平面图形的几何性质
平面图形的几何性质
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin 2
I y1
Iz
2
Iy
Iz
Iy 2
cos 2
I yz
sin 2
I y1z1
Iz
Iy 2
sin 2
I yz
cos 2
显然 I z1 I y1 I z I y I p
27
创造的机遇——提出问题：因为角度对应坐标系， 在哪个坐标系中，惯性矩为极大（ 或极小）？
Iz
Iy 2
1 2
( I z I y )2 4I 2 xy
主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系
主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩
30
截面几何性质小结
1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数值有一定的关系
2. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位
第五章 平面图形的几何性质
(Geometrical properties of plane graph)
赠言
凡事豫则立，不豫则废。言前定，则不跲；事前定， 则不困； 行前定，则不疚； 道前定，则不穷。
子思《中庸》 解释 豫 —— 预划； 跲（Jia）—— 窒碍 困 —— 困扰； 疚 —— 不安； 穷 —— 贫穷
y y1
H
A
C
z1
B
D
G
E
z
O
F
24
《z 变 z1 的操作》
y y1
1、z（OF）向z1 轴投影得 z1 - GD
z cos z1 GD
2、再加上GD 得z1
H
A
C
z1
B
材料力学-平面图形的几何性质
为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有 一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截 面的几何形状有关。
第四章 平面图形的几何性质
课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形
状不同,承载能力差异很大。
第四章 平面图形的几何性质
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
图形对平行于形心轴的y、z轴的惯性矩和惯性积为：
Iz
y2dA
A
z zc b
I yz
yzdA
A
y yc a
I y
z 2dA
A
Iz
y2dA
A
A ( yc a)2 dA
y
yc
A yc2dA 2a aycdA a2
bh2 2
Sy
zc
A
hb2 2
y
c
h
b
z
例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200 , z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z1
Z（矩形的对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴的惯性积
平面图形的几何性质
第五章 平面图形的几何性质§5-1 静矩和形心１．面积（对轴）矩：是面积与它到轴的距离之积（用S 表示）。
微面积dA 对X 轴的静矩微面积dA 对Y 轴的静矩 or如S=0 ↔ 轴过形心２．组合截面的静矩与形心：整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的代数和（由静矩定义可知）。
则 ∴ §5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径１．惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
图形对x 轴的惯性矩:图形对y 轴的惯性矩:２．极惯性矩：是面积对极点的二次矩。
图形对O 点的极惯性矩:３．惯性积：面积与其到两轴距离之积。
图形对xy 轴的惯性积:y A S x ⋅=d d xA S y ⋅=d d ⎰=⎰=⎰=⎰=A A y y A A x x A x S S A y S S d d d d y A S xA S x y ==i n i A A ∑==1:如x A x A S y A y A S i i n i y i i n i x =∑==∑===11⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=∑A A y y A A x i i i i ⎰=⎰=A y A x A x I A y I d d 22y x AI I A I +=⎰=d 2ρρ⎰=Axy A xy I d如果x 或y 是对称轴，则Ixy =0４．惯性半径 图形对x 轴的惯性半径: 图形对y 轴的惯性半径: §5-3 平行移轴公式１．平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图注意: C 点必须为形心 图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.。
２．组合截面的惯性矩：§5-4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩１．惯性矩和惯性积的转轴定理２．截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩⑴主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到α=α0时；恰好有A I i A I i y y x x //==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=C C y b y x a x A b bS I A b by y A b y A y I xC xC C A C A C A x 222222d )2( d )( d ++=++⎰=+⎰=⎰=0==C xC y A S A b I I xC x 2+=A b I I xC x 2+=A a I I yC y 2+=abA I I xCyC xy +=A b a I I C 2)(++=ρρxi n i x I I ∑==1yi n i y I I ∑==1xyi n i xy I I ∑==1⎩⎨⎧+-=+=ααααcos sin sin cos 11y x y y x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=αα2sin 2cos 221xy y x y x x I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=αα2sin 2cos 221xy y x y x y I I I I I I ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=αα2cos 2sin 211xy y x y x I I I I y I x I y I x I +=+110)2cos 2sin 2(0000=+-=ααxy y x y x I I I I则与α0对应的旋转轴x 0 ,y 0 称为主惯性轴。
