的应用 [J ] . 计
Address :School of Mat hematical Science and Co mp uting Technology ,Cent ral Sout h Universit y ,Changsha , Hunan 410083 ,P. R. China
62
在二维中 ,点和线是通过 Rado n 变换关联在一起的 , 因此小波与脊波也是通过 Rado n 变换来联系的 。 定义 3 [ 4 ] ( Radon 变换) 设 f ( x) 为一可积二元函数 , 称变换 : θ, t) = Rf (