多变量控制2.2 多项式矩阵
多变量控制系统分析与设计
S(g)的特征值与G(s)的特征值是相互蕴含的，当s为闭环频率矩阵S(g)的特征值时，对应的g便是开环增益矩阵G(s)的特征值。反之亦然。这种严格对偶与相互蕴合关系，构成了将经典的单回路额率响应法推广到多变量系统的理论基础。
则称系统(4-5)BIBO稳定。
BIBO稳定性(有界输入-有界输出)
(4-5)
系统(4-5)的输出向量y(t)也有界，即满足：
4
3
65Biblioteka 系统稳定性的基本概念(二)
系统的外部稳定性
[定理4-4] 当且仅当G(s)的所有极点均位于左半开平面上时，系统BIBO 稳定。
系统稳定性考察
解
由于存在右半平面上的特征值s2＝1，故此系统不稳定，或者更严格地说，此系统的零输入响应在平衡点X*＝0处不稳定。
奈氏阵列稳定性判据(续)
奈氏阵列稳定性判据(续)
奈氏阵列稳定性判据(续)
【定理4-16】(INA稳定性判据) 若 和 在Nyquist D围线上均对角优势，则闭环系统稳定的充分必要条件是:其中 为 的对角线元素，p0为开环不稳定的极点数。
【推论】 行(列)对角优势矩阵的所有行(列)的Gershgorin圆不包含原点。反之，如果所有行(列)Gershgorin圆都不包含原点，则矩阵必有行(列)对角优势。
【推论】 对角优势矩阵没有零待征值。
奈氏阵列稳定性判据(续)
根据Gershgorin定理，当s取D围线上的某一点，z(s)的特征值处在以zii(s)为圆心,以 为半径的m个圆组成的并集内。我们把这m个圆称为z(s)的行Gershgorin圆，当s沿Nyquist D围线变化一周时，z(s)的m个行Gershgorin圆形成的m条带称为Gershgorin带。
现代控制技术考试必考的问答题
现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系 统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性 代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。 所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性， 而且揭示了系统的内部状态和性能。 现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭 示其内在规律的基础上， 实现系统在某种意义上的控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性 系统理论、建模和系统辨识、最优滤波理论、最优控制、自适应控制。 二、最优控制理论的方法： 现代控制理论的方法本质是一种时域方法， 它是建立在状态变量描述方法基 础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优 控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。 三、分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标： 性能指标在数学上成为泛函， 经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、 阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。 现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量，使系统的 输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和 线性伺服器。 假定状态方程： x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) ， x(t0 ) x0 寻求最优控制 u(t ) ，使性能指标达到极小值
二十，经典控制与现代控制理论的区别 经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论， 系统的设计是建立在某 种近似或试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性定常系统、分析方 法是频域特性分析法， 根轨迹分析法， 采用的控制策略有 PID 控制、 反馈控制等， 这种控制理论不能实现最优控制。 现代控制理论是建立在状态空间上的一种控制方法， 控制的数学模型一般是 状态方程，系统的的分析与设计是精确的，控制对象可以使单输入单输出、多输 入多输出、线性定常系统、非线性定常系统、连续控制系统、离散或数字控制系 统，采用的控制策略有状态反馈、输出反馈、极点配置等，这种控制理论可以实 现最优控制。 二十一，建立数学模型的方法 即对具体的对象， 应用相应的数学和物理的原理以及定律， 列写对象满足的 物理方程， 选取合适的状态变量和输出变量，将对象的物理方程转化为状态空间 表达式的标准形式。 二十二，自适应控制定义以及分类 （1）、定义：自适应控制的基本思想，是通过在线辨识或某种算法使这种 不确定或变化的影响逐渐降低以至消除，它修正控制器自己的特性，以适应对象 和扰动的动态特性变化。 其研究对象是具有一定程度不确定性的系统，能够修正 自身特性以适应对象和扰动变化的控制器称为自适应控制器， 自适应控制是主动去适应这些系统或环境的变化,而其它控制方法是被动地、 以不变应万变地靠系统本身设计时所考虑的稳定性裕量或鲁棒性克服或降低这 些变化所带来的对系统稳定性和性能指标的影响 (2）、分类：典型的自适应控制包括模型参考自适应控制和自校正控制 二十三、 典型的自适应控制包括模型参考自适应控制 MARC 和自校正控制 STC (1）、自校正控制 STC——用递推辨识算法辨识系统参数，然后根据系统运 行指标来确定调节器或控制器参数； 自校正控制系统与其它自适应控制系统的区 别为其有一显性进行系统辨识和控制器参数计算 (或设计)的环节这一显著特征； 一般情况下自校正控制仅适用于离散随机控制系统， 在有些情况下也可用于混合 自适应控制系统。
第11章线性系统的多项式矩阵描述解析
强调：广义状态变量必须是独立的。对于方程中的 某个储能参数若多次引用，必须给予恰当处理。
例如若将电容C2两端短路，则
(L1s
1 C1s
)1
(s)
1 C1s
1
(s)
(
1 C1s
1 C1s L2s
2 (s) R1)2
U(s) (s)
0
仍按上面整理得：
3s2 1 1
6s2
1 3s
1 (s)
R(s)P1 (s)Q(s) W(s) C(sI A)1 B E
注意PMD的实现具有强不唯一性，结果不唯一，实 现的维数也不唯一。
二.构造PMD的实现方法
构造PMD的实现是基于矩阵分式描述MFD的规范 形，能控形，能观测类实现而建立的。含义是指 PMD的传递函数矩阵G(s)中包含的一个MFD的实 现，称为PMD实现的内核。
n degdetP(s)
4.由(Ao , Bo , Co )导 出PMD的 实 现(A, B, C, E) 直接取定 A Ao,B Bo
1
2
(s)
3s
0
U(s)
degdetP(s)=4，产生系统升级错误的原因是化 简过程中电容C1进行了两次通分运算。
若 将(1)式 改 写为
1 C1s
1
(s)
1 C1s
2
(s)
U(s)
L1s1
(s)
代 入(2)得
- U(s) L1s1(s) (L2s R1)2 (s) 0
3s2 1 1
3.对Pr-1(s)Qr (s)构 造 观 测 器 形 实 现(A o , Bo , Co ) 对 严 真Pr-1 (s)Qr (s),Pr (s)行 既 约 ， 构 造 观 测 器 形实 现(A o , Bo , Co )
Lecture 3 - 多变量动态矩阵控制算法
MATLAB编程 编程
作阶跃响应（ 作阶跃响应（粗）
step(system);
分析阶跃响应曲线，确定截断时间、 分析阶跃响应曲线，确定截断时间、采样周期和模型长度
截断时间 tend= 8 模型长度 N = 40 采样周期 Ts=0.2
作阶跃响应
stepresp=step(plant,[T:T:tend]);
13
入口
单变量DMC算法在线计算 算法在线计算(1) 单变量 算法在线计算
检测实际输出 y 并计算误差 y - y(1) → e 预测值校正 y (i ) + hi e → y (i ), i = 1,L , N
DMC在线计算流程
移位设置该时刻初值 y (i + 1) → y (i ), i = 1,L , N 设置控制增量 ∑ i=1 di (w − y(i)) → ∆u
