第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导
线性相关系数r的计算公式是什么
线性相关系数r的计算公式是什么
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。
由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。
1相关系数定义
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。
简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r表示，用来度量两个变量间的线性关系。
定义式
其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y 的方差
复相关系数：又叫多重相关系数。
复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
2相关系数r的计算。
注会财管中相关系数公式
注会财管中相关系数公式在财务管理和统计学领域，相关系数是一个重要的概念，它能帮助我们衡量两个变量之间的线性关系。
相关系数公式在我国的注会财管课程中占有重要地位，下面我们将详细介绍相关系数公式及其应用。
首先，我们来了解一下相关系数的定义和意义。
相关系数（r）是一个介于-1和1之间的数值，它描述了两个变量X和Y之间的线性关系。
当r=1时，表示X和Y完全正相关；当r=-1时，表示X和Y完全负相关；当r=0时，表示X和Y之间不存在线性关系。
接下来，我们来推导一下相关系数公式。
假设我们有两个变量X和Y，它们的均值分别为μx和μy，标准差分别为σx和σy。
相关系数r的计算公式为：r = Σ[(xi - μx) * (yi - μy)] / [√Σ(xi - μx) * Σ(yi - μy)]其中，xi和yi分别表示X和Y的每一个观测值。
了解了相关系数公式的推导，我们来看一下它在实际中的应用。
相关系数可以用来评估投资组合的风险和收益，分析宏观经济变量之间的关系，甚至在社交网络中分析用户之间的相似度。
以下是一个简单的例子：假设我们有一组数据，描述了某企业的销售收入和广告费用之间的关系。
我们可以通过计算相关系数来判断是否应该增加广告费用以提高销售收入。
接下来，我们介绍一下计算相关系数的方法。
首先，对数据进行预处理，包括计算均值和标准差。
然后，根据上述公式计算相关系数。
最后，对计算结果进行显著性检验，以确定相关系数是否显著不为0。
相关系数与其他统计量（如协方差、方差、标准差）有着密切的关系。
协方差是相关系数的计算基础，而方差和标准差则是相关系数的平方。
此外，相关系数还可以与其他统计量一起，构成多元统计分析的基础。
总之，相关系数公式在财务管理和统计学领域具有重要意义。
通过掌握相关系数公式，我们能够更好地分析变量之间的关系，为决策提供有力支持。
线性回归方程中的相关系数r
线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。
表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。
这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。
总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。
R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。
如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。
分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。
高中相关系数r公式变形
高中相关系数r公式变形
其中，cov(x,y)表示x和y的协方差，σx和σy分别表示x和y的标准差。
相关系数r的公式可以变形为以下形式：
r = ∑(xi - x)(yi - ) / [sqrt(∑(xi - x)) * sqrt(∑(yi - ))] 其中，x和分别表示x和y的平均值。
这个公式中分子部分表示x和y的离均差乘积之和，分母部分表示x和y的标准差之积。
这个公式的意义与原公式相同，但更加直观易懂。
此外，还有一种常用的相关系数公式叫做皮尔逊积矩相关系数公式：
r = ∑(xi - x)(yi - ) / [(n-1)SxSy]
其中，Sx和Sy分别表示x和y的样本标准差。
这个公式与前面的公式类似，但是分母中除以了(n-1)，表示样本方差的自由度。
这个公式也常用于实际数据分析中。
- 1 -。
相关系数计算公式
相关系数计算公式
一、概念
相关系数（correlation coefficient），又称作相关系数，是衡量
