沪科版九年级数学上23.2解直角三角形及其应用课件ppt
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新沪科版九年级上册初中数学 23.2 解直角三角形及其应用 教学课件
多少米？（精确到0.1 m）
第十五页，共二十六页。
新课讲解
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m. 由tan∠ACD= ，得 AD=CD·tan∠ACD
=8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）. 答：树高AB为11.8 m.
方时叫做仰角（angle of elevation）；当视线在水平线下方时叫做俯 角（angle of depression）.
第十四页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他
站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD =52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明 珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB
第十九页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,路基顶 宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1ː1.6，斜坡CD的 坡度i′=1ː2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1 m）与斜坡的 坡角α和β（精确到1 °）的值.
第二十页，共二十六页。
在Rt△ACD 中， CD = AC · sin A ，
5
∴ S△ABC =
第十五页，共二十六页。
新课讲解
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m. 由tan∠ACD= ，得 AD=CD·tan∠ACD
=8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）. 答：树高AB为11.8 m.
方时叫做仰角（angle of elevation）；当视线在水平线下方时叫做俯 角（angle of depression）.
第十四页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他
站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD =52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明 珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB
第十九页，共二十六页。
新课讲解
【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,路基顶 宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1ː1.6，斜坡CD的 坡度i′=1ː2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1 m）与斜坡的 坡角α和β（精确到1 °）的值.
第二十页，共二十六页。
在Rt△ACD 中， CD = AC · sin A ，
5
∴ S△ABC =
沪科版数学九年级上册 23.2 解直角三角形 课件(共14张PPT)
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
巩固练习
1.小明为了测量其所在位置，A点到 河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂 A m C 直的方向走了m米，到达点C，测得 ∠ACB＝α，那么AB等于（ B）
两边
2
（2）根据AC= 2 ，BC= 6
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 两角
你能求出这个三角形的其他元
素吗? 不能
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的
程．
A
事实上，在直角三角形的六个元素
（三条边，三个角）中，除直角外，
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
解：
有触礁危险
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x， 在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD＝PD＝x,AD=12+x.
b
c
如果再知道两个元素（其中至少有一
个是边），这个三角形就可以确定下 来，这样就可以由已知的两个元素求
Ca
B
出其余的三个元素．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）
B
斜边c （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
∠A的对边a
九年级数学(沪科版)同步课件 23.2解直角三角形及其应
（1）坡角a和β;
解（：2（）1坝）顶在宽RAt△D和AF斜B坡中A，B∠的A长F（B=精90确°到0.1m）.
tan AF i 1： 1.5
BF
33.7
i=1:1.5 Bα
在Rt△CDE中，∠CED=90°
AD 6m
FE
i=1:3
β
tan DE i 1: 3
解直角三角形及其应用（4）
新课引入
解直角三角形常
用关系：
∠A＋ ∠ B＝90°
c
解直角 三角形
a2+b2=c2
三角函数 关系式
A
b
sin A a , sin B b
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
B
a
┌ C
新课引入
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹 角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
CE
18.4
新课讲解
详解参看课本P129
2
例题分析
详解参看课本P130
新课讲解 实际问题
求解与验证
几何模型
直角三角形中的边角关 系
新课讲解
直角三角形中边、角的关系 应用1——仰角和俯角 应用2—方位角 应用3——坡度与坡角
新课讲解
归纳：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解 直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角 三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
【最新沪科版精选】沪科初中数学九上《23.2 解直角三角形及其应用》PPT课件 (7).ppt
解：(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝ 60°.在 Rt△ABD 中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝50 3， ∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AC ＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002 ＋(100 3)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC ＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点 C 位于 点 A 的南偏东 75°方向．
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.设 CD＝x m．在 Rt△CBD 中，∵ ∠CBD＝45°，∠D＝90°，∴BD＝CD＝x m．在 Rt△ACD 中，∵tan ∠CAD＝ACDD＝x＋x 4，∠CAD＝30°，∴ 33＝x＋x 4.解得 x＝2 3＋2≈ 5.5.答：生命所在点 C 的深度约是 5.5 m.
