北邮概率论与数理统计置信区间与假设检验83

§8.3 置信区间与假设检验

假设检验和区间估计这两个统计推断问题看似完全不同，然而实际上两者之间有着非常密切的联系. 置信区间与假设检验之间具有对偶性.这种对偶性使我们“逆转”检验得到置信区间,反之也可以由置信区间获得检验.先看下面例子.

8.3.1 由假设检验得到置信区间

我们先看下面例子，通过这个例子我总结出如何“逆转”检验得到置信区间。 设样本),,(1n X X X =来自总体),(2

σμN .考虑双边假设检验问题: 00:μμ=H 对 01:μμ≠H ，

我们知道,该检验问题的水平为α的检验的拒绝域为 ,

)}1(|:|{2/10-≥-=-n t n

s x x W αμ， 从而接受域为)}1(|:|{2/10-<

-=-n t n s x x W αμ， 因此有 ))1()1((2/102/10-+<<----n t n

s x n t n s x P ααμμ αμαμ-=-+

≥--=-1))1(|(|12/100n t n s x x P 注意以上的结果是在0μμ=时,即x ～)n /,(N 20σμ时得到的.而实际上把0μ换成任意的

μ时, 由于x ～)n /,(N 2σμ,因而有 αμααμ-1))1()1((2/12/1=-+<<----n t n

s x n t n s x P , 从而得到参数μ的置信水平为α-1的置信区间：

）（)1(),1(2/12/1-+----n t n

s x n t n s x αα. 下面考察如何由单边检验得到单侧置信限，如果考虑单边假设检验问题:

00:μμ≤H 对 01:μμ>H ,

该假设检验问题的水平为α的检验的拒绝域为 )}1(:{10-+

≥=-n t n

s x x W αμ, 因此接受域为

)}1(:{10-+

<=-n t n s x x W αμ, 从而有 αμαμ-=-->-1))1((2/100n t n

s x P , 同样地考虑到0μ的任意性,把上式中的0μ换成任意的μ时,上面式子亦成立,即有 αμαμ-=-->-1))1((2/1n t n

s x P , 从而得到μ的置信水平为α-1的置信下限为)1(2/1--

-n t n s x α. 同样地,我们也可以由单边假设检验问题00:μμ≥H 对 01:μμ

一般地，如果我们的目的是构造参数θ的置信水平为α-1的置信区间,考虑双边假设检验问题

00H θθ=： 对 01θθ≠:H ,

先给出此检验的水平为α的拒绝域W ,然后得到接受域W ,该接受域与0θ有关,将该接受域记为)(0θW ,且有 αθθ-≥∈1)}({00W X P ,

将0θ换成任意的Θ∈θ上式也成立,即有 αθθ-≥∈1)}({W X P , 由)(θW X ∈得到不等式: )(ˆ)(ˆX X U L θθθ<<,则），（)(ˆ)(ˆX X U

L θθ为θ的置信为水平为α-1的置信区间.

如果目的是求参数θ的置信限,可考虑单边检验问题.

例8.3.1 设设样本m x x x ,...,,21和n y y y ,...,,21相互独立，分别来自正态总体),(21σμN 和),(22σμN ，令21μμμ-=,求参数μ的水平为α-1的置信区间.

解 考虑假设检验问题

00:μμ=H 对 01:μμ≠H ,

该检验的接受域为 )}2(|:|),{(2/-+<=n m t T Y X W α, 其中检验统计量为n

m S Y X T W 110+--=μ,将T 中0μ改为μ,并解不等式)2(||2/-+

)11)2(, 11)2((2/2/n m n m t S Y X n m n m t S Y X W W +-++-+-+--αα.

8.3.2 由置信区间得到假设检验问题的检验

若用某种方法建立了参数θ的水平为α-1的置信区间)ˆ,ˆ(U L θθ,对于双边检验问题

00H θθ=： 对 01θθ≠:H ,

我们可以很容易地得到该检验问题的水平为α的检验:若)ˆ,ˆ(0U L θθθ∈,则接受0H ,否则就

拒绝0H .该检验的拒绝域为

))(ˆ),(ˆ(:{0X X X W U

L θθθ∉=. 类似地可由单侧置信限得到单边检验问题的检验.例如,若参数θ的水平为α-1的单侧置信下限为L θˆ.那么对于单边检验问题

00:θθ≤H 对 01:θθ>H ,

可得到一个水平为α的检验:若L

θθˆ0>,则接受0H ,否则拒绝0H .