两个变量之间相互关系紧密程度的一种统计量，其取值范围位于-1与1
之间。
它是由两个变量的协方差（covariance）除以它们各自的标准差（standard deviation）得到的。
二、定义
相关系数（correlation coefficient）的定义为：
设X和Y是有关联的两个随机变量，其均值分别为μX和μY，标准
差分别为σX和σY，协方差为rXY，其相关系数定义为：
rXY=r(X,Y)=frac{r_{XY}}{sigma_X sigma_Y}=frac{E[left(X-mu_X ight)(Y-mu_Y)]}{sigma_X sigma_Y}
三、性质
1.当相关系数rXY取值为1时，说明X、Y呈完全正相关，此时，当
X增大时，Y也增大；
2.当相关系数rXY取值为0时，说明X、Y之间没有显著的相关关系；
3.当相关系数rXY取值为-1时，说明X、Y呈完全负相关，此时，当
X增大时，Y减小；
4.相关系数rXY取值越大，表明X、Y之间相关关系越紧密；
5.相关系数rXY有有效范围，即[-1，1]；
6.相关系数rXY是一致的，不受X、Y变量变化的时间顺序而改变；
7.相关系数rXY取值只反映X、Y变量的线性关系，而对于非线性关系，其取值不符合实际情况；
8.相关系数rXY只衡量两变量之间的线性相关性，但不能揭示它们之间的因果关系。
四、公式
相关系数rXY的计算公式是：。
相关系数r的建立
(xi x )(yi y)
n i= 1
n
i= 1
i
于 0 越好， 也即
i=1 n
(xi x )2 (yi y )2
越接近于1 越好．
这说明，
i=1
(xi x )2 (yi y )2
i=1
i=1 n
(xi x )(yi y)
相关系数 r 的建立
先求使 Q(， ) ∑ (yi xi )2 取最小值时的，
i= 1 n
的值． Q(，) ∑ (yi xi )2
i= 1 n
∑ {(yi y) [ y ( x )] (xi x )}2 ∑ (yi y )2 n[ y ( x )]2 2 ∑ (xi x )2
i= 1 i= 1
n
i=1
∑ (xi x )2
n
n
n[ y ( x )]2 ∑ (xi x )2
i= 1 n
[
i= 1
∑ (xi x )(yi y)
i= 1
n
∑ (xi x )2
n
]
2
∑ (yi y )2
i= 1
xiyi nx y ． n 2 2 2 nx )( yi ny )
i=1
n
2
( xi2 i=1
n
| r | 越接近于 1，x 与 y 的线性相关性越强； | r | 越接近于 0，x 与 y 的线性相关性越弱． 那么，相关系数 r 的绝对值与 1 接近到什么程度才 表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数 r 进行显著性检验．步骤如下： （1）提出统计假设 H0：变量 x，y 不具有线性相关关系； （2）以 0.05 作为小概率的标准，根据小概率 0.05 与 n 2 在相关系数检验表中查出 r 的临界值 r0.05； （3）计算样本相关系数 r； （4）作出统计推断：如果| r | r0.05，则否定 H0，表明 有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系； 如果| r | ≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设 H0，即就目前数据 而言，没有充分理由认为 y 与 x 之间有线性相关关系．
相关系数r2的计算公式
相关系数r2的计算公式相关系数（Coefficient of correlation）是用来衡量两个变量之间关系强度和方向的统计指标。
一般用符号“r”表示，其取值范围在-1到1之间。
如果r为正值，表示两个变量正相关；如果r为负值，表示两个变量负相关；如果r的绝对值接近于0，则表示两个变量之间无明显的线性关系。
相关系数的计算公式主要包括Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数。
下面将分别介绍。
1. Pearson相关系数（r）Pearson相关系数，也称为线性相关系数，用于衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
Pearson相关系数的计算公式为：r = Σ((X_i - X̅) * (Y_i - Ȳ)) / sqrt(Σ(X_i - X̅)² *Σ(Y_i - Ȳ)²)其中，X_i和Y_i分别表示X和Y的观察值，X̅和Ȳ分别表示X和Y的平均值。
2. Spearman相关系数（ρ）Spearman相关系数用于衡量两个变量之间的单调关系强度，不仅仅局限于线性关系。
Spearman相关系数的计算公式为：ρ=1-6Σd²/(n(n²-1))其中，d表示两个变量对应观察值的秩次差，n表示样本个数。
