椭圆的焦半径公式
椭圆焦半径公式倾斜角推导
椭圆焦半径公式倾斜角推导椭圆是一个平面上的闭合曲线，它由两个焦点和一条连接焦点的线段定义。
在椭圆的焦点和焦半径的概念中，焦半径是从椭圆上一点到两个焦点的距离之和的一半。
在本文中，我们将推导出椭圆焦半径的公式，并介绍倾斜角的概念。
首先，我们假设有一个椭圆，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，焦距为c。
我们要计算椭圆上一点P到两个焦点F1和F2的焦半径r的值。
我们知道焦点到椭圆上一点的距离等于焦半径的一半，所以我们可以得到以下的等式：PF1+PF2=2r然后我们可以利用勾股定理求出PF1和PF2的值。
假设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
根据勾股定理，我们有：PF1²=(x-c)²+y²PF2²=(x+c)²+y²将上述的等式带入到PF1+PF2=2r中，我们可以得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4r²化简上述等式，我们得到：2x² + 2y² + 2c² - 4cx = 4r²我们知道椭圆的方程是x²/a²+y²/b²=1，由此我们可以得到c²=a²-b²。
将这个等式带入到上面的公式中，我们有：2x² + 2y² + 2(a² - b²) - 4cx = 4r²化简上述等式，我们得到：x²/a²+y²/b²-1+(a²-b²)/c²-2x(2c)/c²=2r²/c²我们知道因为椭圆上的点P满足椭圆的方程，所以x²/a²+y²/b²=1、将这个等式带入到上面的公式中，我们有：1-1+(a²-b²)/c²-2x(2c)/c²=2r²/c²化简上述等式，我们得到：r²=(a²-b²)/4-x²/c²对比上面的等式，我们可以得到椭圆焦半径的公式：r=√((a²-b²)/4-x²/c²)这就是椭圆焦半径的公式。
关于椭圆的公式大全
关于椭圆的公式大全
以下是关于椭圆的公式：
1. 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL。
2. 椭圆的准线方程 x=±a^2/C。
3. 椭圆的离心率公式 e=c/a。
4. 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C）的距离，数值=b^2/c。
5. 椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。
6. 椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex。
7. 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A，B之间的距离，数值=2b^2/a。
8. 点与椭圆位置关系：点M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1。
9. 椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)。
10. 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
11. 椭圆面积公式：s=πab。
12. 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍。
证明焦半径公式
证明焦半径公式一、椭圆焦半径公式的证明。
（一）椭圆的标准方程。
设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F_1(-c,0)，F_2(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。
（二）设点P(x_0,y_0)在椭圆上。
1. 求PF_1（左焦半径）- 根据两点间距离公式，PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}。
- 因为点P(x_0,y_0)在椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上，所以y_0^2=b^2(1-frac{x_0^2}{a^2})。
- 将y_0^2=b^2(1 - frac{x_0^2}{a^2})代入PF_1=√((x_0)+c)^2+y_{0^2}中，得到：PF_1=√((x_0)+c)^2+b^2(1-frac{x_{0^2}{a^2})} =√(x_0)^2+2cx_{0+c^2+b^2-frac{b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{a^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^2c^2+a^2b^2-b^2x_0^2}{a^2}} =√(frac{(a^2)-b^{2)x_0^2+2a^2cx_0+a^2(b^2+c^2)}{a^2}}- 又因为c^2=a^2-b^2，所以：PF_1=√(frac{c^2)x_0^2+2a^2cx_{0+a^4}{a^2}} =√(frac{(cx_0)+a^2)^2{a^2}} =<=ft frac{cx_0+a^2}{a}right- 因为-a≤slant x_0≤slant a且a > 0，c>0，所以cx_0+a^2>0，则PF_1 = a +ex_0（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。
2. 求PF_2（右焦半径）- 同样根据两点间距离公式，PF_2=√((x_0)-c)^2+y_{0^2}。
焦半径公式推导及应用
焦半径公式推导及应用在我们学习圆锥曲线的过程中，焦半径公式可是个相当重要的“小伙伴”。
今天咱们就一起来好好琢磨琢磨这个焦半径公式的推导以及它在解题中的神奇应用。
先来说说啥是焦半径。
简单来讲，焦半径就是圆锥曲线上的一点到焦点的距离。
