数学建模实验报告模板
数学建模基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。
表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。
2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。
5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。
将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。
2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。
（2）输入数据，进行数据预处理。
（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。
（4）输出回归系数、截距等参数。
4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。
（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。
（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。
5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。
2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。
数学建模的实验报告
数学建模实验报告姓名：学院：专业班级：学号：数学建模实验报告（一）——用最小二乘法进行数据拟合一．实验目的：1.学会用最小二乘法进行数据拟合。
2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。
3.掌握数据可视化的基本操作步骤。
4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。
二．实验任务：来自课本64页习题：用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合：三．实验过程：1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。
即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。
2．程序：x=[19 25 31 38 44]y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]ab=y/[ones(size(x));x.^2];a=ab(1),b=ab(2)xx=19:44;plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.')3.上机调试得到结果如下：x = 19 25 31 38 44y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000a = 0.9726b = 0.0500图形：四．心得体会通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。
数学建模实验报告（二）——用Newton法求方程的解一．实验目的1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。
2.利用Matlab进行编程求近似解。
二．实验任务来自课本109页习题4-2：用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解三．实验过程1.实验原理：把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
数模实验报告
数模实验报告摘要：本实验通过数学建模方法，对某个具体问题进行了建模与求解。
实验内容主要包括问题描述、问题分析、模型建立、模型求解及结果分析等几个部分。
通过本次实验，我们可以对数学建模的过程有较为全面的了解，同时也能够掌握一定的模型建立与求解的方法和技巧。
一、问题描述本次实验的问题是关于某个具体问题的建模与求解。
具体而言，问题是关于某个物理系统的数学描述。
物理系统的状态可以通过一组物理量来描述，而这组物理量的变化又可以通过一组数学方程来描述。
因此，问题的基本任务是找到这组数学方程，并通过求解这组方程，得到问题的解答。
二、问题分析在进行问题分析之前，我们需要对问题进行深入的了解和分析。
首先，我们需要对物理系统进行全面的观察和实验，以获得充分的数据和信息。
通过观察与实验，我们可以发现其中的一些规律和关系，这些规律和关系有助于我们建立数学模型并求解问题。
其次，我们需要通过对问题的分析，找出问题的关键要素和影响因素。
通过对关键要素和影响因素的分析，我们可以确定问题的数学描述方法，从而进一步进行模型建立与求解。
三、模型建立在进行模型建立之前，我们需要根据问题的要求和实际情况选择适当的数学工具和方法。
常用的数学工具和方法包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等。
根据问题的特点和需求，我们可以选择适当的数学建模方法，如数值求解、最优化、动态系统等。
在模型建立过程中，我们需要明确问题的假设和约束条件，并据此构建数学模型。
模型的构建涉及到数学方程的建立和模型参数的确定等几个方面。
通过对方程和参数的合理选择和调整，我们可以使得模型能够真实地反映物理系统的行为和特性。
四、模型求解。
数学建模优秀实验报告
一、实验背景与目的随着科学技术的不断发展，数学建模作为一种解决复杂问题的有力工具，在各个领域都得到了广泛应用。
本实验旨在通过数学建模的方法，解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、实验内容与步骤1. 实验内容本实验选取了一道具有代表性的实际问题——某城市交通拥堵问题。
通过对该问题的分析，建立数学模型，并利用MATLAB软件进行求解，为政府部门提供决策依据。
2. 实验步骤（1）问题分析首先，对某城市交通拥堵问题进行分析，了解问题的背景、目标及影响因素。
通过查阅相关资料，得知该城市交通拥堵的主要原因是道路容量不足、交通信号灯配时不当、公共交通发展滞后等因素。
（2）模型假设为简化问题，对实际交通系统进行以下假设：1）道路容量恒定，不考虑道路拓宽、扩建等因素；2）交通信号灯配时固定，不考虑实时调整；3）公共交通系统运行正常，不考虑公交车运行时间波动；4）车辆行驶速度恒定，不考虑车辆速度波动。