中，BN＝PN×tan∠BPM＝(x－10)tan60°＝ 3(x－10)．由 AM＋BN＝ 46＋10 3
46 米，得 x＋ 3(x－10)＝46，解得 x＝ 1＋ 3 ，∴点 P 到 AD 的距离 46＋10 3
为 1＋ 3
7．青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言 弃．(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处 的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝ 40米，若灰太狼以5 m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后才能抓到 懒羊羊？(结果精确到个位)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
沪科版数学九年级上册23.2第1课时解直角三角形 课件(共19张PPT)
D
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
沪科版数学九年级上册：23.2《解直角三角形及其应用》课件 (共15张PPT)
sin B b
c
c
b sin B
20 sin 35
20 0.57
35.1
你还有其他 方法求出c吗？
例题拓展
例3、在△ABC中，∠A=550，b=20cm，c=30cm。 求三角形的面积S△ABC
解：作AB边上的高CD，在Rt△ACD中
C
CD=AC·sinA=bsinA
sABC
1 2
AB
CD
1 bc sin 2
A
当∠A=550，b=20cm，c=30cm时，A 有 D
B
SABC
1 bc sin 2
A
1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
练习
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下
列条件解直角三角形；
A
b
c
Ca
B
例题解析
例1、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，B 42 6', c 287.4
解这个直角三角形
解： A 90 42 6' 47 54'
由cos B a ,得 c
A
287.4
42 6'
C
B
a ccos B 287.40.7420 213.3
由sinB b ,得 c
b csin B 287.40.6704 192.7
例题解析
例2 、如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，
解这个直角三角形（精确到0.1）
A
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° c
沪科版数学九年级上册23.2第3课时方位角与解直角三角形 课件(共25张PPT)
知识点1 方向角方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫_______．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
方位角
北偏东
解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30 km，BC＝60 km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°. km,在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30 km. km.
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方位角与解直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解并掌握方向角的概念.2.把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
方向角的概念;方向角的辨别与使用.
运用解直角三角形知识解决方向角问题.
回顾复习
归纳小结
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）;当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
例2 如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
方位角
北偏东
解：分两种情况：(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30 km，BC＝60 km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°. km,在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30 km. km.
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方位角与解直角三角形
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解并掌握方向角的概念.2.把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
方向角的概念;方向角的辨别与使用.
运用解直角三角形知识解决方向角问题.
回顾复习
归纳小结
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）;当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
例2 如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
九年级数学上册23.2解直角三角形及其应用解直角三角形课件新版沪科版
A
C
D
B
D′
第二十页，共23页。
思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个 (zhège)三角形场地的面积．
第二十一页，共23页。
必做题： 书本(shūběn)P93/4、P94/7题．
更上一层楼
第二十二页，共23页。
初涉中考题
课后思考：如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板 的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一 水平地面(dìmiàn)上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的
视线
仰角 俯角
水平线
视线
第五页，共23页。
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三 点在一条(yī tiáo)直线上，测得大桥两端的俯 角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意(tíyì)得，
PAO 30, PBO 45
答案: 15.1米
第十五页，共23页。
数学建模及 方程思想
思想与方法
解方程
解
解
直角三角形
构建
简单(jiǎndān)实 际问题
数学模型
三角形
梯形(tīxíng)
组合(zǔhé)图 形
通过作高 转化为直 角三角形
第十六页，共23页。
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括(bāokuò) 两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出 正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角 或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图 不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
C
D
B
D′
第二十页，共23页。
思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个 (zhège)三角形场地的面积．
第二十一页，共23页。
必做题： 书本(shūběn)P93/4、P94/7题．
更上一层楼
第二十二页，共23页。
初涉中考题
课后思考：如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板 的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一 水平地面(dìmiàn)上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01） （2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的
视线
仰角 俯角
水平线
视线
第五页，共23页。
合作与探究
【探究1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处， 此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三 点在一条(yī tiáo)直线上，测得大桥两端的俯 角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意(tíyì)得，
PAO 30, PBO 45
答案: 15.1米
第十五页，共23页。
数学建模及 方程思想
思想与方法
解方程
解
解
直角三角形
构建
简单(jiǎndān)实 际问题
数学模型
三角形
梯形(tīxíng)
组合(zǔhé)图 形
通过作高 转化为直 角三角形
第十六页，共23页。
思想与方法
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括(bāokuò) 两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出 正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角 或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图 不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线，画出 直角三角形.
