中国剩余定理在RSA算法中应用的 研究实验
简析RSA数据加密算法的分析与改进
简析RSA数据加密算法的分析与改进摘要：RSA加密算法中存在着大素数查找的问题，导致RSA运算速度缓慢。
本文利用小素数筛值法、偶数排除法、小素数整除法等方法对伪素数进行了初步的剔除，然后利用米勒-拉宾法来进行素数的检测，从而大大地改善了对素数的探测效果。
实验证明，与传统Miller-Rabin方法比较，该方法在较短的时间内产生大素数，而不是大素数的几率低于0.1%。
因此，RSA的加密速度和RSA的可操作性都得到了改善。
关键词：RSA数据加密算法改进引言：当前，信息化已成为社会发展的中心趋势，它作为一种重要的战略资源，随着互联网的发展突破了传统的空间和区域概念，使真正意义上的全球信息化逐渐呈现在我们的面前，但由于互联网的互联性、共享性和可开发性，假冒、篡改、泄露等一系列问题也需要我们去正面认识与解决。
因此，网络时代确保信息安全始终是一个重要的课题。
为了保障网络中的数据安全性，信息加密技术一定是最主要且最基础的保护方式。
在大多数情况下，只有通过加密技术才能进一步确保网络中的数据通信安全。
为了达到对资料数据的加密处理，一般可以采用多种加密算法技术。
目前，已公布的加密算法主要有DESRC4和FEAL-N等，RSA是在1977年由RSA、AdiShamirh和LenAdleman三位科研人员在美国麻省理工大学开发的，而RSA命名是基于三个开发者的姓名组合和零知识证明算法等密钥算法所命名。
在这些算法中，RSA算法是综合效果最佳的，对于它的普遍应用，以及更多被证实的安全性测试，本文都将针对此进行更深入的研究和完善，从而尽可能再提高它的性能，使RSA算法具备更佳的可操作性。
1公开RSA加密算法RSA加密属于公开密钥加密算法，它自身具有很强的代表性，对于密钥来说，不论是加密，还是解密，在关联中都存在着些许的差异。
在公开密钥算法里，加密密钥是透明化的，而对于此，解密密钥就具备鲜明的私有性。
众所周知，对于公钥和私钥，在被包含的RSA加密算法里，它们具备对数据进行加密的时效性，理论上没有任何限制；而另一个关键在于对应的解密过程，无法从根本上进行密钥的相互的推导，那么在某种程度上就能更好地解决在传输过程中因密钥丢失而造成的安全隐患。
中国剩余定理在RSA算法中应用的研究实验演讲
中国剩余定理
(C数R,T即)[G3,C4,D5(]p设i,ppj1),=p12,(…i≠j,)p,对s是于两任两意互整素数的正整 d1,d2,…,ds(0[di[pi-1,i=1,2,…,s),同余式方程组
x≡d1(modp1) x≡d2(modp2) … x≡ds(modps) 在0到N=∏pi内有惟一解。
的。
2020年12月20日
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中国剩余定理
《孙子算经》中的题目：有物 不知其数，三个一数余二，五 个一数余三，七个一数又余二， 问该物总数几何？
2020年12月20日
3
中国剩余定理
《孙子算经》中的解法：三三 数之，取数七十，与余数二相 乘；五五数之，取数二十一， 与余数三相乘；七七数之，取 数十五，与余数二相乘。将诸 乘积相加，然后减去一百零五 的倍数。
• [5] 张宏，刘方园. 四素数RSA 加密算法的研究与分析[J].为计算机信 息,2010,26(5-3):29～30.
• [6] 李云飞，柳青，赫林，周保林. 一种有效的RSA 算法改进方案[J].计 算机应用,2010,30(9):2393～2397.
• [7]柳青,李云飞,周保林,彭华.基于多素数的批处理RSA算法的研究[J].计 算机应用研究2011.28(2):714-716
2020年12月20日
9
四素数RSA算法
• 在传统双素数ＲSA 密码算法基础上，把素数个数 取为4，算法依然成立，其描述如下:
• 1) 随机选取4 个不同的大素数p，q，r和s，计算n = pqrs，
• φ( n) = ( p－1)(q－1)(r－1)(s－1)。
• 2) 取加密密钥e = 65537，计算出私钥d，满足 de≡1 modφ( n) 。
毕业设计-中国剩余定理
中国剩余定理及其应用Chinese Remainder Theorem and Its Application专业:作者:指导老师:摘要本文主要讨论了中国剩余定理及其应用, 文中研究了中国剩余定理在初等数论范畴下的应用及在密码学方面的贡献, 说明了中国剩余定理的应用的广泛性.关键词: 中国剩余定理; 初等数论; RSA算法; 解密AbstractThe paper discusses the Chinese Remainder Theorem and Its Application. It studies the application in the context of Elementary Number Theory and the contributions in cryptography, and it illustrates the broad application of Chinese Remainder Theorem.Keywords:Chinese Remainder Theorem; Elementary Number Theory; RSAalgorithm; decrypt目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 中国剩余定理 (1)2 中国剩余定理的应用 (2)2. 1 中国剩余定理在赋值领域的体现 (2)2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用 (3)2. 3 中国剩余定理在密码学中的应用 (4)3结束语 (11)参考文献 (12)0 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡7mod 25mod 33mod 2x x x《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世. 中国剩余定理又称“孙子定理”. 它数初等数论中重要定理之一, 在代数数学和计算机领域中也有重要应用. 本文讨论中国剩余定理及其一些简单的应用.1 中国剩余定理中国剩余定理:设r m m m ,,,21 是两两互素的正整数, 设r a a a ,,,21 使整数, 则同余方程组 r i m a x i i ,,2,1),(mod =≡ 模r m m m M 21=有唯一解∑==ri i i i M y M a x 1mod其中i i m M M =, i i i m M y mod 1-=, r i ,,2,1 =.举世闻名的中国剩余定理最早以“ 物不知其数” 的问题载于《孙子算经》[1]中, 该问题可以理解为: 一个数除以3余2, 除以5余3, 除以7余2, 求合适这些条件的最小的自然数. 用现代数学符号表示, 即已知)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡N 求最小的正整数, 答案是23=N .《孙子算经》的解法是:“ 术曰: 三三数之剩二, 置一百四十; 五五数之剩三, 置六十三; 七七数之剩二, 置三十; 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之即得.凡三三数之剩一, 则置七十;五五数之剩一, 则置二十一, 七七数之剩一, 则置十五. 一百六以上, 以一百五减之即得.”把“物不知其数”问题推广到一般情况[2], 设d c b a ,,,为非负整数, 且a 为某个数除以3的余数, b 为这个数除以5的余数, c 为这个数除以7的余数, 试求符合条件的最小的数m . 按《孙子算经》的解法有d c b a m 105152170-++=.我们可以证明, 因为d c b a m 105152170-++=可以改写为 c d c b a m +-++=)105152169(.又因为)105152169(3d c b a -++且20≤≤a , 所以m 除以3的余数必为a , 同理可得m 除以5的余数必为b , m 除以7的余数必为c . 