古希腊三大作图问题

作数对；
扩域“列”与扩域“树”
❖ “列”： 有理数域 ❖ “树”：
r1 r2 2(r1, r2 Q)
Q
2∈Q
3∈Q
5 ∈Q ......
F1={a+b 2 |a,b∈Q} F'1={a+b 3 |a,b∈Q} F''1={a+b 5 |a,b∈Q} ......
扩域“列”与扩域“树”
扩域“树”的基本特征： ❖ 每一支都是一个扩域“列”； ❖ 在这些扩域“列”中，每一个扩域中的数都
可以用尺规作出； ❖ 某一个扩域可能出现在不同的扩域“列”中.
只能作图
❖ 对尺规作图而言, 从单位1出发, 利用尺规作图, 可以 作出有理数域中的每一个数。然后, 我们可以选择 有理数域中的一个数, 作它的算术平方根(这里要求), 进而作出所有形如的数,其中是数域中的任意数。从 而，用尺规可以作出一个新的数域.重复这样的过程， 我们就可以作出数域“树”。
❖ 数域“树”中每一个数都可以用尺规作出，而且， 尺规所能作出数的范围仅限于数域“树”中的数。
❖ 我们可以把它写成一个定理： 尺规能且仅能作出的数的范围为数域“树”。
❖ 没有针对一个问题，去寻找解决这类问题的 方法。
不可作图问题是如何解决的呢？
思路：我们对尺规作图一类问题进行考虑。 ❖ 确定尺规作图的范围； ❖ 判断我们要求作的具体问题是否在这个范围
内。
不可作图问题证明的基本步骤
❖ 1）尺规作图代数化——几何问题代数化； ❖ 2）范围界定，与数域建立联系——数域与扩
尺规作图
❖ 古时候人们约定，所谓圆规直尺作图是指： 使用直尺，我们能过任何给定的不同两点， 作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为 圆心，任意长为半径作一个圆. 在作图中，使 用的直尺是没有刻度标记的直尺；
❖ 只用圆规、直尺，古希腊三大作图问题不可 作。
不限制用圆规和直尺，三大作图问题 是可作的
域； ❖ 3）是否只有这个范围。
三等分角不可能性的证明
❖ 问题的代数化；
方程 ❖
x3 3x 1 0
没有有理数根；
❖ 方程 x3 3x10 的根是不可作图的 。
三、教材逻辑
作图欣赏
三大作图问题
其它方法
尺规作图原则
有理数域与尺规作图
范例
尺规作图的范围（1） ——能作的范围
数域扩充与尺规作图
一、古希腊三大作图问题 与尺规作图
古希腊三大作图问题
古希腊有三个十分著名的作图问题，这三个作 图问题规定只能用圆规和直尺解决.它们分别是： ❖ 倍立方体：求作一个立方体的边，使该立方体的体 积为给定立方体的两倍. ❖ 化圆为方：求作一个正方形，使其面积与一个给定 的圆的面积相等. ❖ 三等分角：求作一个角，使其等于给定的角的三分 之一.
几种常见的三等分角的方法 ❖ 方法一：阿基米德的作法； ❖ 方法二：近似求解三等分角的方法——二分
法； ❖ 方法三：物理实验——运用钟表三等分角.
二、三等分角不可能尺规作图的证 明
历史上人们的想法
❖ 针对一个具体的问题去寻找ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ现的方法，我 们找不到实现的方法，不代表这种方法不存 在，我们只能这样一直地找下去；
尺规作图代数化
直线的表示
圆的表示
数域与尺规作图的封闭性 圆规作图与扩域
尺规作图的范围（2） ——仅能作的范围
扩域“列”、扩域 “树”与尺规作图
应用 不能作的范围
补充知识 能作的范围
倍方
三等分角
正十七边形
四、关键点
作图问题代数化
❖ 1）作图
作数
❖ 2）基本图形作图代数化
作直线与圆
确定方程及系数 直线与直线的交点 直线与圆的交点 圆与圆的交点