回归模型的函数形式
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第二部分 线性回归模型
Chp 5：回归模型的函数形式
主要内容
• 双对数模型或不变弹性模型 • 半对数模型
– 对数－线性模型——度量增长率 – 线性－对数模型——解释变量为对数形式
• 倒数模型 • 多项式模型 • 零截距模型（过原点的回归模型） • 小结
问题的提出
• 在很多时候，自变量的变化与应变量并不是简单的线性关 系，如考虑某一段时间内，某个经济变量增长率，如GDP 增长率、货币供应、失业率等，这就需要引入回归模型的 其他一些函数形式。
（2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
E dY dX
X Y
B2
X Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计
算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
E dY dX
X Y
B2
X Y
5.3多元对数线性回归模型
• 多元对数线性回归模型 lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui
• 其中，B2,B3又称为偏弹性系数，它们度量了在其他变量 保持不变 条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。
一、双对数模型Double log Hale Waihona Puke Baiduodel
——如何度量弹性
• 考虑数学分数的例子：
Y AX B2
• Y：数学分数；Xi ：家庭年收入i
• 上式可转化为： lnYi=lnA+B2lnXi
• 模型特点：关于变量非线性。
lnYi=lnA+B2lnXi 如果令B1=lnA，则模型可以写成 为了进行估计，可以将模型写成
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
令 B1 lnY0, B2 ln(1 r)
ln Yt B1 B2t
根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函数。 – 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
一旦计算出b2，复合增长率r就可以求出了，书上的例子中 美国人口年复合增长率为
R=antilog（0.0108）-1=1.0757%， 但前面求得的增长率为1.07%，区别在哪里？ 1.07%是某时点上的瞬时增长率，1.0757% 是一段时间内的
复合增长率。
（2）线性趋势模型
模型
Yt B1 B2t ut
回归结果表明：样本期内，美国人口以2.757百万的 绝对速度增长，美国人口表现出上升的趋势。截距 表示的是t=0时的美国人口（1974年），210百万。
实践中，增长率模型更实用些，因为人们更加关注 经济变量的相对变化而不是绝对变化。
5.5 线性-对数模型模型：解释变量是对 数形式
下面的半对数模型称为线性—对数模型：
对上面数据进行OLS回归得 ln(Uspop) 5.3593 0.0107t
t (3321.13)(129.779)
r2 0.9982
回归结果解释：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y） （美国人口）的年增长率为0.0107，即Y以每年1.07% 的速度增长。
半对数模型中斜率度量的是解释变量的绝对变化引起Y 相对变化。把这个相对改变量0.0107乘以100，就得到 增长率，本例中的增长率为1.07%。
正因为如此，半对数模型有称为增长率模 型，可以用来度量变量的增长率，包括经 济和其他非经济变量的增长率。
半对数模型的截距解释： 本例中b1=lnY0=5.3593，取其反对数得
Y0=212.5761 即为当t=0时Y的取值，就是Y的初期值
（1975年）。
（1）瞬时增长率和复合增长率
• 复合增长率 b2=ln(1+r)r=eb2-1
lnYi=B1+B2lnXi
lnYi=B1+B2lnXi +ui
这是一个线性模型，因为参数是线性的，另外这个模型是 对数形式变量线性的，因此称这个模型是双对数模型。
令Yi* =lnYi ,
X
* i
lnXi ,则模型可以写成
Yi*
B1
B2
X
* i
ui
• 双对数模型的特性：
– 模型参数是线性的，关于变量和； – 斜率B2度量了Y对X的弹性，即X的单位变动引起Y变动的百分比。
（5-22）
称为线性趋势模型。该模型中t是时间变量，即Y对 时间t的回归。 t称为趋势变量。 斜率>0,称Y有向上的趋势；斜率<0,称Y有向下的趋 势。
表5-4中的数据，拟合模型（5-22）得 (Uspop) 209.6731 2.757t
t (287.4376)(73.6450)
r2 0.9943
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y g100 = Y X g100 X
gX Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验方法没有什么不 同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论：对于 线性模型，弹性系数是一个变量；对于对数模型，其弹性 系数为一常量。
ln Yt B1 B2t ut
（5-18）
模型（5-18）应变量是对数形式，自变量 是线性的，参数也是线性的，该模型称为
半对数模型。
在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝 对量的平均增量，即Y增加B2个单位。
在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的 相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。
Chp 5：回归模型的函数形式
主要内容
• 双对数模型或不变弹性模型 • 半对数模型
– 对数－线性模型——度量增长率 – 线性－对数模型——解释变量为对数形式
• 倒数模型 • 多项式模型 • 零截距模型（过原点的回归模型） • 小结
问题的提出
• 在很多时候，自变量的变化与应变量并不是简单的线性关 系，如考虑某一段时间内，某个经济变量增长率，如GDP 增长率、货币供应、失业率等，这就需要引入回归模型的 其他一些函数形式。
（2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:
E dY dX
X Y
B2
X Y
可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计