又因为[]1057,5,3=, 所以m 减去105的整数倍就能得到符合题意的最小自然数.2中国剩余定理的应用中国定理是中国古代数学家为世界数学发展作出的巨大贡献, 它的数学思想在近代数学、当代秘密学研究及日常生活都有着广泛应用.2. 1中国剩余定理在赋值理论中的体现赋值理论是域论的一个分支, 是研究近代数学中几个重要分支如代数数论、交换数论的一个重要工具, 而中国剩余定理在赋值论中起着重要作用, 下面介绍中国剩余定理在赋值理论中的应用.定理 (赋值的独立性)对于任意n 个p 赋值pn p p V V V ,,,21 , Q a ∈, n i ,,2,1 =,以及任意0>ε, lm l l P P P ,,,21 --, 则存在Q b ∈使(1)()ε<-=-∞1a b a b V ; (2)()i l i i pi P a b V -≤-, n i ,,2,1 =证明 设m 为n a a a ,,,21 的最小公分母, 令()m V P pi Si i =, i i i s l r +=, n i ,,2,1 =,{}n r r r r ,,,,1max 21 =. 根据中国剩余定理, 可求得一个c , 使得()r p ma c 11mod ≡, ()r pr ma c 22mod ≡, , ()rnn p ma c mod ≡ 即 ()r i i pi p ma c V -≤-, i l i i pi p a m c V -≤⎪⎭⎫⎝⎛-设()rn p p p q 21=, 取适当的Z v u ∈,, 使ε<-++a vq uq m c 11, 再令a vquqm c =++11, 则b 显然满足条件(1).又由p 距离p D 的性质: ()()()()c a D c b D b a D p p p ,,,,max ≥有()i l i i pi i pi p a m c m c b V a b V -≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤-max , n i ,,2,1 =.2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用由中国剩余定理可得相似定理. 设()()()x m x m x m n ,,,21 是n 个两两互素的多项式,()()()x a x a x a n ,,,21 是n 个多项式, 则一定存在多项式, 使()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡x m x a x f x m x a x f x m x a x f n n mod mod mod 2211当()x f 的次数不超过()()()()()()x m x m x m x m x m n 21=的次数是, ()x f 唯一确定.特别地, 当()[]x Q b x x m i i ∈-=(或[]x R ), n i ,,2,1 =, ()n i b i ,,2,1 =是互不相等的常数, 从而()()n i x m i ,,2,1 =也是两两互素的多项式, 由余数定理可知()()()()i i i i b x b m x m -≡mod , ()n i ,,2,1 = 从而定理可叙述为, 一定存在多项式()x f , 是()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≡-≡-≡n n n b x m x a x f b x m x a x f b x m x a x f mod mod mod 222111其中()x a i ()n i ,,2,1 =是任意给定的常数, 且多项式()x f 在次数不超过n 的条件下唯一确定的, 有()()()i i b x a x f -≡mod 等价于()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =得: 对任意互不相同的i b()n i ,,2,1 =存在唯一的次数小于n 的多项式()x f , 是()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =. 这就是插值多项式的存在与唯一性定理.由中国剩余定理的证法, 只要找到多项式()x M i ()n i ,,2,1 =, 使()()()i i b x x M -≡mod 1 ()()()j j b x x M -≡mod 0, j i ≠ (1) 而()()()()()()()()()n i i i i i i n i i i b b b b b b b b b x b x b x b x x M --------=+-+-111111 满足(1), 于是的插值多项式()x f :()()()()()()()∑∏==≠--=+++=nj ni i ji j n n j i b bb x a x M a x M a x M a x f 112211这就是著名的Lagrange 内插多项式.中国剩余定理推导出的内插多项式是处理许多多项式问题的基本工具如简化数列求和问题: 计算()22221210-++++n解 假设和为n 的三次多项式()n f , n 代表项数, 于是有 ()()()()53,12,01,00====f f f f 由插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12161231303210532120231051004321--=-----++------=⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n n n n n n M n M n M n M n f 所以, ()()()1216112102222--=-++++n n n n .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题, 在算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果.2. 3中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理虽是数论中的基本定理, 但是在计算机秘密学中有着重要的应用. 例如在Rabin 密码算法中用于解密运算. 在RSA 密码算法中, 中国剩余定理同样可用于RSA 的解密运算, 而且使RSA 的机密速度大约提高4倍左右, 这无论对于软件还是硬件实现RSA 密码算法都是非常重要的. 本文主要从基于中国剩余定理的一种加密算法和中国剩余定理在RSA 解密中的应用两点来说.2. 3. 1基于中国剩余定理的一种加密算法根据中国剩余定理, 可以得出一种新的网络信息加密算法. n A A A A ,,,,321 为n 个互质的素数, 若已知一个整数Y 除以n A A A A ,,,,321 余数分别为n B B B B ,,,,321 , 求Y .令n A A A A M ⨯⨯⨯⨯= 321,1X 表示能n A A A ,,,32 被n A A A ,,,32 整除的所有整数,1Y 表示能被n A A A ,,,32 整除的所有整数且除以1A 余1B 的所有整数, 2X 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数,2Y 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数且除以2A 余2B 的所有整数,i X 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数,i Y 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数且处于i A 余i B 的所有整数,那么1321/A m M A A A X n ⨯=⨯⨯⨯= , 2312/A m M m A A A X n ⨯=⨯⨯⨯⨯= ,n n n A m M m A A A X /121⨯=⨯⨯⨯⨯=- , 其中m 为任意整数.