2020-2021学年广东仲元中学高一下期中数学试卷 答案和解析

【最新】广东仲元中学高一下期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．120-°的角所在象限是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 3．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ）A ．53-B ．53C ．54- D ．54 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin （ ） A ．91- B ．92 C ．98- D ．327．向量)1,2(),2,1(=-=，则（ ） A ．a ∥b B ．a ∥b C ．a 与b 的夹角为60° D ．a 与b 的夹角为30°8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足λ=,10<<λ,则AM AB ⋅的最大值（ ）A ．4B ．2C ．λ2D ．λ2-9．函数x x y 22sin cos -=是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ）A ．)0,4(πB ．)0,3(πC ．)0,2(πD ．)0,(π11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题13．已知平面向量(2,1)a =-，则a =_________．14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________．15．已知向量与向量平行，则锐角等于 ．16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且2=,若R ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ．三、解答题17．已知函数)6sin()(π+=x x f .（1）利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 18．已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( （1）求实数m 的值； （2）求向量a 与b 的夹角θ．19．已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y ＝f （t ），下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos（1）根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∥00时至晚上20∥00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 20．已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,2πθb a ，求)4sin(πθ+的值．21．已知(3sin ,1)a x =，(cos ,2)b x =（1）若//a b ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-⋅，求()f x 的单调递增区间．22．已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=（1）求)24(πf 的值；（2）若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值；（3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数a 与2111x x +的取值范围．参考答案1．C 【解析】试题分析：由象限角得定义可知，120-°的角所在象限是第三象限角. 考点：象限角. 2．C 【解析】试题分析：设该扇形的半径为r ，由弧度制的定义可知，该扇形的圆心角的弧度数为422r rr-=. 考点：弧度制. 3．D 【解析】试题分析：在四边形ABCD 中，∥AC AB AD AC AB BC =+=+，，AD BC =，即//AD BC ，且AD BC =，如图所示；∥四边形ABCD 是平行四边形． 考点：向量的加法及其几何意义． 4．D 【解析】试题分析：由任意角的三角函数公式可知，()224sin 534α==-+. 考点：任意角的三角函数. 5．C 【解析】试题分析：作出函数sin y x =的图象，∥21sin ≥α，由图知， 52266k k k Z πππαπ+≤≤+∈，．又[]πα,0∈，所以0k =，可得α的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ. 考点：正弦函数的单调性． 6．C 【解析】 试题分析：()21118sin cos ,sin cos 1sin 2sin 23999αααααα+=∴+=⇔+=∴=-，故选C.考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式. 7．B 【解析】 试题分析：(1,2),(2,1)(1,2)(2,1)0a b a b a b =-=∴⋅=-⋅=∴⊥.考点：平面向量的数量积的坐标运算. 8．A 【解析】 试题分析：()()()()()11AM AB AD DM AB AD DC AB AD AB AB λλ⋅=+⋅=+-⋅=+-⋅AD AB =⋅()21AB λ+-⋅()41λ=-，10<<λ，所以当0λ=时，AM AB ⋅的最大值为4.考点：平面向量的数量积. 9．A 【解析】试题分析：22()cos sin ()()cos 2()f x x x x R f x x x R =-∈∴=∈，所以函数()f x 是最小正周期为π的偶函数.考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质. 10．C 【解析】试题分析：令22,x k k Z ππ=+∈，所以,2x k k Z ππ=+∈，所以()f x 图象的一个对称中心的坐标为)0,2(π.考点：正弦函数的性质. 11．B 【解析】试题分析：函数cos 21sin 212y x x π⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，所以只需把函数x y 2sin =的图象，向左平移4π个长度单位，再向下移动1各单位，即可得到函数sin 21cos 212y x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭的图象．考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数x y 2sin =到函数12cos -=x y 的图像，即可得到选项． 【方法点睛】三角函数图象变换： （1）振幅变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A（2）周期变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω（3）相位变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ（4）复合变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.12．B 【解析】试题分析：∥D 为AB 的中点，∥2PD PA PB =+ ，又∥()21PD PC PA PB λ+=++ ，∥()1PA PB PC PA PB λ++=++ ，∥PC PA λ= ，又∥PBA 与PBC 的面积相等，∥P 为AC 的中点，即1λ=-，故选：B ．考点：平面向量的基本定理及其意义．【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过D 为AB 的中点可得2PD PA PB =+，利用()21PD PC PA PB λ+=++化简可得PC PA λ=，通过PBA 与PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论． 13．5 【解析】 试题分析：()22215a =+-=考点：向量的模. 14．23【解析】 试题分析：()75sin 4515sin 60︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒= 考点：三角恒等变换. 15．【解析】试题分析：向量共线得12sinαcosα=6,∴sin2α=1,α=π4 考点：共线向量的坐标运算． 16．31，32【解析】试题分析：∥2=；∥()2AD AB AC AD -=- ；∥1322AC AB AD =-+ ； ∥12,33AD AB AC =+又R ∈+=μλμλ,,；∥=λ31，=μ32． 考点：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由2=得到1322 AC AB AD =-+，这即可得到12,33AD AB AC =+，从而可以求出λ和μ的值．17．（1）详见解析；（2）函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，取得最小值时对应的x的值为π． 【解析】试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像； （2）[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ， 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1，当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-.