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
工程力学第四章
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
建筑力学 第五章(最终)
dA 2 y dz 2 R2 Z 2dz
于是求得
Sy
z dA
A
R
z
O
2
R2 z2 dz 2 R3 3
2R3
zc
Sy A
3 πR2
4R 3π
2
图5-6
5. 2. 3 组合图形的面积矩计算
当图形是由若干个简单图形（如矩形、圆形和三角形等）组合而成时， 这类图形称为组合图形。由于简单图形的面积及其形心位置均为已知，而且 由面积矩的定义可知，组合图形对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴 面积矩的代数和，即
5.1.2 物体重心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
设有一物体，如图5-1所示。重心 c 坐 标为(xc，yc，zc)，物体的容重为 γ，总体积 为V。将物体分割成许多微小体积 ΔVi，每 个微小体积所受的重力 PGi Vi ， 其作 用点坐标(xi，yi，zi)。整个物体所受的重力
为 PG PGi 。
n
xc
A1x1c A2x2c An xnc A1 A2 An
Ai xic
i 1 n
Ai
i 1
n
yc
A1 y1c A2 y2c An ync A1 A2 An
Ai yic
i 1 n
Ai
i 1
(5-6)
【例5-1】试求图5-2 所示 Z 形平面图形的形心。
解：将Z 形图形视为由三个矩形图形组合而成，以 c1 、c2 、c3 分别表示 这些矩形的形心。取坐标系如图5-2 所示，各矩形的面积和形心坐标为
5. 2. 2 面积矩与形心的关系
由平面图形的形心坐标公式 (5-4) 和面积矩的定义可得
yc
A
第四章 平面图形的几何性质
D
12
组合图形的惯性矩：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
空心圆截面：
I y Iz
D4 d 4
64
D 1 64
4 4 4 4
d ( ) D
z
Ip
D4 d 4
32
D 1 32
D
O d
zC z
100
1
20
C(yc,zc) 140 2
yC
zc
(2)求T形截面对形心轴yC的惯性矩Iyc
I y c I y i ( I y ci a Ai )
2 i
20
y
100 203 20 1403 2 ( 150 103.3 ) 100 20 ( 103.3 70 )2 20 140 12 12
A
I y1z1 y1 z1 dA
A
y
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin y1 y cos z sin z1 y sin z cos
23
z1 z
z
形心主轴唯一
y
形心轴 y’、z’ 不是形心主轴 形心轴 y、z 是形心主轴
C
y
15
公式(formula of parallel axis)
已知：Iyc，Izc，Iyczc；求： Iy，Iz，Iyz。
z
b
y zc
2 2 I zc y1 dA I yc z1 dA A A
形心坐标为:
建筑力学6第六章
学习目标：
1. 理解静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概 念。
2. 熟练掌握组合图形形心位置的计算。 3. 会应用平行移轴公式计算组合图形对形心轴的惯性矩。 4. 熟记矩形、圆形等简单图形对其形心轴的惯性矩。
重点：
组合图形形心位置的确定及组合图形对形心轴的惯性矩的 计算。
平面图形的几何性质
若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形 心。
• 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的 形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。 二、组合图形的静矩
在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环形等横截面的 构件，这些构件的截面图形是由几个简单的几何图形组合而 成的，称为组合图形。
单位为m或mm。
为了便于查用，表6-1列出了几种常见截面图形的面积、 形心和惯性矩。
平面图形的几何性质
平面图形的几何性质
第三节 组合图形的惯性矩
第一节 静矩
一、静矩的概念
微面积dA与坐标 y（或坐标 z） 的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）
的静矩 .
这些微小乘积在整个面积 A内 的总和，称为该平面图形对z轴（或 y轴）的静矩。
用Sz（或Sy）表示。即
Sz
A dSz
A
ydA
Sy
A dS y
zdA
A
Ai zCi
i1
式中 yCi 、zCi 及 Ai 分别为各简单图形的形心坐标和面积 ，n 为组成组合图形的简单图形的个数。
平面图形的几何性质
例6-1 矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对 z1轴的 静矩 Sz1和对形心轴 z 的静矩 Sz 。
第10章平面图形的几何性质ppt课件
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix Iy
2
4
I
2 xy
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax 极小值Imin
例 计算所示图形的形心 主惯性矩.
120 40 z 20
25 20 10
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴
C
y
y z 轴，计算其惯性矩(积).