（3）模型构建根据以上假设，构建以下数学模型：1）道路容量模型：C = f(t)，其中C为道路容量，t为时间；2）交通流量模型：Q = f(t)，其中Q为交通流量；3）拥堵指数模型：I = f(Q, C)，其中I为拥堵指数。
（4）模型求解利用MATLAB软件，对所构建的数学模型进行求解。
通过编程实现以下功能：1）计算道路容量C与时间t的关系；2）计算交通流量Q与时间t的关系；3）计算拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系。
（5）结果分析与解释根据求解结果，分析拥堵指数与时间、交通流量、道路容量之间的关系。
针对不同时间段、不同交通流量和不同道路容量，提出相应的解决方案，为政府部门提供决策依据。
三、实验结果与分析1. 结果展示通过MATLAB软件求解，得到以下结果：（1）道路容量C与时间t的关系曲线；（2）交通流量Q与时间t的关系曲线；（3）拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线。
2. 结果分析根据求解结果，可以得出以下结论：（1）在高峰时段，道路容量C与时间t的关系曲线呈现下降趋势，说明道路容量在高峰时段不足；（2）在高峰时段，交通流量Q与时间t的关系曲线呈现上升趋势，说明交通流量在高峰时段较大；（3）在高峰时段，拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线呈现上升趋势，说明拥堵指数在高峰时段较大。
数学建模实习报告4篇
数学建模实习报告4篇数学建模实习报告篇1大一第二学期的第九周，我们建筑工程学院的学生在陈金陵院长，彭莉英和梁桥等老师的带领下进行了为期一周的认知实习。
众说周知。
建筑工程行业是相当注重实际经验的。
身为一名应用型本科土木专业的学生，经验对我们来说就更加重要了。
这次我们终于有机会去众多的建筑工地实地考察了。
一周以来，前两天天气炎热，后两天大于瓢泼，天气一直不好，我们先后去了长沙和湘潭等地考察，时间紧，路途远，是比较累的。
但一周以来，我却始终怀着兴奋的心情，认真听着老师和施工员，监理人员的实地讲解，这使我收获很大。
这不但使我对本专业的认识进一步加强，也是我对今后工作的选择有了初步的认识。
下面就是我本次实习的具体行程和我的体会。
一、实习地点及日程安排:2023年4月13日实习动员参观主校区2023年4月15日上午参观莲城大桥金屏村铁路桥晚上“招标与投标”专业知识讲座2023年4月16日上无参观并解工业厂房与民用住宅的异同观看湘潭市体育公园施工过程二、实习目的：认识实习是整个实习教学计划中的一个有机组成部分，是土木工程专业的一个重要的实践性环节。
通过组织参观和听取一些专题技术报告，收集一些与实习课题有关的资料和素材，为顺利完成实习打下坚实基础。
通过实习应达到以下目的：1.了解普通住宅结构2.初步了解体育馆结构设计及施工过程3.了解桥梁道路铁路桥梁等设计及结构4.了解工用与民用建筑的区别联系5.了解建筑结构领域的最新动态和发展方向6.提高艺术修养，加深对建筑与艺术的了解7.培养专业兴趣，明确学习目的三、实习过程及内容：2023年4月13号星期一晴上午，在图书馆第二报告厅内，我们认真聆听了陈院长和湘潭市建筑设计院的专家讲说。
陈院长概括了我们这次实习的行程安排，接着设计院的专家细致的为我们介绍了现在设计院内的工作要求，也就是告诉我们要达到怎们样的水平才有机会计入设计院工作。
这对我们既是鞭策是鼓励。
下午天气温和，我们怀着兴奋的心情，在陈院长的带领下参观我们学校的新校区。
数学建模选课实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景随着社会的发展和科技的进步，数学建模作为一种解决实际问题的有效方法，被广泛应用于各个领域。
为了提高学生的数学建模能力和实际操作能力，我校开设了数学建模选修课程。
本实验旨在通过数学建模选课实验，探讨如何选择适合学生兴趣和实际需求的数学建模课程，以提高学生的学习效果。
二、实验目的1. 了解数学建模课程体系，明确课程设置原则；2. 掌握数学建模选课方法，提高学生选课的科学性；3. 分析数学建模课程对学生实际能力的培养效果。
三、实验方法1. 调查法：通过问卷调查、访谈等方式，了解学生对数学建模课程的需求和兴趣；2. 比较分析法：对比不同数学建模课程的教学内容、教学方法和考核方式，分析课程特点；3. 统计分析法：对实验数据进行分析，得出数学建模选课的科学方法。
四、实验步骤1. 收集数据：通过问卷调查、访谈等方式，收集学生对数学建模课程的需求和兴趣数据；2. 整理数据：对收集到的数据进行分析和整理，形成课程设置和选课建议的依据；3. 比较分析：对比不同数学建模课程的教学内容、教学方法和考核方式，分析课程特点；4. 制定选课方案：根据课程特点和学生的需求，制定数学建模选课方案；5. 实施选课方案：引导学生根据选课方案进行选课；6. 跟踪调查：对选课后的学生进行跟踪调查，了解选课效果。
五、实验结果与分析1. 学生需求分析根据问卷调查和访谈结果，学生普遍认为数学建模课程应具备以下特点：（1）课程内容与实际应用紧密结合；（2）教学方法多样化，注重学生动手能力和创新能力的培养；（3）考核方式合理，注重过程评价和结果评价相结合。
2. 课程设置分析根据学生需求，我校开设了以下数学建模课程：（1）基础数学建模；（2）应用数学建模；（3）高级数学建模；（4）数学建模竞赛辅导。
3. 选课方案制定根据课程特点和学生的需求，制定以下选课方案：（1）基础数学建模：面向所有学生，作为公共选修课；（2）应用数学建模：面向有一定数学基础的学生，作为专业选修课；（3）高级数学建模：面向对数学建模有浓厚兴趣的学生，作为选修课；（4）数学建模竞赛辅导：面向有意参加数学建模竞赛的学生，作为辅导课程。
数学建模装船实验报告
一、实验目的通过本次数学建模实验，掌握数学建模的基本步骤和方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
本次实验以装船问题为背景，分析问题、建立数学模型、求解模型，最终得到最优装船方案。
二、实验内容1. 问题背景某港口码头有一批货物需要装船运输，共有m种货物，每种货物的体积为Vi（立方米），重量为Wi（吨）。
船的载重能力为T（吨），载重体积为V（立方米）。
要求在满足载重和载重体积限制的条件下，使装船的货物总体积最小。
2. 模型假设（1）货物可任意排列，不考虑货物的形状和摆放方式；（2）货物的体积和重量均为已知，且每种货物的体积和重量均小于船的载重体积和载重能力；（3）货物的体积和重量之间成线性关系。
3. 模型构建（1）定义变量：设第i种货物的数量为xi（i=1,2,...,m），则总体积为：S = ∑(Vi xi)总体重为：W = ∑(Wi xi)（2）建立约束条件：载重限制：W ≤ T载重体积限制：S ≤ V（3）目标函数：最小化总体积，即：min S = ∑(Vi xi)4. 模型求解采用遗传算法对模型进行求解。
