2019年浙江省高考模拟训练卷数学(三)(word版)
2019年5月浙江省温州市2019届高三高考适应性考试(三模)数学试题及答案解析
绝密★启用前浙江省温州市2019届高三年级下学期高考适应性考试(三模)数学试题2019年5月本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试试卷120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 互相独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复实验中事件A 发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k n n ⋯=-=- 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=(其中21,S S 分别表示台体的上下底面积,h 表示台体的高) 柱体的体积公式：V=Sh （其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高） 椎体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高） 球体的表面积公式：24R S π= 球体的体积公式：334R V π=（其中R 是球体的半径） 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.1.已知集合U=R,A=}1|{},0|{+==≥x y y B y y ,则B C A U =A.[0,1)B.（0,+∞）C.（1,+∞）D.[,1+∞)2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的表面积是（）A.8cm ²B.12cm ²C.2)254(cm +D.2)454(cm +3.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且344+=a S ,则2a =（）A.-2B.-1C.1D.24.设m,n 为直线,α、β为平面,则α⊥m 的一个充分条件可以是（）A.n m n ⊥=⊥,,βαβαB.ββα⊥m ,∥C.ββα∥m ,⊥D.n m n ⊥⊂,α5.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06201y x y x x ,则22y x z +=的最大值等于（） A.2 B.22 C.4 D.86.已知双曲线1:22221=-b y a x C 与双曲线14:222=-x y C 没有公共点,则双曲线1C 的离心率的取值范围是（） A.]3,1( B.),3[+∞ C.]5,1( D.),5[+∞7.已知点A ),(),,(2211y x B y x 是函数2)(bx x a x f +=的函数图像上的任意两点,且)(x f y =在点))2(,2(2121x x f x x ++处的切线与直线AB 平行,则（） A.a=0,b 为任意非零实数 B.b=0,a 为任意非零实数C.a 、b 均为任意实数D.不存在满足条件的实数a 。
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学（理）模拟试题（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（）A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A。
2019届浙江省高三新高考仿真演练卷(三)数学试题(解析版)
2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（三）数学试题一、单选题1．已知集合{}2|4A x x =<，{|31}B x x =-<<，则A B =U （ ） A ．()3,2- B ．()2,1- C ．()2,2- D ．()3,1-【答案】A【解析】先求得集合{}|22A x x =-<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2|4|22A x x x x =<=-<<，又由{|31}B x x =-<<，可得{}()|323,2A B x x =-<<=-U . 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．（）±B ．0,（C ．5,0（）±D ．0,5（）± 【答案】C【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.3．212ii +=-（ ） A ．4355i -- B ．iC ．i -D ．4355i -+ 【答案】B【详解】由题意可得：2(2)(12)12(12)(12)i i iii i i+++==--+，故选：B【点睛】本题考查了复数的除法计算，考查了学生的计算能力，属于容易题.4．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,该几何体是由一个长方体截去一部分后所得,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．12B．14C．2D．429【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得,故在长方体中画出直观图,再利用体积公式求解即可.【详解】由题知,该几何体是由长方体1111ABCD A B C D-截去四棱锥11M ADD A-所得,所以111111113123AA D DAA D D AA D DABSVV S AB S AB==-⋅⋅⋅四边形截去部分剩余部分四边形四边形.故选：A．5．函数||2()1x e f x x =+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的解析式，化简得到()()f x f x -=，得出函数()f x 为偶函数，排除B 、D ，再利用导数求得函数的单调性，利用单调性和极值点的性质，排除C ，即可求解. 【详解】由题意，函数||2()1x e f x x =+，其定义域R ，且满足||||22()()()11x x e e f x f x x x --===-++， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，故排除B ，D ； 当0x >时，函数2()1xef x x =+，则()()()22222212(1)()011x xx e x xe e x f x xx'+--==≥++，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又()01f '=，故排除C . 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的基本性质，以及利用导数在函数中的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及利用导数求得函数的单调性，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设x ∈R ，则“11x -≤”成立的必要不充分条件是（ ） A ．02x ≤≤ B ．2x ≤C ．02x <<D ．0x >【答案】B【解析】求解不等式|1|1x -≤，进而可得出“11x -≤”成立一个必要不充分条件.由11x -≤得111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 所以，“11x -≤”成立的必要不充分条件是2x ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的寻找，同时也考查了绝对值不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于基础题.7．设随机变量X 的分布列如下：则方差()D X =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由分布列中概率的和为1可求得a ，再求出均值，代入方差计算公式求解即可. 【详解】由分布列得10.10.30.40.2a =---=，则()00.110.220.330.4=2E X =⨯+⨯+⨯+⨯，则2222()(02)0.1(12)0.2(220.3320.4=1D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯)(). 故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和方差，熟记离散型随机变量的方差公式是解题的关键，属于基础题．8．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC AB AC BC ======，点Q 为ABC ∆ 所在平面内的动点，若PQ 与PA 所成角为定值θ，π(0,)4θ∈，则动点Q 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出Q 轨迹方程，可得其轨迹.由题，三棱锥P ABC -为正三棱锥，顶点P 在底面ABC 的射影O是底面三角形ABC 的中心，则以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得1OA OP ==，设Q 为平面ABC 内任 一点，则()()()()()1,0,0,0,0,1,,,0,1,0,1,,,1A P Q x y PA PQ x y =-=-u u u v u u u v，由题PQ 与PA 所成角为定值θ，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则, 22cos 21PA PQ PA PQ x y θ⋅==⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 则()()22222cos11x y x θ++=+ ，化简得222cos22cos 2cos20x y x θθθ⋅+⋅-+= ，ππ0,,20,,cos 20,42θθθ⎛⎫⎛⎫∈∴∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q故动点Q 的轨迹是椭圆. 选B 【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.9．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 上可导，则必有一(,)a b ξ∈，使得()()()()f b a f b f a ξ'-=-．已知函数21()(1)ln(1)2f x x x x x =+⋅+--，1,1,e 1e a b ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，()()f b f a b a λ-=-，那么实数λ的最大值为（ ） A ．-2e B ．0 C ．1eD ．ln 2【答案】B【解析】由题意可得()()()f b f a f b aλξ'-==-，即要求21()(1)ln(1)2f x x x x x =+⋅+--导函数()ln(1)f x x x '=+-的最大值，令()ln(1)h x x x =+-，对()ln(1)h x x x =+-进行求导判断它的单调性，从而求出最大值即可. 【详解】本题考查导数的应用．由题意知，a ∀，11,1b e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，(,)a b ξ∃∈， 使得()()()f b f a f b aλξ'-==-．因为21()(1)ln(1)2f x x x x x =++--， 则()ln(1)f x x x '=+-， 令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x'-=-=++． 当110x e-<<时，()0h x '>， 即()h x 在11,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数； 当0e 1x <<-时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)e -上为减函数． 所以()ln(1)(0)0f x x x f ''=+-=…，所以max ()0f x '=，所以实数λ的最大值为0 故选：B 【点睛】本题考查了导数的应用，关键要结合所给的定义解题，属于一般题. 10．已知空间向量 向量且,则不可能是【答案】A 【解析】由题求得的坐标，求得，结合可得答案.【详解】，利用柯西不等式可得.故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.二、双空题11．向量(2,1,3)a x =r ,(1,,9)b y =r ,若a r 与b r共线,则x =________,y =________.【答案】163 【解析】根据空间向量共线的公式求解即可. 【详解】由题意得29130,1930,x y ⨯-⨯=⎧⎨⨯-=⎩解得16x =,3y =.故答案为：(1) 16；(2)3 【点睛】本题考查空间向量共线的条件,属于基础题. 12．若sin 2sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=________，cos2=α________．3 12-【解析】31cos 2cos 2ααα+=，求得tan 3α=cos2α的值，得到答案.由sin 2sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos cos sin 2cos 66ππααα+=，1cos 2cos 2ααα+=，可得sin tan cos ααα== 又由22222222cos sin 1tan 1cos2cos sin sin cos 1tan 2ααααααααα--=-===-++．12-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换的公式，同时注意隐含条件22sin cos 1αα+=在解题中的应用是解题的关键，着重考查了推理与运算能力．13．若等边三角形ABC 的边长为2,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB λλ=u u u r u u u r剟,则AP CP ⋅u u u r u u u r的最小值是________,最大值是________.【答案】14-2 【解析】根据平面向量的线性运算以及基底向量的方法可得2()42AP CP AP CA AP λλ⋅=⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,再根据二次函数的性质求解在区间[]0,1λ∈上的范围与最值即可. 【详解】 由题意得222()||42AP CP AP CA AP AB CA AB λλλλ⋅=⋅+=⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r ,则当[]0,1λ∈时,221142444AP CP λλλ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,当14λ=时取最小值14-；当1λ=时取最大值2.即AP CP ⋅u u u r u u u r 的最小值为14-,最大值为2.故答案为：(1)14-；(2)2 【点睛】本题考查平面向量的运算,对向量进行合理分解是解题的关键.属于中档题.14．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++,则【答案】15 64【解析】根据展开式的结构有66(2)[(1)1]x x +=++,再根据二项展开式的通项公式求解2a ,再利用赋值法求解0123456a a a a a a a ++++++即可. 【详解】66(2)[(1)1]x x +=++,且二项式6[(1)1]x ++的展开式的通项为66(1)r r C x -+,则42615a C ==,令0x =,得60123456264a a a a a a a ++++++==.故答案为：(1)15；(2)64 【点睛】本题考查二项式定理,根据二项式定理合理展开是解题的关键.属于中档题.三、填空题15．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最大值为________．【答案】2【解析】画出不等式组1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义（截距）求出最大值． 