任意角的概念课件
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人教A版高中数学必修第一册5.1.1任意角课件
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°， n∈Z}．
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
解题方法（任意角和象限角的表示）
1．判断角的概念问题的关键与技能． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技能：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，视察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的情势； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
答案：－25° 395°
题型分析 举一反三
题型一 任意角和象限角的概念
【例 1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， 作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°.
(2)写出与 α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等 式－720°＜β＜360°的元素 β 写出来．
解析：(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°. (2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}， ∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z， ∴k取1，2，3. 当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°； 当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
解题方法（任意角和象限角的表示）
1．判断角的概念问题的关键与技能． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技能：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，视察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的情势； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
答案：－25° 395°
题型分析 举一反三
题型一 任意角和象限角的概念
【例 1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， 作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°.
(2)写出与 α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等 式－720°＜β＜360°的元素 β 写出来．
解析：(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°. (2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}， ∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z， ∴k取1，2，3. 当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°； 当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
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• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
任意角 -完整公开课PPT课件
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
0°
360° x
如图
几何法
如图
故
2
是第三象限的角 .
综上2 可知： 是第一或第三象限的角 .
例3.若角的终边与角的终边关于x轴对称，则 + =______
例3. 已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
y
90°
0°
O
360° x
270°
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
225° 45°
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
练习3：
（1）终边在x轴上的角的集合：
y
{ | n 180 ，n Z }.
角的概念推广的必要性:
0º到360º范围内的角在生 产、生活和科学实验的实践 中已不适用。
如体操、花样滑冰、跳台跳 水中“转体三周半”,
又如车轮、钟表、罗盘的 运动规律的研究等.
1、角的概念
任意角的概念:
平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置
OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形
3
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
Hale Waihona Puke 故3 是第一象限的角
任意角的概念课件
02
CATALOGUE
任意角的分类
正角
定义
正角是指角度大小在$0^{circ}$和 $360^{circ}$之间的角。在平面内， 正角通常表示为逆时针旋转形成的角 。
几何表示
应用
正角在几何、三角函数等领域有广泛 应用，如时钟指针的转动、物体的旋 转等。
正角可以用实线表示，起点在坐标轴 上，逆时针旋转到终点的角度即为正 角的大小。
角的大小由其终边位置决定，与旋转 方向无关。
终边相同的角
终边相同的角表示为 $alpha = beta + 2kpi$，其中 $alpha$ 和 $beta$ 是终边相同的角， $k$ 是整数。
当 $k=0$ 时，$alpha = beta$，即两个角相等；当 $k neq 0$ 时，$alpha$ 和 $beta$ 是互补角。
象限角的集合表示为 ${alpha | npi + (-1)^n cdot frac{pi}{2} < alpha < npi + (-1)^n cdot frac{3pi}{2}, n in Z}$。
04
CATALOGU义
正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)，其中α为锐角 。
负角
定义
负角是指角度大小在$360^{circ}$到$0^{circ}$之间的 角。在平面内，负角通常表示为
顺时针旋转形成的角。
几何表示
负角可以用虚线表示，起点在坐标 轴上，顺时针旋转到终点的角度即 为负角的大小。
应用
负角在物理学、工程学等领域有广 泛应用，如机械转动、电路分析等 。
零角
定义
零角是指角度大小为 $0^{circ}$的角。在平面 内，零角表示起点和终点 重合，没有旋转。
任意角ppt课件
人教版A2019-必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合．
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
解： 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，终边落 在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
（2）始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图)，
以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
分析 不唯一，如果－32°角的终边是OB，那么 328°，－392°，…角的终边都是OB，即所有与 角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集