设i F 满足i X 和i Y , 且令其为i Y 中最小的正整数, 其中n i ≤≤1则 m M F m A A A F Y n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+=12111m M F M A A A F Y n n n n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+= 21那么m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321.用Y 表示明文, 是所要隐蔽和保护的机要消息. 用n B B B B ,,,,321 表示密文, 要把明文转换成一种隐蔽的形式: n A A A A ,,,,321 和N 为密钥.加密算法的步骤如下:步骤1: 选出n 个n A A A A ,,,,321 作为“密钥”; 步骤2: 求出这n 个素数的乘积M ; 步骤3: 求出n F F F F ,,,,321 ;步骤4: 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出 ()[]M F F F F Y N n /321++++-= ;步骤5: 用Y 分别除以n A A A A ,,,,321 得余数n B B B B ,,,,321 并把它们作为密文. 解密算法的步骤如下:已知密文n B B B B ,,,,321 和密钥n A A A A ,,,,321 和N 算出n F F F F ,,,,321 . 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出Y . 这样就实现了从密文和密钥到明文的整个解密过程. 加密和解密举例: 加密:令明文2001=X , 密钥为11,7,5, 密文为10,6,1可求出175,55,231321===F F F , 那么()[]()41175/175552312001=⨯⨯++-=m 为另一密钥.解密:2001411755517522121321=⨯⨯⨯+++=⨯++++=++++=m M F F F Y Y Y Y Y n n .2. 3. 2中国剩余定理在RSA 解密中的应用1978年美国麻省理工学院的三位教授R. L. Rivest, A. Shamir 和M. Adleman 提出了一种基于因子分解的指数函数作为单项陷门函数[3](One-way Trapdoor Function)的公开密钥密码算法(Public-Key Cryptosystems, PKC), 即著名的RSA 算法[4]. RSA 算法是第一个较完善的PKC 算法, 也是非常容易理解和实现的的PKC 算法. 它既可用于传输信息的加密, 也可用于数字签名系统, 是当前民用也商业使用最广泛的公开密钥密码算法之一, 已被国际标准化组织ISO 、JTU 和SWIFT 接受为标准.随机选取两个不同的大素数p 和q (约为150位或更大的十进制数), 计算它们的乘积pq N =与相应的Euler 函数(Euler Totient Function)()()()11--=q p n φ的值, 将N 公开, 而将()n φ, p 和q 保密;显然, 如果不知道N 的素因子p 和q 的前提下, 计算()n φ的值是属于NP 问题, 极难实现.再随机选取一个正整数e , 是e 满足条件: ()N e φ<且()()1,gcd =N e φ(即e 与()N φ的最大共因素是1), 根据扩展Eulicd 算法(Extended Euclidean Algorihm)[5]计算()()N e d φmod 1-=, 即计算满足()()N ed φmod 1=的d . 将e 公开, 而将d 保密, 就确定了RSA 算法的公开密钥()N e PK ,=, 私人密钥()N d SK ,=, 密钥空间:(){}pq N d e q p N K ==,,,,, p 与q 为不同大素数, ()()N ed φmod 1=.相应的, RSA 算法中的单向陷门函数为()()N x x f t mod =(其中K t ∈且N Z x ∈), 称为RSA 函数. 其秘密陷门信息为()N φ及素数p 、q 的值.确定公钥()N e PK ,=和私钥()N d SK ,=之后, RSA 算法的机密运算定义为: ()()N m m E c e pk mod ==, 其中11-≤≤N m 为明文.解密运算定义为: ()()N c c D m d sk mod ==, 其中11-≤≤N c 为密文.RSA 秘密算法的明文m 应为1到1-N 之间的整数, 即[]1,1-∈N m . 如果明文m 太长, 可将其转换成N 进制的形式, 即0111m N m N m N m m s s s s ++++=-- , 于是得到分组后的明文序列 ()s m m m m ,,,10 =, 其中 []1,1-∈N m i , s i ≤≤0. 与之相应的密文序列为()s c c c c ,,,10 =, 其中1c 对应于1m ()s i ≤≤0.中国剩余定理(Chinese Remainder Throrem, CRT)是初等数论中重要的基本定理之一, 它主要是刻画剩余系的结构和求解形如()()s i p d x i i ≤≤≡1mod 的一次同余式方程. 在计算数论中, 计算中国剩余定理唯一解的方法有两种: 单基数转换法(Single-Radex Conversion, SRC)和混合技术转换法(Mixed-Radex Conversion, MRC), 这两种防范都是非常实用的计算方法.算法1 CRT 的单基数转化法(SRC)(1)计算s p p p P 21←和()s i p P P i i ≤≤←1/;(2)计算()()s i p P Q i ≤≤←-1,mod 111;、 (3)计算唯一解()P Q P d Q P d Q P d x s s s mod 222111+++← .利用混合技术转换法(MRC)求CTR 唯一解得方法是H. L. Garner 在1958年首先提出的. 之后D. E. Kunth 将其用于计算数论, 并进行了有益的改进. 经Kunth 改进后的MRC 方法用算法描述如下:算法2 CRT 的混合基数转换法(MRC) (1)计算()i j ji p p B mod ←, ()s i j ≤<≤1; (2)分别计算()i p d v mod 11←; ()()212122mod p B v d v -←;()()()()()()s s s s s s s s s p B B B v p v p v p v d v mod 1211232211---++++-← .(3)计算唯一解112123121v p v p p v p p p v X s s ++++←- .利用中国剩余定理对RSA 密码解密, 首先要将RSA 的解密运算由计算模N 的指数形式转化成求解同余方程组的情形. 为此, 先介绍两个必须的数论定理: 即中国剩余定理的一个推论(定理1)于费马小定理(Fermat's Little Theorem).定理1(CRT 的推论)[6, 7]设s p p p ,,,21 是s 个两两互素的正整数, s p p p P 21=, 则同余式()()P x f mod 0≡与同余式方程组()()()s i p x f i ≤≤≡1mod 0等价.定理2(费马小定理)[6, 7]设p 使一个素数, x 是一个满足()0mod ≠p x 的整数, 则:()p x p mod 11≡-.下面, 将着重分析利用SRC(算法1)和MRC(算法2)实现的RSA 解密算法. 对于RSA 的解密算法()()N c c D m d sk mod ==, 由于用于私钥()N d SK ,=的合法解密者已知pq N =(p 和q 为不同的素数), 因此根据定理1, 可将RSA 的解密由计算模N 的指数运算()()N c c D m d sk mod ==转化为计算模p 和模q 的同余式方程组:()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡q c m p c m d dmod mod 21 (2. 