【详解】解：画出不等式组1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，由31010x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得12xy=-⎧⎨=-⎩，即点()1,2C--，由32z x y=-得2233y x z=-，则23z-表示直线2233y x z=-在y轴上的截距（即纵截距），纵截距越小，23z-越小，z越大，∴目标函数32z x y=-在点()1,2C--处取得最大值max3(1)(2)22z=--⨯-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．16．已知函数12log(1),1,()31,1,x xf xxx-<⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩…若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】方程()0f x a-=有三个不同的解可转化为,函数()f x的图象与直线y a=有三个交点,作出图形,可得出答案.【详解】在平面直角坐标系内画出分段函数()f x的图象如图所示，由图易得要使方程()0f x a-=有三个不同的实数根，即函数()f x的图象与直线y a=有三个不同的交点，则01a<<．【点睛】本题考查函数与方程、函数的图象与性质、数形结合思想的应用.将方程的解转化为函数图象的交点问题是解题的关键,考查了学生的推理能力,属于中档题.17．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数共有________个． 【答案】108【解析】先考虑奇数不相邻的情况，利用插空法可得出奇数不相邻的六位数的个数，然后考虑2放在第二位且奇数不相邻的六位数的个数，相减可得出所求的六位数的个数. 【详解】1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，这样的六位数有3334A A 个.其中2在第二位，则第一位必为奇数，然后将剩余的2个偶数排序，将另外两个奇数插空，这样的六位数的个数为122323C A A .综上所述，则符合题意的六位数共有3312234323108A A C A A -=个．故答案为：108. 【点睛】本题考查数的排列问题，考查插空法以及正难则反的原理的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知c =sin 2sin B C =，且1cos 22A =-．（1）求ABC ∆的面积；（2）若角A 为钝角，点D 为BC 中点，求线段AD 的长度．【答案】（1（2）32【解析】（1）由2sinB sinC =，根据正弦定理可证得2b c =，2212cos A sin A =-，利用面积公式求得结果；（2）运用公式2 22AB AC AD⎛⎫+= ⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v即可求得结果.【详解】（1）sin2sin223B C b c=∴==Q，213cos212sin sin2A A A=-=-∴=Q，133sin2S bc A==（2）由A为钝角可得1cos2A=-，22222cos9244AB AC b c bc AAD⎛⎫+++===⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v3.2AD∴=【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理求三角形边长，再运用面积公式求出三角形面积，在求解过程中要注意公式的运用，尤其是边角的互化，熟练掌握公式是本题的解题关键19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，E，O分别为AB，AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面POB；（Ⅱ）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）217【解析】（I）根据题意，利用线面垂直、面面垂直的判定定理与面面垂直的性质定理证明；（Ⅱ）根据题意，分别以OP，OD，OM所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解． 【详解】（Ⅰ）证明：设直线CE ，BO 交于点F ， ∵2BE AO ==，4BC AB ==， ∴Rt CBE Rt BAO V V ≌．∴BCE ABO ∠=∠，则90BCF FBC ︒∠+∠=． 故90BFC ︒∠=，∴CE BO ⊥．∵O 为AD 的中点，PAD △为正三角形， ∴PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∴CE PO ⊥， ∵PO BO O I =， ∴CE ⊥平面POB ， 又CE ⊂平面PCE ， ∴平面PCE ⊥平面POB ．（Ⅱ）设BC 的中点为M ，连接OM ．∵平面ABCD ⊥平面PAD ，∴OM OD ⊥，OM OP ⊥，由（Ⅰ）知，OP OD ⊥．以点O 为原点，分别以OP ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，(0,2,4)B -，(0,2,0)D ，(23,0,0)P ．设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，又(0,4,4)DB =-u u u r，2,0)DP =-u u u r ，∴44020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得,,y z y =⎧⎪⎨=⎪⎩取1x =，得n =r ． 设直线AP 与平面PDB 所成角为α，AP =u u u r ，∴||sin |cos ,|7||||AP n AP n AP n α⋅=〈〉==u u u r ru u u r r u u u r r ，故直线AP 与平面PDB所成角的正弦值为7． 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角．利用空间向量求直线与平面所成角，主要有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是直线和平面所成的角；②分别求出直线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角（或其补角）．注意直线与平面所成角的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．设*N n ∈,圆n C :222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ,与曲线y =的交点为1(,)n N y n,直线MN 与x 轴的交点为0(),n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>;(3)设123n n S a a a a =++++L ,111123n T n=++++L ,求证:72352n n S n T -<<. 【答案】（1）n R =,11n a n =++；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据点1(N n在圆n C 上，在直线MN 上，即可求得n a ； （2）利用函数的单调性即可得证12n n a a +>>； （3）首先证明不等式11)12xx +≤+，进而可证得13222n a n n≤<+，累加求和即可得证． 【详解】（1）由点N在曲线y =1(N n ，又点在圆n C 上，则222111()n n R n n n+=+=，n R =，从而直线MN 的方程为1n n x y a R +=，由点1(N n 在直线MN上得：11n na +=，将n R =代入，化简得：11n a n =++. （2）∵111n +>1>，∴*n N ∀∈，112n a n =++>， 又∵11111n n +>++>，∴11n a n =++>1111n a n +++=+. （3）先证：当01x ≤≤时，11)12xx +≤≤+，事实上，不等式2211)1[11)]1(1)22x x x x x +≤≤+⇔+≤+≤+22222211)1)113)1)044x x x x x x x x ⇔++≤+≤++⇔+≤≤，后一个不等式显然成立，而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤， 故当01x ≤≤时，不等式11)12xx +≤≤+成立，∴1111)12n n +≤<+，∴1132122n a n n n+≤=++<+(等号仅在1n =时成立)，求和得：3222n n n n T S n T <<+⋅，∴72352n n S n T -<<． 【点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2．重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3．数学归纳法． 21．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A B 、两点．（1）如果直线l 过抛物线的焦点，求·OA OB u u u v u u u v的值；（2）如果·4OAOB =-u u u v u u u v，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点()2,0，证明过程详见解析.【解析】(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．(Ⅱ)设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4-，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标． 【详解】(Ⅰ)由题意：抛物线焦点为()1,0设l ：x ty 1=+代入抛物线2y 4x =消去x 得，2y 4ty 40--=，设()11A x ,y ，()22B x ,y则12y y 4t +=，12y y 4=-()()12121212OA OB x x y y ty 1ty 1y y ∴⋅=+=+++u u u r u u u r()2121212t y y t y y 1y y =++++224t 4t 143=-++-=-．(Ⅱ)设l ：x ty b =+代入抛物线2y 4x =，消去x 得2y 4ty 4b 0--=设()11A x ,y ，()22B x ,y则12y y 4t +=，12y y 4b =-()()12121212OA OB x x y y ty b ty b y y ∴⋅=+=+++u u u r u u u r()22121212t y y bt y y b y y =++++22224bt 4bt b 4b b 4b =-++-=-令2b 4b 4-=-，2b 4b 40b 2∴-+=∴=．∴直线l 过定点()2,0．【点睛】从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．22．已知函数e 1()x f x x-=．（Ⅰ）求证：对于任意(0,)x ∈+∞，不等式1()12f x x >+恒成立； （Ⅱ）设函数()2()1ln(1)xg x e x x =-+-，[0,)x ∈+∞，求函数()g x 的最小值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）0. 【解析】（I ）证明不等式1()12f x x >+恒成立，转化为证明21102x e x x --->，构造新函数21()e 12xm x x x =---，利用导数研究函数的单调性，即可求解； （Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，由（Ⅰ）知 1112x e x x ->+，要证112ln(1)x x x +>+，只需证1(1)ln(1)2x x x +⋅+>，构造新函数1()1ln(1)2s x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，对于任意(0,)x ∈+∞，要证1()12f x x >+，只需证21102xe x x --->， 令21()e 12xm x x x =---，则()1x m x e x '=--， 令()()h x m x '=，则()10xh x e '=->，所以()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以()(0)0h x h >=，即()0m x '>，所以()m x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以()(0)0m x m >=，故不等式1()12f x x >+恒成立． （Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，由（Ⅰ）知 1112x e x x ->+，要证：112ln(1)x x x +>+，只需证1(1)ln(1)2x x x +⋅+>， 令1()1ln(1)2s x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，则1112()ln(1)121x s x x x '+=++-+， 令()()t x s x '=，则2211(1)1122()02(1)(1)2(1)x x x t x x x x '⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+=>+++， 所以函数()t x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=，即()0s x '>， 所以()s x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，可得()(0)0s x s >=，所以1(1)ln(1)2x x x +⋅+>，所以112ln(1)x x x +>+得证， 即1ln(1)x e x x x ->+，即()21ln(1)x e x x -+>，所以()2()e 1ln(1)0x g x x x =-+->，又(0)0g =，所以当[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥，且0x =时，等号成立， 故()g x 的最小值为0． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数与方程的综合应用，着重考查了分类讨论，等价转化思想的应用，以及推理与运算能力，属于难题.。
2019届浙江省杭州市高三高考仿真模拟考试数学试卷(3)及答案
2019届杭州市高三高考仿真模拟考试
数学试卷（3）
考生须知：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 1
3V Sh = 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式
台体的体积公式 24S R =π
121()3
V S S h = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 34
3V R =π h 表示为台体的高 其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选。
2019年5月浙江省温州市2019届高三高考适应性考试（三模）数学试题及答案解析