新课引入
探究新知识
2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360＋α，k∈Z表示，在运用时 需注意以下四点： (1) k是整数，这个条件不能漏掉． (2) α是任意角． (3) k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个， 它们相差周角的整数倍．
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合．
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
解： 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，终边落 在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
（2）始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图)，
以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
分析 不唯一，如果－32°角的终边是OB，那么 328°，－392°，…角的终边都是OB，即所有与 角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集
新课引入
探究新知识
2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360＋α，k∈Z表示，在运用时 需注意以下四点： (1) k是整数，这个条件不能漏掉． (2) α是任意角． (3) k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个， 它们相差周角的整数倍．
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
任意角优秀课件PPT
课程目标
掌握任意角的基本概 念和性质。
能够运用任意角解决 实际问题。
理解任意角在各个领 域的应用。
02
任意角的基本概念
角度的定义
角度是描述两条射线、线段或平面之间的夹角量度，通常用度（°）或弧度（rad） 来表示。
在几何学中，角度是两条射线、线段或平面在同一直线上相交时所形成的空间。
角度的大小反映了射线、线段或平面之间的相对位置关系。
学习解三角形
介绍解三角形的基本概念和方法，包括正弦定理、余弦定理等， 并探讨其在几何、物理等领域的应用。
THANKS
感谢观看
角度在工程中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
工程中的角度是描述结构和 设备运行的关键参数。
在工程中，角度是描述结构 和设备运行的关键参数。例 如，在桥梁和建筑设计中， 角度可以用来确定结构的稳 定性和安全性。在机械设计 中，角度可以用来确定设备 的运行状态和工作效率。
工程中的角度可以用于解决 实际问题。
角度的测量
01
角度的测量可以采用度 量法、几何法和三角法 等方法。
02
度量法是通过使用量角 器来直接测量角度的大 小。
03
几何法是通过利用三角 形、平行四边形等几何 图形的性质来计算角度 的大小。
04
三角法是通过三角函数 的性质来计算角度的大 小。
角度的表示方法
角度可以用度数和弧度数来表 示，其中度数范围是0°~360°， 弧度数范围是$-infty$到 $+infty$。
任意角优秀课件
• 引言 • 任意角的基本概念 • 任意角的三角函数 • 任意角的性质和定理 • 任意角的计算方法 • 任意角在生活中的应用 • 总结与展望
任意角的概念ppt课件
《数学》（基础版
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五年制高职《数学》（第2册） 高等教育出版社
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生活2 1 生3活2专5业2贴近生 活理专业4 1
论 知 识
进走 专 业
自选题 理论知识题：1号、 贴近生活题：2号、3号 走进专业题：4号、5号
归纳
1．若角 45o 则角
是第 四 象限角． 10分
返 回
2.北京时间6月4日，2010跳水世界杯在男子3米板决赛中， 中国选手何冲以546.55分夺得冠军，他也成为世界杯该 项目首位卫冕的中国人。
分类 角
锐角 直角 钝角
平角
大于平角且小于周角的角
周角
今天所学角（动态） 一条射线绕其端点 旋转而形成的图形
任意大小
正角 负角
角
零角
象限角
界限角
作业 必做： 1．导学与练习 A组 2．以小组为单位，依据本节课所 学知识编写与生活或专业相关的 问题（小组之间循环解答）． 选作：
导学与练习 B组
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象限角
第一象限角 第二象限角 第三象限角
角
第四象限角
终边在x轴正半轴上的角
界限角
终边在x轴负半轴上的角 终边在y轴正半轴上的角
终边在y轴负半轴上的角
正男角 按角的性生别成过程 负角
零女角
角
置置于于坐社标会系中中
第教一师象限角
有象职限业角者
第医二生象限角
第三象限角
工人
第四象限角
…
终边在x轴正半轴上的角
角象限角界限角第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角终边在xx轴正半轴上的角终边在yy轴正半轴上的角终边在xx轴负半轴上的角终边在yy轴负半轴上的角角按角的生成过程置于坐标系中正角负角零角象限角界限角第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角性别男女置于社会中有职业者无职业者教师医生工人
5.1.1 任意角 课件(共26张ppt) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
使角的始边重合于x轴的正半轴，
这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的
终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，我们称之为轴线角)
y
例如：30是第一象限角，
终边 B
2
585是第三象限角，
1
2000是第二象限角.
作者编号：32101
-1 0
-1
-2
1 2
xo
始边 A
关键是用运动的观点来看待角的变化.
作者编号：32101
一、角的概念的推广
1.角的概念
“旋转”形成角
角可以看成一条 射线绕着它的端点 旋转 所成的 图形 .
2.角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： OA，终边： OB ，
顶点： O .
作者编号：32101
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
(1)旋转中心：作为角的顶点.
(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反
的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么
许多问题就可以解决了；
(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.
作者编号：32101
3.角的分类
作者编号：32101
角度1.终边相同的角
例3 写出与75°角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360°≤β<
1 080°的元素β写出来.
解：与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°，k∈Z}.
因为360°≤β<1 080°，所以360°≤k·360°+75°<1 080°，
这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的
终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，我们称之为轴线角)
y
例如：30是第一象限角，
终边 B
2
585是第三象限角，
1
2000是第二象限角.
作者编号：32101
-1 0
-1
-2
1 2
xo
始边 A
关键是用运动的观点来看待角的变化.
