数学建模最短路

v1
v1
v4
v2
v3 v5
v1
v2
v2
v3 v4 v5
v4 v3 v5
最小生成树（Kruskal（克鲁斯克尔）算法）
设图G有n个结点，以下算法产生的是最小生成树 1）选取最小权边e1，置边数i←1； 2）i=n-1结束，否则转入3）； 3）设已选择边为e1,e2,…,ei, 在G中选取不同于 e1,e2,…,ei的边ei+1，使{e1,e2,…,ei,ei+1}中无回路且ei+1 是满足此条件的最小边；
树的等价定义
⑴无回路的连通图. ⑵无回路且ε=v-1 其中ε是T的边数,v是T的结点数. ⑶连通的且ε=v-1. ⑷无回路但添加一条新边则得到一条仅有的回路. ⑸连通的,但删去任一条边,T便不连通. ⑹每对结点之间有一条且仅有一条路.
如果图G的生成子图是树, 则称此树为G的生成树.
例：某地要建5个工厂，拟修筑道路连接这5处。经勘测 其道路可依下图的无向边铺设。为使这5处都有道路 相通，问至少要铺设几条路？怎样铺设？
wij aij 0
若(vi , v j ) E , 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v2 v3 v4 0 2 7 v1 A= 2 0 8 3 v2 8 0 5 v 3 7 3 5 0 v 4
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
定义 设图 G=(V,E),G1=(V1,E1)
子图
定义３ （１）设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径， 则称 w( P )
eE ( P )
w(e) 为路径 P 的权．
(2)
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P * (u , v ) ，称为 u 到 v 的最短路．
固定起点的最短路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
注：假设图为简单图
e1 1 M= 1 0 0
e 2 e3 e 4 e 5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
并称图 G 为赋权图.
和 分别表示图的顶点数和边数. 规定用记号
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
E e1 , e2 , e3 , e4 , e5
G 的图解如图
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧） ，而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边 .每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混 合图.
第八章
最短路问题
8.1 图论基本概念与最小生成树
8.2
最短路问题
y
实际背景
例1（公路连接问题）某一地区有若干个主要城市，现准备修 建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中一个城市都可 以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了 任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么如何决定在哪 些城市间修建高速公路总成本最小？ 例2（最短路问题）一名货车司机奉命在最短的时间内将一车 货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因 此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货车 的运行速度是恒定的，那么这个问题相当于需要找到一条从 甲地到乙地的最短路。 例3（运输问题）某种原材料有M个产地，现在需要将原材料 从产地运往N个使用工厂。假定M个产地的产量和N个工厂的 需求量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费已知， 那么，如何安排运输方案可以使总运输成本最低？
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的次数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)， d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
1 mij 0
4） i←i＋1,转入2）。
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij e34 e23 e38 e17 边 e28 权 1 1 2 2 2
e24 3
e45 3
e57 3
e16 4
e35 e46 e67 e58 e12 e18 边 e78 e56 4 5 6 6 7 7 8 权 4 2 v3 v2 3 5 1 1 7 2 7 v1 8 v8 v5 3 v4 4 3 4 2 v3 v2 6 2 4 1 1 v7 v 6 6 v1 v8 v5 3 v4 TO MATLAB 4 3 2 (kruskal.m) v7 v6
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
A=
注：假设图为简单图
通路 W v1v4 v1 e 4 v 4 e5 v 2 e1 v1 e 4 v 4 道路 Tv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4 e 6 v 2 e 2 v 3 e3 v 4 路径 Pv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
实际背景
例4（指派问题）一家公司经理准备安排n名员工去完成n项任 务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成 同一项任务时所获得的收益不同，如何分配工作方案使总回 报最大？ 例5（中国邮递员问题）一名邮递员负责投递某个街区的邮件。 如何为他设计一条最短的投递路线？即从邮局出发，经过投 递区内每条街道至少一次，最后返回邮局。 例6（旅行商问题）一名推销员准备前往若干城市推销产品。 如何为他设计一条最短的旅行路线？即从驻地出发，经过每 个城市恰好一次，最后返回驻地。
3、子图
二、 图 的 矩 阵 表 示
1、 关联矩阵
2、 邻接矩阵 三、 最 小 生 成 树
定义
[1] V v1, v2 ,, vn 是有穷非空集，称为顶点集 其中的元素叫图G的顶点。
有序二元组G=(V,E )称为一个图.
[2] E称为边集，其中的元素称为图G的边。
例 设G=(V,E),其中 V v1 , v2 , v3 , v4
l (ui )
u1
０
u2
２ 2
u3
１
u4
８ 8 8 8 7
u5
3
u6
6
u7 10 10 Fra bibliotek0 10 9u8

12 12 12 12 12 u5
l (v ) z (v)
实际背景
共同特点： （1）它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意 义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为优化问题。 （2）它们都易于用图形的形式直观的描述和表达，数学上把 这种与图相关的结构称为网络，与图和网络相关的优化问题 称为网络优化。
图论基本概念与最小生成树
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l (v) 为从顶点 u0 到 v 的最短路的权．
S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵w(u, v)
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l ( u0 ) =0
v S V \ S ,令 l (v) = , z(v ) = u0 u u0 （2）更新 l (v) 、z(v ) ： v S V \ S ,若 l ( v ) > l ( u) W ( u, v ) 则令l (v) = l (u) W (u, v ) ,z(v ) u=
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
Dijkstra 算法：求 G 中从顶点 u0 到其余顶点的最短路 设 G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负．