2019年5⽉浙江省温州市2019届⾼三⾼考适应性考试（三模）数学试题及答案解析绝密★启⽤前浙江省温州市2019届⾼三年级下学期⾼考适应性考试(三模)数学试题2019年5⽉本试卷分选择题和⾮选择题两部分，满分150分，考试试卷120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 互相独⽴，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在⼀次实验中发⽣的概率是p ，那么n 次独⽴重复实验中事件A 发⽣k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k n n ?=-=- 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=(其中21,S S 分别表⽰台体的上下底⾯积,h 表⽰台体的⾼) 柱体的体积公式：V=Sh （其中S 表⽰柱体的底⾯积,h 表⽰柱体的⾼）椎体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表⽰锥体的底⾯积,h 表⽰锥体的⾼）球体的表⾯积公式：24R S π= 球体的体积公式：334R V π=（其中R 是球体的半径）选择题部分（共40分）⼀、选择题：本⼤题共10⼩题,每⼩题4分,共40分.1.已知集合U=R,A=}1|{},0|{+==≥x y y B y y ,则B C A U =A.[0,1)B.（0,+∞）C.（1,+∞）D.[,1+∞)2.某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm ）,则该⼏何体的表⾯积是（）A.8cm 2B.12cm 2C.2)254(cm +D.2)454(cm +3.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且344+=a S ,则2a =（）A.-2B.-1C.1D.24.设m,n 为直线,α、β为平⾯,则α⊥m 的⼀个充分条件可以是（）A.n m n ⊥=⊥,,βαβαB.ββα⊥m ,∥C.ββα∥m ,⊥D.n m n ⊥?,α5.已知实数y x ,满⾜??≤-+≤-≥06201y x y x x ,则22y x z +=的最⼤值等于（） A.2 B.22 C.4 D.86.已知双曲线1:22221=-b y a x C 与双曲线14:222=-x y C 没有公共点,则双曲线1C 的离⼼率的取值范围是（） A.]3,1( B.),3[+∞ C.]5,1( D.),5[+∞7.已知点A ),(),,(2211y x B y x 是函数2)(bx x a x f +=的函数图像上的任意两点,且)(x f y =在点))2(,2(2121x x f x x ++处的切线与直线AB 平⾏,则（） A.a=0,b 为任意⾮零实数 B.b=0,a 为任意⾮零实数C.a 、b 均为任意实数D.不存在满⾜条件的实数a 。
2019届浙江省高考模拟训练(三)数学试题(解析版)
2019届浙江省高考模拟训练（三）数学试题一、单选题1．已知集合，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出A∩B，然后再在全集U＝{1，2，3，4，5}下求∁U（A∩B）．【详解】∵A＝，B＝，∴A∩B＝{1，2，3}，又∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∩B）＝{4，5}．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交并补的混合运算，求得A与B的交集是关键，属于基础题．2．已知双曲线，则的离心率是（）A．B．C．2 D．【答案】B【解析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率.【详解】∵双曲线方程为，∴双曲线为等轴双曲线，∴e=.故选B.【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.3．已知（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于a+bi＝，故有a＝，b＝-，即可得结果．【详解】由于a+bi＝=，∴a+bi＝，∴a＝，b＝-，∴=故选B．【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题．4．函数的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可.【详解】∵=，∴函数为偶函数，排除A、B，又当0<x<时，，排除D，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用函数性质及特殊函数值进行排除是常用方法，属于基础题.5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A．2 B．C．D．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案．【详解】由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的还原、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题．6．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（）A．1880 B．1440 C．720 D．256【答案】B【解析】先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．【详解】由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共种排法，再将这两个整体全排列，共种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共种排法，由分步计数原理得共种.故选B.【点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原理，理解题意是解题得关键，属于中档题．7．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.【详解】∵，且B必为锐角，可得或，即角或角为钝角；反之，当，时，，而=，所以不成立，所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，故选.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．8．设函数.已知对任意的，若，，恒有，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用函数的性质将不等式转化为，由对称性结合区间端点的大小得到a 与k的关系，即在上恒成立，求得的最值即可得到k的范围.【详解】因为==,∴为偶函数且在上单调递增，由对称性得在上单调递减，∴，又>，∴，且有-（，即，即在上恒成立，∴，则正实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查了分析问题的能力及转化思想，属于中档题．9．如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.【详解】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CB AC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cosθ, ∴cosθ，∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，∴ 的最大值为.故选A.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题.10．已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，利用单调性可得，代入已知求得，，又，得到，可得所求.【详解】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.【点睛】本题考查了数列及函数单调性的应用，考查了逻辑思维能力及分析能力，属于难题.二、填空题11．已知函数，则__________；__________．【答案】2【解析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．【详解】∵函数，∴f（4）＝＝2，＝f（）＝＝，故答案为：(1). 2 (2).本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数及对数性质的合理运用．12．若实数满足不等式组，则的最大值为__________．【答案】10【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点A时，线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，得，即A（-3，4）代入z＝y﹣2x，得z＝4﹣2×（-3）＝10，即z＝y﹣2x的最大值为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．13．若，则__________．【答案】0【解析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得【详解】∵令x＝2得：0＝，即＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题．14．在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．【答案】【解析】直接利用余弦定理可得，利用中线定理的向量表示法将表示出，平方可得模.【详解】在中，=，同理可得-，又=(+)，平方得=，所以，故答案为(1). (2).【点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题.15．已知，若，则的最小值为__________；若，则的最大值为__________．【答案】8【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.【详解】根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x＝2y时等号成立）x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，又由4xy，则有x2+4y2，即x2+4y2的最小值为8；若，则由柯西不等式得（）（1+），（当且仅当x＝4y时等号成立），所以4即的最大值为，故答案为：(1). 8 (2). ．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题．16．已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________．【答案】-3【解析】设，，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到，构造方程，求得结果.【详解】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【点睛】本题考查了向量相等的坐标表示，考查了曲线与方程的定义，考查了方程思想，属于中档题.17．如图，在三棱锥中，点为的中点，点在平面的投影恰为的中点.已知，点到的距离为，则当最大时，二面角的余弦值是__________．【答案】【解析】由条件得到点的轨迹是以为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当最大时有，做出二面角的平面角，在中求解即可.【详解】因为点到的距离为，则点是以为旋转面的轴的圆柱与平面的公共点，即点的轨迹是以为长轴，以为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，则当最大时有.如图，在上取一点，满足，连接，则有，又因为，则是二面角的平面角，在中，OP=1,OE=, ∴PE=, ∴PF=,在中，，故二面角的余弦值是.故答案为.【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.三、解答题18．已知函数.（1）求函数在上的值域；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦函数的定义域求得的范围，利用正弦函数在的图像特点求得函数f（x）sin（2x）的值域．（2）将展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.【详解】（1）因为x,∴，当时，最大为，当时，最小为1，所以在的值域为；（2）因为，即，所以.∴.【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．19．在三棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）利用面面垂直，可证平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面，证得结论.（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，又，，∴，∴平面，从而有，又由勾股定理得，，∴平面，即；（2）设，则，在中，，即.故，，过作于点，连接，过点作于点，连接，因为且，故平面，又因为平面，所以平面平面，进而有平面，故是与平面所成的角，在中，有，得，故，，由等面积法知，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题．20．已知数列的前项为.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）详见解析（2）.【解析】（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入，利用分组求和及错位相减法即可求得T n．【详解】（1）当时，，当时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，∴，即，故，所以，故是为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，令数列，的前和为，则，因为，，，则，即，故.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前n项和，是中档题．21．如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用点差法能得到的值．（2）由（1）知，则可求点F坐标，利用点到直线的距离公式求得的高，联立，由韦达定理求得，将面积表示为关于m的函数，求导求得最值.【详解】（1）设，则，将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，①-②得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即，则，故面积，令，则，令则或2（舍去）∴时，有最大值243，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.【答案】详见解析【解析】（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.【详解】（1）函数f（x）的定义域为，因为，令，则，即，则在上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，又a<1时,，取x=,则即，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．。
2019年杭州市高考数学命题比赛模拟卷三及答案解析