A ∆uM ( k )
P 维预测输出值
P 维初始预测值
历史信息 每一时刻信息已知 动态更新
P×M 维动态矩阵A
模型信息
M 维控制增量
未来输入
离线辨识获得 在线优化获得 一旦确定保持不变
7
单变量DMC (2) 单变量
2. 目标函数
% J (k ) = ∑ qi [ w(k + i ) − yM (k + i | k ) ] + ∑ rj ∆u 2 (k + j − 1)
plant =
3.574e-006 z^3 + 3.912e-005 z^2 + 3.9e-005 z + 3.539e-006 ------------------------------------------------------------------------------------------z^4 - 3.957 z^3 + 5.898 z^2 - 3.925 z + 0.9841
第一部分 多项式矩阵理论
第一部分：多项式矩阵理论
引言
互 质 性 1
MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为 如下“分式”形式： N ( s)
G ( s ) ( g ij ( c ) ) pq
D( s )
其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。 互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。 互质性可分为右互质性和左互质性。 右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。 左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。
右互质。
D(s) 矩阵 对所有s列满秩 N ( s)
右互质的秩判据：
右互质贝左特等式：
存在多项式矩阵X(s)和Y(s), 使得：
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I(单位阵），反之亦然。
列既约性的定义：
给定方非奇异多项式矩阵M(s)
既 约 性 2
ci M(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。
称M(s)为列既约的，当且仅当：
其行列式的次数等于其所有列次数的和，即
deg det M ( s ) ci M ( s)
i 1
p
第一部分：多项式矩阵理论
列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为：
单位矩阵I 初等矩阵E
初等变换
矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E 矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E
第一部分：多项式矩阵理论
单模矩阵定义：
称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c 为独立于s的非零常数。 例1：非奇异的常数矩阵 s 1 s 2 例2： Q( s )
s kc 1 Sc ( s ) p p
第十一章-线性系统的多项式矩阵描述
第十一章 线性时不变系统的多项式矩阵描述多项式矩阵描述方法是20世纪60年代中期由英国学者(H. H. Rosonbrock)提出来的。
首先多项式矩阵描述是对系统描述方法的一个丰富；其次多项式矩阵描述是对线性时不变系统更为普遍的一种描述；再者多项式矩阵描述为将来研究广义系统奠定了基础。
11.1 多项式矩阵描述多项式矩阵描述（Polynomial Matrix Descriptions ，PMD ）是除了线性系统的三种原有的描述方式：状态空间描述、传递函数矩阵描述和矩阵分式描述以外，一种新的描述方法。
例如：下图所示的系统：我们取两个回路电流12, i i 作为描述系统的变量；以最右边的电感两端的电压作为系统的输出ui i dt didti d 369211212=-++ 0436222221=+++-i dt didt i d i （11.1）2()2di y t dt= 引入微分算子：222()()(), ()dx t d x t dx t d x t dt dt将式（11.1）表示如下： 21221212(961)()()3()()(634)()0()0()2()0()d d i t i t du t i t d d i t y t i t di t u t ++-=-+++==++ （11.2）将上式写成矩阵形式：[][]212212()39611()()01634()()020()()i t d d d u t i t d d i t y t d u t i t ⎡⎤++-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ （11.3）一般地我们有：()()()()P d t Q d u t ζ=()()()()()y t R d t W d u t ζ=+ （11.4）(),(),()()P Q R W ⋅⋅⋅⋅和分别为, , , m m m p q m q p ⨯⨯⨯⨯的微分算子多项式矩阵。
线性多变量系统线性系统理论完整
x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法 2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
现代控制理论 第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述
2021/4/27
7
（3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1(s)P(s) (s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
再消去H 1(s)P(s)和R(s)的gcrd F (s) ,即做代换
(s) F (s) (s)
2021/4/27
8
5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s)F (s) (s) W (s)u(s) 设 (s) F (s) (s),则
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
则:{系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消 {系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
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5.4 传输零点和解耦零点
• 一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是 等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
2.多项式矩阵
1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
2
2
0
2 3 2 0
2
2 2 0 0
2
0 1 3 3 3 1 2
0
0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
多变量系统的矩阵分式描述.pdf
第八章 多变量系统的矩阵分式描述多项式矩阵定义：m ×n 矩阵()s A 的元素()ij a s (i=1，…,m;j=1,…n )是变s 的多项式，称()s A 为多项式矩阵。
记为1111()()()()()n m mn a s a s s a s a s ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Α)(s a ij 的最高次数N 称为()s A 的次数，记为)]}({deg[max ,,s a N j i ji =)(s A 可写成降幂形式的矩阵多项式 1110()N N N N s −−=++++A A S A S A S A式中),1,0(N k k =A 是n m ×常数矩阵。
1）单模矩阵对于多项式矩阵()s A ，当det ()s =A 非零常数时，其1()s −A 仍为多项式矩阵时，称()s A 为单模矩阵。
单模矩阵有如下的性质：a) 单模矩阵的乘积仍为单模矩阵； b) 单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；c) 所有单模矩阵均可表示成有限个初等变换的乘积的形式。