1) 而d 和c 通常是不小于p (或q )的, 因此可利用定理2及同余式的性质, 简化同余式方程组(2. 1)的模p (或q )的指数运算.事实上, 根据定理2及同余式的性质, 同余式()p c m d mod 1=可以如下简化: 令()1mod -=p d r , 则存在k 满足: ()r p k d +-=1. 于是()()()()()()()()p c p c p c c p c p c m r kp r p k r p k d mod mod mod mod mod 1111--+-≡≡≡=()()()()()()p p c p c p c p d p d r k mod mod mod mod 11m od 1m od --≡≡≡同理对于同余式()q c m d mod 2≡有()()()()()()q q c q c q c m q d q d d mod mod mod mod 1m od 1m od 2--≡≡≡最终, 同余式方程组(2. 1)转化为:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡,mod mod mod mod 2121q q c m p p c m d d (2. 2)其中()()1mod ,1mod 21-=-=q d d p d d .于是, RSA 的解密运算转化为解同余式方程组(2. 2). 利用算法1(即SRC)解之, 即得到下面的快速RSA 解密算法.算法3 RSA 的SRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ; (2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p q B mod 11-←与()q p B mod 12-←; (5)计算()N p B M q B M m mod 2211+←.同样地, 可利用改进的混合基数计算法(MMRC)(即算法2)解同余式方程组(2. 2). 首先, 构造三角形数值表:222111M M M其中111m M =, 221m M =,()()()()()()q q p m m q q p M M M mod mod mod mod 1121112122---=-=, 再由MMRC(算法2)得到:()()()[]p q q p m m m m *-+=-mod mod 1121 . 这样就得到另一个快速RSA 解密算法. 算法4 RSA 的MMRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ;(2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p p B mod 1-←;(5)计算()()[]p q B M M M m **-+←mod 121.由于算法3和算法4的(1)-(3)相同, 因此只需比较它们的后两步. 对于算法3, 需要计算2次逆元、1次加法和1次模余(2k 比特)运算;而对于算法4, 需要计算1次逆元、2次惩罚、1次加法、1次减法和1次模余(k 比特)运算. 显然, 算法4的后两步的计算量比算法3的少一半(加法与减法的计算量相对减少, 忽略不计), 因此明显好于算法3. 利用MMRC 的解密算法(即算法4)使RSA 的解密速度加快大约4倍, 可大大提高用于RSA 的软硬件解密实现.3结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就, 它在数学史上占有光辉的一页, 其数学思想一直启发和指引着历代数学家们, 在数学领域, 特别是计算机领域发挥着重要作用. 以上只是它应用的一些例子, 可见中国剩余定理的应用之广泛, 地位之高.致谢 本文是在。
中国剩余定理在RSA解密中的应用
文章编号:1001 - 9383 (2003) 03 - 0138 - 06Ξ中国剩余定理在RSA 解密中的应用贺毅朝1 ,刘建芹2 ,陈维海3( 11 石家庄经济管理学院信息工程系,石家庄050000 ;21 石家庄信息工程职业学院,石家庄0500353 . 中国华融资产管理公司石家庄办事处, 石家庄050000)【摘要】在分析RSA 密码算法实现原理的基础上,着重论述了利用单基数转换法( SRC)和混合基数转换法( M R C) 计算中国剩余定理惟一解的方法以及利用这两种方法快速实现RSA 的解密算法。
【关键词】P KC 算法; 中国剩余定理; RSA 算法【中图分类号】T P 311 . 56 ;O156 【文献标识码】 AThe a ppl i cat i on of CRT to R SA decrypt i onHE Y i2chao 1 ,LI U J ian2qin2 ,CHE N Wei2hai3( 1 . Col l ege of I nf or m at i on En g i neeri n g , S hij i a z h u a n g U ni versi t y of Econ nom i cs , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi n a ;2 . S hij i a z h u a n g I nf or m at i on En g i neeri n g V ocat i on al Col l ege , S hi j i a z h u a n g 050035 , Chi n a ;3 . S hi j i a z h u a n g Of f ice of Chi n a Hu a r on g A s sets M a n age m ents Corporat i on , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi na) Abstract Based o n analysis of t h e p r inciple of RSA implementati o n ,t h e applicati o n issues of Sin2 gle2Radix C o nversi o n ( SRC) and Mixed2Radix C o nversi o n ( M RC) algo rit h ms o n Chinese Rem ain2 der Theo re m ( CR T) and high2speed realizati o n of RSA decryp ti o n using above met ho ds were il lu2 minated em p h atically.K ey w ords P KC algo r it h m ; Chinese Re mainder Theo r e m (CR T) ; RSA algo r it h m1978 年美国麻省理工学院的三位教授R. L . Rivest ,A. Shamir 和M . Ad leman 提出了一种以基于因子分解的指数函数作为单向陷门函数1 (One2way Trap d oor Functio n) 的公开密钥密码算法( Pub lic2Key Cryp to syst em , P KC) ,即著名的RSA 算法2 。
基于中国剩余定理的快速公钥加密算法
的一个问题而设计出来的 ． 笔者基于中国剩余定理构造了一个公钥密码算法 ． 在加密过程中 ， 该算法只使用了几个大模数的模乘法 运算 ， 因而加密算法是二次复杂度的 ， 速度很快 ； 在解密过程中 ， 该算法使用了一个大模数的模乘法运算和一 个小矩阵和向量的乘法运算 ， 因而也具有很快的解密速度 ． 该算法 的安 全性 同时 基 于 两 个 数 学 困 难 问 题 ， 攻 他就必须先分解一个大整数 ， 然后再求解联立丢番图逼近问题 ． 击者如果想从公钥求解私钥 ，
［］ 如Ｘ 但是该体制由于对有限域乘法群 的子 群进 行迹 表 Ｔ Ｒ ６ 的安全性虽然是基于有限域上的离散对数问题 ，