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解直角三角形的原则： (1) 有角先求角 无角先求边
(2) 有斜用弦,
宁乘毋除,
无斜用切；
取原避中。
仰角:水平线与在它上方的视线所成的角. 俯角:水平线与在它下方的视线所成的角
• 例1.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东 30度,轮船向正北航行15海里后到达B处,这时 灯塔S恰好在船的正东.求灯塔S与B处的距 离.(精确到0.1海里) 例2.在地面上,利用测角仪CD,测得旗杆顶A的 仰角为45度,已知点D到旗杆底部的距离 BD=28米,测角仪高CD=1.3米.求旗杆高AB(精 确到0.1米)
C
D 45° B ·
30° 50
E
解直角三角形在几何中的应用，关键是通 过作垂线的方法，合理地构造出将已知元 素和未知元素包含在内的直角三角形，分 析已知量与未知量在这个三角形中的联系。
α
练习： 如图，某飞机于空中A处探测到目标 C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看 低平面控制点B的俯角α=16031／，求飞机A到 控制点B的距离.
︶
F
设外国侦察机由B到C的速度是V米/秒 – – – – V=200( 6–2) 253+25 252 ——— = —— 400 V 207米/秒
答：外国侦察机由B到C的速度约是207米/秒。
∟
︶
解：过点B作BF垂直于AC，垂足为F点。 ∵BFA=90°， A=30°，AB=50米 – ∴BF=25米，AF=253米 ∵ BFC=90°， CBF=45° – ∴ CF=BF=25米，BC=252米
• 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋 高楼有多高？（结果精确到0.1m)?
B A
D
C
例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗 礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航 行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续 行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的 北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无 触礁的危险？
A√2/2 B √3 C 1/2 D 1/4
)
二 填空题
（目标1） 1 在在Rt△ABC中， ∠C=900，如果已知b和∠A，则a=
c=
（用锐角三角函数表示）
（目标2） 2在△ ABC中,C =900,A=600，a+b=3+√3，则c=
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走60米，则他
（目标3） 上升
D
· Q A
例5 :一船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方 向,前进到B处望见灯塔C在北偏西300,又航行了半 小时到达D处,望见灯塔C在西北方向,若航速为每 小时20海里,求AD两点的距离,(结果不取近似值)
C
30°
45°
A
(30 10 3)
E
. B
45°
D
设BE为x，列方程
例6、一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察， 我空军派出战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪 监视，我机在A处与外国侦察机在B处的距离为50米，CAB为 30°。这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我 机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行。外国侦察机想在C点 故意撞我战斗机，使我机受损。问外国侦察机由 B到C的速度是 _ _ _ 多少？（ 21.414， 31.732，62.449，结果保留整数）
米，坡度是
D
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是 （2）斜坡AD 的长是
A
（3）坡角A的度数是
（4）堤坝底AB的长是
（5）斜坡BC的长是
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时450、600，
测得 CD=100米，设山高AB=x则列出关于X的方程是
∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米 ∴AB=80米〈100米 ∴受影响. 以A为圆心，100米为半径作圆弧，与 B PN交于点C、D. 连接AC，AD。 C ∵AC=100米，AB=80米 30° ∴BC=60米 160 P ∴CD=2BC =120米 M ∵v=18千米/小时=5米/秒 ∴t=s/v=120/5=24（秒） 答：学校受影响，时间为24秒. N
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为300 ,沿AC方
向行20米至D处,测得仰角∠BDC 为450,求此大厦的高度 BC.