2）Smith 标准形任意秩为r 的多项式矩阵)(s A 经过行、列运算均等价于下列Smith 标准形)(s S12*()()()()()()()()r s s s s s s s s γγγ0S 0S P A Q 0000 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中rank ()min(,)r s m n =≤A ；)(1s γ，)(2s γ，… ，)(s r γ是不恒为零的首一多项式，且)(1s i +γ可整除)(s i γ，即存在1()()i i s s γγ+。
3）多项式矩阵的最大公因子设多项式矩阵)(s A 为)(n m ×矩阵，若存在()()()s s s =A B D ，则称m 阶方阵)(s B 为)(s A 的左因子 若存在()()()s s s =A E C ，则称n 阶方阵)(s C 为)(s A 的右因子若)()()(11s s s M B M =，)()()(22s s s M B M =，[][])()()()()(2121s s s s s M M B M M =则)(s B 为[)(1s M )(2s M ]的左公因子)()()(11s s s C N N =，)()()(22s s s C N N =，)()()()()(2121s s s s s C N N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(s C 为[]TT T s s )()(21N N 的右公因子设)(s C 是)(s i N (=i 1，…，r )的一个右公因子，且)(s i N 的其他任何一个右公因子)(1s C 均为)(s C 的右因子，即)()()(1s s s C W C =，则称)(s C 是)(s i N 的一个最大右公因子，记为[]1()()()r s gcrd s s =C N N4）最大右公因子构造定理设1()s N 、)(2s N 分别为()n m ×1、()n m ×2矩阵，对[]TTT s s )()(21N N 作初等行变换，使其变换后矩阵的最后)(21n m m −+行恒为零，即1211112122122212()()()()()()()0nm m n m s s s s m s s s m m nn+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U N R U U N则式中)(s R 即为)(1s N 、)(2s N 的一个最大右公因子。
多项式矩阵理论
6.1 多项式及其互质性
1 多项式及其性质
以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(s)
d (s) dnsn dn1sn1 d1s d0 , s C, di R, i 0,1,2,n
❖ d(s) 的次数
：n = deg d(s)；
❖ d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn ≠ 0；
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s) a1n (s)
A(s)
am1(s) amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
第九章 多变量系统的多项式描述
氏列集内，即
m
∑ λ − aii ≤ di =
a ij
j =1
j≠i
m
或
∑ λ − aii
≤
d
' i
=
a ji
j =1 j≠i
i = 1,2,"m i = 1,2,"m
定理 若 m 阶有理分式矩阵 B(s) 在 D 上的是行（列）对角优势的， 则其 m 条行（列）格氏带均不包含原点。
10.3 多变量系统的奈氏稳定判据 奈氏判据是利用系统开环幅相频率特性曲线（奈氏轨迹）判断闭环系 统稳定性单变量系统
9.2 系统矩阵及其等价变换 将式（9.1）写成矩阵形式
⎡ P(s) ⎢⎣ − R( s)
Q(s) ⎤ W (s)⎥⎦
⎡ ξ(s) ⎤ ⎢⎣−u(s)⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣−
0⎤ y(s)⎥⎦
定义下列多项式矩阵
T
(s)
=
⎡ P(s) ⎢⎣ − R( s)
Q(s) ⎤ W (s)⎥⎦
为系统矩阵。
罗森布洛克意义下的严格系统等价
则称 A 为列对角优势矩阵。
行（列）对角优势不一定列（行）对角优势，二者统称为对角优势矩
阵。
对角阵是对角优势矩阵的特例。
称
d
i
为第
i
行的行估计，
d
' i
为第
i
列的列估计。
比值 di /
aii
、d
' i
/
aii
分别称为第 i 行、第 i 列的优势度，对角优势矩阵的
优势度小于 1。
10.2 格氏定理及相关推论
定义 任一 m 阶方阵 A ＝{ aij } (i, j = 1,2,", m) ，以对角元 aii 在复平面上 的对应的点为圆心，以第 i 行的行估计 di 为半径作圆，称为 A 的第 i 行 的行格氏圆。行格氏圆方程为
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
Lecture_7_-_多变量动态矩阵控制算法
T d11 L d1Tp 0 1 0 L 0 O D = L( AT QA + R ) −1 AT Q L L L L = T T 0 1 0 L 0 m×mM d m1 L d mp
阶跃响应已知且控制策略已定情况下，A, Q, R 均已知，D 中元 素可一次离线算出。
(1)
其中
ˆ ˆ yi ,1 ( k + 1| k ) yi ,0 ( k + 1| k ) ˆ (k ) = ˆ (k ) = Yi , N 1 M M , Yi , N 0 yi ,1 ( k + N | k ) yi ,0 ( k + N | k ) ˆ ˆ
% % ∆uM (k ) = ( AT QA + R ) −1 AT Q [ w(k ) − yP 0 (k )] ⇒ ∆uM (k ) = ( AT A)−1 AT [ w(k ) − yP 0 ( k ) ]
% a11 (1)∆u1 (k ) + L + a1m (1)∆um (k ) = w1 (k + 1) − y1,0 (k + 1| k ) M % a21 (1)∆u1 (k ) + L + a2 m (1)∆um (k ) = w2 (k + 1) − y2,0 (k + 1| k ) M % am1 (1)∆u1 (k ) + L + amm (1)∆um (k ) = wm (k + 1) − ym,0 (k + 1| k )
若各 u j 只有即时变化 ∆u j (k ) ， 则输出 yi 的预测
第9章 线性定常系统的多项式矩阵描述
( sI A) ( s) Bu( s) y( s) C ( s) D( s)u ( s)
(9 14)
其中， ξ(s) = x(s)为n×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为
P( s) ( sI A), Q( s) B W ( s ) D( s ) R( s ) C , (9 15)
P( s) Dl (s), Q(s) N l ( s) W ( s) E (s) R( s ) I ,
(9 18)
其中， ξ(s) = Dr-1(s)Nl(s)u(s)为q×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为
(9 19)
证 对Nr(s)Dr-1(s)+E(s)，可以导出 y(s) = [Nr(s)Dr-1(s)+E(s)]u(s) = Nr(s)Dr-1(s)I u(s) +E(s)u(s) (9-20) 将上式与PMD的传递函数矩阵(9-12)相比较，就可导出系数矩阵关系式(9-17) 。基于此，令ξ(s) = Dr-1(s)Iu(s)，可得式(9-16)。 类似地，可以证明式(9-18)。证毕。
Ax Bu x y Cx D( p)u (9 39)
的传递函数阵与式(9-38)所示PMD的传递函数阵相等，即 R(s)P-1(s)Q(s) + W(s) = C(sI - A)-1B + D(s) (9-40) 则，称式(9-39)为式(9-38)给出的PMD的一个实现。其中，D(s) = D(p)|p=s。 2 构造PMD实现的方法 对线性定常系统的PMD (P(s), Q(s), R(s), W(s))，表P-1(s)Q(s) = Pl-1(s)Ql(s) 1 1 P ，其中Pl(s)为行既约， l (s)Ql (s) P l (s)Ql (s) Y (s) ，而(Ao, Bo, Co)为严格真 Pl 1 (s)Ql (s) 的观测器型实现，则PMD的一个实现(A, B, C, D(p))为 A Ao , B Bo (9 58) C [ R( s)Co ]s A D( p ) D ( s ) | s p