作者编号：32101
一、角的概念的推广
1.角的概念
“旋转”形成角
角可以看成一条 射线绕着它的端点 旋转 所成的 图形 .
2.角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： OA，终边： OB ，
顶点： O .
作者编号：32101
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
(1)旋转中心：作为角的顶点.
(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反
的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么
许多问题就可以解决了；
(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.
作者编号：32101
3.角的分类
作者编号：32101
角度1.终边相同的角
例3 写出与75°角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360°≤β<
1 080°的元素β写出来.
解：与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°，k∈Z}.
因为360°≤β<1 080°，所以360°≤k·360°+75°<1 080°，
人教高中数学必修四1.1.1-任意角课件
四、终边相同的角及其表示方法
注：所有与角 终边相同的角，连同角
在内，可以构成一个集合
{ | k 360 0, k Z}
即任一与角 终边相同的角，都可以表示
成角 与整数个周角的和。
说明:终边相同 的角不一定相 等,相等的角终
边一定相同
例题分析：
【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下
2)始边重合于X轴的正半轴
Ⅲ Ⅳ
则角的终边落在第几象限就是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上则它不属于任何象限， 这样的角叫做轴上角。
做一做：
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
（1） 30 （2）-120 °（3）-30 °
（4）120 ° （5） 240°（6） 6指90出°它们是第几象限角
列各角终边相同的角，并判定它们是第 几象限角．
（1） 120 ；（2） 6600 ；
（1） 120 ； （2）6600 ；
解：∵ 120 240 (1) 360 ∴与 120 角终边相同的角是 240 角，
它是第三象限的角；
（2）∵ 660 300 1360
∴与660 角终边相同的角是300 角，
一、任意角的概念
角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形。记作： , ,...
B
终边
α
O
顶点
A
始边
二、角的分类：
说明：零 角的终边 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 与始边重 合
负角：按顺时针方向旋转形成的角；
零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。
做一做
30° 是第一象限角120° 是第二象限 -120 °是第三象限角2角40° 是第三象限 -30 °是第四象限角角690° 是第四象限
课件5：1.1.1 任意角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
任意角 课件
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内， 可构成一个集合 S＝ {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示 成角 α 与整数个周角的和．如图所示，角 α1、 α2、α3 为终边相同的角．
温馨提示：一般地，终边相同的角的表达式形式不唯一，可利用图形来验证，如α＝90°＋k·180°与β＝ －90°＋k·180°(k∈Z)都表示终边在y轴上的角． 互动探究
(3)由360°<k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°<k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求 的角为β＝670°.
[规律方法] 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般 形式，再依条件构建不等式求出k的值．
温馨提示：(1)角度的范围不再局限于[0°，360°]． (2)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据终边的旋转“方向”可得到正角、负角和零角，因
此应当意识到角的终边位置及旋转方向的重要性． (3)当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但终边相同，角不一定相等．
2．象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么， 角的终边在第几象限，就说这个角是 第几象限的角 ．如果角 的终边在坐标轴上，就认【例2】 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角， 以及0°～360°范围内与其终边相同的角．