B
A
300
450
D
C
（五）单元达标测试题
一 选择题
1 在下列直角三角形中，不能求出解的水（ ） A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角 C 已知斜边和一个锐角 D 已知两直角边 （目标1） 2 在Rt△ABC中,∠C=900,cosB=2/3,则 a:b:c=( ) A 2:√5:3 B 1:√2:√3 C 2:√5:√3 D 1:2:3 3 在Rt△ ABC中,CD为斜边AB上的高,则下列线段的比等于sinA的是( A AB/BC B CD/AC C BD/DC D BC/AC 4 在△ ABC中,C =900,A=600,两直角边的和为14,则a=( ) A 21-7√3 B 7√3-7 C 14√3 D 1+√3 （目标2） 5 在△ ABC中，∠B＝450，∠C=600，BC边上的高AD=3，则BC=（ ） A 3+3√3 B 2+√3 C 3+√3 D √2+√6 6 在等腰△ ABC中，顶角为锐角，一腰上的高线为1 ，这条高线与 另一腰的夹角为450，则三角形ABC的面积为（）
P
x
练习:公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一 所中学.AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受噪 音的影响.那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否 会受到影响？请说明理由.已知拖拉机的速度是18千米/小时， 如果受到影响，那么学校受影响的时间是多长？ 解：过点A作AB垂直于MN，垂足为B点。
画出平面图形
• 坡角:坡面与水平的夹角.通常指锐角或直角. • 坡度(或坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l 的比.
i h l
当坡角为 时， tan i
h l
例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部 的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的 角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D
∵∠1＝60 ° ∠2＝45° ∴ ∠PAD=30°,∠PBD=45° ∠PBD=45° 在Rt△BDP中， ∴ BD = PD AB = 9 ×20÷60 = 3海里 设BD=PD= x海里 ∴ AD =( 3+x)海里 PD 北 在Rt△ADP中 tan A= AD 45° 60 ° 3 2 1 x = AD · tan30° =(3+x)· 3 东 A B 3 3+ 3 ∴x= PD = x > 3 ∴ 无 触 礁 危 险 2
B D
解得x=
三 解答题
（目标2） 1在在Rt△ABC中，
∠C=900，a+b=12，
B
α β
tgB=2，求C的值及∠ABD的度数
C
（目标3） 2 山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上
一点A的俯角=600，在塔底C处测得A的俯角 α=450，已知塔高为β=60米，求山高
D
（目标3）3 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山， 知 山脚和山顶的水平距离为1550米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬 的斜坡，试问：它能部能通过这座小山 ？
（目标3） 4 外国船只，除特许外，不得进入我国
洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察 站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、 的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得 ∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是 P 要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
450
A
（目标3）四 探索题
600
湖 面上有一塔,其高为h在塔上测得空中一气球的仰 又测得气球在湖中的俯角为β试求气球距湖面的高度
(2) 有斜用弦,
宁乘毋除,
无斜用切；
取原避中。
仰角:水平线与在它上方的视线所成的角. 俯角:水平线与在它下方的视线所成的角
• 例1.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东 30度,轮船向正北航行15海里后到达B处,这时 灯塔S恰好在船的正东.求灯塔S与B处的距 离.(精确到0.1海里) 例2.在地面上,利用测角仪CD,测得旗杆顶A的 仰角为45度,已知点D到旗杆底部的距离 BD=28米,测角仪高CD=1.3米.求旗杆高AB(精 确到0.1米)
C
D 45° B ·
30° 50
E
解直角三角形在几何中的应用，关键是通 过作垂线的方法，合理地构造出将已知元 素和未知元素包含在内的直角三角形，分 析已知量与未知量在这个三角形中的联系。
α
练习： 如图，某飞机于空中A处探测到目标 C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看 低平面控制点B的俯角α=16031／，求飞机A到 控制点B的距离.
︶
F
设外国侦察机由B到C的速度是V米/秒 – – – – V=200( 6–2) 253+25 252 ——— = —— 400 V 207米/秒
答：外国侦察机由B到C的速度约是207米/秒。
∟
︶
解：过点B作BF垂直于AC，垂足为F点。 ∵BFA=90°， A=30°，AB=50米 – ∴BF=25米，AF=253米 ∵ BFC=90°， CBF=45° – ∴ CF=BF=25米，BC=252米
• 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋 高楼有多高？（结果精确到0.1m)?