1.5d (2d )3 3d 2(0.177d )2 [πd 4 πd 2 (0.5d 0.177d )2 ]
12
64 4
2d
0.685d 4
I zC I矩zC I圆zC
(1.5d )3 2d πd 4 0.513d 4
12
64
I yC zC 0
所以 yCzC 便是形心主轴
——反映平面图形的形状与尺寸的几何量
如：
在轴向拉（压）中：
FN A
l FNl EA
本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质
§10.1 静矩与形心
理论力学 第五章 平面图形的几何性质
y
2)、求形心
xc
Ax
A
i ci
A1 xc1 A2 xc 2 A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1 80
35 1100 20.3(mm) 10 110 80 10
i ci
x
yc
A y
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10
§5-3
极惯性矩
y
dA
定义：I p dA
2 A
I p：极惯性矩
极惯性矩恒为正 单位：长度4
x
O
圆截面
d
2
I p A dA
1、实心圆截面——
O
d
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
y 10
A2 1200mm2 , xc 2 5mm, yc 2 60mm
2)、求形心
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
A1 xc1 A2 xc 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Ax
80
2 2 A A 2 A c 2 2 A A
y
I x I xc a 2 A I y I yc b A
2
yc xc
x
b
c
a
y
dA yc
xc
——平行移轴公式
o
x
•图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平 行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距 平方的乘积；
建筑力学 第7章 平面图形的
A2=200×40=8000，yc2=40/2=20 截面对Z轴的静矩为：
Sz1 Ai yci A1 yc1 A2 yc2 8000140 8000 20 1.28106
图7-7
7.2 惯性矩和惯性积
【例7-1】试求如图7-4所示工字形截面的 形心坐标。
解：将平面图形分割为三个矩形，每个图 形的面积和形心坐标分别为：
A1=80×40=3200，z1=0， y1=40+120+40/2=180
A2=120×40=4800， z2=0， y2=40+120/2=100
A3=40×120=4800， z3=0， y3=40/2=20
图7-6
2．组合平面图形的静矩 在工程实际中，经常会遇到由简单几何图形组合而
成的横截面构件，根据平面图形静矩的定义，组合图形对 z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数 和，即
S z
A1 yC1 A2 yC2 An yCn
n
Ai yCi
S y
我们把这些只与平面图形几何形状和尺
寸有关的几何量称之为平面图形的几何性质， 它是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性 质无关，但它是影响构件承载力的重要因素。 例如，在前两章介绍的应力和变形的计算公 式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力 有关，还与杆件截面的横截面积A、极惯性 矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切 相关，以后在弯曲等问题中我们还会遇到平 面图形其它的一些几何性质。
2 19953750
Iy
I1y
I2y
640
圆的平面几何性质和定理
圆的平面几何性质和定理
圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2 条弧。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
有关外接圆和内切圆的性质和定理。
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
④圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
材料力学第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心
一、静矩，即面积对轴的矩：(与力矩类似)
z
是面积与它到轴的距离之积。
图形对y轴和z轴的静矩为
dA
Sz
ydA
A
z
Sy
zdA
A
特点：
y▲静矩的量纲为长度的三次方；
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心 §4.2 惯性矩和惯性半径 §4.3 惯性积 §4.4 平行移轴公式 §4.5 转轴公式 主惯性轴
第四章 平面图形的几何性质
【基本内容】
一、静矩、形心 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 三、主轴、主惯性矩、形心主惯性平面的概念 四、平行移轴公式、转轴公式
跟踪训练
1.图示矩形截面的I．Ⅱ两部分对z轴的静矩的关 系是( )
例 1 求下列各图的图形形心位置。
za
y1
1 2
a,
y2
3 2
a
z1
a,
z2
1 2
a
2a o
A1
y
n
Ai yi
i 1
n
Ai
2a2
1a 2 2a2
a2 a2
3 2
a
5 6
a
i 1
A2
a
yz
n
Ai zi
i 1
n
Ai
2a2 a a2 1 a 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
附_平面图形的几何性质
y
材料力学
FI-2 惯性矩
五、平行轴定理
截面对任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
z
O
y
b
z
C
z0
a
y0
dA
I y I y0 b 2 A
z0
A
I z I z0 a 2 A
y
y0
材料力学
FI-3 惯性积
yzdA：微面积dA对一对 z 正交轴y，z的惯性积
b
Iz
z h
A
y dA
2
h 2 h 2
y 2bdy
dy
y
C
b 3 y 3 h
2
h 2
1 3 bh 12
2
y
1 3 I y z dA hb A 12
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
2. 圆形截面
d
已知
1 d 4 I dA A 32
A
极惯性矩和惯性矩之间的关系 2 I dA ( z 2 y 2 )dA
A
A
y
z 2 dA y 2 dA
A A
I y Iz
截面对任意点的极惯性矩等于此截面对于过该点 任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
1. 矩形截面
dA
O
y z
A
平面图形对一对正交轴y， z的惯性积：
I yz = yzdA
A
y
量纲为长度的四次方。 Iyz可能为正，为负或为零。
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附录A 平面图形的几何性质附录A 平面图形的几何性质§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。
定义下列积分：（A-1）分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为。
如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；和则分别为dA对z轴和y轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设、为形心坐标，则根据合力之矩定理(A-2)或(A-3)这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
即:(A-4)(A-5)§A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：(A-6)(A-7)分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。
定义积分(A-8)为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。
定义积分(A-9)为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。
定义,分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
根据上述定义可知：1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。
三者的单位均为或。
2.因为=+，所以由上述定义不难得出=+ (A-10)3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为(A-11) (A-12)式中,d为圆的直径；R为半径。