2019年杭州市高考数学命题比赛模拟卷三双向细目表2019年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至6页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ， V =Sh那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.k 次的概率球的表面积公式P n (k )= S =4πR 2台体的体积公式球的体积公式V = (S 1S 2) hV =πR 3其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积， 其中R 表示球的半径h 表示棱台的高.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --=13431.(原创题)已知集合，，则A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查集合的交、并、补的运算，检测对基础知识的了解程度. 2.(原创题)抛物线的焦点坐标 A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查抛物线的基本概念.3.(原创题)复数满足（为虚数单位），则的虚部是 A. B.C.D.【命题意图】本题主要考查复数的概念及代数运算.4.(原创题)已知是公比不为的等比数列且公比为，前项和为，则“”是“” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充要条件的相关知识以及逻辑推理、判断的思维能力.5.(原创题)函数的图像可能是{}3P x x =-＞104x Q xx ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭()R C P Q =(]3,1-(],4-∞-(]1-∞，[)1+∞，24y x =()1,0()0,11016⎛⎫⎪⎝⎭，1016⎛⎫⎪⎝⎭，z ()122i z +=i z 45-45i -4343i {}n a 1q n n S 10a ＞4652S S S +＞sin ln 2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭A BCD【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，图像的平移变换等.6.(原创题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.【命题意图】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“三视图的几何体”的相互转化和空间想象能力.7.(改编自2017年清华大学自主招生暨领军计划第30题)已知为随机变量，则下列说法错误的是A. B.C. D.【命题意图】本题主要考查概率、随机变量的分布列、数学期望和方差的概念.8.(原创题)若，当时，恒有，且以为坐标点所形成的平面区域的面积为，则A. B.C.D.ξ21122P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()221D D ξξ=-()()1D D ξξ=-()()()22E E ξξ≤0,0a b ≥≥11x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩1ax by +≤,a b (),P a b 16m =13613336113高三数学试题卷第2页，共6页【命题意图】本题主要考查数形结合的思想，以及综合运用函数思想解题的能力. 9.(原创题)已知为空间单位向量，.若空间向量满足，且 对于任意，，则的最小值为【命题意图】本题考查向量的基本运算、向量的几何意义，以及基本的数学方法.10.(原创题)三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为且底面面积为，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.【命题意图】本题考查学生的空间想象能力、抽象概括能力.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.(原创题)计算： ， .【命题意图】本题考查指数和对数的基本运算.12.(原创题)已知，则 ， .【命题意图】本题考查三角函数的基本运算和变形能力.13.(原创题)已知多项式，则，.【命题意图】本题考查二项式定理的基础概念及运算能力.14.(原创题)在中，角所对的边分别为，若，，，则， .123,,e e e 1223311===2e e e e e e ⋅⋅⋅a 1233==a e a e ⋅⋅,x y R ∈()124a xe ye -+≥3a e λ-P ABC -12,16,2024P ABC -193π793π763π3163π3log =93log4log 43+=()()()sin sin cos sin 0x x x A wx b A ϕ⋅+=++＞A ==b ()()32234567012345671+12x x x a a x a x a x a x a x a x a x ++=+++++++3a =7a =ABC ∆,,A B C ,,a b c 4,3b c ==3CD BD =3cos 8A ==a =AD 高三数学试题卷第3页，共6页【命题意图】本题考查解三角形思想及平面向量的几何意义.15.(原创题)若为实数，且关于的方程有实数解，则的取值范围是.【命题意图】本题考查函数与方程的相关知识，及利用导数知识来解方程的能力.16.(原创题)某校共开设了六门选修课：物理、化学、生物、政治、历史、地理，要求每名学生选三门课，其中物理、化学、生物中至少要选两门.现有A 、B 、C 三人选课，则任意一名学生与其他两名学生均至少有两门选修课相同的概率为 .【命题意图】本题考查概率、排列、组合知识的综合应用，同时考查学生分类讨论思想和解决问题的能力. 17.(2018年浙江省新名校第一次联考第17题改编)设函数，当时，记的最大值为，则的值为 .【命题意图】本题考查含有绝对值不等式的解法，以及数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想和能力.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(原创题)（本题满分14分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终 边上有一点的坐标是，其中. （1）求的值；（2）若，求的值.【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.19.(原创题)（本题满分15分）如图，已知多面体，均垂直于平面ax x =a ()2()=,f x x a x b a b R +++∈[]2,2x ∈-()f x 258a αO x P ()3,a a 0a ≠cos α()tan 21αβ+=tan β1111ABCD A B C D -1111,,,AA BB CC DD 高三数学试题卷第4页，共6页，，，，.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【命题意图】本题考查空间、点、线、面位置关系，线面角等基础知识， 同时考查空间想象能力和运算求解能力.20.(原创题)（本题满分15分）已知数列满足（），数列满足，，，为数列的前项和.（1）求数列的前项和；（2）求. 【命题意图】本题考查数列的概念及通项公式的求解，前n 项求和问题，同时考查转化与化归、整体思想 的能力.21.(原创题)（本题满分15分）已知抛物线：的焦点为，过作直线与抛物线交于两点，分别过作抛物线的切线，交轴于两点，且两切线相交于点.（1）证明：点在定直线上，并求该直线方程. （2）求四边形面积的最小值.【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系 等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.ABCD AD BC ∥11=2AB BC CD AA CC ====1=1BB 14AD DD ==11AC ⊥11CDD C 1BC 111A B C {}n a 2112331++3+332nn n a a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭n N *∈{}n b 1=1b ()+1=n n n b a b n N *-∈n n n a b c =n S {}n c n {}n b 201932nn nb S -⋅C 28y x =F F l C ,A B ,A B C y ,M N E E AMNB1A22.(原创题)（本题满分15分）已知函数. （1）求在点处的切线方程；（2）若，证明：在上恒成立. （3）若方程有两个实数根，且，证明：. 【命题意图】本题考查导数在单调性与最值、极值、切线问题中的应用，及不等式性质、恒成立等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论及分析问题和解决问题的能力.2019年浙江省普通高校招生考试模拟卷数学答案解析 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题()()()=11x f x x e +-()f x ()1,(1)f --1a e ≤-()ln 22f x a x ex ≥+-[)1,x ∈+∞()f x b =12,x x 12x x ＜2111311b e ebx x e e ++-≤++--目要求的. 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】A 10.【答案】D非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．【答案】，12.， 13．【答案】， 14．【答案】15．【答案】 16．【答案】12-812192434a ≥79250高三数学答案解析第2页，共7页17．【答案】 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，点在第一象限，； 当时，点在第三象限，（2）由题意点在一三象限，，所以. 所以. 19.（本题满分15分）【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接，由于且，所以四边形为平 行四边形，即.又底面为等腰梯形，且有. 侧棱平面,平面，所以. 又，所以平面，故平面.（2）由题意延长、、、交于点,取中点，连. 由,平面，平面，所以平面.238a =-170a ＞P cos α==0a ＜P cos α==P 1tan 3α=22tan 3tan 241tan ααα==-()()()tan 2tan 21tan =tan 22=1tan 2tan 27a αβαβαβαβα+-+-=⎡⎤⎣⎦++⋅14AC 11AA CC ∥11AC AC ∥11ACC A 1AC AC ∥ABCD AC CD ⊥1C C ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1C C AC ⊥1CD CC C =AC ⊥11CDD C 11AC ⊥11CDD C 1BC =DC 11D C AB 11A B G CG M BM AC 、11BM AC AC ∥∥BM ⊄111A B C 11AC ⊂111A B C BM ∥111A B C 1DA因此点到平面的距离和点到平面的距离相等.由（1）知平面，又平面，所以平面面. 过点作，则平面，即点到平面的距离为所以直线与平面所成角为，则有. 解法二：建系法以为原点如图建立空间直角坐标系，则,，设平面的法向量为由，解得.取法向量. 设直线与平面所成角为，则. 20.（本题满分15分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，； 当时，，，两式相减得.又也符合表达式，所以.B 111A BC M 111A B C 11AC ⊥11CDD C 11AC ⊂111A B C 111A B C ⊥11CDD C M 1MH GD ⊥MH ⊥111A B C M 111A B C MH =1BC 111A B C θ11sin 4MH BC θ===O ()()()()11,4,0,2,,B A B C ()12,0,2BC =-()()11113,3,0,2,0,1AC B C =-=-111AB C (,,n x y z =11113020AC n x B C n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,2y z x ==()1,3,2n =1BC 111A B C θ11sin cos ,4BC n θ===101041134⎛⎫- ⎪⎝⎭14194n n --⋅1n =11=2a 2n ≥2112331++3+332nn n a a a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭122123131++3+332n n n a a a a ---⎛⎫++= ⎪⎝⎭()1113132222n n n n n a a n --⎛⎫=⋅⇒=≥ ⎪⎝⎭11=2a 12n na =()()()12201912345201820191242018b b b b b b b b b b b a a a +++=+++++++=++++1高三数学答案解析第4页，共7页（2）由题意，则 .21.（本题满分15分） 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）不妨设点，则切点弦：.又切点弦过点，有，因此点在定直线上上.（2）设.直线：与抛物线：联立得.过点的切线方程为.令得，同理可得.过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则. 当且仅当时取等号.210091010111411143444⎛⎫=++++=- ⎪⎝⎭2nn nb c =()()()12212111223121111=+++3223222221111 32221114141 =113494494n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b S b b b b b b b b -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎛⎫+++=-=⎪⎢⎥⋅⎣⎦⎝⎭2x =12()00,E x y AB ()004+x x y y =AB ()2,0F ()004+2=02x x ⇒=-E 2x =()22121212,,,0,088y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞＜AB 2x my =+C 28y x =212128160+=8,16y my y y m y y --=⇒=-A ()114y y x x =+0x =2111114842M yx y y y y ==⨯=22N yy =,A B y 11,A B ()()111112*********=S 22222AMNB AA B B AMA BNB y yS S S x x y y x x ∆∆⎛⎫--=+--+ ⎪⎝⎭()()()()()()2233121211221212121112432x x y y x y x y y y y y y y ⎡⎤=+---==+---⎣⎦()(2212121148836448=12323232y y y y m ⨯⎡=+-+⎣0m =高三数学答案解析第5页，共7页22.（本题满分15分） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由知，，，所以在点处的 切线方程为. （2）当时，，所以. 下先证：. 即证：.，又在上单调递增，且知在 上单调递增，故.因此，得证.（3）由（1）知在点处的切线方程为. 构造，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以在上单调递减，在 上单调递增.所以.设方程的根.又，由在上单调递减，所以. 另一方面，在点处的切线方程为. 构造.()11ey x e-=+()()'21x f x x e =+-()'111f e-=-()1=0f -()1,(1)f --()11ey x e-=+[)1,x ∈+∞ln 0x ≥()ln 221ln 22a x ex e x ex +-≤-+-()()()()1ln 22=11x e x ex f x x e -+-≤+-()()()()=111ln 22x g x x e e x ex +----+()()'1212x e g x x e e x-=+---()'g x [)1,x ∈+∞()'10g =()g x [)1,x ∈+∞()()1=0g x g ≥()()()111ln +22ln +22x x e e x ex a x ex +-≥--≥-()f x ()1,(1)f --()()11es x x e-=+()()()()1111xe F xf x x x e e e -⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭()()'12x F x x e e =+-()()''3x F x x e =+()'F x (),3-∞-()3,-+∞()'31130F ee -=--＜()'1lim x F x e →-∞=-()'10F -=()F x (),1-∞-()1,-+∞()()()()()1101e F x F f x s x x e-≥-=⇒≥=+()()11=e s x x b e -=+'111ebx e=--()()()'111b s x f x s x ==≥()s x R '11x x ≤()f x ()1,22e -()()311t x e x e =---()()()()()()()11311=13x x G x f x t x x e e x e x e ex e =-=+---+++-+高三数学答案解析第6页，共7页，.所以在在上单调递减，在上单调递增. 又，，，所以在上单调递减，在 上单调递增. 所以.设方程的根.又，由在上单调递增，所以. 所以，得证.()()'23x G x x e e =+-()()''3x G x x e =+()'G x (),3-∞-()3,-+∞()'31330G e e-=--＜()'lim 3x G x e →-∞=-()'10G =()F x (),1-∞()1,+∞()()()()()10311G x G f x t x e x e ≥=⇒≥=---()()311=t x e x e b =---'2131e b x e ++=-()()()'222b t x f x t x ==≥()t x R '22x x ≤''212111311b e ebx x x x e e ++-≤-=++--。