循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制
第37卷 第4期沈 阳 化 工 大 学 学 报Vol.37 No.42023.08JOURNAL OF SHENYANG UNIVERSITY OF CHEMICAL TECHNOLOGYAug.2023收稿日期: 2023-05-16基金项目: 辽宁省高校科研计划一般项目(LQ 2020018);沈阳市科技计划项目(22-322-3-38);辽宁省研究生教育教学改革研究项目(LNYJG 2022172)作者简介: 李崇(1985—),男,辽宁铁岭人,讲师,博士,主要从事复杂工业过程建模与优化控制的研究.文章编号: 2095-2198(2023)04-0369-10循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制李 崇, 朱永平(沈阳化工大学信息工程学院,辽宁沈阳110142)摘 要: 循环流化床工业系统具有强非线性、多变量、强耦合和大滞后等特点,需要兼具多变量协同和解耦功能的控制系统设计.依据循环流化床工业系统多变量间的耦合关系,建立燃烧系统的传递函数矩阵模型,采用多变量二次动态矩阵控制策略,在预测控制框架内实现了控制回路的自解耦和多变量协同.仿真结果表明:设计的控制策略提高了循环流化床工业系统的动态响应和稳态行为.关键词: 循环流化床; 模型预测控制; 二次规划; 动态矩阵控制; 自解耦DOI :10.3969/j.issn.2095-2198.2023.04.012中图分类号: TK 229.66;TP 273 文献标识码: A 我国的能源结构以煤炭资源为主,绝大多数集中供热和发电过程以煤燃烧为主要能源供给,煤燃烧利用率低、污染严重两大问题是制约我国经济、社会可持续发展的关键因素[1].“流态化”燃烧技术具有燃料适应性广、低污染、高燃烧效率等多种优势,被认为是解决煤燃烧效率低、污染严重的有效技术手段.循环流化床锅炉作为“流态化”燃烧技术的主要载体,克服了传统锅炉燃烧过程脱硝和脱硫难度大的缺点,在集中供热、发电和固体废弃物处理等领域取得了迅速的发展和应用.循环流化床锅炉的建模与仿真技术运用基本方程和经验公式描述煤燃烧的反应动力学、流态化燃烧过程特性和传热传质规律等属性,借助计算机数值模拟实现整个锅炉系统和各部件子系统的物理、化学反应过程动态模拟,进而为锅炉的设计、运行、控制和故障诊断提供理论依据.马素霞等[2]基于循环流化床燃烧系统的动态特性,根据各变量间的阶跃响应曲线,建立了循环流化床传递函数矩阵模型.Kim 等[3]、徐志等[4]建立了适用于大型循环流化床锅炉的数学模型.Xu 等[5]基于流体动力学分析,建立了超临界循环流化床锅炉燃烧模型.Liu 等[6]采用欧拉多相流体力学方法,建立了一种新型气泡驱动气液固流化床流态化流体力学的综合流动模型.Peters 等[7]建立了中试循环流化床锅炉模型,通过仿真预测了温度和压力对负荷变化的影响.循环流化床锅炉炉膛系统的燃烧和传热过程模型具有强非线性、多变量、强耦合和大滞后的特点,增加了循环流化床锅炉控制系统设计的难度[8].于希宁等[9]提出了一种自适应模糊PID 循环流化床床温控制方法,将工况参数和控制器参数相结合,控制方案兼具了较强的参数自适应能力和较好的控制性能.童一飞等[10]提出了一种基于广义预测控制的多变量控制策略,实现了系统的动态控制和稳态优化.胡兴等[11]提出了一种循环流化床的模糊神经网络床温控制策略,满足控制器参数自适应调节的要求,提高了控制系统的性能.Zhu 等[12]提出了一种多模型预测滑模循环流化床床温控制,控制方案具备了依据工况适配控制器参数的功能,降低了滑模控制导致的系统抖振.Zhang 等[13]建立了亚临界循环 370 沈 阳 化 工 大 学 学 报 2023年流化床机组系统模型,采用动态矩阵控制策略,克服了机组的大时滞和惯性特性,实现了负荷变化条件下的快速响应.循环流化床锅炉燃烧系统具有多变量、有约束和强耦合的特点,常规的控制方案需要设计前馈补偿解耦器,并采用多控制回路实现系统的多变量控制目标.通常情况下,非线性耦合系统的解耦策略效果易对多变量控制目标造成较大的影响,存在超调和滞后现象的发生,影响了控制系统的响应速度和稳态行为.本文面向循环流化床锅炉燃烧系统的复杂特性,运用模型预测控制解决多变量有约束问题的技术优势,提出了循环流化床系统的多变量二次动态矩阵控制(quad⁃ratic dynamic matrix control ,QDMC )策略,该控制策略在实现控制回路自解耦的同时,能够实现系统的多变量协同控制,保证系统的动态响应和稳态行为.1 循环流化床燃烧系统建模1.1 循环流化床工作原理循环流化床锅炉是在特殊流体动力学条件下,燃烧化石燃料,进而产生蒸汽的设备.锅炉的燃烧室拥有大量的不可燃固体,这些固体被炉膛的高速燃烧气体提升和夹带[14].离开燃烧室的大部分固体被旋风分离器捕获,并以足够高的速率在燃烧室底部再循环,使燃烧室内的固体回流达到最低程度[15].循环流化床锅炉整体结构如图1所示.图1 循环流化床锅炉结构Fig.1 Structure diagram of circulating fluidizedbed boiler1.2 循环流化床燃烧系统机理模型循环流化床系统建模一般采用机理模型、传递函数矩阵模型和系统辨识模型3种形式.机理模型详细分析系统内部规律,依据反应动力学、能量守恒、质量平衡等原理描述系统内部诸多要素相互作用的运行规律.机理模型常用于反应过程动态模拟;传递函数矩阵模型以传递函数为基本单元,以矩阵形式描述输入向量对状态向量、输入向量对输出向量的传递关系,常用于多输入多输出控制系统的分析研究;系统辨识模型不需要了解系统内部的具体变化过程,以数据拟合的方式表征系统的输入输出关系,从而形成系统的数据驱动模型.在流体动力学模型和传热模型的基础上,根据质量守恒定律和能量守恒定律建立循环流化床燃烧系统的机理模型.模型假设如下:(1)密相区和稀相区的氧气、物料分布均匀;(2)挥发分在各区按照一定的比例释放并迅速燃烧.基于上述假设,循环流化床燃烧系统的数学模型可由公式(1)—(7)表示.d m Bd t=(1-β1γC )m CF +C 1-v C 1.(1)d m Fd t =C 2-v C 2(1-β1)m CF γC .(2)V 1d c O 21d t =(V O 2V m-c O 21)v F 1-v C 1M C-C 3.(3)V 2d c O 22d t =(V O 2V m -c O 22)v F 2+v F 1c O 21+v C 2M C+C 4.(4)d (m B c U T B +m x c x T B )d t =v F 1c A T A +β1m CF γV H V -(m E 1c U +v F c g +m d c U )T B +m CM c U T F +m CF c C T C +v C 1H C +C 5.(5)d (m F c U T F +m x c x T F )d t =(m E 1c U -v F 1c A )T B +(v F c g -m E 2c U )T F +(1-β1)m CF γV H V +v F 2c A T A +v C 2H C +C 6.(6) 第4期李 崇,等:循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制371 C 7d p md t=(h fw -d 1)v fw +{(d 1-τh m )[C 8(p m -C 9p C 10m )+C 11-h fw ]/(τh m -h fw )}·C 12μt (p m -C 9p C 10m )+k 0Q r .