3. Kendall相关系数（τ）Kendall相关系数也用于衡量两个变量之间的单调关系强度，与Spearman相关系数类似，但其计算方式略有不同。
Kendall相关系数的计算公式为：τ=(P-Q)/(P+Q)其中，P表示在一对观察值中具有相同顺序的对数，Q表示在一对观察值中具有不同顺序的对数。
需要注意的是，公式中的相关系数r、ρ和τ的取值范围都在-1到1之间。
当相关系数接近于1时，表示两个变量之间关系越强；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系越弱；当相关系数接近于-1时，表示两个变量之间关系越强并呈负相关。
相关系数的意义在于帮助我们理解变量之间的关系强弱和方向，从而为进一步分析和预测提供依据。
相关系数计算
相关系数计算在统计学中，相关系数是用来衡量两个变量之间关系强度和方向的统计指标。
相关系数的计算可以帮助我们了解两个变量是如何一起变化的，以及它们之间是否存在某种趋势或规律。
在本文中，我们将探讨如何计算相关系数以及相关系数的意义和应用。
相关系数的计算方法常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
其中，皮尔逊相关系数用于衡量两个连续变量之间的线性关系，取值范围在-1到1之间。
计算方法如下：$$ r = \\frac{n(\\sum{xy}) - (\\sum{x})(\\sum{y})}{\\sqrt{n\\sum{x^2} - (\\sum{x})^2} \\sqrt{n\\sum{y^2} - (\\sum{y})^2}} $$这里，r表示相关系数，n为样本数量，x和y分别为两个变量的取值，$\\sum$表示求和。
而斯皮尔曼相关系数则主要用于衡量两个变量之间的等级关系，即它们是否按照同样的顺序变化。
计算方法相对简单，但同样能够提供有用的信息。
相关系数的意义和应用相关系数的取值范围在-1到1之间，它能够告诉我们两个变量之间的关系强度和方向。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关，即一个变量增加时另一个变量也增加；当相关系数接近-1时，则表示两个变量呈负相关，一个变量增加时另一个变量减少；而接近0则表示两个变量之间基本上没有线性关系。
在实际应用中，相关系数的计算可以帮助我们了解市场趋势、产品销售情况、生产效率等方面的关联关系。
例如，我们可以使用相关系数来研究广告投入和销售额之间的关系，以便更好地制定营销策略；或者利用相关系数来探讨学习时间和考试成绩之间的联系，以帮助学生提高学习效率。
总之，相关系数的计算是统计学中一项重要的工具，通过分析不同变量之间的关系，我们能够更好地理解数据背后的含义，从而做出更加明智的决策。
结语相关系数的计算是统计学中一项基础且重要的内容，它能够帮助我们了解数据之间的关系，并从中获取有价值的信息。
相关系数公式推导
相关系数公式推导在我们探索相关系数公式推导的奇妙之旅前，先和大家分享一个我曾经的小经历。
记得有一次，我在教室里给学生们讲解统计学的知识，当提到相关系数这个概念时，我看到大家脸上那迷茫又好奇的表情，就像在黑暗中摸索的孩子，渴望找到那一丝光明。
其中有个学生怯生生地举手问我：“老师，这个相关系数到底有什么用啊？”我笑了笑，没有立刻回答，而是决定带着他们一起，一步一步揭开相关系数公式推导的神秘面纱。
咱们先来聊聊什么是相关系数。
简单来说，相关系数就是用来衡量两个变量之间线性关系强度和方向的一个数值。
那它是怎么被推导出来的呢？这可得从一些基本的统计学概念说起。
我们假设存在两个变量 X 和 Y ，分别有 n 个观测值，， ...... ，和，， ...... 。
第一步，我们要计算这两个变量的均值，也就是和。
接下来，计算每个观测值与均值的差值，即和。
然后，将这两组差值相乘并求和，得到。
再分别计算这两组差值的平方和，即和。
最后，相关系数 r 就可以通过以下公式计算得出：。
这个公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们来一步步拆解一下。
先说分子，它反映的是 X 和 Y 的协同变化程度。
如果 X 的偏差大的时候，Y 的偏差也大，而且方向相同（都是正偏差或者都是负偏差），那么乘起来就是正数，累加起来就会使得分子比较大，说明 X和 Y 正相关；反之，如果 X 的偏差大的时候，Y 的偏差大但是方向相反，乘起来就是负数，累加起来使得分子比较小甚至是负数，说明 X和 Y 负相关。
分母则是一个标准化的因子，它保证了相关系数 r 的取值范围在 -1 到 1 之间。
当 r = 1 时，说明 X 和 Y 完全正相关；当 r = -1 时，说明X 和 Y 完全负相关；当 r = 0 时，说明 X 和 Y 没有线性关系。
为了让大家更好地理解，咱们再来看个具体的例子。