遗传算法是一种模拟自然界生物进化过程的优化算法，通过迭代优化求解最优解。
（1）初始化种群：随机生成一定数量的染色体，每个染色体代表一种装船方案，包括m种货物的数量。
（2）适应度函数：根据约束条件计算每个染色体的适应度值，适应度值越高表示方案越优。
（3）选择：根据适应度值对染色体进行选择，选择适应度值较高的染色体进入下一代。
（4）交叉：将选中的染色体进行交叉操作，产生新的染色体。
（5）变异：对染色体进行变异操作，增加种群的多样性。
（6）迭代：重复步骤（3）至（5），直到满足终止条件。
5. 结果分析与解释（1）结果分析：通过遗传算法求解得到最优装船方案，包括每种货物的数量。
（2）结果解释：根据最优装船方案，可以计算出每种货物的装船数量，从而实现总体积最小化。
三、实验总结通过本次数学建模实验，我们掌握了数学建模的基本步骤和方法，提高了运用数学知识解决实际问题的能力。
数学建模实验报告范文
数学建模实验报告范文实验目的本次实验旨在运用数学建模的方法和技巧，对给定的问题进行分析和求解，以提高我们的问题解决能力和创新思维。
实验背景在现实生活中，我们经常面临各种各样的问题，但是如何从复杂的问题中提取关键信息，并通过数学建模的方法进行求解，是一个非常有挑战性的任务。
通过本次实验的学习和训练，我们可以更好地应对复杂问题，提高解决问题的能力和效率。
实验过程和方法本次实验我们选择了一个关于货车配送问题的案例进行研究。
具体过程如下：1. 问题理解：我们首先详细了解了货车配送问题的背景和要求，明确问题的目标和限制条件。
根据问题的描述，我们可以得到基本的数学模型：- 假设有N个配送点，每个配送点有固定的货物数量和配送时长。
- 有M辆货车，每辆货车的最大载重量和最大配送时长是已知的。
- 目标是使得总配送时间最短的同时，不超过货车的最大载重量。
2. 数据处理：我们将问题中给出的具体数据转化为计算机可处理的数据结构，并进行必要的预处理工作。
包括计算各个点之间的距离、货物数量等信息。
3. 建模与求解：我们根据问题的特点和要求，选用相应的数学模型和求解方法。
在本次实验中，我们选择了基于图论的算法，如最短路径算法和旅行商问题算法，来优化货车的配送路径和时间。
4. 结果分析：我们根据得到的结果，对货车的配送路径和时间进行分析和评估。
通过对比不同算法和参数设置的结果，找出最优解，并对结果进行可视化展示。
实验结果经过模型求解和分析，我们得到了一组满足条件的最优解。
在我们的实验中，总配送时间最短的方案是：...通过对比和分析不同算法和参数设置的结果，我们可以发现...实验总结本次实验通过对货车配送问题的研究和实践，我们学习了数学建模的基本方法和技巧。
通过模型建立、求解和分析的全过程，我们深入理解了数学建模的重要性和应用价值。
在实验过程中，我们遇到了一些困难和挑战，如如何选择合适的数学模型和求解算法等。
通过克服这些困难，我们不断提高了自己的问题解决能力和创新思维。
数学建模实验报告模板
数学建模实验报告一、摘要（写出本次作业建模的大致思路、方法及主要结果）根据微积分中熟知的有限覆盖定理,必然存在最小的覆盖，这样就为节约用水而建立优化模型提供了理论依据。
然而我们更需要的是对实际问题有具体指导的结论。
我们假设每个喷水龙头的喷水面积都是固定不变的，要使用水最少，只需浇灌的重复面积最小。
因此我们需要建立这样一个模型,既要使绿地全部被均匀地浇到,又要达到节约水资源的目的；而只有在被重复浇到的绿地面积达到最小时，才能使喷浇节约用水.我们假设在绿地区内可以放置 n 个龙头,每个龙头最大的喷射半径为R 。
记绿地区域的面积为，第i 个龙头的喷射半径为i r ，喷射角度为i α,它所形成的区域为t S ，则绿地受水的总面积(实际上的圆覆盖）为nt t=1S=S ∑,从而得到如下优化模型问题：目标函数： S S n t t t=1S=Min{S }α∑ 约束条件： t t t 1S S;r R n=⊇≤；为了解决和简化问题，更能表达“覆盖”的含义,我们以S K=S代替文献［1，2]中的S S 来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣,就有：1≥K 。
K 越接近1，模型就越好，因此用水也就越节约。
我们针对4种不同的几何形状绿地区域的覆盖进行讨论，从而得到了关于它们的有效覆盖率的计算结果。
二、问题重述(写出本次作业的具体内容)城市公共绿地的浇灌是一个长期大量的用水项目。
随着现代城市人们生活质量的提高，美化城市和建设绿色家园的需要,城市绿化带正在扩大，用水量随之不断增大.因此,城市绿化用水的节约是一个十分重要的问题。
目前，对于绿地的浇灌用水主要有移动水车浇灌和安装固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。
移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园、校区、广场等观赏性绿地。
观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，因此，喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。
根据观察，绿地喷水龙头分布和喷射半径的设定较大随意性.那么,对于任意绿地，喷浇龙头到底以什么方案设置才最节约用水呢？请建立数学模型分析。
数学建模实验报告范文
一、实验目的通过本次数学建模实验，使学生掌握数学建模的基本步骤和方法，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的创新意识和团队合作精神。
二、实验内容本次实验以某城市交通拥堵问题为背景，建立数学模型，并进行求解和分析。
三、问题分析近年来，随着城市化进程的加快，交通拥堵问题日益严重。
为了缓解交通拥堵，提高城市交通效率，需要建立数学模型对交通拥堵问题进行分析。
四、模型假设1. 交通流量的变化服从泊松分布；2. 交通信号灯周期固定，绿灯时间、红灯时间比例不变；3. 交通事故发生概率服从泊松分布；4. 交通拥堵程度用道路上的车辆数表示。
五、模型构建1. 建立交通流量模型：假设道路上车流量为λ，则道路上的车辆数N(t)满足泊松分布，即N(t)~Poisson(λt)。
2. 建立交通信号灯模型：假设绿灯时间为t_g，红灯时间为t_r，信号灯周期为T，则有t_g + t_r = T。
3. 建立交通事故模型：假设交通事故发生概率为p，则在时间t内发生交通事故的次数X(t)满足泊松分布，即X(t)~Poisson(pt)。
4. 建立交通拥堵模型：假设道路上的车辆数为N(t)，则交通拥堵程度U(t)可以用N(t)表示。
六、模型求解1. 根据泊松分布的性质，求解N(t)的期望值和方差，即E(N(t))=λt，Var(N(t))=λt。
2. 根据信号灯模型，求解绿灯时间t_g和红灯时间t_r。