浙江省2019年高考模拟训练卷数学(三)(附解析)
浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B，然后再在全集U＝{1，2，3，4，5}下求∁U（A∩B）．【详解】∵A＝，B＝，∴A∩B＝{1，2，3}，又∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∩B）＝{4，5}．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交并补的混合运算，求得A与B的交集是关键，属于基础题．2.已知双曲线，则的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率.【详解】∵双曲线方程为，∴双曲线为等轴双曲线，∴e=.故选B.【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.3.已知（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于a+bi＝，故有a＝，b＝-，即可得结果．【详解】由于a+bi＝=，∴a+bi＝，∴a＝，b＝-，∴=故选B．【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题．4.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可.【详解】∵=，∴函数为偶函数，排除A、B，又当0<x<时，，排除D，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用函数性质及特殊函数值进行排除是常用方法，属于基础题. 5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案．【详解】由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的还原、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，属于中档题．6.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（）A. 1880B. 1440C. 720D. 256【答案】B【解析】【分析】先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．【详解】由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共种排法，再将这两个整体全排列，共种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共种排法，由分步计数原理得共种.故选B.【点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原理，理解题意是解题得关键，属于中档题．7.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.【详解】∵，且B必为锐角，可得或，即角或角为钝角；反之，当，时，，而=，所以不成立，所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，故选.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．8.设函数.已知对任意的，若，，恒有，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的性质将不等式转化为，由对称性结合区间端点的大小得到a与k的关系，即在上恒成立，求得的最值即可得到k的范围.【详解】因为==,∴为偶函数且在上单调递增，由对称性得在上单调递减，∴，又>，只需-（，即，即在上恒成立，∴，则正实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查了分析问题的能力及转化思想，属于中档题．9.如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）A. B. C. D.【解析】【分析】过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.【详解】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CB AC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cosθ, ∴cosθ，∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，∴ 的最大值为.故选A.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题. 10.已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A. B. C. D.【解析】【分析】由题意得，，利用单调性可得，代入已知求得，，又，得到，可得所求.【详解】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.【点睛】本题考查了数列及函数单调性的应用，考查了逻辑思维能力及分析能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知函数，则__________；__________．【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．【详解】∵函数，∴f（4）＝＝2，＝f（）＝＝，故答案为：(1). 2 (2).【点睛】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数及对数性质的合理运用．12.若实数满足不等式组，则的最大值为__________．【答案】10【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点A时，线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，得，即A（-3，4）代入z＝y﹣2x，得z＝4﹣2×（-3）＝10，即z＝y﹣2x的最大值为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．13.若，则__________．【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得的值．【详解】∵令x＝2得：0＝，即＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题．14.在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接利用余弦定理可得，利用中线定理的向量表示法将表示出，平方可得模.【详解】在中，=，同理可得-，又=(+)，平方得=，所以，故答案为(1). (2).【点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题.15.已知，若，则的最小值为__________；若，则的最大值为__________．【答案】 (1). 8 (2).【解析】【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy ＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.【详解】根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x＝2y时等号成立）x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，又由4xy，则有x2+4y2，即x2+4y2的最小值为8；若，则由柯西不等式得（）（1+），（当且仅当x＝4y时等号成立），所以4即的最大值为，故答案为：(1). 8 (2). ．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题．16.已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________．【答案】-3【解析】【分析】设，，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到，构造方程，求得结果.【详解】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【点睛】本题考查了向量相等的坐标表示，考查了曲线与方程的定义，考查了方程思想，属于中档题. 17.如图，在三棱锥中，点为的中点，点在平面的投影恰为的中点.已知，点到的距离为，则当最大时，二面角的余弦值是__________．【答案】【解析】【分析】由条件得到点的轨迹是以为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当最大时有，做出二面角的平面角，在中求解即可.【详解】因为点到的距离为，则点是以为旋转面的轴的圆柱与平面的公共点，即点的轨迹是以为长轴，以为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，则当最大时有.如图，在上取一点，满足，连接，则有，又因为，则是二面角的平面角，在中，OP=1,OE=, ∴PE=, ∴PF=,在中，，故二面角的余弦值是.故答案为.【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（1）求函数在上的值域；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义域求得的范围，利用正弦函数在的图像特点求得函数f（x）sin （2x）的值域．（2）将展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.【详解】（1）因为x,∴，当时，最大为，当时，最小为1，所以在的值域为；（2）因为，即，所以.∴.【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．19.在三棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直，可证平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面，证得结论.（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，又，，∴，∴平面，从而有，又由勾股定理得，，∴平面，即；（2）设，则，在中，，即.故，，过作于点，连接，过点作于点，连接，因为且，故平面，又因为平面，所以平面平面，进而有平面，故是与平面所成的角，在中，有，得，故，，由等面积法知，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题．20.已知数列的前项为.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）详见解析（2）.【解析】【分析】（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入，利用分组求和及错位相减法即可求得T n．【详解】（1）当时，，当时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，∴，即，故，所以，故是为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，令数列，的前和为，则，因为，，，则，即，故.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前n项和，是中档题．21.如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用点差法能得到的值．（2）由（1）知，则可求点F坐标，利用点到直线的距离公式求得的高，联立，由韦达定理求得，将面积表示为关于m的函数，求导求得最值.【详解】（1）设，则，将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，①-②得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即，则，故面积，令，则，令则或2（舍去）∴时，有最大值243，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22.知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.【详解】（1）函数f（x）的定义域为，因为，令，则，即，则在上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，又a<1时,，取x=,则即，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．。
2019届浙江省高考模拟卷+数学
2019届浙江省高考模拟卷数 学本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a ab b V h S S S S =⋅柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高1.若集合P={y|y ≥0}，P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能是（ ） A ．{y|y=x 2，x ∈R}B ．{y|y=2x ，x ∈R}C ．{y|y=lgx ，x ＞0}D ．∅2.抛物线y=﹣2x 2的准线方程是（ ） A ．B ．C ．D ．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若存在实数x ，y 使不等式组与不等式x ﹣2y+m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3 5.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-1x 21|xB ．{x|x ＞1}C ．{x|x ＜1或x ＞2}D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<1x 21x |x 或6.在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n+1﹣2B ．3nC ．2nD ．3n﹣17.定义在R 上的奇函数f （x ）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f （﹣1）=0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8.随机变量X 的分布列如下表，且E （X ）=2，则D （2X ﹣3）=（ ） X0 2 aP p A ．2B ．3C ．4D ．59.已知平面α∩平面β=直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．（ ）A ．当|CD|=2|AB|时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行 10.设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年浙江省高考模拟训练卷数学(三)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.函数
的图像可能是（ ）
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 5.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