试题解析：解：（1）列表如下（2）[],,0π∈x 666≤+≤∴x 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1，当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-，∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．考点：1.五点法作函数()y Asin x ωϕ=+ 的图象；2.正弦函数的图象．【方法点睛】∥函数sin y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π；函数cos y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,1)，(,0)2π，(,1)π-，3(,0)2π，(2,1)π．18．（1）1m =-；（2） 【解析】试题分析：（1）由已知首先求出 3a b - 的坐标，然后利用向量垂直的数量积公式关于m 的方程，解之，即可求出结果；（2）由（1）可知(1,3),=a (1,2)=-b ,然后利用数量积公式求夹角．试题解析：解: （1）∥(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =, ∥3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b ． ∥(3)-⊥a b c ,∥(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c = 3(13)(3)4m =-+-⨯ 990m =--=解得1m =-．（2）由（1）知(1,3),=a (1,2)=-b , ∥5b =a ,10,5==a b ,∥2cos 105b θ===⨯b a a ．∥[0,]θπ∈，∥4πθ=．考点：数量积表示两个向量的夹角． 19．（1）1cos 126y t π=+；（2）上午9∥00至下午3∥00． 【解析】试题分析：（1）设函数()()si 0(0)n f t A t k A ωϕω=++>>，，从表格中找出同(6)0.5，和(12)1.5，是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期12T =并得到6πω=，算出12A =和1k =，最后根据6x =时函数有最小值0.5解出2πϕ=，从而得到函数()y f t =近似表达式；（2）根据（1）的解析式，解不等式()0.75f t >，可得124124()k t k k z -+∈<<，取012k =、、，将得到的范围与[8]20，对照，可得从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．试题解析：解： （1）由表中数据知周期T ＝12，∥2126ππω==，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∥A ＝0.5，b ＝1，∥16cos 21+=t y π．（2）由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，∥cos t ＋1＞1，∥cost ＞0，∥2kπ－＜t ＜2kπ＋，k∥Z ，即12k －3＜t ＜12k ＋3，k∥Z.∥∥0≤t≤24，故可令∥中k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24． ∥在规定时间上午8∥00至晚上20∥00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动， 即上午9∥00至下午3∥00．考点：三角函数的图像与性质．20．（1）1 3；（2）7210【解析】试题分析：（1）由ba⊥可知，0sincos2=-=⋅θθba，所以θθcos2sin=，然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由)1sin,2(cos+-=-θθba可得，ba-64cos2sin2θθ=-+=，化简可得0sincos21=+-θθ，∥，又1sincos22=+θθ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ∥，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos53sinθθ，再利用两角和公式即可求出结果.试题解析：解：（1）由ba⊥可知，0sincos2=-=⋅θθba，所以θθcos2sin=，所以（2）由)1sin,2(cos+-=-θθba可得，ba-22)1(sin)2(cos++-=θθ64cos2sin2θθ-+=，即0sincos21=+-θθ，∥又1sincos22=+θθ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ∥，由∥∥可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos53sinθθ，所以1027)5453(22)cos(sin22)4sin(=+=+=+θθπθ．考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.21．（1）4311；（2）,63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）//23sin cos 0a b x x ⇒-=，化简可得tan x =的正切公式即可求出结果；（2）215()()3sin cos cos 22cos 2222f x a b b x x x x x =-⋅=--=--5sin(2)62x π=--然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）//23sin cos 0a b x x ⇒-=，故tan 6x =；所以22tan tan 21tan 11x x x ==-（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=-- 5sin(2)62x π=--令222,,26263k x k k Z k x k k Zπππππππππ-+≤-≤+∈⇒-+≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间是,63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.22．（11 ；（2）6π；（3）(2,3)【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入24x π=即可．（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围．（3）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出2111x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围． 试题解析：解：（1）∥()2cos 21f x x x =++12cos2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++∥()2sin()12sin 11241264f ππππ=++=+=（2）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈ ∥()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数∥当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆- ∥630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩， 解得06m π<≤∥m 的最大值是6π（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02x π<<）有两个交点.∥当02x π<<时， 由（2）知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，…9分且(0)2,()3,()0,62f f f ππ===∥ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ∥函数()f x 的图象关于6x π=对称 ∥123x x π+=． ∥12x x <，∥106x π<<． ∥122121212111111333()33x x x x x x x x x x x x πππ++====ππ⋅⋅⋅--+. ∥函数23y x x π=-+在(0,)6π内递增∥211(0,)336x x ππ-+∈2 ∥121112(,)x x +∈+∞π所以2111x x +的取值范围为12(,)+∞π．解法2：设2(0)62t x x ππ=+<<，则()2sin 1g t t =+，(,)66t π7π∈方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin 1g t t =+，(,)66t π7π∈有两个交点.()2sin 1g t t =+在,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，在,26π7π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，且()2,()3,()0,626g f f ππ7π===∥ 23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3)考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．。