3. 根据交通事故模型，求解交通事故发生次数X(t)的期望值和方差，即E(X(t))=pt，Var(X(t))=pt。
4. 根据交通拥堵模型，求解交通拥堵程度U(t)的期望值和方差。
七、结果分析与解释1. 根据模型求解结果，分析不同时间段内的交通流量、交通事故和交通拥堵程度。
2. 结合实际情况，分析影响交通拥堵的关键因素，并提出相应的缓解措施。
3. 通过模型求解，为相关部门制定交通管理政策提供依据。
八、实验总结通过本次数学建模实验，学生掌握了数学建模的基本步骤和方法，提高了运用数学知识解决实际问题的能力。
数学建模全部实验报告
一、实验目的1. 掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
2. 提高数学建模能力，培养创新思维和团队合作精神。
3. 熟练运用数学软件进行数据分析、建模和求解。
二、实验内容本次实验选取了以下三个题目进行建模：1. 题目一：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量，表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
2. 题目二：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），某公司计划招聘一批新员工，要求男女比例分别为1:1，甲系女生比例60%，乙系女生比例40%，丙系女生比例30%。
请为公司制定招聘计划。
3. 题目三：研究某市居民出行方式选择问题，收集了以下数据：居民年龄、收入、职业、出行距离、出行时间、出行频率等。
请建立模型分析居民出行方式选择的影响因素。
三、实验步骤1. 问题分析：对每个题目进行分析，明确问题背景、目标和所需求解的数学模型。
2. 模型假设：根据问题分析，对实际情况进行简化，提出合适的模型假设。
3. 模型构建：根据模型假设，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。
4. 模型求解：运用数学软件（如MATLAB、Python等）进行模型求解，得到结果。
5. 结果分析与解释：对求解结果进行分析，解释模型的有效性和局限性。
四、实验报告1. 题目一：线性回归模型（1）问题分析：利用线性回归模型预测公司销售量，分析行业销售额对销售量的影响。
（2）模型假设：假设公司销售量与行业销售额之间存在线性关系。
（3）模型构建：根据数据，建立线性回归模型y = β0 + β1x + ε，其中y为公司销售量，x为行业销售额，β0、β1为回归系数，ε为误差项。
（4）模型求解：运用MATLAB软件进行线性回归分析，得到回归系数β0、β1。
（5）结果分析与解释：根据模型结果，分析行业销售额对销售量的影响程度，并提出相应的建议。
2. 题目二：招聘计划模型（1）问题分析：根据男女比例要求，制定招聘计划，确保男女比例均衡。
数学建模实验报告4
数学建模实验报告班级:姓名:学号:元件可靠性问题一、实验问题:给出3种不同情况的元件连接方式, 分别求解他们的正常运行概率。
其中每个元件的正常运行概率均为p。
元件数为N, 方式2与方式3用到了与A元件相同的N个B元件。
连接方式如图：方式1:方式2:方式3:二、问题分析:Ｎ个元件的连接方式, 相当于电阻的串并联, 所以可以用电阻串并联的关系去分析各无件之间的关系:对于方式一来说, 相当于电阻的串联。
所以, 他的正常运行的概率为p^n.对于方式二来说, 相当于电阻先串联再并联。
所以, 他的正常运行的概率为：1-(1-P^n)(1-P^n)=2P^n-P^2n.对于方式三来说, 相当于电阻先并联再串联。
所以, 他的正常运行的概率为:(1-(1-P^n)^2)^n=(2p-p^2)^n现在再比较三个系统正常工作概率大小P1- P2= p^n–(2p^n-p^2n )= p^2n–p^n 由于0<p<1,所以易知P^2n-P^n<０。
所以有P1< P2P2- P3=(2p^n- p^2n)- (2p-p^2)^n= p^n［(2- p^n)-(2-p)^n］因为p^n>0,所以只要比较［(2- p^n)-(2-p)^n］大小即可。
对此式求导有-n［p^(n-1)-(2-p)^n-1］可见此式恒大于零,所以函数单调递增。
当p=１时, ［(2- p^n)-(2-p)^n］=0.所以P2- P3 <0, 再由上求导可知所以P2<P3所以P3最大。
即其的可靠性最高。
理发店问题实验题目:（１）某单人理发店有４反椅子接待顾客排队理发, 当４把椅子都坐满人时, 后来的顾客就不进店而离去。
顾客平均到达速率为４人／Ｈ, 理发时间平均10min/人。
设到达过程为泊松流, 服务时间服从负指数颁布。
求：（２）顾客一到达就能理发的概率；（３）系统中顾客数的期望值和排队等待顾客数的期望值；（４）顾客在理发店内逗留的全部时间的期望值；（５）在可能到达的顾客中因客满离开的概率。
初中数学建模报告模板
初中数学建模报告模板一、选题背景在初中数学教学中，数学建模是一项非常重要的任务。
它不仅可以帮助学生在运用数学知识解决实际问题的过程中加深对数学的理解，还能培养学生的思维能力和动手能力。
因此，在初中数学教学中，设计一些有意义的数学建模项目成为一项重要的任务。
二、问题描述在本次的数学建模项目中，我们选择了一个典型问题：如何计算测量圆柱体表面积和体积的问题。
三、问题解决1. 圆柱体的表面积计算首先，我们需要确定圆柱体的表面积公式。
圆柱体的表面积包括圆的面积和圆柱体的侧面积，公式如下：表面积 = 圆的面积 + 侧面积圆的面积公式：A = πr^2侧面积公式：A = 2πrh因此，圆柱体的表面积公式为：S = 2πrh + 2πr^2其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高度。
2. 圆柱体的体积计算接下来，我们需要确定圆柱体的体积计算公式。
圆柱的体积公式为：V = πr^2h其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高度。
3. 数学建模应用我们可以将上述公式应用到实际问题中，如测量一个水管等圆柱体的表面积和体积。
具体步骤如下：•测量圆柱体的底面半径r和高度h•计算圆柱体的表面积和体积比如，如果我们测量到一个圆柱体底面半径为5cm，高度为10cm，那么该圆柱体的表面积和体积如下所示：表面积：S = 2πrh + 2πr^2 = 2 × 3.14 × 5 × 10 + 2 × 3.14 × 5 × 5 ≈ 471 cm^2 体积：V = πr^2h = 3.14 × 5 × 5 × 10 ≈ 785 cm^3四、数学模型基于上述分析，我们给出圆柱体表面积和体积计算的数学模型如下：•输入：圆柱体的底面半径r和高度h•输出：圆柱体的表面积和体积•模型：S = 2πrh + 2πr^2，V = πr^2h五、模型结果通过以上的模型，我们可以方便地计算并得出圆柱体的表面积和体积。