①485°；②－35°；③770°；④－500°.
[思路探索] 解决本题的关键是将所给角α写成α＝k·360°＋β(k∈Z)的形式，其中β是0°～360°范 围内的角．
温馨提示：(1)象限角的前提条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
任意角完整公开课PPT课件
表示为arctan(x)，其定义域为 全体实数，值域为全体实数。
反三角函数的性质
反三角函数的性质
反三角函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性、周 期性等。这些性质对于理解和应用反三角函数非常重要。
奇偶性
反三角函数具有奇偶性，即对于任意x，有arcsin(-x)=arcsin(x)（对于arcsin(x)）或arccos(-x)=π-arccos(x)（ 对于arccos(x)）。
反三角函数的应用
• 反三角函数的应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有 广泛的应用。例如，在解决几何问题时，可以使用反三角函数 来找到角度；在信号处理中，可以使用反三角函数来处理周期 信号；在物理学中，可以使用反三角函数来描述振动和波动等 现象。
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感谢观看
解决三角形问题
通过三角恒等式可以求出三角 形各边的长度、各角的大小等
。
求三角函数值
利用三角恒等式可以求出任意 角的正弦、余弦、正切值。
证明恒等式
通过三角恒等式可以证明一些 重要的恒等式，如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1等。
解决实际问题
在物理、工程等领域中，可以 利用三角恒等式解决一些实际 问题，如：测量、振动分析等
积化和差与和差化积公式的扩展
推广到多角公式
将积化和差与和差化积公式推广到多 角公式，可以进一步研究多角之间的 三角函数关系。
与其他公式结合应用
结合其他三角函数公式，如倍角公式 、半角公式等，可以更深入地研究三 角函数的性质和变换。
06
任意角的反三角函数
反三角函数的定义
反三角函数的定义
反正弦函数
和差化积公式的推导
利用三角函数的差角公式，通过代数 运算推导出和差化积公式。
高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件
任意角的度数和弧度
我们将学习如何用度数和弧 度来衡量一个任意角。
任意角的四象限定义
我们将描述任意角在坐标系 中四个象限的定义和特点。
任意角的三角函数
我们将学习 sine, cosine 和 tangent 等三角函数，并如 何用这些函数来表示任意角。
任意角的三角函数
三角函数的基本定义
三角函数的计算方法 三角函数的性质
我们将学习三角函数的基本概念，包括 sine、cosine 和 tangent 等函数。
我们将讨论如何计算三角函数的值。
我们将介绍三角函数的重要性质，并讨论 如何利用这些性质来解决各种问题。
任意角的辅助角
1
什么是辅助角？
我们将学习什么是辅助角，以及它在三角函数计算中的应用。
2
辅助角的求法
我们将深入了解如何求解辅助角。
3
辅助角在三角函数计算中的应用
我们将学习如何使用辅助角来简化三角函数的计算意角的应用，例如如 何用三角函数计算日落时间。
作业
我们将通过作业深入理解任意角，并加深对 其概念和应用的记忆。
总结回顾
1 本节课学到了什
么？
我们将回顾本节课所 讲解的内容，深度认 识任意角的概念和应 用。
2 对数学的认识和
体会
我们将讨论数学在现 实世界中的应用，以 及数学对我们的重要 性。
3 学习必须要具备
的素质和方法
我们将谈论如何更好 地学习数学，包括思 考、实践和分析等方 法。
拓展阅读
相关著作
我们将推荐一些关于任意角 概念和应用的书籍和文章， 以便进一步了解这个主题。
工具和技巧
我们将介绍一些有效的数学 工具和技巧来帮助更好地理 解任意角概念。
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青田县职业技术学校
共同回顾： 1. 任意角的概念． 2. 象限角的概念．
青田县职业技术学校
教材练习册： P99-100 训练题A组 题1,2,3,4
青田县职业技术学校
360度并不是角的极限， 角的大小可以无限。
青田县职业技术学校
逆时针
我们发现：
顺时针
射线沿着逆时针方向旋转和沿着顺时针方 向旋转，产生的效果是不同的.
青田县职业技术学校
新认识：有任意大小的正角、负角或零角
按逆时针方向
旋转形成的角
45
按顺时针方向
旋转形成的角
-120
射线不作旋转 时形成的角
0
青田县职业技术学校
90°
青田县职业技术学校
例2. 在直角坐标系中作出下列各 角，并指出它们是第几象限角
120°,390°, -135°,-420°
y Ⅰ
390°
x o
Ⅲ
-135
青田县职业技术学校
青田县职业技术学校
第一关： (画一画，指出下列各角 分别是第几象限的角或象限角 )
(1) 45° (2) 120° (3) -135° (4) 960° (5) 90° (6) -180 °
y
Ⅱ
Ⅰ
O
x
Ⅲ
Ⅳ
青田县职业技术学校
第二关：算一算
（1）我们上了一节课，分钟转 了多少度？ -240 °
（2）分针每分钟转过多少
度，时针每小时转过多少度.