A. 2 B.
C.
D.
【答案】D
6.已知 5 辆不同的白颜色和 3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少 2 辆停在一起且红颜色的
，当
时，
，所以 在
上
递减，在
上递增，即当
时， 有最小值，又 h（1）=1-2a，
当 a<1 时，h（1） 0，即
在
上恒成立，
又 a<1 时,
，
取 x= ,则
即
，
又在
上递增，而 h(
，由函数零点存在定理知 在
上存在唯一零点，
所以当 a<1 时即存在
，使得方程
在
上有唯一解，即方程
在
上有唯
一解. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能 力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．
则当 最大时有
.
如图，在 上取一点 ，满足
，
连接 ，则有 则 是二面角
，又因为
，
的平面角，
在 中，OP=1,OE= , ∴PE= , ∴PF=
,
在 中，
，故二面角的余弦值是 .
故答案为 .
，做出二面角
【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的
形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
浙江省2019年高考模拟训练卷数学(三)
浙江省2019年高考模拟训练卷数学（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B，然后再在全集U＝{1，2，3，4，5}下求∁（A∩B）．U【详解】∵A＝，B＝，∴A∩B＝{1，2，3}，又∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∴∁（A∩B）＝{4，5}．U故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交并补的混合运算，求得A与B的交集是关键，属于基础题．2.已知双曲线，则的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率.【详解】∵双曲线方程为，∴双曲线为等轴双曲线，∴e=.故选B.【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.3.已知A. B.（为虚数单位），则C. D.（）【答案】B【解析】【分析】由于a+bi＝，故有a＝，b＝-，即可得结果．【详解】由于a+bi＝=，∴a+bi＝，∴a＝，b＝-，∴=故选B．【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题．4.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可.【详解】∵=，∴函数为偶函数，排除A、B，又当0<x<时，，排除D，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用函数性质及特殊函数值进行排除是常用方法，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案．【详解】由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的还原、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，属于中档题．6.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（）A. 1880B. 1440C. 720D. 256【答案】B【解析】【分析】先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．【详解】由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共种排法，再将这两个整体全排列，共种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共种排法，由分步计数原理得共种.故选B.【点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原理，理解题意是解题得关键，属于中档题．7.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.【详解】∵可得或，且B必为锐角，，即角或角为钝角；反之，当，时，，而=，所以不成立，所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，故选.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．8.设函数.已知对任意的，若，，恒有，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的性质将不等式转化为，由对称性结合区间端点的大小得到 a 与k 的关系，即在上恒成立，求得【详解】因为的最值即可得到k的范围.==,∴且在为偶函数上单调递增，由对称性得在上单调递减，∴只需-（即∴，即，，又，在>，上恒成立，则正实数的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查了分析问题的能力及转化思想，属于中档题．9.如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.【详解】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CB AC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，设D在OE的投影为N，取最大值，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，又OM=cosθ, ∴=cosθ，，最大时为，∴θ=，∴最大为的最大值为.2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即故选A.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题.10.已知数列若存在正整数A.满足，，使得B.，，数列，则（）C. D.满足，，，【答案】D【解析】【分析】由题意得，，利用单调性可得，代入已知求得，，又，得到，可得所求.【详解】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有同理有，得，，又因为，故，所以.故选D.【点睛】本题考查了数列及函数单调性的应用，考查了逻辑思维能力及分析能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知函数，则__________；__________．【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．【详解】∵函数，∴f（4）＝＝f（＝2，）＝＝，故答案为：(1).2(2).【点睛】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数及对数性质的合理运用．12.若实数满足不等式组，则的最大值为__________．【答案】10【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点A时，线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，得，即A（-3，4）代入z＝y﹣2x，得z＝4﹣2×（-3）＝10，即z＝y﹣2x的最大值为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．，则__________．13.若【答案】0【解析】【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得的值．【详解】∵令x＝2得：0＝，即＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题．14.在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】直接利用余弦定理可得，利用中线定理的向量表示法将表示出，平方可得模.【详解】在又=( +中，)，平方得==，同理可得-，，所以，故答案为(1).(2).【点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题.15.已知，若，则【答案】(1). 8(2).【解析】【分析】的最小值为__________；若，则的最大值为__________．根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy ＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.【详解】根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x＝2y时等号成立）x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，又由4xy，则有x2+4y2，即x2+4y2的最小值为8；若（，则由柯西不等式得）（1+ ），（当且仅当x＝4y时等号成立），所以即4的最大值为，故答案为：(1).8(2).．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题．16.已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________．【答案】-3【解析】【分析】设造方程，，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到，求得结果.，构【详解】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【点睛】本题考查了向量相等的坐标表示，考查了曲线与方程的定义，考查了方程思想，属于中档题.17.如图，在三棱锥中，点为的中点，点在平面的投影恰为的中点.已知，点到的距离为，则当最大时，二面角的余弦值是__________．【答案】【解析】【分析】由条件得到点的轨迹是以的平面角，在为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当中求解即可.最大时有，做出二面角【详解】因为点到的距离为，则点是以为旋转面的轴的圆柱与平面的公共点，即点的轨迹是以为长轴，以为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，则当最大时有.如图，在上取一点，满足，连接，则有，又因为，则是二面角的平面角，在中，OP=1,OE=, ∴PE=, ∴PF=,在中，故答案为.，故二面角的余弦值是.【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（1）求函数（2）若在，求上的值域；.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义域求得（2x）的值域．的范围，利用正弦函数在的图像特点求得函数f（x）sin（2）将展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.【详解】（1）因为x,∴当当，时，时，最大为，最小为1，所以在（2）因为即所以∴的值域为，..；，【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．19.在三棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：（2）求直线；与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直，可证证得结论.平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面，（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，又∴，，，∴平面，从而有，又由勾股定理得，，∴平面，即；（2）设，则，在故中，，即.，，过作连接，因为于点，连接，过点作且，于点，故又因为进而有平面，平面平面，所以平面，平面，故是与平面所成的角，在中，有，得，故，由等面积法知所以，，，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题．20.已知数列（1）证明：的前项为.