从而提高了加解密速度 ． 重新考虑别的困难问题 ， 如文献 ［ ］ 中所构造的公钥密码体制就是从辫群上的共 示， ７
［］ 轭问题出发而设计的 ． 也可以提出 新 的 数 学 问 题 ， 比 如 ＮＴ ＲＵ ８ 公 钥 密 码 体 制 就 是 构 造 了 截 断 多 项 式 环 上
（ 陕西 西安 ７ １．西安电子科技大学 计算机网络与信息安全教育部重点实验室 ， １ ０ ０ ７ １； 广西 桂林 ５ ） ２．桂林电子科技大学 信息与通信学院 ， ４ １ ０ ０ ４ 摘要 ： 传统公钥密码的加解密速度较慢 ， 这就使得这些密码很难应用于一些资源受限 的 环 境 ． 针对这一 缺陷 ， 设计了一个快速公钥密码算法 ． 该算法使用中 国 剩 余 定 理 来 隐 藏 陷 门 信 息 ， 其加密算法使用了几 而解密算法只使用了一个模乘法运算和一个低阶矩阵和向量 的 乘 法 运 算 ， 所以 个大模数的模乘法运算 ， 该密码具有很快的加解密速度 ． 该算法的安全性同时基于两个数学困难问题 ， 攻击者如 果 想 从 公 钥 求 解 就必须先分解一个大整数 ， 然后再求解联立丢番图逼近问题 ． 分析表明 ， 该算法能 够 抵 抗 格 规 约 攻 私钥 ， 是一个安全快速高效的公钥密码体制 ． 击， 关键词 ： 公钥密码学 ； 快速公钥密码 ； 中国剩余定理 ； 整数分解 ； 联立丢番图逼近 中图分类号 ： （ ） Ｔ Ｎ ９ １ １． ２ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ ２ ４ ０ ０ ２ ０ ０ ８ ０ ３ ０ ４ ４ ９ ０ ６
2非对称加密实验
(6)解密
清除明文文本框中的内容，点击“解密”按钮对密文进行解密，明文默认以十六进制形式显示在明文文本框中，如图1.1.720所示；可选择以文本形式查看明文。
(二)扩展实验
(1)在扩展实验中点击“ELGAMAL扩展实验”按钮，进入ELGAMAL扩展实验窗体。
(1)点击“扩展实验”框中的“RSA计算”按钮，进入RSA计算窗体。
输入报文信息，点击“计算MD5值”生成报文信息的信息摘要，选择p、q值，计算n、φ(n)、e和d并输入相应的文本框中，点击“检验”按钮对计算的各个参数值进行检验。
检验无误后，根据上述计算得到的RSA私钥，计算报文MD5值即报文摘要的前8位的签名值，并输入相应的文本框；点击“生成签名并检验”按钮，检验签名输入是否正确并自动生成消息摘要前8位的签名值并显示，
标准方法可选择公钥加密/私钥解密形式和公钥加密/私钥解密形式进行加解密，此处以公钥加密/私钥解密形式进行加解密，公钥加密/私钥解密可参照完成；注意在一次加解密过程中不要重新生成密钥对。
点击“公钥加密”按钮使用生成的公钥对明文进行加密，密文以十六进制显示在密文文本框中；清除明文文本框中的内容，点击“私钥解密”按钮对密文进行解密，明文默认以文本形式显示在明文文本框中，如图1.1.72所示；可选择以16进制查看明文。
具体步骤可参照古典密码实验中实验步骤二。
三、ECC
(一)扩展实验
(1)在扩展实验中点击“ECC扩展实验”按钮，进入ECC扩展实验窗体。
(2)确定合适的椭圆曲线，获取该曲线的基础解点集。首先，在主窗口的椭圆曲线组合框内的相应文本框中，输入素数p，以及椭圆曲线的2个系数a和b；然后，点击“测试曲线”，得到该椭圆曲线的基础解点集。
CRT_RSA算法安全性分析
技 Key words: CRT; RSA; Security; Fault Attack
术 1 引言
公开 密 钥算 法— ——RSA 算 法 的 安全 性 依 赖于 大 合 数分 解 ，
创 公钥和私 钥 都是 两 个 大素 数 的 函数 。 为 保 证 RSA 算 法 有 足够
3.4 随机出错攻击
上述两种攻击方法都在一定程度上是可预测的，我们还实 验了随机出错攻击，即无需准确控制所引入错误发生的时间和 位置。 我们在最后步骤取模运算时给内存中的 N 引入一个随机 错误，强制在 N 的低 160 比特 中 引 入错 误 。 然 后用 前 面 的方 法 侦听并推算出 t1 和 t2。 再通过选择明文攻击，最终也 可 以 把大 合数 N 分解。 具体过程如下：
文献标识码: A
Abstract: After analyzing CRT based RSA algorithm, we think of the threat models, use transient fault attack, long lived fault attack
and random fault attack to check the security of the algorithm, and find out that it is possible to factor N. Finally, the countermea-
这样就可以推算出 S、t1 和 t2。
4 对策
通过分析攻击实验过程和结果， 可从多个方面采取对策，
增强算法的安全性。
4.1 冗余计算 Cp 和 Cq 也可 经 过多 次 计 算 Cp 和 Cq，再 比 较它 们 的 值 ，若 不 相 等 说 明出错。 这种方法虽然简单，但并不能区别是系统故障，还是受
RSA加密算法的研究
RSA加密算法的研究作者：李莹赵瑞曹宇张天宇刘霏凝来源：《智能计算机与应用》2020年第03期摘要：随着互联网和通信技术的发展，信息安全问题日益受到重视，基于数据加密的信息安全技术得到了迅速的发展。
数据加密就算法而言，分为对称加密和非对称加密两类。
RSA是应用最广泛的非对称算法之一，具有安全性高、易于实现等特点，但运算速度很慢，只能用于一些少量数据。
针对RSA运算效率慢的问题，提出了中國剩余定理和蒙哥马利模乘法相结合的方法来优化模幂，用三素数代替传统的二重素数。
实验结果表明，优化算法具有较高的速度和可行性。
关键词： RSA; 中国剩余定理; 蒙哥马利模乘法【Abstract】 With the development of Internet and communication technology， more and more attention has been paid to information security.In terms of algorithm， data encryption can be divided into symmetric encryption and asymmetric encryption.RSA is one of the most widely used asymmetric algorithms， and has the characteristics of high security， being easy to implement， but the operation speed is very slow， which can only be used for some small amount of data encryption.In order to solve the problem of slow arithmetic efficiency of RSA， a method combining Chinese residual theorem and Montgomery modular multiplication is proposed to optimize modular power and replace traditional double prime number with triple prime number. Experimental results show that the optimization algorithm has high speed and feasibility.【Key words】 ;RSA;Chinese remainder theorem; Montgomery model multiplication0 引言随着计算机技术的不断发展，互联网上共享的数据量有了显著增长。
中国剩余定理的归纳及其应用3
