统计学@第九章参数估计

数。
解：
n
z2 / 2 2
E2

1.962 110 102
2
46（ 5 户）
例：某企业要调查产品合格率，已知以往的合格率曾有
90%。现要求误差不超过1%，把握程度为95%，问 需要抽选多少件产品？
•
•
x
n
=10/10=1（千克）
•
x

z / 2 x
=1.96×1=1.96（千克）
• 置信下限为58-1.96=56.04，
• 置信上限为58+1.96=59.96
• 故所求置信区间为（56.04，59.96）千克。
在某一企业职工收入情况的调查中，从该企业 随机抽取100个职工个人的收入状况数据构成样本， 并• 且已知该企业职工平均月收入的总体标准差为 250元，样本均值为1985元。试计算给定置信水平 为95.45%的该企业职工平均月收入的总体均值的置 信区间。
应抽取的样本容量为
n

( z
2)2
E2
(1
)
(1.96)2 0.9 (1 0.9) 0.052
138.3 139
应抽取139个产品作为样本
例：某市进行职工家庭生活费抽样调查，已知职工家庭
平均每人每月生活费收入的标准差为110元，允许误
差范围10元，概率把握程度95%，试确定应抽选的户
二、评价估计量的 标准
无偏性
• 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
P(ˆ)
无偏
A
有偏
B

ˆ
有效性
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量
，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布

ˆ
一致性
一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
x 解 已知n=100 =1985，σ=250，zα/2=2，
x Z 2
wk.baidu.com,
n
x Z 2
1985 2 250 , 1985 2 250
n
10
10
（即19根35据，20这35）次抽样调查的样本信息，可以认为该企
业职工平均月收入落在1936元到2034元之间。
n
(z 2 )2 2
E2

(1.96)2 20002 400 2
96.04 97
即应抽取97人作为样本
二、估计总体比例时样本 容量的确定
1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为
n (z 2 )2 (1 )
E2
其中： E z 2
(1 )
n
2. E的取值一般小于0.1
X z 2 X
X
- 2.58x

-1.65 x
+1.65x
+ 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信区间
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
• （3）抽样估计的可靠程度1-α 。当其他条件不变时， 抽就必样须估愈计多的；可反靠之程，度抽愈样高估，计zα的/2数可值靠愈程大度，愈抽低样，数抽样目 数目就可以愈少。
• （4）抽样方法。相同条件下，由于采用重复抽样比 不重复抽样的误差大，所以，前者应比后者多抽一些 样本单位。
• 除上述因素之外，抽样组织方式也是影响抽样单位 数的一个原因 。
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生 年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计 年薪95%的置信区间，希望边际误差为400 元，应抽取多大的样本容量？
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 12 /22置信度为90%的置信区间为
一、估计总体均值时样本容 量的确定
1. 估计总体均值时样本容量n为
n (z 2 )2 2
E2
其中： E z 2

n
2. 样本容量n与总体方差2、边际误差E、 可靠性系数Z或t之间的关系为
与总体方差成正比 与边际误差成反比 与可靠性系数成正比
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
第 9 章 参数估计
主要内容
§9.1 §9.2 §9.3
参数估计的概述 一个总体参数的区间估计 样本容量的确定
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例、方
差
§9.1参数估计的概述
一. 估计量与估计值 二. 点估计与区间估计 三. 评价估计量的标准
p z 2
p(1 p) n
65% 1.96 65%(1 65%) 100
65% 9.35%
55.65%,74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
例：某厂对一批产品进行质量检验，随机重复抽取样品100只， 样本合格品率为95％，试计算把握程度为90％的合格品率置 信区间。
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量
101.0 103.0 102.0
107.5 95.0 108.8
123.5 102.0 101.6
95.4
97.8 108.6
102.8 101.5 98.4
100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布,且方差(２) 已知 – 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z X ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为
X z 2

n
或 X z 2
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根
据样本数据计算得：x 105.36
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2

n
105.36 1.96
10 25
105.36 3.92
101.44,109.28
2、区间估计
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区 间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得
到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与 总体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信
水平是95%
置信区间
样本统计量
(点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
S ( 未知)
n
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机抽取了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为 女 性职工。试以 95% 的 置 信 水 平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%
，z/2=1.96
解：已知n=100，p=95%，1-α =90%，查表得zα /2=1.645
p
=0.0218
P(1 n
P
)

0.95 0.05 100
Δ p=zα /2 p =1.645×0.0218=0.0359或3.59% 95%-3.59%=91.41%，95%+3.59%=98.59%
故该批产品合格率的置信区间为（91.41%,98.59%)
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
例：从某大学学生中随机抽取100名调查体重情况。经 称量和计算，得到平均体重为58千克。根据过去的资 料知道大学生体重的标准差是10千克。在95%的置信水 平下，求该大学学生平均体重的置信区间。
• 解：已知 x =58，σ=10，zα/2=1.96， n=100
3. 未知时，可取最大值0.5
估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析)
【例】根据以往 的生产统计，某 种产品的合格率 约为90%，现要 求边际误差为 5% ， 在 求 95% 的置信区间时， 应抽取多少个产 品作为样本？
解 : 已 知 =90% ， =0.05 ，
Z/2=1.96，E=5%
该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克之间
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32
P(ˆ) 较大的样本容量 B
较小的样本容量
A

ˆ
§9.2 一个总体参数的区间估计
一. 总体均值的区间估计 二. 总体比例的区间估计 三. 总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X P S2
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大 样本)
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数
据计算得：x 39.5 ，s 7.77
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z 2
s 39.5 1.645 7.77
n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值 的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参 数真值的区间中的一个
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 区间包含总体参数真值的次数所占的比例 称为置信水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%,95.45%， 90%
相应的 为0.01，0.05，0.455，0.10
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1-
/2
X
x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示
2
样本统计量
X P S2
参数估计：用样本统计量来估计总体参数
一、估计量与估计值
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量的名称 – 如样本均值，样本比例、样本方差等
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估
计量
2. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值 – 如果样本均值 x =80，则80就是的估 计值
总体比例的区间估计
总体比例的区间估计
1. 假定条件 – 总体服从二项分布 – 可以由正态分布来近似
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z P ~ N (0,1) (1 )
n
3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
P z 2
(1 )
n
或
P

z
2
P(1- P) ( 未知时)
二、点估计与区间估计
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
1、点估计
1.用样本统计量的某个取值直接作为总体参数 的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
§9.3 样本容量的确定
一. 估计总体均值时样本容量的确定 二. 估计总体比例时样本容量的确定
影响样本容量的因素
• （1）允许误差范围Δ 。当其它条件不变时，允许误 差愈小，必要的抽样单位数就需要愈多；反之，允许 误差愈大，抽样单位数就可以愈少。
• （2）总体方差σ 2。其他条件不变的情况下，总体方 差σ 2愈大，总体单位的差异程度愈大，则样本单位 数应愈多；反之，样本单位数可愈少。