为等比数列；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】.（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S ＝3a﹣n﹣1 n﹣1，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入，利用分组求和及错位相减法即可求得T．n【详解】（1）当∴即时，，当，，时，S ＝3a ﹣，n﹣1 n﹣1故，所以，故是为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，令数列，则即故的前和为，，.，则，因为，，，【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前n 项和，是中档题．21.如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设A（x，y），B（x，y），代入椭圆方程，利用点差法能得到的值．1 12 2（2）由（1）知，则可求点F坐标，利用点到直线的距离公式求得的高，联立，由韦达定理求得，将面积表示为关于m的函数，求导求得最值.，【详解】（1）设则，将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，①-②得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即则故令，，面积，，则，令则或2（舍去）∴时，有最大值243，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22.知函数，（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程.在上有唯一解.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；，分与,得到导函数在各区（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.【详解】（1）函数f（x）的定义域为，因为令，，则则在，即，上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为减，在，故当上递增，即当时，，当时，时，，所以有最小值，又h（1）=1-2a，在上递当a<1时，h（1）0，即又a<1时,取x=,则在上恒成立，即，，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．。
2019浙江省高考数学模拟试题(有答案)
2019浙江省高考数学模拟试题(有答案)2019年浙江省高考数学模拟试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，共6页，其中选择题部分为1-3页，非选择题部分为3-7页。
总分为150分，考试时间为120分钟。
考生注意事项：1.答题前，请务必使用黑色签字笔或钢笔在试题卷和答题纸规定的位置上填写姓名和准考证号。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答。
在本试题卷上作答一律无效。
参考公式：如果事件A，B互斥，则球的表面积公式为S=4πR²，P(A+B)=P(A)+P(B)。
如果事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
球的体积公式为V=4/3πR³，其中R表示球的半径。
棱柱的体积公式为V=Sh。
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：(k=1,2.n)C(n,k)P(1-P)^(n-k)棱台的体积公式为V=h(1/3S₁+S₂+S₁S₂/√(S₁S₂))。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A⊆B，A⊆C，B={2,1,8}，C={1,9,3,8}，则A可以是（）A.{1,8}B.{2,3}C.{0}D.{9} （命题意图：考查集合含义及运算）2.复数z=m+ni（i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（命题意图：考查复数概念及复数的运算）3.已知cos(α-)+sinα=π/6+74/3，则s in(α+π)的值是（）A.-65/232B.65/232C.-74/555D.74/555 （命题意图：考查诱导公式及三角运算）4.等比数列{an}中，a₁>0，则“a₁<a₄”是“a₃<a₅”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（命题意图：考查充要条件、等价命题转化）5.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是（）A.[0,9]B.[0,5]C.[9,+∞)D.[5,+∞) （命题意图：考查线性规划最值问题）6.函数g(x)=(x-1)f'(x)二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共32分。
2019届浙江省杭州市高考命题比赛模拟(三)数学试卷(word版)
2019年高考模拟试卷数学卷双向细目表绝密★考试结束前2019年高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。
3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π121()3V S S h =球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (原创) 1．已知U R =，集合{}|11A x x =-<<，则U C A =A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞【命题意图】考查集合的基本运算（★）(原创) 2．设i z +=11，i z -=12（i 是虚数单位），则2111z z +＝ A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【命题意图】考查复数的基本运算（★）(原创) 3．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥则2z x y =+的取值范围是A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞【命题意图】考查简单的二元一次线性规划（★★）(原创) 4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则 A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【命题意图】考查立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★） (原创) 5．观察下列各式： ,则A ．196B ．197C ．198D ．199【命题意图】考查斐波那契数列的简单推理（★★）(改编) 6．已知函数且,则A． B. C. D.【命题意图】考查函数的图像与性质（★★★）(原创) 7．已知是正整数，满足的正整数解有A．54种B．55种C．56种D．57种【命题意图】考查排列组合（★★★）(改编) 8．已知点为的外心，则的最小值为A．1 B．2 C．D．【命题意图】考查向量的应用（★★★★）(原创) 9．已知为双曲线C:上的一点，若的内切圆的直径为a,则双曲线C的离心率的取值范围为A.B. C. D.【命题意图】考查求曲线的离心率（★★★★）10．已知函数,函数,若函数恰有4个零点，则的取值范围为A．B．C．D．【命题意图】用函数数形结合（★★★★）摘自《至精至简的数学思想方法》非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年浙江省全国高考高三数学模拟试卷
x1
x2
0
，
x1 x3 0 ， x2 x3 0 ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 的值的符号为
A.一定为负
B.一定为正
C. 0
D.可以为正，也可以为负
7.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率 为 0.7 ，他罚球 2 次的得分 的数学期望为
A. a 7 ,b 1 28
B. a 7 ,b 1 28
C. a 7 ,b 1
2
8
D. a 7 ,b 1
2
8
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. （2x x）8 的展开式中 x6 的系数为
Hale Waihona Puke A.1.3B. 1.5
C. 1.4
D.1.6
8.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是侧面 ADD1 A1 内的动点，
且 B1E// 平面 BDC1 ，则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值
的最小值是
A. 1
B. 3
C. 1
D. 2
3
3
2
2
9.设 为两个非零向量 a,b 的夹角，已知对任意实数 t ， b ta 的最小值为1.则
A.3, 4,5
B. 3, 4,5, 6
C. 1, 2,3, 4,5, 6
2.复数 i 的模等于 2+i
A. 5
B. 1
C. 1
D. 5
5
5
25
2019年浙江省高考信息模拟卷数学(三)
. .
3 ，则 a = 4
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本题 14 分）已知点 ( （I）求实数 a 的值； （II）求 f ( x ) 在闭区间 [ −
5 1 ,0) 是函数 f ( x ) = (a sin x + cos x ) cos x − 图象的一个对称中心. 12 2
2( x + 1) 及 f ( x + 12) − f ( x) 6( x + 5) ，则
A. 2017 B. 2018
（ D. 2020
）
C. 2019
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分.） 11.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有一道数列问题：“今有良马与驽马发长安， 至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三例，驽马初日行九十七里， 日减半里，……”请问驽马第 5 日日行 里，良马第 日到达齐.
B =（
）
x2 + y 2 = 1 的焦距是 3
B. 2 2
10i （ i 为虚数单位），则 | z | 为 3+i
B.4
4. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何 体的体积（单位：cm3）是 A. （ B. 32 ）
160 3 128 3
C.
D. 64 （ ）
5. 已知互相垂直的平面 , 交于直线 l . 若直线 m, n 满足 m / / , n ⊥ ，则 A. l / / m B. m / / n C. n ⊥ l D. m ⊥ n
2019年浙江省高考模拟训练卷数学(三)(word版)
，利用分组求和及错位相减法即可求得
Tn．
【详解】（ 1）当 时，
∴
即
，
，当
时， Sn﹣1＝ 3an﹣1﹣
，
，
故
，
所以
，
故
是 为首项，以 为公比的等比数列；
（ 2）由（ 1）知
，故
，
令数列 ，
的前 和为
，则
，因为
，
，
，
则
，
即
，
故
.
【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的 前 n 项和，是中档题．
20. 已知数列 的前 项为
.
（ 1）证明：
为等比数列；
（ 2）求数列
的前 项和为 .
【答案】（ 1）详见解析（ 2） 【解析】 【分析】 （ 1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当 论；
. n≥２时， Sn﹣1＝3an﹣1 ﹣ ，与原递推式联立可得结
（ 2）把（ 1）中求得的数列通项公式代入
即点 的轨迹是以 为长轴，以 为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，
则当
最大时有
.
如图，在 上取一点 ，满足
，
连接
，则有
则
是二面角
，又因为
，
的平面角，
在
中， OP=1,OE= , ∴PE= , ∴PF=
,
在
中，
，故二面角的余弦值是
.
故答案为
.