那对于椭圆来说，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是椭圆上的任意一点。
那焦半径$|PF_1|$和$|PF_2|$咋算呢？咱们一步步来。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴$2a$，所以有$|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
再根据两点间的距离公式，$|PF_1| = \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2}$，$|PF_2| = \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$。
把这俩式子相加得到：$\sqrt{(x_0 + c)^2 + y_0^2} + \sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2} = 2a$。
经过一番整理和化简（这过程可有点复杂，就不详细展开啦），最终就能得到焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。
这里的$e$是椭圆的离心率，$e = \frac{c}{a}$。
咱再来说说双曲线。
设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），焦点在$x$轴上，焦点坐标为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$P(x_0,y_0)$是双曲线上的任意一点。
同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长$2a$，所以有$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。
椭圆焦半径公式cos推导过程
椭圆焦半径公式cos推导过程椭圆焦半径公式是用来计算椭圆的焦点到椭圆的距离的公式，这是一个非常重要的公式，因为它可以用来求解椭圆上任意一点到焦点的距离，这对于求解椭圆的各种性质非常有用。
那么，椭圆焦半径公式的推导过程是什么呢？首先，我们需要了解椭圆的一些基本概念。
椭圆是一种椭圆形的图形，它的定义是：所有点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。
我们可以使用椭圆的标准方程来表示椭圆，即：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，$a$ 和 $b$ 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
下面，我们就可以开始推导椭圆焦半径公式了。
首先，我们考虑椭圆的一般式，即：$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$将这个方程带入椭圆的标准方程，即：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$将 $x^2$ 和 $y^2$ 用椭圆的一般式表示，得到：$$\frac{Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F}{a^2} + \frac{Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F}{b^2} = 1$$化简得到：$$\frac{A}{a^2}推导接下来，我们可以使用平面几何的知识来继续推导。
首先，我们可以将椭圆的一般式转化为另一种形式：$$\frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4A} + Dx + Ey + F = 0$$将这个方程带入椭圆的标准方程，得到：$$\frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4Aa^2} + \frac{(x^2 + y^2) + (B^2 - 4AC)}{4Ab^2} = 1$$化简得到：$$\frac{(B^2 - 4AC)}{4Aa^2} + \frac{(B^2 - 4AC)}{4Ab^2} = 1$$将 $B^2 - 4AC$ 表示为 $e^2$，得到：$$\frac{e^2}{4Aa^2} + \frac{e^2}{4Ab^2} = 1$$将 $A$ 表示为 $\frac{b^2}{a^2}$，得到：$$\frac{e^2}{4\frac{b^2}{a^2}a^2} + \frac{e^2}{4b^2} = 1$$化简得到：$$\frac{e^2}{b^2} = 1 - \frac{a^2}{b^2}$$解得：$$e = \sqrt{b^2 - a^2}$$由此，我们就得到了椭圆焦半径公式：$$e = \sqrt{b^2 - a^2}$$这就是椭圆焦半径公式的推导过程。
椭圆的焦点弦公式
椭圆的焦点弦公式
摘要：
1.椭圆焦点弦公式的基本概念
2.椭圆焦点弦公式的应用
3.椭圆焦点弦公式的实际意义
正文：
椭圆是一种常见的数学曲线，其在几何、物理等领域具有广泛的应用。
椭圆的焦点弦公式是研究椭圆性质的重要工具，本文将详细介绍椭圆焦点弦公式及其应用。
一、椭圆焦点弦公式的基本概念
椭圆的焦点弦公式主要包括两部分：焦半径公式和弦长公式。
1.焦半径公式：设椭圆的焦点为F，椭圆上一点为M，焦半径为R，则有R = a * sqrt(1 - e^2) ，其中a为椭圆的长半轴，e为椭圆的离心率。
2.弦长公式：设椭圆的焦点弦为AB，AB的中点为M，椭圆的焦距为2c，则有AB = 2 * R * sqrt(1 - e^2)，其中R为焦半径，e为椭圆的离心率。
二、椭圆焦点弦公式的应用
1.求解椭圆的焦点弦：已知椭圆的长半轴、短半轴和离心率，可以通过焦点弦公式求解椭圆上的焦点弦。
2.求解椭圆的交点：已知椭圆的焦点和直线方程，可以通过焦点弦公式求解椭圆与直线的交点。
3.求解椭圆的性质：通过焦点弦公式，可以研究椭圆的性质，如椭圆的离
心率、长半轴、短半轴等。