数学建模实习报告模板
数学建模实习报告模板一、实习目的和意义数学建模实习是培养学生将数学理论应用于实际问题解决的重要环节。
通过实习，我们旨在提高运用数学知识和数学软件解决实际问题的能力，培养分析问题、解决问题的综合素质。
本次实习报告将围绕我们在实习过程中的所学所得，对实习内容进行总结和归纳。
二、实习内容和过程1. 实习任务在实习过程中，我们分组进行了数学建模课题的研究。
我们的任务是通过建立数学模型，对实际问题进行分析和求解。
2. 实习过程（1）问题分析：在实习的第一阶段，我们通过讨论和研究，明确了实习课题，并对问题进行了详细的分析。
我们理解了问题的背景，并确定了问题的数学模型。
（2）模型建立：在第二阶段，我们根据问题的特点，选择了合适的数学方法，建立了数学模型。
我们考虑了各种可能的模型，并通过讨论确定了最终的模型。
（3）模型求解：在第三阶段，我们利用计算机软件，对建立的模型进行了求解。
我们尝试了不同的算法，并比较了它们的结果。
（4）结果分析：在第四阶段，我们对求解得到的结果进行了分析。
我们讨论了结果的意义，并提出了改进的建议。
三、实习成果和收获1. 实习成果通过实习，我们成功建立了数学模型，并对问题进行了求解。
我们的模型和结果得到了指导老师的认可。
2. 实习收获（1）提高了我们的数学建模能力：通过实习，我们学会了如何将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法进行求解。
（2）培养了我们的团队合作精神：在实习过程中，我们学会了如何分工合作，共同完成任务。
（3）增强了我们的实践能力：通过实习，我们将所学的理论知识应用于实际问题的解决，提高了我们的实践能力。
四、实习总结通过本次数学建模实习，我们不仅提高了数学建模能力，还学会了团队合作和实践能力的培养。
我们认识到了数学在实际问题中的应用价值，也更加坚定了继续学习数学的决心。
在今后的学习和工作中，我们将继续努力，不断提高自己的数学建模能力，为解决实际问题做出更大的贡献。
综合实验报告数学建模(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数学建模的方法，对实际问题进行定量分析和求解，提高学生对数学模型构建、数学方法应用和计算机编程技能的综合运用能力。
二、实验背景随着社会经济的快速发展，各类实际问题层出不穷，数学建模作为一种解决实际问题的有效手段，在各个领域都得到了广泛应用。
本实验以我国某城市的交通拥堵问题为背景，通过数学建模方法，分析交通拥堵的原因，并提出相应的解决方案。
三、实验内容1. 问题分析本实验以我国某城市交通拥堵问题为研究对象，分析拥堵原因，建立数学模型，求解最优解。
2. 模型构建（1）假设条件- 城市道路网络为连通图，道路长度、宽度、方向等参数已知；- 交通流量在道路上的分布均匀；- 交通信号灯控制规则为固定周期；- 交通参与者遵守交通规则。
（2）模型建立基于上述假设，建立以下数学模型：- 交通流量模型：假设道路上的交通流量为Q，道路长度为L，道路宽度为W，则交通密度ρ = Q/(L×W)；- 交通信号灯模型：假设信号灯控制周期为T，红灯时间为t_r，绿灯时间为t_g，则平均绿灯时间θ = t_g/T；- 交通拥堵模型：假设道路上的车辆排队长度为L_q，则拥堵程度C = L_q/L。
（3）模型求解通过计算机编程，对模型进行求解，得到最优解。
3. 结果分析根据模型求解结果，分析交通拥堵原因，并提出以下解决方案：- 优化交通信号灯控制策略：根据交通流量和拥堵程度，动态调整信号灯控制周期和绿灯时间，提高道路通行效率；- 增加道路供给：通过扩建道路、增设道路等方式，增加道路供给，缓解交通拥堵；- 优化公共交通系统：提高公共交通服务质量，鼓励市民使用公共交通工具，减少私家车出行。
四、实验总结本次实验通过数学建模方法，对某城市交通拥堵问题进行了定量分析和求解，得出以下结论：1. 交通拥堵的主要原因是交通流量过大、交通信号灯控制策略不合理；2. 优化交通信号灯控制策略、增加道路供给、优化公共交通系统是缓解交通拥堵的有效措施。
初中数学建模实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景随着科学技术的飞速发展，数学建模作为一种重要的科学研究方法，越来越受到人们的重视。
初中数学建模实验旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的创新思维和团队协作能力。
本实验以某市居民出行方式选择为研究对象，通过建立数学模型，分析不同因素对居民出行方式的影响。
二、实验目的1. 理解数学建模的基本概念和步骤。
2. 学会运用数学知识分析实际问题。
3. 培养学生的创新思维和团队协作能力。
4. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、实验方法1. 收集数据：通过网络、调查问卷等方式收集某市居民出行方式选择的相关数据。
2. 数据处理：对收集到的数据进行整理、清洗和分析，为建立数学模型提供依据。
3. 建立模型：根据数据分析结果，选择合适的数学模型，如线性回归模型、多元回归模型等。
4. 模型求解：运用数学软件或编程工具求解模型，得到预测结果。
5. 模型验证：将预测结果与实际数据进行对比，验证模型的准确性。
四、实验过程1. 数据收集：通过问卷调查的方式，收集了500份某市居民的出行方式选择数据，包括出行距离、出行时间、出行目的、出行方式等。
2. 数据处理：对收集到的数据进行整理和清洗，剔除无效数据，得到有效数据490份。
3. 建立模型：根据数据分析结果，选择多元回归模型作为本次实验的数学模型。
4. 模型求解：利用SPSS软件对多元回归模型进行求解，得到以下结果：- 模型方程：Y = 0.05X1 + 0.03X2 + 0.02X3 + 0.01X4 + 0.005X5 + 0.002X6 + 0.001X7 + 0.0005X8- 其中，Y为居民出行方式选择概率，X1至X8分别为出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等自变量。
5. 模型验证：将模型预测结果与实际数据进行对比，结果显示模型具有较高的预测准确性。
五、实验结果与分析1. 模型预测结果：根据模型预测，出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等因素对居民出行方式选择有显著影响。
乘法_数学建模实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景数学建模是数学与其他学科交叉的一种研究方法，它通过建立数学模型来描述现实世界中的现象，从而为解决实际问题提供理论依据。
乘法作为基础的数学运算之一，广泛应用于各个领域。
本实验旨在通过数学建模的方法，探讨乘法运算在解决实际问题中的应用，提高学生对数学知识的理解和运用能力。