假设我们有一组学生的数学成绩 X 和语文成绩 Y ，X 分别是 80 、 90 、 70 、 85 、95 ，Y 分别是 75 、 85 、 65 、 70 、 90 。
第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导教学提纲
相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2P σ=11-n 2)1(∑∑-i iP n P =2)](1)[(11i B i A iB i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iBA BBAA σσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A A i×1)(2--∑n B B i× r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B B A A B B A A iiii这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：ABB Aiir n B B A A σσ=---∑1)])([(A A =ABB A B A ABB A B r r σσσσσσσ2222-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
相关系数r的计算公式化简
相关系数r的计算公式化简
相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关程度的统计指标。
它的计算公式可以通过以下方式进行简化。
我们需要知道两个变量的协方差和它们的标准差。
协方差表示两个变量之间的总体关系，而标准差则表示一个变量的离散程度。
假设有两个变量X和Y，它们的协方差为cov(X,Y)，标准差分别为σX和σY。
相关系数r可以通过以下公式计算得出：
r = cov(X,Y) / (σX * σY)
通过这个公式，我们可以得到两个变量之间的相关系数。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有线性相关。
这个公式的简化有助于我们理解相关系数的计算原理。
首先，我们计算两个变量的协方差，然后将其除以两个变量的标准差的乘积。
这样做的目的是消除量纲的影响，使得相关系数的取值范围在-1到1之间。
相关系数r的计算公式的简化使得我们可以更容易地理解和计算相关系数。
通过计算协方差和标准差，我们可以得到一个简单而直观的度量，用以衡量两个变量之间的线性相关程度。
相关系数在统计分析中具有广泛的应用，可以用来研究变量之间的关系，帮助我们理解数据的特征和趋势。
无论是在科学研究、经济分析还是市场预测中，相关系数都是一个重要的工具。
总结起来，相关系数r的计算公式可以通过计算协方差和标准差的方式进行简化。
这个公式的简化使得我们能够更好地理解和计算相关系数，为统计分析提供了一个简单而直观的工具。
相关系数在各个领域都有广泛的应用，可以帮助我们研究变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
财务管理相关系数r的计算公式
财务管理相关系数r的计算公式好的，以下是为您生成的文章：财务管理中，相关系数 r 这个概念就像是一个神秘的密码，解开了就能让我们更清晰地洞察财务数据之间的关系。
它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开财务世界的大门。
先来说说相关系数 r 到底是个啥。
打个比方，假如你有两个朋友，一个朋友每次出去玩都花很多钱，另一个朋友却很节省。
你可能会好奇，这两个人的花钱习惯有没有什么关联？这就是相关系数要研究的事儿。
相关系数 r 就是用来衡量两个变量之间线性关系的紧密程度和方向的。
那相关系数 r 的计算公式是咋来的呢？这得从一堆数学推导说起。
公式是：r = [∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均)] / [√∑(Xi - X 均)² √∑(Yi - Y 均)²] 。
看起来是不是有点头疼？别慌，咱们慢慢拆解。
比如说，有一组股票 A 和股票 B 的收益率数据。
股票 A 的收益率分别是10%、20%、15%、25%、30%，股票B 的收益率是8%、18%、12%、22%、28%。
咱们来算算它们的相关系数。
首先，得算出股票 A 的平均收益率 X 均，就是把这几个数加起来除以 5 ，（10% + 20% + 15% + 25% + 30%）÷ 5 = 20% 。
同样，算出股票 B 的平均收益率 Y 均，（8% + 18% + 12% + 22% + 28%）÷ 5 = 18% 。
