复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义

【教学目标】

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部） 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

【教学重难点】

重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。

难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

【教学准备】

多媒体、实物投影仪 。

【教学设想】

复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi （a 、b ∈R ）与有序实数对（a ，b ）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi （a 、b ∈R ），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a ，b ）惟一确定。

【教学过程】

一、复习回顾：

1．复数的定义：

2．复数的代数形式：

3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当 时，复数a +bi （a 、b ∈R ）是实数a ；当 时，复数z =a +bi 叫做虚数；当 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 时，z 就是实数0.

4．复数集与其它数集之间的关系： 。

5．两个复数相等的定义：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　6．复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi （a 、b ∈R ）可

用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫

做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z =0+0i =0复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←???

→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

二、讲解新课：

复数代数形式的加减运算

1．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi ）+（c +di ）=

2．复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=（a +bi ）-（c +di ）=

3．复数的加法运算满足交换律： z 1+z 2=z 2+z 1．

证明：

4．复数的加法运算满足结合律： （z 1+z 2）+z 3=z 1+（z 2+z 3）

证明：设z 1=a 1+b 1i 。z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i （a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ）。

讲解范例：

例1计算：（5-6i ）+（-2-i ）-（3+4i ）

解：

例2计算：（1－2i ）+（－2+3i ）+（3－4i ）+（－4+5i ）+…+（－2002+2003i ）+（2003－2004i ）

解法一：

解法二：

复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加（减）法 （a +bi ）±（c +di ）=（a ±c ）+（b ±d ）i 。

与多项式加（减）法是类似的。就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。

1．复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应

平面向量OZ u u u r 2．复数z a bi =+←???→一一对应

平面向量OZ u u u r 3．复数加法的几何意义：

4．复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =（a －c ）+（b －d ）i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边

形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差（a －c ）+（b

－d ）i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减

数的向量对应。

例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？

解：

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。　即AB 所表示的复数是z B －z A ．　，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即例4复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析一：利用=，求点D 的对应复数。

解法一：

分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解。

解法二：

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

课堂练习

课堂小结 ：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　复数的加法法则：

复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。

【教学反思】

【作业布置】