三、椭圆焦点弦公式的实际意义
椭圆焦点弦公式在实际应用中具有重要意义，如在航空航天、通信、物理等领域。
以航空航天为例，飞行器的轨道通常为椭圆，通过焦点弦公式可以求解飞行器的轨道参数，从而为飞行器的设计和控制提供依据。
总之，椭圆焦点弦公式是研究椭圆性质的重要工具，其在实际应用中具有重要意义。
椭圆的焦半径公式
椭圆的焦半径公式椭圆是一种特殊的曲线，其形状类似于圆形，但在一个方向上略微拉伸或压缩。
椭圆的一些重要性质包括它的离心率和焦点。
焦半径是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆焦点与曲线的关系。
在解释椭圆的焦半径公式之前，我们首先介绍一些椭圆的基本定义和性质。
椭圆由两个焦点构成，而且所有到两个焦点的距离之和是一个常数。
这个常数被称为椭圆的大轴长度，记为2a。
椭圆的焦点到椭圆中心的距离被称为焦距，记为c。
焦距与大轴的关系可以通过焦距定理来描述：c^2=a^2-b^2，其中b是椭圆的半轴长度。
设椭圆的焦点分别为F1和F2，椭圆上一点的坐标为(x,y)，焦点到椭圆上该点的焦半径的长度为r。
根据定义，点F1到点(x,y)的距离加上点F2到点(x,y)的距离应该等于常数2a。
用数学公式表示就是：√((x-F1)^2+(y-0)^2)+√((x-F2)^2+(y-0)^2)=2a。
根据焦距定理c^2=a^2-b^2，我们可以将焦半径的平方表示为：r^2=(x-F1)^2+(y-0)^2+(x-F2)^2+(y-0)^2将上式代入焦距定理的表达式，我们可以得到焦半径的公式：r^2=(x-F1)^2+(y-0)^2+(x-F2)^2+(y-0)^2=2a^2-2b^2根据焦半径的公式，我们可以计算任意点到椭圆焦点的距离。
这个公式对于解决椭圆相关的问题非常有用，比如计算椭圆的周长、面积等等。
例如，假设一个椭圆的大轴长度为6，短轴长度为4，焦点的坐标分别为F1(-3,0)和F2(3,0)。
我们想要计算椭圆上一点P(2,1)到焦点的焦半径长度。
将给定的坐标带入焦半径的公式，我们有：r^2=(2+3)^2+(1-0)^2+(2-3)^2+(1-0)^2=5^2+1^2+(-1)^2+1^2=26对焦半径的长度开平方，我们可以得到焦半径的值：r≈√26≈5.1因此，点P(2,1)到椭圆的焦半径长度为约5.1个单位。
总结一下，椭圆的焦半径公式是通过焦点定理和焦距定理推导得出的。
椭圆的92条神仙级结论
椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。
2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。
3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。
4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。
5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。
6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。
$0\lt e\lt1$。
椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。
椭圆的另一个焦半径公式及其应用_王健
=
2
4 －
槡2 cos2
θ
．
[ （ 3） 不妨设直线 AB 的倾斜角为 α ∈ 0，
)π
2
． 因 AB ⊥ DE，则直线 CD 的倾斜角为 α +
π 2
．
由椭圆焦点弦公式，知
AB
=
a2
2ab2 － c2 cos2
， α
( ) DE =
2ab2
a2 － c2 cos2
α
+
π 2
=
a2
2 －
ab2 c2 sin2
对第 ② 问，由平面几何知识相似比可知，
用 AF1 、BF2 分别把 PF1 、PF 2 表示出来，从而 只要引入变量 AF1 倾斜角，运用椭圆焦半径公
式，即可迅速求证．
解
（ 1）
x2 2
+ y2
= 1． （ 过程略）
（ 2） ① 设直线 AF1 的倾斜角为 α，因 BF2
∥ AF1 故直线 BF2 的倾斜角也为 α，由椭圆焦
； θ
（ 3） 过点 F 1 （ － 2，0） 作两条互相垂直的 直线分别交椭圆 C 于 A，B 和 D，E，求 AB + DE
的最小值．
·14·
分析 本题常见思路是设直线斜率为 k，
把直线方程 与 椭 圆 方 程 联 立，用 韦 达 定 理 和
弦长公式，求出 AB、DE 的长，构建关于 k 函数，
[ ) 的倾斜角为 α ∈ 0，π2 ，则直线 PQ 的倾斜
角为 α
+
π 2
．
由推论
2，知
MN
=
a2
2 －
ab2 c2 si
n2
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
椭圆的焦半径公式及其拓展
1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。
2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导 由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=， 根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和 设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。
坐标表示的焦半径公式
一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆〔一类〕由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。
公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2）椭圆上三点A,B,C，假设成等差数列，那么到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