然后，对于每一个数据点，比如股票 A 的第一个数据 10% ，我们用它减去平均收益率 20% ，得到 -10% ，股票 B 的第一个数据 8% 减去平均收益率18% ，得到-10% 。
接着把这两个差值相乘，以此类推，把所有的数据点都这么处理，然后把这些乘积加起来，这就是∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 。
再分别算出∑(Xi - X 均)²和∑(Yi - Y 均)²，开平方后相乘，最后用前面算出来的∑(Xi - X 均)(Yi - Y 均) 除以这个乘积，就得到了相关系数 r 。
相关系数推导
相关系数推导相关系数(CorrelationCoefficient)是统计学中最基本也是最重要的指标之一，它是一种度量两个变量之间关系强弱的统计指标，从而可以判断两个变量是否相关，它的取值范围在-1到1之间，它可以衡量两个变量之间的线性关系以及相互影响的强弱。
这里介绍一种称之为“相关系数推导”的方法，它利用两个变量的协方差和标准差来求解相关系数，其具体求解过程如下：首先，由两个变量的数据的均值和方差可以求出协方差，其计算公式如下：Cov(X,Y)=(X - X_平均)(Y - Y_平均) / N其中，X_平均和Y_平均分别是变量X和Y的数据的均值，而Σ表示变量X和Y的数据的平方和。
接着，由协方差可以求出相关系数，其计算公式如下：r = Cov(X,Y) /[ Var(X) Var(Y) ]其中，r 为相关系数，Var(X)和Var(Y)分别表示变量X和Y的方差。
另外，若两个变量具有实际意义，要求能够方便地观察出相关系数的取值，可以采用下表来解释相关系数的大小：| r | 系强弱 ||:----:|:-----------:|| 0.9 |烈相关 || 0.7 | 中等相关 || 0.5 | 一般相关 || 0.3 |相关 || 0 |相关 |上述可知，当相关系数取值为0.9时，表明两个变量之间的关系较为强烈；当相关系数取值为0.7时，表明两个变量之间的关系属于中等程度；当相关系数取值为0.5时，表明两个变量之间的关系较弱；而取值为0时，则表明两个变量之间没有任何关系。
此外，相关系数能够揭示两个变量之间是存在正相关还是负相关，其判断依据如下：1.若相关系数取值在(0.0,1.0)之间，表明两个变量之间是正相关的；2.若相关系数取值在(-1.0, 0.0)之间，表明两个变量之间是负相关的。
总结起来，相关系数是衡量两个变量之间线性关系以及影响程度强弱的重要指标，它可以有效地帮助我们判断出两个变量之间是存在正相关还是负相关，甚至可以推导出它们之间影响强弱的程度。
相关系数r的计算公式化简
相关系数r的计算公式化简相关系数是用来衡量两个变量之间相关程度的统计量。
它可以帮助我们了解变量之间的关系以及预测未来的趋势。
相关系数的计算公式可以通过以下方式进行简化。
相关系数的计算公式如下：r = Σ((Xi - X) * (Yi - Ȳ)) / √(Σ(Xi - X)² * Σ(Yi - Ȳ)²)其中，r代表相关系数，Xi和Yi分别代表两个变量的观测值，X和Ȳ分别代表两个变量的平均值。
为了简化该公式，我们可以将其分为三个部分进行计算。
我们计算两个变量的差值。
对于每个观测值，我们减去其对应的平均值。
这样可以得到每个观测值与平均值的差值。
然后，我们计算差值的乘积。
将上一步得到的差值相乘，得到每个观测值差值的乘积。
我们将差值乘积的总和除以各自差值的平方和的平方根。
这样可以得到相关系数的值。
通过以上步骤，我们可以简化相关系数的计算公式，使其更易于理解和计算。
相关系数可以取值范围为-1到1之间。
当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关；当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的值越接近于-1或1，表示两个变量之间的关系越强；相关系数的值越接近于0，表示两个变量之间的关系越弱。
相关系数的计算可以帮助我们分析数据，找出变量之间的关联性，并做出相应的决策。
例如，在金融领域，相关系数可以用来分析股票之间的关系，帮助投资者进行投资决策；在市场调研中，相关系数可以用来分析消费者行为与市场变化之间的关系，帮助企业制定营销策略。
相关系数是一个有用的统计量，可以帮助我们理解变量之间的关系。
通过简化相关系数的计算公式，我们可以更好地理解和应用相关系数，从而做出更准确的预测和决策。
第三章：相关系数r 的计算公式的推导