B A
D
C
例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗 礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航 行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续 行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的 北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无 触礁的危险？
A√2/2 B √3 C 1/2 D 1/4
)
二 填空题
（目标1） 1 在在Rt△ABC中， ∠C=900，如果已知b和∠A，则a=
c=
（用锐角三角函数表示）
（目标2） 2在△ ABC中,C =900,A=600，a+b=3+√3，则c=
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走60米，则他
（目标3） 上升
D
· Q A
例5 :一船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方 向,前进到B处望见灯塔C在北偏西300,又航行了半 小时到达D处,望见灯塔C在西北方向,若航速为每 小时20海里,求AD两点的距离,(结果不取近似值)
C
30°
45°
A
(30 10 3)
E
. B
45°
D
设BE为x，列方程
例6、一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察， 我空军派出战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪 监视，我机在A处与外国侦察机在B处的距离为50米，CAB为 30°。这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我 机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行。外国侦察机想在C点 故意撞我战斗机，使我机受损。问外国侦察机由 B到C的速度是 _ _ _ 多少？（ 21.414， 31.732，62.449，结果保留整数）
米，坡度是
D
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是 （2）斜坡AD 的长是
A
（3）坡角A的度数是
（4）堤坝底AB的长是
（5）斜坡BC的长是
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时450、600，
测得 CD=100米，设山高AB=x则列出关于X的方程是
∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米 ∴AB=80米〈100米 ∴受影响. 以A为圆心，100米为半径作圆弧，与 B PN交于点C、D. 连接AC，AD。 C ∵AC=100米，AB=80米 30° ∴BC=60米 160 P ∴CD=2BC =120米 M ∵v=18千米/小时=5米/秒 ∴t=s/v=120/5=24（秒） 答：学校受影响，时间为24秒. N
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为300 ,沿AC方
向行20米至D处,测得仰角∠BDC 为450,求此大厦的高度 BC.
B
A
300
450
D
C
（五）单元达标测试题
一 选择题
1 在下列直角三角形中，不能求出解的水（ ） A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角 C 已知斜边和一个锐角 D 已知两直角边 （目标1） 2 在Rt△ABC中,∠C=900,cosB=2/3,则 a:b:c=( ) A 2:√5:3 B 1:√2:√3 C 2:√5:√3 D 1:2:3 3 在Rt△ ABC中,CD为斜边AB上的高,则下列线段的比等于sinA的是( A AB/BC B CD/AC C BD/DC D BC/AC 4 在△ ABC中,C =900,A=600,两直角边的和为14,则a=( ) A 21-7√3 B 7√3-7 C 14√3 D 1+√3 （目标2） 5 在△ ABC中，∠B＝450，∠C=600，BC边上的高AD=3，则BC=（ ） A 3+3√3 B 2+√3 C 3+√3 D √2+√6 6 在等腰△ ABC中，顶角为锐角，一腰上的高线为1 ，这条高线与 另一腰的夹角为450，则三角形ABC的面积为（）
P
x
练习:公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一 所中学.AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受噪 音的影响.那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否 会受到影响？请说明理由.已知拖拉机的速度是18千米/小时， 如果受到影响，那么学校受影响的时间是多长？ 解：过点A作AB垂直于MN，垂足为B点。
画出平面图形
• 坡角:坡面与水平的夹角.通常指锐角或直角. • 坡度(或坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l 的比.
i h l
当坡角为 时， tan i
h l
例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部 的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的 角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D
∵∠1＝60 ° ∠2＝45° ∴ ∠PAD=30°,∠PBD=45° ∠PBD=45° 在Rt△BDP中， ∴ BD = PD AB = 9 ×20÷60 = 3海里 设BD=PD= x海里 ∴ AD =( 3+x)海里 PD 北 在Rt△ADP中 tan A= AD 45° 60 ° 3 2 1 x = AD · tan30° =(3+x)· 3 东 A B 3 3+ 3 ∴x= PD = x > 3 ∴ 无 触 礁 危 险 2
B D
解得x=
三 解答题
（目标2） 1在在Rt△ABC中，
∠C=900，a+b=12，
B
α β
tgB=2，求C的值及∠ABD的度数
C
（目标3） 2 山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上
一点A的俯角=600，在塔底C处测得A的俯角 α=450，已知塔高为β=60米，求山高
D
（目标3）3 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山， 知 山脚和山顶的水平距离为1550米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬 的斜坡，试问：它能部能通过这座小山 ？
（目标3） 4 外国船只，除特许外，不得进入我国
洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察 站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、 的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得 ∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是 P 要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
450
A
（目标3）四 探索题
600
湖 面上有一塔,其高为h在塔上测得空中一气球的仰 又测得气球在湖中的俯角为β试求气球距湖面的高度