（3）定义直线为椭圆的左右准线。
由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2. 双曲线由代入整理得,由双曲线上点,假设点P在右支上，同理，.总有.假设点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：〔1〕假设双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，那么它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
〔2〕定义直线为双曲线的左右准线。
由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3.抛物线公式的应用：抛物线上三点A,B,C，假设，那么。
二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。
假设0<e<1,轨迹为椭圆。
假设e=1，那么轨迹为抛物线。
假设e>1，那么轨迹为双曲线。
〔1〕方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。
方向角范围将焦准距离统一表示为P。
对于椭圆，双曲线(要求记忆)〔2〕公式：e:离心率，对于椭圆，双曲线，.〔3〕公式的应用：焦点弦长公式说明：〔1〕焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：.〔2〕有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。
〔3〕对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。
假设较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上。
〔4〕对于抛物线，∵e=1 ,.为焦点弦与对称轴夹角。
〔5〕通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在，令得通径的统一表示2eP.对于椭圆，双曲线: ；对于抛物线: 2eP=2P.〔6〕以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比方焦点弦与对称轴夹角，那么有.三．相交弦长公式将直线y=Kx+d 代入椭圆存在相交弦在中，由求根公式，在具体问题，只要直线斜率和求得的代入前方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。
圆锥曲线公式
圆锥曲线公式
圆锥曲线的公式主要有以下：1、椭圆：焦半径：a+ex(左焦点)，a-ex(右焦点)，x=a²/c2、双曲线：焦半径：|a+ex|(左焦点)|a-ex|(右焦点)，准线x=a²/c3、抛物线(y²=2px)等。
公式
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的标准方程共分两种状况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)
2.双曲线：到两个定点的距离的差的肯定值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a|F1F2|)}。
双曲线的标准方程共分两种状况：
焦点在X轴上时为
x^2/a^2-y^2/b^2=1；
焦点在Y轴上时为
y^2/a^2-x^2/b^2=1；
3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
y²=2px（p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点。
抛物线标准方程共分四种状况：
右开口抛物线：y^2=2px；
左开口抛物线:y^2=-2px；
上开口抛物线：x^2=2py；
下开口抛物线:x^2=-2py；
[p为焦距（p0）]。
椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF 1|=22)(y c x ++ (1)从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -=(2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x aca +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x aca - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=ac ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x ac a r 21【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=c a 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
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椭圆的焦半径公式
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+
y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em。
所以：椭圆通径=（2·b^2）/a
2双曲线的焦半径公式
双曲线的焦半径及其应用：
1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程
x^2/a^2-y^2/b^2=1
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
3抛物线的焦半径公式
抛物线r=x+p/2</CA>
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.。