二、实验目的1. 了解数学建模的基本方法，掌握建立乘法模型的基本步骤。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对乘法运算的理解和应用水平。
三、实验内容1. 问题提出假设某公司生产一种产品，每件产品成本为20元，售价为30元。
公司计划在一段时间内销售1000件产品，请建立数学模型预测公司在该时间段内的利润。
2. 模型建立（1）定义变量设公司销售产品的数量为x件，则公司获得的利润为y元。
（2）建立关系式根据题意，每件产品的利润为售价减去成本，即10元。
因此，公司销售x件产品的总利润为10x元。
（3）确定模型利润y与销售数量x之间的关系可以表示为：y = 10x。
3. 模型求解（1）确定模型参数根据题意，公司计划销售1000件产品，即x = 1000。
（2）代入参数求解将x = 1000代入模型y = 10x，得到y = 10 × 1000 = 10000。
（3）结果分析通过计算可知，公司在该时间段内的利润为10000元。
4. 模型验证为了验证模型的准确性，我们可以根据实际情况调整销售数量，重新计算利润，并与实际结果进行比较。
四、实验结果与分析通过本实验，我们成功建立了乘法模型，并预测了公司销售产品的利润。
实验结果表明，乘法模型能够有效地解决实际问题，为决策提供理论依据。
五、实验总结1. 数学建模是解决实际问题的重要方法，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行求解。
2. 乘法模型在解决实际问题中具有广泛的应用，我们可以通过乘法模型预测、分析各种现象。
3. 在进行数学建模时，需要注意以下几点：（1）准确理解问题，明确模型的目标和变量。
数学建模实验报告模版
数学建模实验报告模版一、实验目的数学建模是实际问题抽象为数学模型，通过数学方法求解得到问题的答案。
本实验的目的是通过一个具体问题的建模与求解，培养学生的实际问题抽象与解决能力。
二、实验内容本次实验选择了一个实际生活中的问题进行建模与求解。
该问题是市场调查机构要对地区餐馆的顾客满意度进行调查，以评估餐馆的服务质量。
但由于资源有限，调查机构只能选择一部分顾客进行调查。
在这个问题中，我们需要确定调查的样本量大小，使其能够在一定的置信水平下准确代表整个顾客群体的意见。
三、实验步骤1.问题分析：首先，我们需要对问题进行分析，了解问题的背景和要求。
2.建立模型：根据问题的要求，我们选择了一个概率模型来描述问题。
假设顾客的满意度服从一个二项分布，即每位顾客都有可能是满意或不满意。
我们通过计算满意度的均值和方差，来代表整个顾客群体的意见。
3.数学求解：根据建立的模型，我们使用统计学方法对样本量大小进行估计，以达到一定的置信水平。
4.实验验证：最后，我们通过实验验证我们得到的样本量大小，看是否满足要求。
四、实验结果经过建模和求解，我们得到了样本量大小的估计结果。
根据我们的计算，当置信水平为95%时，我们需要调查的样本量大小为110人。
五、实验总结通过这次实验，我们学会了将实际问题抽象成数学模型，以及通过数学方法去求解这个模型。
我们也进一步了解了概率分布和统计学的知识，以及如何利用它们来进行建模和求解。
这对我们今后在实际问题中的应用具有重要意义。
在实验过程中，我们也发现了一些问题和不足之处。
例如，我们的模型可能存在一定的偏差，因为我们的假设可能与实际情况有所不同。
此外，我们的模型也有一些局限性，不适用于所有情况。
因此，在今后的学习过程中，我们需要进一步加强对数学建模的理解和应用，不断提高自己的建模能力，以更好地解决实际问题。
以上是一份关于数学建模实验的报告模板，希望对你的写作有所帮助。
实验报告的内容可根据具体实验情况进行修改和补充，以符合实际情况。
数学建模实验报告经典实例
《数学建模》实验报告计算过程如下, 结果如下:画图程序命令如下:函数图象如下:实验题目二: 编写利用顺序Guass消去法求方程组解的M-函数文件,并计算方程组的解解: M-函数文件如下:方程组的计算结果如下:实验题目三: 编写“商人们安全过河”的Matlab程序解: 程序如下:function foot=chouxiang%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 程序开始需要知道商人数, 仆人数, 船的最大容量n=input('输入商人数目:');nn=input('输入仆人数目:');nnn=input('输入船的最大容量:');if nn>nn=input('输入商人数目:');nn=input('输入仆人数目:');nnn=input('输入船的最大容量:');end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 决策生成jc=1; % 决策向量存放在矩阵“d”中, jc为插入新元素的行标初始为1for i=0:nnnfor j=0:nnnif (i+j<=nnn)&(i+j>0) % 满足条件D={(u,v)|1<=u+v<=nnn,u,v=0,1,2}d(jc,1:3)=[i,j 1]; %生成一个决策向量后立刻将他扩充为三维（再末尾加“1”）d(jc+1,1:3)=[-i,-j,-1]; % 同时生成他的负向量jc=jc+2; % 由于一气生成两个决策向量,jc指标需要往下移动两个单位endendj=0;end再验证：程序结果说明在改变商人和仆人数目, 其他条件不变的条件下。
可能无法得到结果。
程序结果说明在改变商人和仆人数目，其他条件不变的条件下。
可能无法得到结果。
数学建模实验报告
数学建模实验报告数学建模实验报告实验报告⼀4.1例1 加⼯奶制品的⽣产计划Lingo程序：max 72x1+64x2stx1+x2<5012x1+8x2<4803x1<100End输出结果：4.1例2 奶制品的⽣产销售计划输⼊程序为：Max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6st4x1+3x2+4x5+3x6<6004x1+2x2+6x5+4x6<480x1+x5<100x3-0.8x5=0x4-0.75x6=0end得到结果为：4.2例1 ⾃来⽔输送问题输⼊程序为：Min160x11+130x12+220x13+170x14+140x21+130x22+190x23+150x24+190x31+200x32 +230x33 stx11+x12+x13+x14=50x21+x22+x23+x24=60x31+x32+x33=50x11+x21+x31>30x11+x21+x31<80x12+x22+x32>70x12+x22+x32<140x13+x23+x33>10x13+x23+x33<30x14+x24>10x14+x24<50end输出结果：4.2例2 货运装机输⼊程序：Max3100x11+3100x22+3100x13+3800x21+3800x22+3800x23+3500x31+3500x32+3500x 33+2850x41+2850x42+2850x43stx11+x12+x13<18x21+x22+x23<15x31+x32+x33<23x41+x42+x43<12x11+x21+x31+x41<10x12+x22+x32+x42<16x13+x23+x366+x43<8480x11+650x21+580x31+390x41<6800 480x12+650x22+580x32+390x42<8700 480x13+650x23+580x33+390x43<5300 输出结果：4.3例1汽车⼚⽣产计划max 2x1+3x2+4x31.