类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为, (A-13)式中，D为圆环外径；d为内径。
4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平行其边界的轴的惯性矩：, (A-14)根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩，便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为(A-15)对于外径为D、内径为d的圆环截面,(A-16)应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。
必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。
而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方法求得。
§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理图A-4中所示之任意图形，在坐标系Oxy系中，对于x、y轴的惯性矩和惯性积为另有一坐标系Ox1y1，其中x1和y1分别平行于x和y轴，且二者之间的距离为a和b。
所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。
下面推证二者间的关系。
根据平行轴的坐标变换将其代人下列积分，得展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得(A-17)如果x、y轴通过图形形心，则上述各式中的==0。
于是得(A-18)此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。
其中，式(A-18)表明：1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。
3.因为面积及a2、b2项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时abA为正，异号时为负。
所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。
§A-5惯性矩与惯性积的转轴定理所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为、和。
现将Oxy坐标系绕坐标原点。
反时针方向转过α角，得到一新的坐标系，记为Ox1y1。
要考察的是图形对新坐标系的、、与、、之间的关系。
根据转轴时的坐标变换：于是有将积分记号内各项展开，得(A-19)改写后，得（A-20）上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。
若将上述与相加，不难得到这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。
上述式(A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通过形心。
当然，对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。
§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩从式(A-19)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。
为确定α0，令式(A-19)中的第三式为零，即由此解得(A-21)或(A-22)如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即，同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。
这表明:当α改变时, 、的数值也发生变化，而当α=α0时，二者分别为极大值和极小值。
定义过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。
图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。
显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。
根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式(A-23)需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。
当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。
例如图A-6所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数值相等，但反号。
所以，整个图形对于x、y轴的惯性积=0，故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。
又因为C为形心，故x、y为形心主轴。
§A-7组合图形的形心、形心主轴工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。
为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。
因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。
一般应按下列步骤进行。
·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。
·以形心为坐标原点，设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。
确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的、和。
·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α0。
·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩和。
可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6全部知识的过程。
常用图形的惯性矩与抗弯截面系数(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数(4) 空心圆截面的惯性矩§A-8例题例题A-1截面图形的几何尺寸如图A-7所示。
试求图中具有断面线部分的I x、I y。
解: 根据积分定义，具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩，等于高为h、宽为b的矩形对于x、y轴的惯性矩减去高为的矩形对于相同轴的惯性矩，即上述方法称为负面积法。
用于图形中有挖空部分的情形，计算比较简捷。
例题A-2 T形截面尺寸如图A-8a所示。
试求其形心主惯性矩。
解：1.分解为简单图形的组合。
将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。
2.确定形心位置首先，以矩形I的形心C1为坐标原点建立如图A-8b所示的C1xy坐标系。
因为y轴为T字形的对称轴，故图形的形心必位于该轴上。
因此，只需要确定形心在y轴上的位置，即确定yc。
根据式(A-5)的第二式，形心C的坐标。
3.确定形心主轴因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c所示的Cx0y0坐标系，其中y0通过原点且与对称轴重合，则x0、y0即为形心主轴。
4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩和根据惯性矩的积分定义，有例题A-3 图A-9a 所示为一薄壁圆环截面，D 0为其平均直径，δ为厚度，若δ、D 0均为已知，试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。
解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即其中, 。
对于 的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。
取积分微元dA 如图A-9b 所示。
根据惯性矩的定义，得到例：直角梯形的形心计算公式设一般梯形的上底为a ，下底为b ，高为h 。
对于一般梯形的形心到下底的距离y 可用下式表达： y=b a b a h ++⨯231 对于一般梯形的形心到腰的距离x ，仅根据a 、b 、h 三个已知量表达不出，但直角梯形的形心到直角腰的距离可用下式表达： x=b a ab b a +++⨯2231 a对于直角梯形，以上表达式的证明过程如下：hb a b a h ++⨯231b a ab b a +++⨯2231 b将直角梯形分解为一个矩形及一个三角形，设形心到下底的距离为y ，形心到直角腰的距离为x ，可列出以下两个方程： ①：h h a b h ah y h b a 31)(2121)(21⨯-+⨯=⨯+ ②：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯-+⨯=⨯+a a b h a b a ah x h b a )(31)(2121)(21 解方程①可得：y=b a b a h ++⨯231 解方程②可得：x=b a ab b a +++⨯2231。