算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：
E dY dX
X Y
B2
X Y
5.3多元对数线性回归模型
• 多元对数线性回归模型 lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui
• 其中，B2,B3又称为偏弹性系数，它们度量了在其他变量 保持不变 条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。
一、双对数模型Double log Hale Waihona Puke Baiduodel
——如何度量弹性
• 考虑数学分数的例子：
Y AX B2
• Y：数学分数；Xi ：家庭年收入i
• 上式可转化为： lnYi=lnA+B2lnXi
• 模型特点：关于变量非线性。
lnYi=lnA+B2lnXi 如果令B1=lnA，则模型可以写成 为了进行估计，可以将模型写成
对数－线性模型——测量增长率
例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型
我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中
介绍过的复利计算公式：
等式两端取对数：
Yt Y0 (1 r)t
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
令 B1 lnY0, B2 ln(1 r)
ln Yt B1 B2t
根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：
• 例5-2：柯布－道格拉斯生产函数
– 反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函数。 – 劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数
（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1 （2）规模报酬递减—规模报酬参数<1 （3）规模报酬不变—规模报酬参数=1
• 例5-3：对能源的需求(P107)
二、半对数模型(semilog model)
一旦计算出b2，复合增长率r就可以求出了，书上的例子中 美国人口年复合增长率为
R=antilog（0.0108）-1=1.0757%， 但前面求得的增长率为1.07%，区别在哪里？ 1.07%是某时点上的瞬时增长率，1.0757% 是一段时间内的
复合增长率。
（2）线性趋势模型
模型
Yt B1 B2t ut
回归结果表明：样本期内，美国人口以2.757百万的 绝对速度增长，美国人口表现出上升的趋势。截距 表示的是t=0时的美国人口（1974年），210百万。
实践中，增长率模型更实用些，因为人们更加关注 经济变量的相对变化而不是绝对变化。
5.5 线性-对数模型模型：解释变量是对 数形式
下面的半对数模型称为线性—对数模型：
对上面数据进行OLS回归得 ln(Uspop) 5.3593 0.0107t
t (3321.13)(129.779)
r2 0.9982
回归结果解释：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y） （美国人口）的年增长率为0.0107，即Y以每年1.07% 的速度增长。
半对数模型中斜率度量的是解释变量的绝对变化引起Y 相对变化。把这个相对改变量0.0107乘以100，就得到 增长率，本例中的增长率为1.07%。
正因为如此，半对数模型有称为增长率模 型，可以用来度量变量的增长率，包括经 济和其他非经济变量的增长率。
半对数模型的截距解释： 本例中b1=lnY0=5.3593，取其反对数得
Y0=212.5761 即为当t=0时Y的取值，就是Y的初期值
（1975年）。
（1）瞬时增长率和复合增长率
• 复合增长率 b2=ln(1+r)r=eb2-1
lnYi=B1+B2lnXi
lnYi=B1+B2lnXi +ui
这是一个线性模型，因为参数是线性的，另外这个模型是 对数形式变量线性的，因此称这个模型是双对数模型。
令Yi* =lnYi ,
X
* i
lnXi ,则模型可以写成
Yi*
B1
B2
X
* i
ui
• 双对数模型的特性：
– 模型参数是线性的，关于变量和； – 斜率B2度量了Y对X的弹性，即X的单位变动引起Y变动的百分比。
（5-22）
称为线性趋势模型。该模型中t是时间变量，即Y对 时间t的回归。 t称为趋势变量。 斜率>0,称Y有向上的趋势；斜率<0,称Y有向下的趋 势。
表5-4中的数据，拟合模型（5-22）得 (Uspop) 209.6731 2.757t
t (287.4376)(73.6450)
r2 0.9943
E
Y的变动百分数 X的变动百分数
=
Y X
Y g100 = Y X g100 X
gX Y
=slope
X Y
因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单 位价格，E就是需求的价格弹性。
图 5-1
双对数模型的假设检验
双对数模型的假设检验与线性模型的检验方法没有什么不 同。
• 5.2线性模型与双对数回归模型的比较 （1）根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论：对于 线性模型，弹性系数是一个变量；对于对数模型，其弹性 系数为一常量。
ln Yt B1 B2t ut
（5-18）
模型（5-18）应变量是对数形式，自变量 是线性的，参数也是线性的，该模型称为
半对数模型。
在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝 对量的平均增量，即Y增加B2个单位。
在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的 相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。
• 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。
• 如著名的Cobb- Dauglas生产函数表现为幂函数 曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
• 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的 数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可 以运用线性回归模型的理论方法。