，做出二面角
【点睛】 本题考查了二面角的作法及求法， 考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的
且
，
故
平面 ，
又因为
浙江省2019 年高考模拟训练卷数学(三)
…………外…………○………学校:_______…………内…………○………绝密★启用前浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三)试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知双曲线，则 的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．3．已知（ 为虚数单位），则 （ ） A ．B ．C ．D ．4．函数的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）…………装……线…………○……※请※※不※※要※※在※…………装……线…………○……A ．2B ．C ．D ．6．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（ ） A ．1880 B ．1440 C ．720 D ．2567．在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．设函数.已知对任意的 ，若，，恒有 ，则正实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．9．如图， 是以 直径的圆 上的动点，已知 ，则 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知数列 满足 ， ，，数列 满足 ，，， 若存在正整数 ，使得 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．…○…………装……学校:___________姓名：___…○…………装……第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知函数 ，则 __________；__________．12．若实数 满足不等式组，则 的最大值为__________．13．若 ，则 __________．14．在 中，角 所对的边 ，点 为边 上的中点，已知 ， ， ，则 __________； __________．15．已知 ，若 ，则 的最小值为__________；若 ，则 的最大值为__________．16．已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ， ，且，则 __________． 17．如图，在三棱锥 中，点 为 的中点，点 在平面 的投影恰为 的中点.已知 ，点 到 的距离为 ，则当 最大时，二面角 的余弦值是__________．三、解答题18．已知函数. （1）求函数 在上的值域； （2）若，求 .…………○…………线…………○…※※在※※装※※订※※线※※内…………○…………线…………○… .（1）证明： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20．已知数列 的前 项为 . （1）证明：为等比数列；（2）求数列的前 项和为 .21．如图，直线 交椭圆于 两点，点 是线段 的中点，连接 并延长 交椭圆 于点 .（1）设直线 的斜率为 ，求 的值； （2）若，求 面积的最大值.22．知函数， .（1）求 的单调区间；（2）证明：存在 ，使得方程 在 上有唯一解.参考答案1．C【解析】【分析】先求出A∩B，然后再在全集U＝{1，2，3，4，5}下求∁U（A∩B）．【详解】∵A＝，B＝，∴A∩B＝{1，2，3}，又∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∩B）＝{4，5}．故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交并补的混合运算，求得A与B的交集是关键，属于基础题．2．B【解析】【分析】由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率.【详解】∵双曲线方程为，∴双曲线为等轴双曲线，∴e=.故选B.【点睛】本题考查了等轴双曲线的特点，考查了双曲线的性质，属于基础题.3．B【解析】【分析】由于a+bi＝，故有a＝，b＝-，即可得结果．【详解】，由于a+bi＝=（）（）（）（）∴a+bi＝，∴a＝，b＝-，∴=故选B．【点睛】本题主要考查两个复数相等的充要条件，考查了复数的乘除运算，属于基础题．4．C【解析】【分析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可.【详解】=，∵（）（∴函数为偶函数，排除A、B，又当0<x<时，，排除D，故选C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用函数性质及特殊函数值进行排除是常用方法，属于基础题. 5．D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案．【详解】由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的还原、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题．6．B【解析】【分析】先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．【详解】由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共种排法，再将这两个整体全排列，共种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共种排法，由分步计数原理得共种.故选B.【点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原理，理解题意是解题得关键，属于中档题．7．A【解析】【分析】先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.∵，且B必为锐角，可得或，即角或角为钝角；反之，当，时，，而=，所以不成立，所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，故选.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．8．D【解析】【分析】利用函数的性质将不等式转化为，由对称性结合区间端点的大小得到a与k的关系，即在上恒成立，求得的最值即可得到k的范围.【详解】因为（）（）==,∴为偶函数且在上单调递增，由对称性得在上单调递减，∴，又>，∴，且有-（），即，即在上恒成立，∴，则正实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查了分析问题的能力及转化思想，属于中档题．9．A【解析】【分析】过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.【详解】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CB AC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cosθ, ∴cosθ，∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，∴ 的最大值为.故选A.本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题.10．D【解析】【分析】由题意得，，利用单调性可得，代入已知求得，，又，得到，可得所求.【详解】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.【点睛】本题考查了数列及函数单调性的应用，考查了逻辑思维能力及分析能力，属于难题.11．2【解析】【分析】由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．【详解】∵函数，∴f（4）＝＝2，＝f（）＝＝，故答案为：(1). 2 (2).【点睛】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数及对数性质的合理运用．12．10【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点A时，线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，得，即A（-3，4）代入z＝y﹣2x，得z＝4﹣2×（-3）＝10，即z＝y﹣2x的最大值为10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．13．0【解析】【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值，即可求得的值．【详解】∵令x＝2得：0＝，即＝0；故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题．14．【解析】【分析】直接利用余弦定理可得，利用中线定理的向量表示法将表示出，平方可得模.【详解】在中，=，同理可得-，又=(+)，平方得=，所以，故答案为(1). (2).【点睛】本题考查了余弦定理，考查了向量法表示中线及求模，属于中档题.15．8【解析】【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x+2y≥2，变形可得2xy，进而可得x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.【详解】根据题意，x，y∈R+，且x+2y＝4，则有4＝x+2y≥2，变形可得2xy，（当且仅当x ＝2y时等号成立）x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝16﹣4xy，又由4xy，则有x2+4y2，即x2+4y2的最小值为8；若，则由柯西不等式得（）（1+），（当且仅当x＝4y时等号成立），所以4即的最大值为，故答案为：(1). 8 (2). ．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，考查了柯西不等式，属于中档题．16．-3【解析】【分析】设，，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到，，构造方程，求得结果.【详解】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【点睛】本题考查了向量相等的坐标表示，考查了曲线与方程的定义，考查了方程思想，属于中档题. 17．【解析】【分析】由条件得到点的轨迹是以为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当最大时有，做出二面角的平面角，在中求解即可.【详解】因为点到的距离为，则点是以为旋转面的轴的圆柱与平面的公共点，即点的轨迹是以为长轴，以则当最大时有.如图，在上取一点，满足，连接，则有，又因为，则是二面角的平面角，在中，OP=1,OE=, ∴PE=, ∴PF=在中，，故二面角的余弦值是.故答案为.【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.18．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义域求得的范围，利用正弦函数在，的图像特点求得函数f（x）sin（2x）的值域．（2）将展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.【详解】（1）因为x,∴，当时，最大为，当时，最小为1，所以在的值域为；（2）因为，即，所以.∴.【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．19．（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直，可证平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面，证得结论.（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，又，，∴，∴平面，从而有，又由勾股定理得，，∴平面，即；（2）设，则，在中，，即.故，，过作于点，连接，过点作于点，连接，因为且，故平面，又因为平面，所以平面平面，进而有平面，故是与平面所成的角，在中，有，得，故，，由等面积法知，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题．20．（1）详见解析（2）.【解析】【分析】（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入，利用分组求和及错位相减法即可求得T n．【详解】（1）当时，，当时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，∴，即，故，所以，故是为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）知，故，令数列，的前和为，则，因为，，，则，即，故.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前n项和，是中档题．21．（1）（2）【解析】【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用点差法能得到的值．（2）由（1）知，则可求点F坐标，利用点到直线的距离公式求得的高，联立，由韦达定理求得，将面积表示为关于m的函数，求导求得最值.【详解】（1）设，则，将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，①-②得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即，则，故面积，令，则，令，则或2（舍去）∴时，有最大值243，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．详见解析【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.【详解】（1）函数f（x）的定义域为，因为，令，则，即，则在上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，又a<1时,，取x=,则，即，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．。
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浙江省2019 年高考模拟训练卷
数学（三）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.已知双曲线，则的离心率是（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
3.已知（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】B
4.函数的图像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】D
6.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（）
A. 1880
B. 1440
C. 720
D. 256
【答案】B
7.在中，“”是“为钝角三角形”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
8.设函数.已知对任意的，若，，恒有
，则正实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
9.如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
10.已知数列满足，，，数列满足，，，
若存在正整数，使得，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.已知函数，则__________；__________．
【答案】 (1). 2 (2).
12.若实数满足不等式组，则的最大值为__________．
【答案】10
13.若，则__________．
【答案】0
14.在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；
__________．
【答案】 (1). (2).
15.已知，若，则的最小值为__________；若，则的最大值为
__________．
【答案】 (1). 8 (2).
16.已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则
__________．
【答案】-3
17.如图，在三棱锥中，点为的中点，点在平面的投影恰为的中点.已知，
点到的距离为，则当最大时，二面角的余弦值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件得到点的轨迹是以为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当最大时有，做出二面角
的平面角，在中求解即可.
【详解】因为点到的距离为，
则点是以为旋转面的轴的圆柱与平面的公共点，
即点的轨迹是以为长轴，以为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知，
则当最大时有.
如图，在上取一点，满足，
连接，则有，又因为，
则是二面角的平面角，
在中，OP=1,OE=, ∴PE=, ∴PF=,
在中，，故二面角的余弦值是.
故答案为.
【点睛】本题考查了二面角的作法及求法，考查了平面截圆锥所得的圆锥曲线的
形状，考查了逻辑思维与运算能力，属于难题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数.
（1）求函数在上的值域；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的定义域求得的范围，利用正弦函数在的图像特点求得函数f（x）sin
（2x）的值域．
（2）将展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可.
【详解】（1）因为x,
∴，
当时，最大为，
当时，最小为1，
所以在的值域为；
（2）因为，
即，
所以.
∴.
【点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．
19.在三棱锥中，平面平面，，，，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直，可证平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面
，证得结论.
（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面
所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦
值.
【详解】（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，
又，，
∴，
∴平面，从而有，
又由勾股定理得，，
∴平面，即；
（2）设，则，
在中，，即.
故，，
过作于点，连接，过点作于点，
连接，因为且，
故平面，
又因为平面，所以平面平面，
进而有平面，
故是与平面所成的角，
在中，有，得，
故，，
由等面积法知，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了直线与平面所成角的正弦值，关键是正确作出直线与平面所成角，是中档题．
20.已知数列的前项为.
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）详见解析（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，与原递推式联立可得结论；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入，利用分组求和及错位相减法即可求得T n．
【详解】（1）当时，，当时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣，
∴，
即，
故，
所以，
故是为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，故，
令数列，的前和为，则，因为，
，
，
则，
即，
故.
【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的判定与证明，考查了错位相减法及分组求和法求数列的前n项和，是中档题．
21.如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长
交椭圆于点.
（1）设直线的斜率为，求的值；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用点差法能得到的值．
（2）由（1）知，则可求点F坐标，利用点到直线的距离公式求得的高，联立，由韦达定理求得，将面积表示为关于m的函数，求导求得最值.
【详解】（1）设，
则，
将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，
①-②得，即，
即；
（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，
不妨设，则有，故点到直线的距离，
联立方程组，
即，
则，
故面积，
令，
则，令则或2（舍去）
∴时，有最大值243，
即面积的最大值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率、椭圆性质、点差法的合理运用，考查了弦长公式的应用，借助导数求函数最值的求法，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
22.知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；
（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在
上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在
上有唯一解，即证得结论.
【详解】（1）函数f（x）的定义域为，
因为，
令，
则，即，
则在上恒成立，
当或，由有或，
由有，
综上，当时，的递增区间是，
当或时，的递增区间是，递减区间是
；
（2）令，
当时，则
，
因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，
当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，
又a<1时,，
取x=,则即，
又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.
【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．。