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012届本科毕业论文中国剩余定理的归纳及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名任晓燕学号*********指导教师王众杰讲师完成时间2012.5中国剩余定理的归纳及其应用任晓燕数学科学学院 数学与应用数学 学号：080414001指导老师：王众杰摘要：中国剩余定理又称为孙子定理,它的数学思想在近代数学中占有非常重要的地位.本文归纳了中国剩余定理并给出证明,并给出相关的经典例,并在此基础上对其在同余式组,多项式定理、赋值定理、密码学以及生活中的应用进行初步的讨论和分析.关键词：中国剩余定理； 同余式组； 多项式； 密码学 引言中国古代著名数学著作<孙子算经>记载,"今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?"此问题为中国剩余定理的原型.解法和答案用算式表示为70×2+21×3+15×2-105×2=23.即得到适合题意的最小整数是23."物不知其数"开创了一次同余式研究的先河,但真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的事南宋时期的数学家秦九韶,秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法"大衍求一术" .1876年,德国人马蒂生首先指出这一解法与19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致.从此,中国古代数学这一创造受到世界学者瞩目,并在西方数学史著中正式称为"中国剩余定理" ..1 中国剩余定理及其证明设122,,,...n n m m m 两两互素的正整数,令121122......,n n n M m m m m M m M m M ====则同余式组()()()1122mod mod ........................mod n n x c m x c m x c m =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩有正整数解()111222...mod n n n x M a c M a c M a c M =++且解唯一；其中i a 是满足()()1mod ,1,2,...i i i M a m i n ≡=的一个整数.下面我们先给出裴蜀恒等式和一个性质,然后证明中国剩余定理.在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。
基于中国剩余定理的秘密共享方案
基于中国剩余定理的秘密共享方案李洁平;韦性佳【摘要】利用中国剩余定理、椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)、双线性变换和强RSA假设,提出了一种新的可验证秘密共享方案.该方案具有能够检测出秘密分发者和可信中心的诚实性,检测出系统中参与者的欺诈行为;利用椭圆曲线,结合双线性对技术,不仅降低了系统的计算成本,而且实现了方案的可验证性;利用强RSA假设,实现方案的前向安全性,即使敌手掌握第j个时间段的子秘密,也无法获取之前时间段关于共享秘密的任何信息,增强了系统的安全性.%By utilizing the Chinese remainder theorem, elliptic curve discrete logarithm problem (ECDLP), bilinear transformation and strong RSA hypothesis, a new verifiable secret sharing scheme is proposed. The scheme is capable of detecting the integrity of secret distributors, trusted centers and fraudulent behavior in the system; by using elliptic curve and bilinear pair technology, the computational cost of the system could be reduced and the verification of the scheme realized; by using strong RSA assumption the forward security of the scheme be achieved, even if the opponent grasps the sub-secret of the j-th time period, he can't get any information about the shared secret in the previous time period, thus enhancing the security of the system.【期刊名称】《通信技术》【年(卷),期】2018(051)003【总页数】5页(P671-675)【关键词】秘密共享;中国剩余定理;椭圆曲线;双线性变换;强RSA假设【作者】李洁平;韦性佳【作者单位】青海师范大学数学与统计学院,青海西宁 810008;青海师范大学数学与统计学院,青海西宁 810008【正文语种】中文【中图分类】TP3090 引言秘密共享是密码学的一个重要工具。
一种基于中国剩余定理的加密方案
一种基于中国剩余定理的加密方案
孙秀娟;宋明娟;陈孝国
【期刊名称】《煤炭技术》
【年(卷),期】2008(27)10
【摘要】密码技术在当今社会经济发展过程中,发挥了越来越大的作用。
随着计算机网络的进一步普及和发展,人们的生活将更依赖于数字化的信息技术,依赖于为其安全提供基础保障的密码学。
而在密码技术的发展进程中,各种数学工具的作用不容小视。
特别是数论同余理论中大量的技巧,使得要设计一个好的密码算法更加困难。
本文在分析论证和推广中国剩余定理的基础上,提出一种新的网络信息加密方案,并用实例说明该方案的合理实用。
【总页数】2页(P146-147)
【关键词】信息安全;密钥算法;中国剩余定理
【作者】孙秀娟;宋明娟;陈孝国
【作者单位】黑龙江科技学院数力系
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
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1.基于中国剩余定理的广播加密方案 [J], 李树栋;丁媛媛;姜述武
2.基于中国剩余定理的数据广播加密方案 [J], 蔡国扬;苏扬
3.基于中国剩余定理的公钥加密方案同态性 [J], 王会勇;孙爽;冯勇
4.一种基于多项式环上中国剩余定理的(r,n)-门限方案 [J], 刘寅寅;郭楠楠
5.基于中国剩余定理的一种加密算法 [J], 张皓翔
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一种基于中国剩余定理改进RSA算法的实现方法
一种基于中国剩余定理改进RSA算法的实现方法摘要：RSA加密算法是目前使用较多、安全性高的一种非对称加密算法，但RSA也存在运算代价高，速度较慢等缺点。
本文提出了一种改进的RSA算法，使其运算速度得到了一定地提高，并采用C语言平台得到了比较好的验证。
关键词：非对称加密；RSA算法Abstract: Though RSA encryption algorithm is a popular unsymmetrical encryption with high secure character， The shortcomings of high cost and low efficiency are inherent. This paper introduced an improved RSA algorithm. The computation speed under this algorithm was improved with C programming language．Key words:unsymmetrical encryption ; RSA algorithm引言RSA(Rivest,Shamir and Adleman)是一种国际公认的理想公钥密码体制。