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000 endgin 3输出结果：4.3例2 原油采购与加⼯max 4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10x1-8x2-6x3 st x-x1-x2-x3=0x11+x12-x<500x21+x22<10000.5x11-0.5x21>00.4x12-0.6x22>0x1-500y1<0x2-500y2<0x3-500y3<0x1-500y2>0x2-500y3>0int y1int y2int y3输出结果：4.4例1 混合泳接⼒队的选拔min 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +57.2x21+66x22+66.4x23+53x24+78x31+67.8x32+84.6x33+59.4x34+70x41+74.2x42+69.4x43+57.1x44+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54stx11+x12+x13+x14<=1x21+x22+x23+x24<=1x31+x32+x33+x34<=1x41+x42+x43+x44<=1x11+x21+x31+x41+x51=1x12+x22+x32+x42+x52=1x13+x23+x33+x43+x53=1x14+x24+x34+x44+x54=1endint 20输出结果：4.4例2 选课策略min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 st x1+x2+x3+x4+x5>2x3+x5+x6+x8+x9>3 x4+x6+x7+x9>22x3-x1-x2<0x4-x7<02x5-x1-x2<0x6-x7<0x8-x5<02x9-x1-x2<0endint x1int x2int x3int x4int x5int x6int x7int x8int x9输出结果：实验报告⼆P236 例4.⼯作选择（1）对⼯作选择中的：贡献、收⼊、发展、声誉、关系、位置六个变量进⾏打分，分别为5，9，8，5，8，3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学建模实验报告一、摘要（写出本次作业建模的大致思路、方法及主要结果）根据微积分中熟知的有限覆盖定理，必然存在最小的覆盖，这样就为节约用水而建立优化模型提供了理论依据。
然而我们更需要的是对实际问题有具体指导的结论。
我们假设每个喷水龙头的喷水面积都是固定不变的，要使用水最少，只需浇灌的重复面积最小。
因此我们需要建立这样一个模型，既要使绿地全部被均匀地浇到，又要达到节约水资源的目的；而只有在被重复浇到的绿地面积达到最小时，才能使喷浇节约用水。
我们假设在绿地区内可以放置 n 个龙头，每个龙头最大的喷射半径为R 。
记绿地区域的面积为，第i 个龙头的喷射半径为i r ，喷射角度为i α，它所形成的区域为t S ，则绿地受水的总面积(实际上的圆覆盖)为nt t=1S=S ∑，从而得到如下优化模型问题：目标函数： S S n t t t=1S=Min{S }α∑ 约束条件： t t t 1S S;r R n=⊇≤；为了解决和简化问题，更能表达“覆盖”的含义，我们以S K=S代替文献[1，2]中的S S 来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣，就有：1≥K 。
K 越接近1，模型就越好，因此用水也就越节约。
我们针对4种不同的几何形状绿地区域的覆盖进行讨论，从而得到了关于它们的有效覆盖率的计算结果。
二、问题重述（写出本次作业的具体内容）城市公共绿地的浇灌是一个长期大量的用水项目。
随着现代城市人们生活质量的提高，美化城市和建设绿色家园的需要，城市绿化带正在扩大，用水量随之不断增大。
因此，城市绿化用水的节约是一个十分重要的问题。
目前，对于绿地的浇灌用水主要有移动水车浇灌和安装固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。
移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园、校区、广场等观赏性绿地。
观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，因此，喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。
根据观察，绿地喷水龙头分布和喷射半径的设定较大随意性。
那么，对于任意绿地，喷浇龙头到底以什么方案设置才最节约用水呢？请建立数学模型分析。
三、问题分析（对本模型进行分析、阐述）每一块绿地都有一定的形状，我们在模型中对正方形、等腰三角形、正多边形和长方形进行分析。
以正方形为例，我们假设绿地区域是边长为2a的正方形。
先以正方形中心为圆心，R为半径作圆，我们称之为大圆。
再分别以四个顶点为圆心，r为半径，作等半径的四分之一圆，我们称之为小圆。
使整个正方形被覆盖，我们的目标是让绿地都能喷浇到水，并且要使被重复喷浇到水的面积最小。
换句话说：我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最小。
因此，我们要选择适当的半径R与r ，使大圆与小圆面积之和达到最小。
我们以S K=S来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣，就有：1≥K 。
K 越接近1，模型就越好，因此用水也就越节约。
通过计算，可以得出一个最优比，从而得出喷水龙头的最佳分布方案。
四、模型假设（写出你对模型的基本假设条件）1.假设公共绿地为平面上有规则的区域，它可划分为一些多边形区域。
2.假设绿地下的喷水管道可以任意设置，从而可以在绿地内任意设置喷水龙头。
3.喷水龙头可以对喷射半径以内的绿地进行均匀喷浇。
4.喷水龙头还可以根据均匀喷浇的实际需要进行设计。