(7)其中:m B 、m F 分别为密相区、稀相区床料质量,kg ;β1为挥发物在密相区燃烧的比例份额;γC 为煤炭中的含碳量,%;m CF 为给煤量,kg ;V 1、V 2分别为密相区和稀相区体积(1表示密相区,2表示稀相区),m 3;c O 2为氧气浓度(1表示密相区,2表示稀相区),mol /m 3;V O 2为空气中氧气含量,%;V m 为空气摩尔体积常数,L /mol ;v F 为给风速率(1表示一次风,2表示二次风),m 3/s ;v C 为煤炭的燃烧速率(1表示密相区,2表示稀相区),kg /s ;M C 为碳的摩尔质量,kg /mol ;c U 为床料的比热容,J /(g ·K );T B 、T F 为密相区、稀相区的温度,K ;m x 为耐火材料管壁的质量,kg ;c x 为耐火材料的比热容,J /(g ·K );c C 为煤的比热容,J /(g ·K );m d 为排渣量,kg ;m CM 为循环物料量,kg ;T C 给煤量初始温度,K ;H V 为挥发分的热值,J /g ;m E 为扬析夹带量(1表示密相区,2表示稀相区),kg ;c A 为空气的比热容,kJ /(m 3·K );c g 为烟气的比热容,kJ /(m 3·K );H C 为煤的热值,J /g ;γV 为煤炭挥发分的含量,%;T A 为给风初始温度,K ;p m 为主蒸汽压力,MPa ;h fw 为给水焓值,J /g ;h m 为汽水分离器蒸汽焓值,J /g ;v fw 为给水流速,kg /s ;μt 为汽轮机调门开度,%;C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、C 12、d 1、τ为集总模型参数;k 0为热量增益;Q r 为换热量的总和,K .公式(1)—(6)中,各表达式的相关系数表示如下:C 1=m CM -m d .(8)C 2=m E 1-m E 2.(9)C 3=v V 1.(10)C 4=v V 2.(11)C 5=-Q W .(12)C 6=-Q W -Q H .(13)其中:v V 为挥发分燃烧耗氧速率(1表示密相区,2表示稀相区),kg /s ;Q W 为水冷壁的换热量,kJ ;Q H 为换热器的换热量,kJ.2 循环流化床传递函数矩阵模型的建立2.1 循环流化床锅炉变量耦合关系给煤速率、送风速率、物料循环量、床料厚度等因素都会影响循环流化床锅炉的床温.送风速率分为一次给风速率和二次给风速率,由于送风口位置的不同,两者对锅炉运行的影响也有差异[17].其中,一次给风速率对燃烧室床温、主蒸汽温度、压力的影响强于二次给风速率.表1描述了循环流化床锅炉的参数耦合关系.表1 循环流化床参数耦合关系Table 1 Coupling relationship of parametersincirculating fluidized bed速率燃烧室床温主蒸汽压力主蒸汽温度给煤速率强强中一次给风速率强强中2.2 循环流化床锅炉控制回路特性分析汽轮机主蒸汽压力的变化主要影响因素有水冷壁的吸热效率和汽轮机的阀门开度,在阀门开度保持不变的情况下,影响吸热效率的主要因素为给煤速率和一次给风速率.图2描述了循环流化床的控制回路关系.图2 循环流化床控制回路关系Fig.2 Control loop diagram of circulation fluidized bed 增加循环流化床锅炉的给煤速率,炉膛内的热量增加,床温升高,水冷壁吸收的热量增加,进而汽包内产生更多的蒸汽,从而使汽轮机主蒸汽压力升高[18].增加一次给风速率,进入炉膛的总风量增加,循环流化床炉膛内有更多的氧气供煤炭燃烧,气固紊合更加剧烈,煤粒的燃烧速率提高,放热量增加,水冷壁能够吸收的热量更多,进而提高主蒸汽压力[19].上述过程涉及煤粒燃烧、热量传递等过程,因此控制回路内也存在着明显 372 沈 阳 化 工 大 学 学 报 2023年的滞后特性.一次给风速率对循环流化床床温的影响较大,存在着复杂的影响效果.增加一次给风速率,一方面为炉膛提供充足的氧气;另一方面作为流化介质和空气介质,使得更多的烟气从密相区排出,带走更多的热量.但总的来说,增加一次给风速率,炉膛床温下降[20].2.3 循环流化床传递函数矩阵模型影响循环流化床锅炉床温的主要因素为一次给风速率和给煤速率,且主蒸汽压力和燃烧室床温存在强耦合关系.李丰泽[21]以某地循环流化床锅炉为研究对象,基于机理建模与现场数据试验验证,得到满负荷工况下各控制回路传递函数矩阵模型.笔者面向循环流化床锅炉燃烧系统建立传递函数矩阵模型为 T p ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=A 1A 2A 3A 4⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥v F v M⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥.(14)A 1=-11.8(1+163s )2e -30s(G 11),A 2=5.6(1+180s )2e -60s(G 12),A 3=3.3(1+150s )2e -40s(G 21),A 4=2.6(1+260s )2e -100s(G 22).其中:输出量T 、p 分别为床温、主蒸汽压力;输入量v F 、v M 分别为一次给风速率、给煤速率.经过实验验证,G 11近似为一次给风速率与床温之间的变化关系,与机理模型(5)、(6)中的一次给风速率和床温的变化趋势一致;G 12近似为给煤速率与床温之间的变化关系,与机理模型(5)、(6)中的给煤速率和床温的变化趋势一致;G 21近似为一次给风速率与主蒸汽压力之间的变化关系,与机理模型(5)、(6)、(7)中的一次给风速率和主蒸汽压力的变化趋势一致;G 22近似为给煤速率与主蒸汽压力之间的变化关系,与机理模型(5)、(6)、(7)中的给煤速率和主蒸汽压力的变化趋势一致.3 循环流化床燃烧系统的多变量二次动态矩阵控制3.1 循环流化床锅炉燃烧系统的前馈补偿解耦控制与自解耦预测控制 由机理模型分析可知,床温(T )控制回路同时受到一次给风速率(v F )和给煤速率(v M )变化的影响,一次给风速率(v F )和给煤速率(v M )的变化也会同时影响到主蒸汽压力(p )控制回路.常规的控制方案采用前馈补偿解耦控制来消除系统中各控制回路间的耦合关系,如图3(a )所示.笔者采用多变量二次动态矩阵控制策略可避免解耦器设计过程对多控制回路的负面影响,在实现控制回路自解耦的同时,保证控制系统的多变量协同,如图3(b )所示.其中r 1和r 2分别为床温控制回路和主蒸汽压力控制回路的输出目标参考值.图3 前馈补偿解耦与自解耦结构Fig.3 Structure diagrams of feed -forward decouplingscheme and self -decoupling scheme3.2 动态矩阵控制原理模型预测控制被认为是解决多变量有约束问题的标准技术手段,并成功应用于石油、化工和冶金等诸多领域.动态矩阵控制(dynamic ma⁃trix control ,DMC )算法作为模型预测控制的重 第4期李 崇,等:循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制373 要分支,已在上述工业过程控制领域得到广泛应用.多变量动态矩阵控制系统结构如图4所示.图4 多变量动态矩阵控制系统结构Fig.4 Structure diagram of multivariable dynamic matrix control system 假设被控系统有m 个输入量,n 个输出量.根据所建模型,可以得到每一个输出量y i 对应每一个输入量u j 的单位阶跃响应a ij (t ),动态矩阵控制的模型参数{a ij (1)…a ij (N )}(N 为建模时域)组成模型向量为a ij =[a ij (1)…a ij (N )]T ,i =1,…,n ;j =1,…,m .(15)(1)预测模型每个输入量的变化都会影响输出量,输出量的大小可以由单个输入量的影响叠加而成[22].假设在k 时刻,输入量u j 依次有控制时域M 个增量变化Δu j (k ),…,Δu j (k +M -1),经过计算可以得到y i 在预测时域P 个时刻的预测值~y i ,PM (k )=~y i ,P 0(k )+A ij Δu j ,M (k ),i =1,…,n ;j =1,…,m ;(16)A ij =a ij(1)0︙⋱a ij (M )…a ij (1)︙︙a ij(P )…a ij (P -M +1)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥,i =1,…,n ;j =1,…,m .(17)如果多个输入量u 1,…,u m 共同作用,输出量y i 可以由线性系统的叠加性质获得.假设从k 时刻起,M 个控制增量Δu j (k ),…,Δu j (k +M -1)作用于每个输入量u j ,则有~y i ,PM (k )=~y i ,P 0(k )+∑mj =1A ij Δu j ,M (k ),i =1,…,n ,j =1,…,m .(18)把全部的输出量y i 合并在一起,即可得到多变量系统的预测模型~y PM (k )=~y P 0(k )+A Δu M (k ).