它表达方式简单、保密性强、没有密钥管理的麻烦，并且具有数字签名、认证和鉴别等功能，特别适合于现代保密通信的需要。
但RSA的加密算法速度与对称加密算法相比，其速度非常缓慢的。
因此，研究快速的RSA算法是十分有意义的。
至今，人们在此方面已经作了很多的研究，提出了许多快速的RSA算法。
其中分块模幂算法，幂等价代换的改进及SMM算法等都极大的提高了RSA加密算法的速度。
本文运用中国剩余定理对RSA算法的加密过程做了一定改进。
通过理论分析和试验测试，证明了改进后的算法比改进前的算法速度要快。
1 RSA工作原理RSA工作原理如下[1]：1)任意选取两个不同的大质数P和q，计算乘积年n=P*q；2)任意选取一个大整数e ，e 与(p-1)*(q-1)互质，整数e 用做加密密钥．注意：e 的选取是很容易的，例如所有大于P和q的质数都可用；3)确定解密密钥d，由 d*e=1 mod((p-1)*(q-1))，根据e ，p和q可以容易地计算出d；4)公开整数n和e，但是不公开d；5)将明文M(假设M是一个小于n的整数)加密为密文C，计算方法为C= M e mod n；6)将密文C解密为明文M，计算方法为M=C d mod n。
中国剩余定理和RSA算法
m = m1 m2 m3 =3*5*7=105
M1= m / m1=105/3=35
M =m/m =105/5=21 2 2 (3)如果攻击者设法得到了一个明、密文对（m,c）,他想得到解密密钥d，则必须在Zn={1,2,…，n-1}中求解（离散）对数问题：d=logcm,
m=m1m2…mk
Xp≡qq-1mod p Xq≡pp-1mod q Mi=m/mi，MiMi-1≡1 mod mi 1977年，三人开发出了一个能够真正加密数据的公钥加密算法，并于1978年在一篇题为“A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key Cryptosystems(获取数字签名和公钥加密系统的方法)”中公开了这个算法，这就是著名的RSA算法（以三位发明者名字的首字 母缩写命名）。
若k和X已知，则容易计算Y=fk(X)。 若k和Y已知，则容易计算X=fk-1(Y) 若Y已知但k未知，则计算X=fk-1(Y)是不
可行的 。
1976年9月，一篇题为“New Directions in Cryptography(密码术的新方向)”的 文章，打破了几千年来对称密码技术的 垄断局面，开辟了现代密码技术的新领 域——公钥密码技术。这篇文章是一个 名叫Whitfield Diffie的自学成才的的 密码学专家和一个与他兴趣相投的斯坦 福大学学生Hellman共同发表的。其中阐 述了一种实用的密钥交换技术，解决了 在对称密码技术中一直困扰人们的密钥 传递问题，这就是著名的DiffieHellman(简称DH)密码技术（以后再介绍 ）。
3
φ (n)=（p-1）╳(q-1)= 4╳10=40
跨越千年的RSA算法
跨越千年的RSA算法数论，数学中的皇冠，最纯粹的数学。
早在古希腊时代，人们就开始痴迷地研究数字，沉浸于这个几乎没有任何实用价值的思维游戏中。
直到计算机诞生之后，几千年来的数论研究成果突然有了实际的应用，这个过程可以说是最为激动人心的数学话题之一。
最近我在《程序员》杂志上连载了《跨越千年的 RSA 算法》，但受篇幅限制，只有一万字左右的内容。
其实，从数论到 RSA 算法，里面的数学之美哪里是一万字能扯完的？在写作的过程中，我查了很多资料，找到了很多漂亮的例子，也积累了很多个人的思考，但最终都因为篇幅原因没有加进《程序员》的文章中。
今天，我想重新梳理一下线索，把所有值得分享的内容一次性地呈现在这篇长文中，希望大家会有所收获。
需要注意的是，本文有意为了照顾可读性而牺牲了严谨性。
很多具体内容都仅作了直观解释，一些“显然如此”的细节实际上是需要证明的。
如果你希望看到有关定理及其证明的严格表述，可以参见任意一本初等数论的书。
把本文作为初等数论的学习读物是非常危险的。
最后，希望大家能够积极指出文章中的缺陷，我会不断地做出修改。
======= 更新记录 =======2012 年 12 月 15 日：发布全文。
2012 年 12 月 18 日：修改了几处表达。
======== 目录 ========（一）可公度线段（二）中国剩余定理（三）扩展的辗转相除（四）Fermat 小定理（五）公钥加密的可能性（六）RSA 算法（一）可公度线段Euclid ，中文译作“欧几里得”，古希腊数学家。
他用公理化系统的方法归纳整理了当时的几何理论，并写成了伟大的数学著作《几何原本》，因而被后人称作“几何学之父”。
有趣的是，《几何原本》一书里并不全讲的几何。
全书共有十三卷，第七卷到第十卷所讨论的实际上是数论问题——只不过是以几何的方式来描述的。
在《几何原本》中，数的大小用线段的长度来表示，越长的线段就表示越大的数。
很多数字与数字之间的简单关系，在《几何原本》中都有对应的几何语言。
基于中国剩余定理的一种加密算法
基于中国剩余定理的一种加密算法
张皓翔
【期刊名称】《广西科学院学报》
【年(卷),期】2007(23)4
【摘要】在分析论证和推广中国剩余定理的基础上,提出一种新的网络信息加密算法,并用实例说明新算法合理实用.
【总页数】3页(P249-251)
【作者】张皓翔
【作者单位】北京交通大学电子信息工程学院,北京,100044
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
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中国剩余定理在RSA算法中应用的研究实验摘要RSA算法中模数和运算效率之间一直存在矛盾，目前一些认证机构已采用模数为2 048 bit 的RSA 签名方法，这必然会影响签名效率。
中国剩余定理对于提高RSA算法的模幂乘运算效率有显著作用，被广泛地应用在加速私钥解密和签名的运算上。
在本文中，就中国剩余定理如何提高RSA算法的速度给出详细的描述。
但是，直接使用中国剩余定理是不安全的，容易受到出错攻击，本文介绍了出错攻击的方式，并提出了对抗出错攻击的随机小素数改进方法。
在此基础上，本文选取了一种四素数RSA算法进行阐述和简单实现，这种算法巧妙地利用了中国剩余定理将传统的RSA算法的速度提升了几倍。
关键词：RSA 、中国剩余定理、四素数、加密、信息安全目录中国剩余定理在RSA算法中应用的 (1)研究实验 (1)摘要 (1)第一章引言 (1)第二章RSA (2)2.1RSA密码算法 (2)2.2 RSA密码算法的实现步骤 (2)第三章中国剩余定理在RSA算法中的应用 (3)3.1中国剩余定理 (3)3.2 RSA 中CRT 的引入 (3)3.3使用中国剩余定理加速RSA算法效率的安全隐患分析 (4)3.4使用随机小素数改进中国剩余定理对抗出错攻击的方法 (5)第四章四素数RSA数字签名算法 (6)4.1 四素数RSA 算法基本原理 (6)4.2四素数RSA 算法在数字签名中的应用 (7)4.3 中国剩余定理的应用 (7)4.4算法对比 (8)第五章四素数RSA算法的简单实现 (9)5.1 密钥产生部分 (9)5.2 加密解密部分 (10)第六章总结 (13)参考文献 (14)第一章引言随着网络和通信技术的发展，在给人们带来益处的同时，也带来了安全隐患。
由于传输过程中存在数据被通信双方之外的第三方伪造或篡改的可能，通信双方无法验证数据来源，就很有可能出现一方抵赖的情况，此时就要求保证传输信息的不可否认性。
数字签名就是通信双方在网上交换信息时，基于公钥密码体制来防止伪造和欺骗的一种身份认证技术。
在所有公钥密码体制中，应用最为广泛的是RSA( Rivest-Shamir-Adleman) 密码算法，它的特点是安全性高，易于实现，即可用来加密数据，又能用于身份认证。
