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数学建模实验报告

一、摘要（写出本次作业建模的大致思路、方法及主要结果）

根据微积分中熟知的有限覆盖定理，必然存在最小的覆盖，这样就为节约用水而建立优化模型提供了理论依据。然而我们更需要的是对实际问题有具体指导的结论。

我们假设每个喷水龙头的喷水面积都是固定不变的，要使用水最少，只需浇灌的重复面积最小。因此我们需要建立这样一个模型，既要使绿地全部被均匀地浇到，又要达到节约水资源的目的；而只有在被重复浇到的绿地面积达到最小时，才能使喷浇节约用水。我们假设在绿地区内可以放置 n 个龙头，每个龙头最大的喷射半径为R 。记绿地区域的面积为，第i 个龙头的喷射半径为i r ，喷射角度为i α，它所形成的区域为t S ，则绿地受水的总面积(实际上的圆覆盖)为n

t t=1S=S ∑，

从而得到如下优化模型问题：

目标函数： S S n t t t=1

S=Min{S }α∑ 约束条件： t t t 1S S;r R n

=⊇≤；

为了解决和简化问题，更能表达“覆盖”的含义，我们以

S K=S

代替文献[1，2]中的S S 来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣，

就有：1≥K 。K 越接近1，模型就越好，因此用水也就越节约。

我们针对4种不同的几何形状绿地区域的覆盖进行讨论，从而得到了

关于它们的有效覆盖率的计算结果。

二、问题重述（写出本次作业的具体内容）

城市公共绿地的浇灌是一个长期大量的用水项目。随着现代城市人们生活质量的提高，美化城市和建设绿色家园的需要，城市绿化带正在扩大，用水量随之不断增大。因此，城市绿化用水的节约是一个十分重要的问题。

目前，对于绿地的浇灌用水主要有移动水车浇灌和安装固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园、校区、广场等观赏性绿地。观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，因此，喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。根据观察，绿地喷水龙头分布和喷射半径的设定较大随意性。

那么，对于任意绿地，喷浇龙头到底以什么方案设置才最节约用水呢？请建立数学模型分析。

三、问题分析（对本模型进行分析、阐述）

每一块绿地都有一定的形状，我们在模型中对正方形、等腰三角形、正多边形和长方形进行分析。以正方形为例，我们假设绿地区域是边长为2a的正方形。先以正方形中心为圆心，R为半径作圆，我们称之为大圆。再分别以四个顶点为圆心，r为半径，作等半径的四分之一圆，我们称之为小圆。使整个正方形被覆盖，我们的目标是让绿地都能喷浇到水，并且要使被重复喷浇到水的面积最小。换句话说：我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最小。因此，我们要选择适当的半径R与r ，使大圆与小圆面积之和达到最小。我们以

S K=S

来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣，就有：1≥K 。K 越接近1，模型就越好，因此用水也就越节约。通过计算，可以得出一个最优比，从而得出喷水龙头的最佳分布方案。

四、模型假设（写出你对模型的基本假设条件）

1.假设公共绿地为平面上有规则的区域，它可划分为一些多边形区域。

2.假设绿地下的喷水管道可以任意设置，从而可以在绿地内任意设置喷水龙头。

3.喷水龙头可以对喷射半径以内的绿地进行均匀喷浇。

4.喷水龙头还可以根据均匀喷浇的实际需要进行设计。

5.用于喷浇绿地的水压是稳定的。

五、符号约定（对模型中出现的变量进行符号约定）

正方形的边长为2a;大圆半径为R ，小圆半径为r ；每个龙头最大的喷射半径为R ，记绿地区域的面积为，第i 个龙头的喷射半径为i r ，喷射角度为i α，它所形成的区域为t S ，则绿地受水的总面积(实际上

的圆覆盖)为n

t t=1S=S ∑。

六、模型建立（写出你根据假设及问题分析建立的数学模型）

1.绿地为正多边形区域的最优覆盖率

对于正多边形区域的覆盖，我们可借助于极限的思想进行讨论.事实上，把绿地全等分成若干小的正多边形.当正多边形的边数无限的增加时，正多边形的内切圆的面积就越接近正多边形的面积.下面，

我们以边长为的正六边形为例，利用上述思想来求最优覆盖率. 我们先考虑一种与正方形绿地喷浇相似地布局方式.如图1所示，我们先以正六边形中心为圆心，R 为半径作圆，我们称之为大圆.再分别以六个顶点为圆心，r 为半径，作等半径的三分之一圆，我们称之为小圆.使整个正六边形被覆盖，我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最小.因此，我们要选择适当的半径R 与r ，使大圆与小圆面积和达到最小.这样我们就得到下面的优化模型： 目标函数：

()221()

()2240360b

b c b a b f r r d π

αββ>≈=+-'=+-=⎡⎤⎣⎦22S=M {2}in R r π+ 约束条件： 22342a R a r -+=

这是一个二元函数求条件极值的问题，我们得到：当311,66R a r a ==时，目标函数S 达到最小值21112

a π。于是我们有最小有效圆覆盖率为：

221112 1.10833a S K S a π===

2.绿地为正方形区域时的最优覆盖率

如图1,2我们假设绿地区域是边长为2a 的正方形。先以正方形中心为圆心，R 为半径作圆，我们称之为大圆。再分别以四个顶点为圆心，r 为半径，作等半径的四分之一圆，我们称之为小圆。们要选择适当的半径R 与r ，使大圆与小圆面积之和达到最小。这样我们就得到下面的优化模型：

目标函数：22{}S Min R r π=+ 22R a r a -=

这相当于一个二元函数求条件极值的问题，作辅助函数：

2222(,,)(R )(R )L R r r a r a λπλ=++-- 将它分别对R,r,λ，得到方程组： 2222(,,)20(,,)20(,,)0R r L R r R R a L R r r L R r R a r a λλπλπλλ⎧'=+=⎪-⎪⎪'=+=⎨⎪'=--=⎪⎪⎩

求解以上方程组得到：51,22R a r a =

=.时目标函数S 达到最小值232a π. 于是，我们计算出最小的有效圆覆盖率为：