结构力学——三铰拱

0 FBy
FAx f P1 (l1 a1 ) FAyl1 0
0 MC FBx FH f
X 0
FAx
FAyl1 P 1 (l1 a1 ) f
第二节
1
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析 关于反力
竖向荷载作用下拱反力计算
FAy=YAy0 FBy=YBy0 FAx=FBx =FH FH= MC0 / f
• 拱的竖向反力与其相应简支梁 的竖向反力相等； • 水平反力只与三个铰的位置有 关而与拱轴线形状无关; • 荷载与跨度一定时，水平推力 与矢高成反比，且总是正的。 • 该组结论仅适合于平拱，且承 受竖向荷载。
二、内力的计算
P FSkMk
y a1
a2 kk yk xk l1 l C
b1 P2
b2
mB 0
FAyl P b P2b2 0 1 1
P b P2b2 1 1 FAy l Pi bi 0 FAy l
mA 0
FBy
B
C
P2
f
A
FAx
FAy
l1
l P1 A C
l2
x
B
FBx
FBy
P2
mc 0
P a i i FB0y l
FA0y
A
k k
P1 k C
P2
B
0 FBy
FA0y
FS k FAy cos k P cos k FH sin k FN k FAy sin k P1 sin k FH cos k 1
M k0 FH yk
0
cosk FH sin k FAy P 1
0 S3

6
2
40
4N.m)
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
曲拱计算步骤：
• 利用平衡方程求出拱的约束反力； • 绘制代梁的弯矩图和剪力图； • 利用拱的曲线方程计算拟求截面的位置（x,y, φ ）； • 代入拱内力计算公式计算该截面内力。
几点说明：
• 所求截面转角，实质是求相关函数（sin φ 和 cos φ 值），可 利用三角边的关系求出； • 顶铰左右部分截面转角分正负； • 集中力作用点剪力图和轴力图有突变，应给予注意。
常使用拉杆布置）
第四节
三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为 与该荷载对应的合理拱轴
M M FH y 0
0
M M y f 0 FH MC
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在荷载、跨度、矢高给定时，FH是一个常数.∴合理拱轴线与 相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例。在荷载、 跨度给定时，合理拱轴线随 f 的不同而有多条,不是唯一的。
作业：
三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
3kN/m 10kN ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ C D 4f y ( x ) 2 x (l x) l A B
6m 3m 3m
4m
带拉杆的拱： 在屋架中，为 消除水平推力 对墙或柱的影 响，在两支座 间增加一拉杆， 由拉杆来承担 水平推力
第一节
三铰拱的组成和类型
3. 三铰拱的分类
三铰拱
两铰拱
拉杆拱1
无铰拱
拉杆拱2
斜拱
第一节
FP
三铰拱的组成和类型
4. 三铰拱的受力特点
曲梁
FP
拱
拱的基本特点是在 竖向荷载作用下会 产生水平推力，从 而大大减小拱内弯 矩。水平推力的存 在与否是区别拱与 梁的主要标志。
由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲 线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制， 总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
y 4f x l x l2
计算其反力并绘制内力图
q=2kN· m
[解] 1、支座反力计算 C FP=8kN B FBy
关于内力
0 y M M 1 0 FS 0 cos sin FS F 0 sin cos F N H
0
• 三铰拱的内力不但与荷载及三个 铰的位置有关，而且与拱轴线的 形状有关； • 由于推力的存在，拱的弯矩比相 应简支梁的弯矩要小; • 三铰拱在竖向荷载作用下内力轴 压为主; • 公式是以左半跨推导的，对右半 跨取角度为负即可；
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1 0 y M 0 FS 0 cos sin FS 0 sin cos F H FN
FS k cos k FH sin k
0
0 sin k FH cosk FAy P 1
FS k sin k FH cos k
0
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算

FSK
由
FP1
FAx FAy
第三部分
学习内容
三铰拱
三铰拱的组成特点及其优缺点； 三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制； 三铰拱的合理拱轴线。
学习目的和要求
目的：实际工程中拱的形式越来越多，了解拱的受力特性， 对指导设计和结构选型是非常必要的。
要求：熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。
了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征。
A
4m
f=4m l=16m
B
y3 3
1 tan 3 2
14
q=2kN· m
FP2=8kN
0 M3 M3 FH y 4 kN m
FS 3 F cos FH sin 0 kN 30 0 FN 3 FS3 sin FH cos kN 5
力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱的 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布 较均匀。 拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混
凝土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较高；
拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力，
A FAy FAx
f=4m l=16m FBx
FAy 14 kN
FBy 10 kN
FAx FAy FH 12kN
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
q=2kN· m 3 C FP=8kN
[解] 2、求截面 3 内力
4f y 2 x(l x ) l dy 4 f 2 (l 2 x ) dx l
第三节
竖向荷载作用下三铰拱的内力特点
36
绘弯矩图
40 48
40
0 MK
FH y
0 MK MK FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加的结果（注意是竖标的叠加，
或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三
铰拱弯矩下降的原因完全是由于推力造成的。
三铰拱在竖向荷载作用下的弯矩由两部分组成，水平反
0
• 内力图均不再为直线； • 集中力作用处，剪力图将发 生突变； • 集中力偶作用处，弯矩图将 发生突变； • 上述公式仅适合于平拱，且 承受竖向荷载情况； • 拱的内力仍然有FS=dM/ds
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算 3 拱的内力图
第四节
三铰拱的合理轴线
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷载
),求其合理拱轴线形状。 q f l q
x
0
1 0 MC ql 2 8
FH
1 2 ql 8f
ql2/8
M图
1 1 2 1 M qlx qx qx( l x ) 2 2 2 4f y 2 x(l x ) l
赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。
第一节
三铰拱的组成和类型
1、工程上使用的拱结构实例
三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨度结构上用料 比梁省，因而在桥梁和屋盖中广泛应用。
第一节
三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
拱顶 拱轴 拱趾
起拱线
矢高f
拱趾
拱跨L
第一节
三铰拱的组成和类型
2. 三铰拱的构成
FNk
P1
FH
FH A
FAy
f
FAy
0 FS k FAy P 1 0 0 k 0 Ay
k k
l2
x
B FH
FBy
xk a1 M F xk P 1 M F x P x a F y F x P x a F y
k Ay 0 Ay 1 1 k k 1 1 H H
第二节
竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
当两支座在同一水平线上时，称为等高拱或平拱，否 则称为斜拱。分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对比，以便于计 算和对比分析拱的受力性质。 C FP1 FP2 f A B l
FP1 FP2
1
y
竖向荷载作用下拱反力计算
a2 a1 P1 b1 b2
KM K A

FNK n
由
m
K
0
0 MK MK FH y