-6°
-30°
青田县职业技术学校
第三关：辩一辩
判断下列命题是否正确 ①锐角都是第一象限的角（ √ ） ②第一象限的角都是正角（ ╳ ） ③小于90 °的角都是锐角 （╳ ） ④680°的角是第四象限的角（√ ） ⑤-300°的角与60°的角的终边相同√（ ） ⑥ 终边相同的角一定相等. （╳ ）
观看视频： 小明在游乐场 的摩天轮上乘 坐了三圈，此 时旋臂转过的 角度是多少呢 ？在不在0度 到360度之间 呢？
任意角的概念
青田县职业技术学校
请同学们说一说在生活中，还有哪 些事例的旋转量会超出这个范围呢？
角·新认识
任意角的概念
现在，同学们还认为角不能超过360度吗 ？那么角究竟可以有多大呢？
请同学们画一个角，想一想 只画出角的始边和终边，能够判 断出所画角的符号和大小吗？
青田县职业技术学校
角·新认识Hale Waihona Puke 看120，
像
这
样
450
任意角的概念
-120
390
弧表示旋转的量，箭头表示旋转的方向；标注数值： 符号表示旋转的方向，度数表示旋转量的大小。
青田县职业技术学校
请同学们画出下列各角：
450； 6900； -1350； -4200
690 45
-135
-420
青田县职业技术学校
Ⅱ
y
在直角坐标系中
Ⅰ
终边
终
边
叫界限角
为了研究方便， 将角的始边处于
x o
同一位置
始边
终边
Ⅲ
Ⅳ
终 边
象
限
终
边
1)置角的顶点于原点
角
2)始边重合于X轴的正半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
青田县职业技术学校
例1. （1）经过2个小时，钟表的时针和 分针各转了多少度？-60° -720° （2）如果钟表快了15分钟，要将它 调准，分针应旋转多少度？
任意角的概念
授课教师：
(1)角可以看作是有公共端点的两条射线所组成
的图形．
(2)角是平面内一条射线绕着端点旋转而成的图
形。
B
顶
AOB BOA
点o
A
1.角是不考虑旋转方向的
2.角是大于0度小于或等于360度
青田县职业技术学校
观察： 金箍棒旋转形成的角？
发现：大于360度
青田县职业技术学校
边看边想
共同回顾： 1. 任意角的概念． 2. 象限角的概念．
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360度并不是角的极限， 角的大小可以无限。
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逆时针
我们发现：
顺时针
射线沿着逆时针方向旋转和沿着顺时针方 向旋转，产生的效果是不同的.
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新认识：有任意大小的正角、负角或零角
按逆时针方向
旋转形成的角
45
按顺时针方向
旋转形成的角
-120
射线不作旋转 时形成的角
0
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90°
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120°,390°, -135°,-420°
y Ⅰ
390°
x o
Ⅲ
-135
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第一关： (画一画，指出下列各角 分别是第几象限的角或象限角 )
(1) 45° (2) 120° (3) -135° (4) 960° (5) 90° (6) -180 °
y
Ⅱ
Ⅰ
O
x
Ⅲ
Ⅳ
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第二关：算一算
（1）我们上了一节课，分钟转 了多少度？ -240 °
（2）分针每分钟转过多少
度，时针每小时转过多少度.
-6°
-30°
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第三关：辩一辩
判断下列命题是否正确 ①锐角都是第一象限的角（ √ ） ②第一象限的角都是正角（ ╳ ） ③小于90 °的角都是锐角 （╳ ） ④680°的角是第四象限的角（√ ） ⑤-300°的角与60°的角的终边相同√（ ） ⑥ 终边相同的角一定相等. （╳ ）
观看视频： 小明在游乐场 的摩天轮上乘 坐了三圈，此 时旋臂转过的 角度是多少呢 ？在不在0度 到360度之间 呢？
任意角的概念
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请同学们说一说在生活中，还有哪 些事例的旋转量会超出这个范围呢？
角·新认识
任意角的概念
现在，同学们还认为角不能超过360度吗 ？那么角究竟可以有多大呢？
请同学们画一个角，想一想 只画出角的始边和终边，能够判 断出所画角的符号和大小吗？
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角·新认识Hale Waihona Puke 看120，
像
这
样
450
任意角的概念
-120
390
弧表示旋转的量，箭头表示旋转的方向；标注数值： 符号表示旋转的方向，度数表示旋转量的大小。
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请同学们画出下列各角：
450； 6900； -1350； -4200
690 45
-135
-420
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Ⅱ
y
在直角坐标系中
Ⅰ
终边
终
边
叫界限角
为了研究方便， 将角的始边处于
x o
同一位置
始边
终边
Ⅲ
Ⅳ
终 边
象
限
终
边
1)置角的顶点于原点
角
2)始边重合于X轴的正半轴
3)终边落在第几象限就是第几象限角
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例1. （1）经过2个小时，钟表的时针和 分针各转了多少度？-60° -720° （2）如果钟表快了15分钟，要将它 调准，分针应旋转多少度？
任意角的概念
授课教师：
(1)角可以看作是有公共端点的两条射线所组成
的图形．
(2)角是平面内一条射线绕着端点旋转而成的图
形。
B
顶
AOB BOA
点o
A
1.角是不考虑旋转方向的
2.角是大于0度小于或等于360度
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观察： 金箍棒旋转形成的角？
发现：大于360度
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