郝桐生--第15章 达朗贝尔原理(例题)

MO PAr PB r ( PA PB )r
( e)
1 P 2 r 2 P 将JO r 代入 , 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 2 d r P 由动量矩定理： [ ( PA PB )] ( PA PB ) r dt g 2
PA PB LO v r v r JO g g
第十五章 达朗贝尔原理
B C
A m,L O
vC
r
FI maC m
2 vC
O
r 2 ( L 2) 2

R

O
M IO J O 0
R
1 L 2 2 2 J O J C m OC mL m[r ( ) ] 12 2
2

动量、对O动量矩、动能；惯性力系 向O简化结果
列补充方程： a1 r1 , a2 r2 代入上式
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
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第十五章 达朗贝尔原理
方法2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
LO m1v1r1 m2 v2 r2 J (m1r1 m2 r2 J ) M O ( F ( e ) ) m1 gr1 m2 gr2
第十五章 达朗贝尔原理
[例15-5] 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓 轮O均为均质物体，各重为G和Q，半径均为R，绳子不可伸长， 其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面倾角，如在鼓轮上 作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的约束力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩 擦）？
第十五章 达朗贝尔原理
解： 方法1 用达朗伯原理求解 取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：
FI1 m1a1 , FI 2 m2 a2 , M IO J O J
由动静法：
M
O
(F ) 0 ,
m1 gr1 m2 gr2 FI1r1 FI 2 r2 M IO 0 m1 gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2 a2 r2 J 0
2 2 2 (m1r1 m2 r2 J ) C (m1r1 m2 r2 ) g 2 两边对时间t求导数，得 dω d 2 2 ω (m1r1 m2 r2 J) (m1r1 m2 r2 )g dt dt d m1r1 m2 r2 g 2 2 dt m1r1 m2 r2 J
l 3g ma F mg cos 0 aC cos 0 2 4 n n 0 maC mg sin 0 FA mg n 所以 FA mg sin 0 , FA cos 0 4
C A
这里
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第十五章 达朗贝尔原理
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第十五章 达朗贝尔原理
[例15-4] 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上， 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮 对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮 的角加速度（轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。
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2 2
根据动量矩定理：
d [(m1r12 m2 r2 2 J ) ] m1 gr1 m2 gr2 dt
m1r1 m2 r2 所以 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
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第十五章 达朗贝尔原理
W12 m1g s1 m2 g s2 m1g r1 m2 g r2 (m1r1-m2r2 ) g
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第十五章 达朗贝尔原理
质量不计的圆环如图，在径向焊接一个质量为m，长为r 的均质细棒，圆环可在水平面上纯滚动，在图示位置细棒OA 水平，从静止开始运动，试用达朗伯原理（动静法）求细棒 OA在图示位置的角加速度和地面对圆环的摩擦力。
O P
A
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第十五章 达朗贝尔原理
例13－3 已知 ：PA PB ; P ; r ; J O 1 P r 2 , 求 。 2g 【解】 (1)取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
d g PA P B dt r PA P B P/ 2
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第十五章 达朗贝尔原理
例13-12 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计 且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求：圆柱B下落时质心的加速度。

aA
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第十五章 达朗贝尔原理
机车的连杆AB的质量为m，两端用铰链连接于主动轮上， 铰链到轮心的距离均为r，主动轮的半径均为R。求当机车以匀 速v直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及A、B处 的竖向约束力（用动静法求解）。
R
A r O1
B

C
r O2

v
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第十五章 达朗贝尔原理
第十五章 达朗贝尔原理 质量为m，半径为R的均质 圆轮在水平面作纯滚动，已知 轮心的加速度为aC，则系统惯 性力系对速度瞬心P的主矩的大 小为（1.5mRaC ）， 对轮缘顶端A的主矩的大小为 （ 0.5mRaC ）。
A
A