因此，RSA 签名是一种最常用的数字签名方法。
然而，RSA 算法中的大数的模幂运算比较费时，这一直是制约着RSA 发展的瓶颈。
早期，人们建议使用较小的加密指数或解密指数以加快加密或解密( 签名) 等基本运算，但是，1990 年Wiener提出当私钥d 小于模数N1 /4时，RSA 密码系统是不安全的，其分析方法本质是利用了连分数中Legendre定理；随后1999 年，Boneh 和Durfee把弱密钥d 的上界提高到d ＜N0．292。
因此，出于安全性考虑，目前RSA 密码系统的模数为1 024 bit 到2 048 bit，如此庞大的模数，其运算效率必然受到影响。
针对这一问题，很多学者提出了不同的优化算法，比如基于乘同余对称特性和指数2k次方组合优化算法、加法链方法、滑动窗口法和模重复平方算法等，这些都是从运算操作的角度去优化；国外还提出了许多从结构上改进的算法，比如Batch RSA、Mprime RSA、Mpower RSA 和Rebalanced RSA。
这些方法都在一定程度上提高了算法运算效率，其中效果比较显著的是利用中国剩余定理( Chinese RemainderTheorem，CRT) 进行解密或签名。
本文把融入中国剩余定理的RSA 算法叫作CRT-RSA ( Chinese Remainder Theorem-Rivest Shamir Adleman) 算法。
已证明，若不考虑中国剩余定理的计算代价，双素数CRT-RSA 在运算效率上是传统RSA算法的4 倍；若考虑中国剩余定理的计算代价，双素数CRT-RSA在运算速度上分别是原算法的3．32 倍( 模为1 024 比特) 和3．47 倍( 模为2048 比特)。
这个速度虽令人满意，却存在安全隐患，传统双素数CRT-RSA 签名算法容易遭受出错攻击，攻击者能够利用错误的签名来分解模数N。
本文详细阐述了中国剩余定理的原理作用，以及如何将它利用到RSA中，然后通过对一种四素数CRT_RSA算法的实现对其进行研究。
第二章RSA2.1RSA密码算法随机选取两个不同的大素数p和q,计算它们的乘积N=pq与相应的欧拉函数(N)=(p-1)(q-1)的值,将N公开,而将φ( N)、p与q保密；显然,如果在不知道N的素因子p与q的前提下,计算(N)的值是属于NP问题,极难实现。
再随机选取一个正整数e,使e满足条件：e<(N)且GCD(e,(N))=1(即e与(N)的最大公因数是1),根据扩展Euclid算法(Extended Euclidean Algorithm)计算d≡e-1(mod ),即计算满足ed≡1(mod(N))的d。
将e公开,而将d保密,就确定了RSA 算法的公开密钥PK=(e,N),私人密钥SK=(d,N),密钥空间：K={(N,p,q,e,d)|N=pq,p与q为不同大素数,ed≡1(mod (N))}。
相应地,RSA算法中的单向陷门函数为f(x)=x t(modN)(其中t∈K且x∈Z N),称为RSA函数。
其秘密陷门信息为(N)及素数p、q的值。
确定公钥PK=(e,N)和私钥SK=(d,N)之后,RSA算法的加密运算定义为：c=E pk(m)=m e(modN),其中1≢m≢N-1为明文。
解密运算定义为：m=D sk(c)=c d(modN),其中1≢c≢N-1为密文。
RSA密码算法的明文m应为1到N-1之间的整数,即m∈[1,N-1]。
如果明文m太长,可将其转换成N进制的形式,即m=msNs+ms-1Ns-1+,+m1N+m0,于是得到分组后的明文序列m=(m0,m1,…,m s),其中m i∈[1,N-1],0≢i≢s。
与之相应的密文序列为c(c0,c1,…,c s),其中c1对应于m1(0≢i≢s)。
2.2 RSA密码算法的实现步骤(1)随机选择两个不同的秘密大素数p与q；(2)分别计算N=pq和φ( N)=(p-1)(q-1)的值；(3)选择一个小于φ( N)且与φ( N)互素的正整数e,定义PK=(e,N)；(4)计算e的乘法逆元d=e-1(modφ( N)),并定义SK=(d,N)；(5)利用数制转换将明文分组,使每组中明文m的取值范围在1至N-1之间；(6)执行加密运算c=E pk(m)=m e(modN),将明文m加密成密文c；(7)执行解密运算m=D sk(c)=c d(modN),将密文c恢复成明文m。
第三章中国剩余定理在RSA算法中的应用3.1中国剩余定理中国剩余定理（CRT）：已知n1, n2, …, n k为两两互素的正整数，则同余方程组X≡b i mod n iX在0到N内有唯一解，其中i=1, 2, …, k，b i为正整数，N=n l n2…n k。
根据高斯算法，中国剩余定理的解为X=(b1M1y1+b2M2y2+…+b k M k y k) mod N ，其中N=n l×n2×…×n k，Mi=N/n i=n1n2…n i-1…n i+1…n k，i=1, 2,…, k, y i满足y i=M i-1 mod n i。
由此可见，中国剩余定理为对高位宽(如1024bit)大数的模幂运算转化成对低位宽(如512bit)相对较小的数进行模幂运算提供了可能。
3.2 RSA 中CRT 的引入在RSA 算法中，n=pq, p, q 是两个长度接近的大素数。
由于n 是两个素数的乘积，所以可令Cp=md (mod p) ，Cq=md (mod q) ，再根据中国剩余定理求出最终结果。
根据费马小定理，计算上面两式仅需计算Cp=md1 (mod p) ，Cq=md2 (mod q) ，其中d1=d mod(p-1)，d2=d mod(q-1)。
这样把幂指数d 减少至d1，d2。
由于d 的长度接近于n，而d1, d2 能减少至n 的一半，大大减少了计算次数。
基于中国剩余定理，RSA 模幂运算可转化为以下运算过程：（1）计算C p=C mod p ，C q=C mod q ；（2）计算Mp=Cp^Dp mod p ，Mq=Cq^Dqmod q ；其中Dp=D mod (p-1)，Dq=D mod(q-1)，对于给定素数p、q及密钥而言是常数，可以预先计算出来。
（3）计算Sp=Mp(q^(p-1)mod N) mod N ，Sq=Mq(p^(q-1) mod N) mod N ；其中，q^(p-1)mod N 和p^(q-1) mod N 是仅仅决定于素数p、q 和模N 的常数，可以预先计算出来。
（4）计算M=(Sp + Sq) mod N。
显然，步骤（2）的计算量远远大于其它步骤的计算量，但是，中国剩余定理的运用，使得Mp和Mq的并行计算成为可能。
并行执行步骤（2）的模幂运算需要两个n/2 位的乘法器，相比于不采用中国剩余定理的RSA 运算，加速因子接近于4。
假定模数N 的二进制长度为k，则其两个素因子p和q的长度分别为k/2，出于安全性考虑，私钥d的二进制长度应与模数N相当，也为k。
d p、d q、p-1 mod q、q-1mod p可预先计算好，二进制长度均为k/2。
从上述运用中国剩余定理计算模幂的过程可知S 计算过程的主要工作花在计算C p和C q上，最后，一步合成C只是两次乘法和一次加法运算，在计算时间复杂度时可忽略不计。
使用传统算法计算C p和C q需要3/2*(k/2)次k/2比特的模乘运算，总共需要s1=2*3/2*(k/2) *(k/2)2=3/8*k3次位操作。
如果不用中国剩余定理，直接计算需要s1=3/2*k3次位操作。
因此，使用中国剩余定理计算模幂乘比不使用大约快了4倍。
3.3使用中国剩余定理加速RSA算法效率的安全隐患分析直接使用中国剩余定理加速2@) 运算容易受到出错攻击，只要2@) 应用系统在执行签名9 加密时满足以下三个条件：（一）、签名/加密的原始消息已知；（二）、在签名/加密时出现了一个错误；（三）、系统输出了错误的签名/密文；就可能导致应用系统的模数N被分解，从而造成RSA算法被攻破。
其攻击原理是：签名方用自己的私钥计算C=M d mod N，使用中国剩余定理C可通过C p=C mod p ，C q=C mod q有效计算出来。
假设错误发生在计算C p时，也就是说计算出了一个错误的值C p’≠C p=C mod p ，而C q被正确计算出来。