第三章附录：相关系数r的计算公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相关系数r AB 的计算公式的推导设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2A σ=11-n 2)(∑-A A i 2B σ=11-n )(B B i -∑2 2P σ=11-n 2)1(∑∑-i iP n P =2)](1)[(11i B i A iB i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(11B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([11B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([112222B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A2A×221)(BiAn A A +--∑×1)])([(21)(2---+--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i=A 1)])([(22222---⨯++∑n B B A A A A A i iB A BBAAσσ对照公式（1）得：=1)(2--∑n A Ai×1)(2--∑n B Bi× r AB∴ r AB =∑∑∑-⨯---22)()()])([(B B A A B B A A iiii这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2P σ取极小值的A A ：A A =ABB A B A ABB A B r r σσσσσσσ2222-+- … …………………………………（3） ABB Aiir n B B A A σσ=---∑1)])([(式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
r相关系数 公式
r相关系数公式相关系数是统计学中常用的一种量化两个变量之间相关关系强度的方法。
它可以帮助我们理解变量之间的关联程度，并用一个数值来表示相关性的强弱。
在本文中，我们将介绍相关系数的基本概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
相关系数可以衡量两个变量之间的线性相关程度，其取值范围在-1到1之间。
当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
相关系数的计算方法通常采用皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）。
它的计算公式为：r = (Σ((Xi - Xmean) * (Yi - Ymean))) / (sqrt(Σ(Xi - Xmean)^2) * sqrt(Σ(Yi - Ymean)^2))其中，r表示相关系数，Xi和Yi分别表示两个变量的取值，Xmean 和Ymean分别表示两个变量的平均值。
Σ表示求和运算，sqrt表示开平方运算。
相关系数的计算过程可以分为以下几个步骤：1. 计算每个变量的平均值：Xmean和Ymean；2. 计算每个数据点与其对应变量平均值的差值：Xi - Xmean和Yi -Ymean；3. 计算每个差值的平方：(Xi - Xmean)^2和(Yi - Ymean)^2；4. 计算差值的乘积：(Xi - Xmean) * (Yi - Ymean)；5. 将步骤4中的乘积求和，得到Σ((Xi - Xmean) * (Yi - Ymean))；6. 将步骤3中的平方求和，得到Σ(Xi - Xmean)^2和Σ(Yi - Ymean)^2；7. 将步骤5和步骤6的结果代入相关系数的计算公式，得到相关系数r。
相关系数在实际问题中有广泛的应用。
例如，在金融领域，相关系数可以帮助分析股票之间的相关性，从而帮助投资者构建有效的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用于分析疾病与各种相关因素之间的关联程度，以便更好地理解疾病的发病机制。
样本相关系数r公式简化推导
样本相关系数r公式简化推导样本相关系数r的公式如下所示：![r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i =1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2}}}其中，n为样本个数，xi和yi分别为第i个样本的x和y取值，x̄和ȳ分别为x和y的样本均值。
公式的推导可以分为以下三步：1. 将样本相关系数的计算公式转化为协方差和方差的形式r = cov(x,y) / (s(x)*s(y))其中，cov(x,y)表示x和y的协方差，s(x)和s(y)分别表示x和y的样本标准差。
根据定义，x和y的样本协方差cov(x,y)可以表示为：cov(x,y) = sum((xi - x̄) * (yi - ȳ)) / (n-1)其中，n为样本个数，xi和yi分别为第i个样本的x和y取值，x̄和ȳ分别为x和y的样本均值。