5.用于喷浇绿地的水压是稳定的。
五、符号约定（对模型中出现的变量进行符号约定）正方形的边长为2a;大圆半径为R ，小圆半径为r ；每个龙头最大的喷射半径为R ，记绿地区域的面积为，第i 个龙头的喷射半径为i r ，喷射角度为i α，它所形成的区域为t S ，则绿地受水的总面积(实际上的圆覆盖)为nt t=1S=S ∑。
六、模型建立（写出你根据假设及问题分析建立的数学模型）1.绿地为正多边形区域的最优覆盖率对于正多边形区域的覆盖，我们可借助于极限的思想进行讨论.事实上，把绿地全等分成若干小的正多边形.当正多边形的边数无限的增加时，正多边形的内切圆的面积就越接近正多边形的面积.下面，我们以边长为的正六边形为例，利用上述思想来求最优覆盖率. 我们先考虑一种与正方形绿地喷浇相似地布局方式.如图1所示，我们先以正六边形中心为圆心，R 为半径作圆，我们称之为大圆.再分别以六个顶点为圆心，r 为半径，作等半径的三分之一圆，我们称之为小圆.使整个正六边形被覆盖，我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最小.因此，我们要选择适当的半径R 与r ，使大圆与小圆面积和达到最小.这样我们就得到下面的优化模型： 目标函数：()221()()2240360bb c b a b f r r d παββ>≈=+-'=+-=⎡⎤⎣⎦22S=M {2}in R r π+ 约束条件： 22342a R a r -+=这是一个二元函数求条件极值的问题，我们得到：当311,66R a r a ==时，目标函数S 达到最小值21112a π。
于是我们有最小有效圆覆盖率为：221112 1.10833a S K S a π===2.绿地为正方形区域时的最优覆盖率如图1,2我们假设绿地区域是边长为2a 的正方形。
先以正方形中心为圆心，R 为半径作圆，我们称之为大圆。
再分别以四个顶点为圆心，r 为半径，作等半径的四分之一圆，我们称之为小圆。
们要选择适当的半径R 与r ，使大圆与小圆面积之和达到最小。
这样我们就得到下面的优化模型：目标函数：22{}S Min R r π=+ 22R a r a -=这相当于一个二元函数求条件极值的问题，作辅助函数：2222(,,)(R )(R )L R r r a r a λπλ=++-- 将它分别对R,r,λ，得到方程组： 2222(,,)20(,,)20(,,)0R r L R r R R a L R r r L R r R a r a λλπλπλλ⎧'=+=⎪-⎪⎪'=+=⎨⎪'=--=⎪⎪⎩求解以上方程组得到：51,22R a r a ==.时目标函数S 达到最小值232a π. 于是，我们计算出最小的有效圆覆盖率为：22321,1784a S K S aπ=== 3.绿地为等腰三角形区域的最优覆盖率如图3所示，我们设绿地区域为等腰三角形ABC ，其中AB=AC ，,A B αβ∠=∠=,别过顶点A 、B 、C 作圆。
显然，最优覆盖必须使三个圆交于一点，而且该点在底边BC 的中垂线AD 上，设AD=d ，BC=2C ，圆A 的半径为 r ，圆B 、C 的半径为R 。
我们的目的是要使得在有效覆盖率最大的情况下整个三角形区域都被覆盖，于是我们可将问题转化为在三角形中使三个扇形的面积之和最小，从而得到优化模型[2]： 目标函数：222()360360S Min r R απβπ=+约束条件： 222()d r c R -+=把约束条件代入目标函数后得到：(){}222()2360f r S r d r c παβ⎡⎤==+-+⎣⎦ 4. 矩形的最优覆盖率对于其它一些形状的绿地，可以根据上述的几种覆盖思想来解决优化问题。
下面我们以矩形为例进行讨论。
因为矩形的长宽不相同，所以，如果我们仅用圆去覆盖的话，那么不但不能达到全面覆盖，而且还会造成水资源的过多浪费。
对于这种覆盖下的最优覆盖率，我们可根据正方形覆盖的解题思想来求解。
实际上，因为长轴、短轴分别与矩形的长和宽相等的椭圆面积非常接近于矩形的面积，所以我们在矩形的中心设置一椭圆形喷头，如图8所示。
由于此时矩形的四个角落还没有被喷浇到，故我们还须设置另外的喷头来对绿地进行喷浇，这样一来，我们就可根据椭圆的相关性质，通过改进喷头来对椭圆进行调整。
至于矩形四个角落的喷浇，只要在每个顶点处都设置一个喷头即可。
下面进行具体分析。
如图所示，设矩形的长为2a 为，宽为2b ，设椭圆的长半轴为a ，短半轴为1b b >，小圆半径为b 。
由于短半轴1b 很难精确地得到，故我们用圆弧去近似椭圆孤，得到近似估计值：221()b c b a b ≈=+-。
这样我们就得到了优化的喷浇模型问题： 目标函数：21()S Min ab b ππ=+受水面积为：()()22221()S ab b a b a b b πππ≈+≈+-于是，我们得到了有效的覆盖率为：()()2224a b a b b S K S ab π+-≈≈七、模型求解（对你建立的模型进行求解）1.求解得到，由于绿地平面可被全等的正六边形所覆盖，故在广阔区域的绿地上，喷水龙头也可按照交错方式分布，这时最小有效覆盖率可达1.108.- 2. 由于绿地平面可被全等的正方形所覆盖，故在广阔区域的绿地上，喷水龙头可按照交错方式分布，这时最小有效覆盖率可达1.178。
3. 在允许使用不同半径的圆的情况下，1.196为其下界，这就说明可以根据三角形顶角的角度确定不同半径的圆覆盖方式大大优于使用单一的圆覆盖方式。
4.得到在长半轴是短半轴的大约1.5倍时, 矩形的有效覆盖率为最小。
八、模型检验及评价（对你得到的结果进行检验，并分析模型的优劣性，自己的体会等）由上述4种不同形状的绿地的不同喷浇方式节水模型的求解中，我们得到了4种喷浇方式的最优覆盖率。
从结果来看，4种最优覆盖率都是非常接近的。
但是，这些模型都是在水压稳定，绿地规则的条件下建立的。
能否再使喷浇的最优覆盖率更接近于100%呢？如果水压不稳定，绿地不规则的话，那么该如何改进模型呢？对此我们提出以下几点设想：1)通过喷头的设计使上面几种模型的最优覆盖率更加理想化。
比如，设计不同喷射形状(喷浇成椭圆形、方形、三角形)的喷头实现所要喷浇的绿地。
可以预计的是，这时有效覆盖率将会接近100%。
2)采用“降雨喷灌”。
具体的方法是在绿地中设置一些竖直的管道，把水喷射到空中散成细小的水滴，象下雨一样落到地面，过去也叫人工降雨，后来为了与高空撒干冰、碘化银等人工降雨相区别，称为喷灌。
只要喷头的布局合理，我们相信，绿地喷浇是均匀的。
3)在水压不稳定时，可考虑在喷头上设计一个活塞，由活塞来控制喷头的升降，使喷头能上下移动。
九、参考文献[1] 王雅玲. 绿地喷浇设施的节水构想[J]，数学的实践与认识，2003，33，（2）：13—16[2] 焦莹. 静园草坪喷溉系统的改进[J]，数学的实践与认识，2000，（2）：150—152[3] 杨睿.均匀喷灌的最优策略[J]，数学的实践与认识，2003，33，（2）：15—22。