(19)(2)滚动优化在多变量系统的滚动优化过程中,控制时域内输入量的变化,使输出量在预测时域内快速跟随输出量的期望值w i .在性能指标中对控制量加入惩罚项,对控制量的变化加以约束.性能指标可以表示为min J (k )=‖w (k )-~y PM (k )‖2Q +‖Δu M (k )‖2R .(20)根据预测模型(19),计算得到最优的控制增量为驻u M (k )=(A T QA +R )-1A T Q [w (k )-~y P 0(k )].(21)即时控制增量为Δu (k )=D [w (k )-~y P 0(k )].(22)其中:D =L (A T QA +R )-1A T Q ,L 表示取后面矩阵的第1、M +1、…、(m -1)M +1行的运算矩阵;相对应的控制策略和阶跃响应已经确定,矩阵A 、Q 、R 已知,矩阵D 中的元素通过上述公式 374 沈 阳 化 工 大 学 学 报 2023年离线计算得到,在线只需要计算Δu j (k )、u j (k )就可以得到m 个对应输入量的即时控制量.Δu j (k )=∑Pi =1dTji[w i (k )-~y i ,P 0(k )],j =1,…,m .(23)u j (k )=u j (k -1)+Δu j (k ),j =1,…,m .(24)(3)反馈矫正模型误差、弱非线性和其他不确定因素,根据预测模型得到的最优控制律使系统输出不一定能够快速跟随期望值[23].控制系统在k 时刻被施加控制后,根据预测模型可以得到预测时域内预测输出值.每一时刻的实际输出值与对应时刻的预测值相互比较,即可得到误差向量e (k +1).e (k +1)=e 1(k +1)︙e P (k +1)⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=y 1(k +1)-~y1,1(k +1|k )︙y P (k +1)-~y P ,1(k +1|k )⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥.(25)利用加权算法对误差向量加权得到误差序列,并以此来修正预测模型[24].校正之后的校正预测向量为~y cor (k +1)=~y N 1(k )+He (k +1).(26)H =h 11…h 1P ︙︙h P 1…h PP ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,h ij =h ij (1)︙h ij (N )⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,i ,j =1,…,P .(27)下一时刻的预测向量~y N 0(k +1)可由前一时刻的校正预测向量~y cor (k +1)与移位矩阵S 0计算得到,即~y N 0(k +1)=S 0~y cor (k +1).(28)S 0=S 0⋱0S ⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,S =310︙⋱⋱010…01⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥.(29)3.3 二次动态矩阵控制二次动态矩阵控制算法基于被控对象数学模型的阶跃响应,利用预测模型、滚动优化和反馈校正在采样点的反复叠加实现多输入多输出系统的协同控制,保证了系统的自解耦特性,约束动态矩阵控制实质上是在滚动优化框架内求解标准的二次规划问题[25].首先,考虑控制输入量的约束条件,即u i ,min ≤u i (k )≤u i ,max ,i =1,…,n :(30)u i (k )=u i (k -1)+Δu i (k )+…+Δu i (k +M -1),i =1,…,m .(31)以向量形式表示为u min ≤u (k -1)+B Δu M (k )≤u max .(32)其中:B =diag (B 0,…,B 0),B 0=10…011⋱︙︙︙⋱011…1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(M ×M ).(33)其次,考虑控制增量的约束条件,即Δu i ,min ≤Δu i (k )≤Δu i ,max ,i =1,…,m .(34)以向量形式表示为Δu min ≤Δu M (k )≤Δu max .(35)同理,输出量的约束条件可以用向量形式表示为y min -~y P 0≤AΔu M (k )≤y max -~y P 0.(36)综上所述,考虑约束条件的性能指标公式为:min Δu M (k )J (k )=12驻u T M (k )H Δu T M (k )+f T Δu M (k ).(37)s.t.C Δu M (k )≤⎺c .(38)其中:H =2(A T QA +R ),f =-2A T Q [w (k )-~y P 0(k )].(39)C =C 1C 2C 3⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,⎺c =c 1c 2c 3⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥.(40)C 1=-B B ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,C 2=-I I ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,C 3=-A A ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥.(41)c 1=-u min +u (k -1)u max -u (k -1)⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,c 2=-Δu min Δu max ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,c 3=-y min +~y P 0(k )y max -~y P 0(k )⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥.(42) 第4期李 崇,等:循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制375 源摇循环流化床控制系统仿真基于MATLAB /Simulink 仿真平台,验证多变量二次动态矩阵控制算法在循环流化床锅炉系统中的有效性和可行性.QDMC 控制器参数:采样周期T s =5s ,预测时域P =120,控制时域M =2;DMC 控制器参数:采样周期T s =5s ,预测时域P =120,控制时域M =1.QDMC 和DMC 的误差权重矩阵、控制权重矩阵均按照单位对角阵取值.给煤速率(v M )的约束范围为[0,1000],一次给风速率(v F )的约束范围为[0,500],控制增量Δu (k )的约束范围为[-45,45].床温(T )的约束范围为[0,1200],主蒸汽压力(p )的约束范围为[0,1200].前馈补偿解耦PID 控制器采用MATLAB 仿真平台的PID 参数自整定功能实现参数自整定,调整方法采用transfer function based (PID Tuner App ),K P 1=0.1904,K I 1=0.0006,K D 1=13.8337;K P 2=0.7984,K I 2=0.0019,K D 2=57.6799.温度的设定点为900℃,主蒸汽压力的设定点为9.8MPa.在QDMC 控制器、DMC 控制器和前馈补偿解耦PID 控制器的作用下,循环流化床锅炉的床温和汽轮机主蒸汽压力系统响应曲线如图5和图6所示.图5 循环流化床床温响应曲线Fig.5 Temperature response curves of CFB 仿真结果表明:前馈补偿解耦PID 控制器的系统输出曲线存在一定程度的超调和滞后现象,原因在于前馈补偿解耦对多控制回路的负面影响;DMC 控制方案能够从一定程度上改善系统的响应速度和稳态精度,但仍存在一定的超调;QDMC 控制方案在保证系统响应速度的同时,减少了超调和滞后现象的发生,保证了系统的鲁棒性和响应的快速性;在2000s 和4000s 时,分别对系统施加+0.5MPa 和-0.6MPa 的扰动,QDMC 控制方案能够保证系统的快速响应,当系统受到到外部扰动时,从响应开始到稳态所需的时间更短,并能够减少系统的稳态误差,提升系统的鲁棒性.相应的操作变量仿真曲线如图7和图8所示.