人教版数学八年级上册 等边三角形

这个定理该怎么写过程呢？
∵在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°， ∴
例题 下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱 BC、 DE 垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC 、 DE 要多长?
答案：3.7m，1.85m．
练习 在Rt△ABC 中，∠C =90° ，∠B=2∠A ，∠B 和∠A各是多少度 ，边AB 和BC 之间有什么关系？
∵∠B=60°
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
归纳
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
方法一
方法二
方法三
三边相等的 三角相等的 三角形是等 三角形是等 边三角形 边三角形
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
例题
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D ，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 想一想，还有其他证法吗？
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC ∵BA=BC，EA=EC ∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC ∵CA=CB，AF=BF ∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
结论
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B=∠C， ∴BC =AC =AB（等角对等边）， ∴△ABC 是等边三角形．
思考 三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形
除此之外还有没有其他判定方法呢？ 我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，
构造含30°的直角三角形 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN交BC 于M，交AB 于N．求证：CM=2BM． 提示：连接AM．
构造含30°的直角三角形 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，EF 垂直平分AC 且交BC 于F．求证：BF＝2CF．
你能用学过的方法证明吗?
证明
如图，已知△ABC ≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC =∠DAC =30°．求证：
证明：∵△ABC≌△ADC， ∴AB＝AD， BC=CD， 又∵∠BAC=∠DAC=30° ∴∠BAD= 60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD=AB， 还有别的证法吗？ ∴BC＝DC＝
等边与全等综合 如图，在等边△ABC 中，AC=9，点 O 在 AB 上，且 BO=3 ，点 P 是 BC 上一动点，连结 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时 针旋转 60° 得到线段 OD．要使点 D 恰好落在 AC 上，则 BP 的长是_____． 提示：先画出示意图，然后证明△BOP ≌△ADO． 答案：6．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的方 向延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
练习 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC 的周 长为_______．
答案：9cm．
练习 △ABC 是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°， 则BC =_______．
答案：5cm．
练习 如图，D、E、F分别是等边三角形ABC 三边上三点， 且AD=BE=CF．试问：△DEF 是什么三角形？
直角边是斜边的一半 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC= 求证：∠A=30°． 提示：延长BC 至D，使得CD=BC，连接AD．
AB．
总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．
答案：60°，30°；AB=2BC．
练习 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为________．
答案：5．
练习 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4 ．则BD =______ .
答案：1．
练习 如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的延 长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
练习 如图：已知 在△ABC 中，∠A=30°， ∠C =90°，BD 平分 ∠ABC．求证：AD=2DC．
提示：证明∠DAC=30°．
等边共顶点
已知：如图，B，O，C 三点在一条直线上，△AOB 和△COD都 是等边三角形，AC，BD 交于点 E . 求证：（1）AC =BD；（2）∠AEB=60°． 提示：证明△AOC ≌△BOD．
简而言之，等边三角形 每一边上的三线都合一
归纳
等边三角形有都有哪些性质呢？
边
角
对称性
三边相等
三角相等 都等于60°
三边上都有 三线合一
练习 如图，等边三角形ABC中，BD 是 AC 边上的中线，BD=BE ，则∠EDA的度数是________．
答案：15°．
练习 如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC 于 C．求证：△DAC 是等腰三角形．
提示：证明∠DAC =∠DCA．
练习 如图，已知，△ABC 是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长 BC到E．使CE=CD，求DE长．
提示：证明BD=DE．
思考 你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？ 可以利用定义，证明它的三边相等 除此之外，还有没有其他办法呢？ 证明它三角相等行不行呢？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
等边共顶点 如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，连接BD、AE，且BD 交AC 于F、AE 交CD 于H，连接FH． （1）求证：BD＝AE； 提示：证明△BCD ≌△ACE．
总结：等边共顶点就会有边角边全等．
等边共顶点 如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，连接BD、AE，且BD 交AC 于F、AE交CD 于H，连接FH． （2）求证：CF＝CH； （3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．
猜想 图形
结合等腰三角形的性质， 你能填出等边三角形对应的结论吗？
Hale Waihona Puke 边角轴对称图形
两边相等 两底角相等
三边相等
三角相等 都等于60°
底边上的 三线合一
三边的 三线合一
证明
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60°
已知：△ABC 是等边三角形．求证：∠A =∠B =∠C=60°． 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC，BC =AB．∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ ∠A +∠B +∠C =180°， ∴ ∠A =60°． ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
证明：∵∠A=60°， ∴∠B+∠C =120°． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C =60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
证明
再证60°角是等腰三角形的底角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
提示：连接AF．
构造含30°的直角三角形 如图在△ ABC 中， AB=AC =2a，∠ABC =∠ACB=15°， 求△ABC 的面积．
提示：作出AB边上的高．
构造含30°的直角三角形 腰长为 2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______． 提示：作出底边上的高．
答案：1．
等边与全等综合 如图，△ABC 为等边三角形，D，E 两点分别在 BC，AC 边上 ，AE=AD，AD，BE 相交点于 P，BQ⊥AD 于点 Q，若PQ=3 ，PE=1，求 AD 的长．
提示1：证明△ACD ≌△BAE． 提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．
等边与全等综合
已知：如图，在等边△ABC 中，D、E分别为BC、AC上的点 ，且AE=CD，连结AD、BE 交于点P，作BQ⊥AD 于Q， 求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．
提示1：证明△ABD ≌△BCE． 提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．
等边三角形
知识回顾 图形
性质
等边对等角 三线合一
判定 等角对等边
知识回顾 满足什么条件的三角形是等边三角形？
等边三角形也叫 正三角形
三边都相等的三角形是等边三角形
探究
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：
两腰相等
从角的角度：
等边对等角
从对称的角度： 三线合一
将等腰三角形的性质用于等边三角形， 你能得到什么结论？
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴．