第6课 正态分布 概率论要点
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3. 正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这 一公式被认为是正态分布的首次露面. 十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态 分布，所以通常称为高斯分布. 定义3 若连续型随ห้องสมุดไป่ตู้变量 X 的概率密度函数为
f ( x)
其中 - < <+ , > 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的正态分布， 记为 X～N( , 2 ).
1 e 2
( x )2 2 2
, x
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布密度的性质
(2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 决定图形的中心位置; 且关于 x f对称， 且 f (μ += c)= (μ-c) 故 f (x)以μ为对称轴， 1 (3对密度函数求导： ) 密度曲线 y = f (x) 有拐点 ( , ); e) 2 ( x ) (x (x ) ( ) ( ) 2 x x 1 (4当 )f f (x ) x 轴为水平渐近线 0+, ; e e2 2 (x x ) 以 (e f 2 ) → ∞时， ( x ) → 3 2 2 2 2 2 2 2 ( x ) ( x 即曲线 y =N f( )1向左右伸展时 , 越来越贴近 x): 轴. 正态分布 (x , )的密度函数图形的特点 ( ) x 2 2 f ( x ) [e e ] 2 3 2 ,左右对称的 “峰” 状 两头低, 中间高 ( x ) 1 2 ( x )2 ] e 2 [ =0， 若固定 ，改变 的值， f ( ) , 反之亦然， 2 决定了图形中峰的陡峭程度 x =μ σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标.
决定了图形的中心位置
用上海99年降雨量的数据画出了频 率直方图. 从直方图，我们可以初步 看出, 年降雨量近似服从正态分布. 下面是我们用某大学男大学生的身 高的数据画出的频率直方图. 可见, 男大学生的身高应服从正态分布.
拟合的正态 密度曲线 在自然现象和社会现象中大量的随机变
量都服从或者近似服从正态分布. 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男 子的身高、体重外,正常条件下各种产品的 质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度； 电子元器件的信号噪声、电压、电流； 农作物的产量，小麦的穗长、株高； 射击目标的水平或垂直偏差，测量误差， 生物学中同一群体的形态指标， 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从 或近似服从正态分布. 有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质.
例6 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布，写出 X 的概率密度，并求该地区明年 8 月份降雨量 超过250mm的概率. ( x 185) 2 1 2 f ( x ) e 2282 , x 解 ∵ X～N (185 , 28 )， 28 2 所求概率为 P(X > 250) = 1- P(X 250) 1 ( 250 185 ) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 .
若影响某一数量指标的随机因素很多， 每一因素独立， 但每个因素 所起的作用不大. 服从正态分布
正态分布的分布函数 若随机变量 X ～N( , 2 )， 则
f ( x) 1 2
( x )2 e 2 2
,
x
X 的分布函数 1 F ( x) 2
2
( x )
( x) 1 2
e
x
2 t 2
d t， x
得其值
？ ( x ) 1 ( x)
x
x
例5 设 X～N(0 , 1 )， 求 P(X < 0. 5), P(X > 2. 5)及 P(-1.64 X < 0.82). 查表得 解 P(X < 0. 5)= F(0. 5) = 0. 6915 ; P(X > 2. 5)= 1-(2. 5) = 1 - 0. 9938 = 0. 0062 ; P(-1.64 X < 0.82) = (0. 82)- (-1. 64) = (0. 82)-[1- (1. 64)] = 0. 7434 ; s t d t ds 设 X～N ( , 2 )， 2 (t ) x x s2 1 1 2 x 2 d t = F ( x) e 2 ( ). d s e = 2 2 X Y 即若 X ～N( , 2 ) Y ~ N(0, 1) 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都 可以通过线性变换转化为标准正态分布. 只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决正态分 a ) b a 布的概率计算问题. P (a X b) Y P (( b ) ( ) ) P ( X b) ( b
e
x
( t )2 2 2
dt , x
下面我们介绍一种最重要的正态分布 ——标准正态分布 = 0 , = 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x)表示： 1 x ( x) e 2, x 2 可查表
2
2
2
1 e , x 2 (1) 在 x = 处取到最大值 f ( ) 1 ; 2 f ( x)
( x )2 2 2
令 x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
若固定 ，改变 的值，则密度曲线左右整体平移.
f ( x)
其中 - < <+ , > 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的正态分布， 记为 X～N( , 2 ).
1 e 2
( x )2 2 2
, x
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布密度的性质
(2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方, f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 决定图形的中心位置; 且关于 x f对称， 且 f (μ += c)= (μ-c) 故 f (x)以μ为对称轴， 1 (3对密度函数求导： ) 密度曲线 y = f (x) 有拐点 ( , ); e) 2 ( x ) (x (x ) ( ) ( ) 2 x x 1 (4当 )f f (x ) x 轴为水平渐近线 0+, ; e e2 2 (x x ) 以 (e f 2 ) → ∞时， ( x ) → 3 2 2 2 2 2 2 2 ( x ) ( x 即曲线 y =N f( )1向左右伸展时 , 越来越贴近 x): 轴. 正态分布 (x , )的密度函数图形的特点 ( ) x 2 2 f ( x ) [e e ] 2 3 2 ,左右对称的 “峰” 状 两头低, 中间高 ( x ) 1 2 ( x )2 ] e 2 [ =0， 若固定 ，改变 的值， f ( ) , 反之亦然， 2 决定了图形中峰的陡峭程度 x =μ σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标.
决定了图形的中心位置
用上海99年降雨量的数据画出了频 率直方图. 从直方图，我们可以初步 看出, 年降雨量近似服从正态分布. 下面是我们用某大学男大学生的身 高的数据画出的频率直方图. 可见, 男大学生的身高应服从正态分布.
拟合的正态 密度曲线 在自然现象和社会现象中大量的随机变
量都服从或者近似服从正态分布. 除了上面提到的年降雨量和某地区成年男 子的身高、体重外,正常条件下各种产品的 质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度； 电子元器件的信号噪声、电压、电流； 农作物的产量，小麦的穗长、株高； 射击目标的水平或垂直偏差，测量误差， 生物学中同一群体的形态指标， 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从 或近似服从正态分布. 有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质.
例6 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布，写出 X 的概率密度，并求该地区明年 8 月份降雨量 超过250mm的概率. ( x 185) 2 1 2 f ( x ) e 2282 , x 解 ∵ X～N (185 , 28 )， 28 2 所求概率为 P(X > 250) = 1- P(X 250) 1 ( 250 185 ) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 .
若影响某一数量指标的随机因素很多， 每一因素独立， 但每个因素 所起的作用不大. 服从正态分布
正态分布的分布函数 若随机变量 X ～N( , 2 )， 则
f ( x) 1 2
( x )2 e 2 2
,
x
X 的分布函数 1 F ( x) 2
2
( x )
( x) 1 2
e
x
2 t 2
d t， x
得其值
？ ( x ) 1 ( x)
x
x
例5 设 X～N(0 , 1 )， 求 P(X < 0. 5), P(X > 2. 5)及 P(-1.64 X < 0.82). 查表得 解 P(X < 0. 5)= F(0. 5) = 0. 6915 ; P(X > 2. 5)= 1-(2. 5) = 1 - 0. 9938 = 0. 0062 ; P(-1.64 X < 0.82) = (0. 82)- (-1. 64) = (0. 82)-[1- (1. 64)] = 0. 7434 ; s t d t ds 设 X～N ( , 2 )， 2 (t ) x x s2 1 1 2 x 2 d t = F ( x) e 2 ( ). d s e = 2 2 X Y 即若 X ～N( , 2 ) Y ~ N(0, 1) 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都 可以通过线性变换转化为标准正态分布. 只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决正态分 a ) b a 布的概率计算问题. P (a X b) Y P (( b ) ( ) ) P ( X b) ( b
e
x
( t )2 2 2
dt , x
下面我们介绍一种最重要的正态分布 ——标准正态分布 = 0 , = 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x)表示： 1 x ( x) e 2, x 2 可查表
2
2
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1 e , x 2 (1) 在 x = 处取到最大值 f ( ) 1 ; 2 f ( x)
( x )2 2 2
令 x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可得
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2
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若固定 ，改变 的值，则密度曲线左右整体平移.