样本标准差s(x)和s(y)可以表示为：s(x) = sqrt(sum((xi - x̄)^2) / (n-1))s(y) = sqrt(sum((yi - ȳ)^2) / (n-1))2. 将式子中的(x-x̄)和(y-ȳ)展开，化简公式r = sum((xi - x̄)*(yi - ȳ)) / sqrt(sum((xi - x̄)^2)*sum((yi - ȳ)^2))将上式分子展开，得到：r = ( sum(xi*yi) - sum(xi*ȳ) - sum(x̄*yi) + n*x̄ȳ ) / sqrt( sum(xi^2) - n*x̄^2 ) * sqrt( sum(yi^2) - n*ȳ^2 )3. 化简后公式进行一些组合变化和展开可以得到样本相关系数的化简公式：r = [ n*sum(xi*yi) - sum(xi)*sum(yi) ] / [ sqrt( n*sum(xi^2) - (sum(xi))^2 ) * sqrt( n*sum(yi^2) - (sum(yi))^2 ) ]这就是样本相关系数r的简化版公式。
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相关系数r AB 的计算公式的推导
设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。
2
A σ=11-n 2
)(∑-A A i
2B σ=11-n )(B B i
-∑2
2P σ=
11-n 2
)1
(∑∑
-
i
i P n
P
=2
)](1
)[(11i B i A
i B i A B A A A n
B A A A n +-
+-∑∑
=2
)]()[(11
B A A A B A A A n B A i B i A
+-+-∑
=2
)]()([1
1
B B A A A A n i B i A
-+--∑
=
)])((2)()([1
1
2
222B B A A A A B B A A A A
n i i B A i B i A
--+-+--∑ =A
2A
×
22
1
)
(B
i
A
n A A +--∑×
1
)]
)([(21
)
(2
---+
--∑∑n B B A A A A n B B i i B A i
=A 1
)])([(22222---⨯
++∑n B B A A A A A i i
B
A B
B
A
A
σ
σ
对照公式（1）得：
=
1
)(2
--∑
n A A i ×
1
)(2
--∑
n B B i × r AB
∴ r AB =
∑∑∑-⨯
---2
2
)
()()]
)([(B B
A A
B B A A i
i
i i
这就是相关系数r AB 的计算公式。
投资组合风险分散化效应的内在特征
1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定
公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：
(2
P σ)′=2 A A 2
A σ－2 (1－A A )2
B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2
P σ)′= 0 并简化，得到使2
P σ取极小值的A A ：
AB
B A i i
r n B B A A
σσ=---∑1
)])([(
A A =
AB
B A B
A
AB B A B r r σσσ
σ
σσσ2222
-+- ... (3)
式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。
由于使(2P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2
P σ为最小值。
以上分析清楚地说明：对于证券A 和证券B ，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A 和证券B 构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券B 的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证券B 的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证
券B 的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。
这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。
按公式（3）计算出的证券A 和证券B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A 和证券B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。