O
aC
C C P B


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测验7 一质量为m，半径为R的均质圆轮绕O轴转动， 图示瞬时，已知轮缘上A点加速度aA的大小、方向，该瞬 时轮的惯性力主矢的大小为（ ）； 惯性力系向O简化的主矩为（ ）； 请将主矢和主矩画在图上。 A C O
由 T2 T1 W12，得
方法3 用动能定理求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 2 1 1 1 2 2 2 2 T2 m1v1 m2 v2 J 2 (m1r1 m2 r2 J ) 2 2 2 2 任意假定一个初始值 T1 C (某确定值 )
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第十五章 达朗贝尔原理
解：（1）选圆柱A为研究对象
1P 2 r A Tr 2g
1P 2 r B T 'r 2g P a P T ' g C
（1）
（2）选圆柱B为研究对象 （2） （3）
（3）运动学关系：
aC ae ar r A r B （4）
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第十五章 达朗贝尔原理
方法二 用动力学普遍定理求解 (1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 W12 M PR sin ( M PR sin )
T1 C ( 常量 ) 2 1 Q 2 1 P 1 P 2 2 T2 R O v2 R 2 A O (Q 3 P) R 2 2 2g 2g 2 2g 4g 两边对t求导数： (v RωO RωA ) 由 T2 T1 W12，得 O 2 (Q 3 P) R 2 C ( M PR sin ) 4g 1 (Q 3 P) R 2 2O O ( M PR sin )O 4g 2( M PR sin ) O g 2 (Q 3 P) R
理论力学电子教程 在铅垂平面内，均质杆AB长为l，质量 为m，两端A和B分别沿地面和墙滑动， 在图示位置，已知角速度为ω，角加速 度为，则惯性力系的主矢大小为 ml 2 ml （ FI ）， FIn 2 ml 2 2 ）。 对质心C的主矩大小为（ 12 2 对点O的主矩大小为（ ml ）。 6
理论力学电子教程 质量为m，半径为R的均质圆盘作 定轴转动，其角速度为，角加速度为 ，则左图惯性力系向O点简化的结果 FIn mR 2 , FI mR , 为（ ）， M IO J O 1.5mR 2 右图惯性力系向O点简化的结果为
2 （ FI 0, M IO J O 0.5mR ）。
( 4) (5) ( 6)
运动学关系：
F 0 , F 0
x y
FT FIA FS G sin 0
, FN G cos 0 a A R A R O A O
将MIA，FIA，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：
2( M P sin R) G (3M QR sin ) O g FT 2 (Q 3G ) R (Q 3G ) R 代入(2)、(3)、(5)式，得： G(3M QR sin ) cos , (Q 3G) R G(3M QR sin ) FOy sin Q , (Q 3G) R G( M GR sin ) FS 。 (Q 3G) R FOx
置于水平地面上的半圆柱质量为m，半径为r，质心C距圆 心O的距离为e，对过质心C且垂直于纸面的轴的转动惯量为J。 如半圆柱于图示位置（OC水平）从静止开始运动，不计摩擦， 求：（1）试用动力学普遍定理方法求初瞬时半圆柱的角加速 度；（2）试用达朗伯原理（动静法）求初瞬时半圆柱的角加 速度；（3）用动力学普遍定理求质心C运动到最低位置时半 圆柱的角速度。 e O A r C
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第十五章 达朗贝尔原理
解：方法一 用动静法求解 1Q 2 M J R O IO O O （1）取轮O为研究对象，虚加惯性力偶 2g 列出动静法方程： M (F ) 0 , F R M M 0 (1)
F F
O
T
IO
x
0 ,
FOx FT cos 0
MO PAr PB r ( PA PB )r
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( e)
1 P 2 r 2 P 将JO r 代入 , 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 2 d r P 由动量矩定理： [ ( PA PB )] ( PA PB ) r dt g 2
PA PB LO v r v r JO g g
由（1）、（2）式得：
A B
4 g 5
代入（3）、（4）并结合（2）式得：
2g A B 5r
aC
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第十五章 达朗贝尔原理
例13－3 已知 ：PA PB ; P ; r ; J O 1 P r 2 , 求 。 2g 【解】 (1)取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
20170606[例15-1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面 成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座 解： （法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系： 反力。
注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。
2 ml ml F n ma 0 , M J FIR IA A IR n 3 2 根据动静法，有 F 0 , FA mg cos 0 FI (1) A 0 n n F 0 , F mg sin F n A 0 IA 0 A
法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象，由动量矩定理，得： l mg cos 0 l 3g 2 J A mg cos 0 cos 0 1 2 2 2l ml 3 3g t 0时 , 0 , cos 0 , 此时 0 2l 由质心运动定理：
( 2)
M
( F ) 0 , mg l/ 2 cos 0 M IA 0 (3)
FAn mg sin 0 ; 3g 由(3)得 : cos 0 ; 2l mg 代入(1)得 : FA cos 0 。 4 由(2)得 :
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第十五章 达朗贝尔原理
( 2) (3)
y
0 , FOy Q FT sin 0
（2）取轮A为研究对象，虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC如图示。
G FIA a A , g 1G 2 M IA R A 2g
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第十五章 达朗贝尔原理
列出动静法方程： M C ( F ) 0 , G sin R FIA R FT R M IA 0