图6 汽轮机主蒸汽压力响应曲线Fig.6 Main steam pressure response curves ofturbine图7 循环流化床给煤速率响应曲线Fig.7 Response curves of coal feeding rate ofCFB图8 循环流化床一次给风速率响应曲线Fig.8 Response curves of primaryair feed flow rateof CFB 376 沈 阳 化 工 大 学 学 报 2023年 改变工况的设定点,温度的设定点为850℃,主蒸汽压力的设定点为8.7MPa.给煤速率(v M )的约束范围为[0,1000],一次给风速率(v F )的约束范围为[0,500],控制增量Δu (k )的约束范围为[-50,50].床温(T )的约束范围为[0,1200],主蒸汽压力(p )的约束范围为[0,1200].控制器在2000s 和4000s 时,分别对系统施加+0.5MPa 和-0.6MPa 的扰动,QDMC 控制方案依然能够保证系统的快速响应,减少系统超调量,提高控制系统的鲁棒性.相应的输出曲线和操作变量响应曲线如图9至图12所示.图9 循环流化床床温响应曲线Fig.9 Temperature response curves ofCFB 图10 汽轮机主蒸汽压力响应曲线Fig.10 Main steam pressure response curves ofturbine图11 循环流化床给煤速率响应曲线Fig.11 Response curves of coal feedrateofCFB图12 循环流化床一次给风速率响应曲线Fig.12 Response curves of primaryair feed flow rate of CFB 由表2可知:QDMC 控制器比文献[11]设计的模糊控制器调节时间减少了3.1%,超调量减少了99.6%;比文献[12]设计的滑模预测控制器调节时间减少了71.5%;比文献[21]设计的动态论域模糊自适应PID 控制器调节时间分别减少了71.4%和79.4%,超调量分别减少了4.65%和2.22%.综合仿真曲线和性能比较结果可以看出:QDMC 、DMC 和前馈补偿解耦PID 控制方案的仿真曲线趋势相同;QDMC 控制方案的效果明显优于DMC 和PID 控制方案,其兼具了调节时间短,响应速度快,抗扰动能力强,鲁表2 循环流化床控制系统性能比较Table 2 Performance comparison of control systems for circulating fluidized bed文献控制器控制变量调节时间/s 超调量/%稳态误差/%文献[11]模糊控制床温128 40 0.02文献[12]滑模预测控制床温435 0 0.02文献[21]动态论域模糊自适应PID床温433.674.80.02主蒸汽压力518.582.40.02本文QDMC床温124 0.150.01主蒸汽压力107 0.180.01 第4期李 崇,等:循环流化床系统多变量二次动态矩阵控制377 棒性能好等诸多优势.综上所述,循环流化床控制系统的多变量二次动态矩阵控制是一种行之有效的过程控制策略,能够在实现该系统控制回路自解耦的同时,保证系统具有良好的动态响应和稳态行为.5 结 论循环流化床工业系统具有强非线性、多变量、强耦合和大滞后等特点,外界扰动对系统的输出影响较大.为提高床温和主蒸汽压力控制的精度和抗扰动能力,本文建立了循环流化床燃烧系统的传递函数矩阵模型,并在此基础上提出了一种多变量二次动态矩阵控制策略.仿真结果表明,多变量二次动态矩阵控制策略能够在实现该系统控制回路自解耦的同时,保证锅炉燃烧系统中床温和主蒸汽压力的稳态精度和抗扰动能力,提高循环流化床锅炉的动态响应和稳态行为.参考文献院[1] 姚禹歌,黄中,张缦,等.中国循环流化床燃烧技术的发展与展望[J].热力发电,2021,50(11):13-19.[2] 马素霞,杨献勇.循环流化床锅炉燃烧系统的动态特性研究[J].中国电机工程学报,2006,26(9):1-6.[3] KIM S,CHOI S,LAPPALAINEN J,et al.DynamicSimulation of the Circulating Fluidized Bed LoopPerformance under the Various Operating Conditions[J].Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers,Part A:Journal of Power and Energy,2019,233(7):901-913.[4] 徐志,王勤辉,骆仲泱,等.大型循环流化床锅炉燃烧系统数学模拟[J].工程热物理学报,2011,32(4):711-714.[5] XU L J,CHENG L M,JI J Q,et al.A Comprehen⁃sive CFD Combustion Model for Supercritical CFBBoilers[J].Particuology,2019,43:29-37. 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模块多变量动态矩阵控制算法的分析和应用开发
摘要（随着科学技术和生产的迅速发展，对复杂和不确定性系统实行自动控制的要求不断提高，为进一步改善控制品质，提高经济效益，必须采用多变量先进控制器．考虑到工程实践的需要，多变量过程控制的设计本质上是解一个多变量多目标有约束优化问题。
本论文从目标规划的角度出发提出了一种新型控制方法—模块多变量动态矩阵控胄ＩＪ（ＭＩｖＩＤＭＣ），并在此基础上对其进行了工程化且在实践中加以检验。
模块多变量控制器基于多目标系统线性规划的字典序极小化方法，以实现多目标有约束控制问题的显式求解为目的。
它采用模块化的控制器分层结构，将目标达成的任务分配至各控制模块中，并按照目标的优先级构成模块序列。
在控制求解时，控制器由高到低的顺序遍历各模块。
在各模块中对一个或多个控制量计算确定值或限定可行解范围，直到所有目标满足或控制量失去自由度。
在后一情况下，可能有部分低优先级目标得不到满足，但控制器保证了对高优先级目标的最大程度的满足，符合工业过程控制的要求。
卜—＿—～本论文在对阶梯式模块多变量动态矩阵控制原理深入了解的基础上，利用相关系数法引入了对模型的在线自校正结构。
通过理论的深入分析研究，我们进一步把此种控制方法开发为较通用的控制软件包，通过统一接口向外界提供服务。
我们将这种控制方法在某石化炼油厂常压塔加热炉温度控制种进行了实际应用。
长期运行结果表明，该控制方法不仅能有效处理多类控制目标与约束，而且其结构灵活、对被控对象的增益摄动不敏感以及强鲁棒性等优点，也适合于实际生产控制的需要，具有广阔的应用前景。
文中还指出了算法中潜在的一些问题，提出了一些解决的构思和改进设想。
关键词：多变量多目标有约束控制，模块多变量控制，字典序极小化，主控制量，阶梯式控制策略．动态矩阵控制，面向对象，模型参数白校正。
第，页生竺竺竺苎兰苎竺曼竺苎苎苎————————曼墨Ａｂｓｔｒａｃｔａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｙ’ｓｔｅｍｓＴｈｅｄｅｍａｎｄｆｏｒｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｏｆｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｗｉｔｈ雠ｒａｐｉｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙａｄｖａｎｃｅｄａｌｏｎｇｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ．Ｆｏｒｂｅｔｔｅｒｃｏｎｔｒｏｌｑｕａｌｉｔｙａｎｄｍｏｒｅｅｃｏｎｏｍｉｃｂｅｎｅｆｉｔｓ，ｔｈｅｍｕｌｔｉ－ｖａｒｉａｂｌｅａｄｖａｎｃｅｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓｍｕｓｔｂｅｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｉｎｄｕｓｔｒｉａｌａｃｑｕｉｒｅｍｅｎｔ，ｔｈｅｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｓｖｓｔｅｍｆｏｒｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｓｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙｔｏｓｏｌｖｅａｄｅｓｉｇｎｏｆｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｏｐｔｉｍａｌｐｒｏｂｌｅｍ．ＴＭｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｄｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｆｒｏｍａｎｅｗｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗ—·ｏｔ吁ｅｃｔＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ｔｈｅｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄａｎｏｖｅｌｃｏｎｔｒｏｌｍｅａｎｓ—ＭｏｄｕｌａｒＭｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅＤｙｎａｍｉｃＭａｔｒｉｘＣｏｎｔｒｏｌｆＭＭＤＭＣ），ｈａｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎ９１ｉｚｅｄａｎｄｃｈｅｃｋｅｄｕｐｉｔｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓ．ＴｈｅＭｏｄｕｌａｒＭｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅＣｏｎ打ｏｌｌｅｒｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＬｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ．ｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｃａｎｏｎｅｓｏｌｖｅｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅｍｏｄｕｌａｒｓｔｒａｔｉｆｉｅｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｓｓｉｇｎｓｔｈｅｇｏａｌｓｉｎｔｏｅａｃｈｃｏｎｔｒｏｌｍｏｄｕｌｅａｎｄａｒｒａｎｇｅｓｔｈｅｍｏｄｕｌｅｓｉｎｔｏａｑｕｅｕｅａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｉｏｒｉｔｉｅｓｏｆｔｈｅｇｏａｌｓ．Ｗｈｅｎｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｎｅｅｄｅｄ，ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｖｉｓｉｔｓａｌｌｔｈｅｍｏｄｕｌｅｓｆｒｏｍｈｉｇｈｐｒｉｏｒｉｔ、，ｔｏｌｏｗａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅＶａｌｕｅｓｏｒｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄｖａｒｉａｂｌｅｓ．１Ｍｓｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓｔｏｐｓｗｈｅｎａｎｇｏａｌｓａｒｅａｃｈｉｅｙｅｄｏｒａｌｌｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄｖａｒｉａｂｌｅｓｈａｖｅｆｉｘｅｄｖａｌｕｅｓ．Ｉｎｔｈｅｌａｔｅｒｃａｓｅ，ｓｏｍｅｇｏａｌｓｍａｙｎｏｔｂｅｆｕｌｆｉｌｌｅｄ．Ｂｕｔｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｄｉｓｒｅｇａｒｄｓｔｈｅｓｅｇｏａｌｓｉｎｏｒｄｅｒｔｏｋｅ印ｔｈｅｈｉｇｈｐｒｉｏｒｉｔｉｅｓｇｏａｌｓｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｔｈｉｓｉｄｅａｆｏｌｌｏｗｓｔｈｅａｃｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅｉｎｄｕｓｔｒｉａｌｐｒｏｃｅｓｓｃｏｎｔｒ０１ｔａｓｋＡｆｔｅｒｍａｓｔｅｒｉｎｇｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｓｔａｉｒ－ｌｉｋｅＭｏｄｕｌａｒＭｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅＤｙｎａｍｉｃＭａｔｒｉｘＣｏｎｔｒｏｌ，ｗｅｉｍｐｏｒｔｅｄｔｈｅｓｅｌｆ－ａｍｅｎｄａｔｉｏｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｗｉｔｈｍｅａｎｓｏｆｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｑｕｏｔｉｅ押．ＷｅｄｅｖｅｌｏｐｔｈｅｒａｔｈｅｒｇｅｎｅｒａｌｓｏｆｔｗａｒｅｐａｃｋａｇｅａｆｔｅｒｔｈｏｒｏｕｇｈａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓｅｒｖｉｃｅｓｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅＵｎｉｔｅｄｉｎｔｅｒｆａｃｅ．ｗｅａｐｐｌｉｅｄｔｈｉｓＭＭＤＭＣｓｔｒａｔｅｇｙｉｎｃｏｍｍｏｎｐｒｅｓｓｕｒｅｐｙｒｏｃｈｅｍｉｃａｌｆｕｒｎａｃｅｏｆｅａｓｔ－ｄｉｓｔｉｌｌａｔｉｏｎｄｅｖｉｃｅａｔＬｉａｏＨｅｏｉＪ矗ｅｌｄｐｅｔｒｏｌｅｕｍｒｅｆｉｎｅｒｙ．ＬｏｎｇｔｅｒｍｏｐｅｒａｔｉｏｎｈａｓａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙａｎｄｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｃａｌＩｄｅａｌｗｉｔｈｖａｒｉｅｔｉｅｓｏｆｇｏａｌｓｍａｔｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｓｕｃｈａｓｃｈａｎｇｅａｂｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｂｌｕｎｔｎｅｓｓｔｏｔｈｅｐｌａｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔ、ｒａｎｄｔｈｅｅｘｃｅｌｌｅｎｔｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ，ａｒｅｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｏｆ出ｅｉｎｄｕｓｔｒｉａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｈａｓｔｈｅｐｒｏｓｐｅｃｔｉｖｅｗｉｄｅｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｆｕｔｕｒｅ．ＴｈｅｐａｐｅｒａｌｓｏｐｏｉｎｔｓｏｕｔｓｏｍｅｐｏｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｏｕｒＣｕｒｒａｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄｓｏｍｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｐｒｏｍｏｔｉｏｎｓａｓｗｅｌｌ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＭｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅＭｕｌｔｉ—ｏｂｊｏａＣｏｎｓｔｒａｉｎｅｄＣｏｎｔｒｏｌ，ＭｏｄｕｌａｒＭｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅＣｏｎｔｒｏｌ，ＬｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰｒｉｍａｒｙＭａｎｉｐｕｌａｔｅｄＶａｒｉａｂｌｅ，Ｓｔａｉｒ－ⅡｋｅＣｏｎｔｒｏｌＳｔｒａｔｅｇｙ，ＤｙｎａｍｉｃＭａｔｒｉｘＣｏｎｔｒｏｌ，ｏｂｊｅｃｔ－ｏｒｉｅｎｔｅｄ？ＭｏｄｅｌＰａｒａｍｅｔｅｒＳｅｌｆ－Ａｍｅｎｄａｔｉｏｎ．横块善奄Ⅵ动态艇辞撞秘鼻注磅究ｓ强甬－歼麓第２页致谢论文完稿之际，我要对我的导师吴刚呈上深深谢意。