1.2-2逆序数n阶行列式的定义

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第1节 n阶行列式的定义(全)

表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该数表所确定的二阶行列式二阶行列式，数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中，称为元素元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第行；行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ；个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换，同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。个偶排列均变成奇排列，
从而，从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解按对角线法则，有按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)

线性代数第一章第二节

四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项，a12 a43a31a24是四阶行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2

(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn

n阶行列式的定义

§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。

12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。

n阶行列式的定义及性质

推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行列式等于零.
证设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数对换，叫做相邻对换.
例五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16

线性代数基础

0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n

n阶行列式的定义

课程信息
教材：《线性代数》
教师：林军
同济大学
课程要求：(1) 课前预习 (2) 认真听讲 (3) 课后复习,认真完成作业
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在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.
2
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我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.
3
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第一章行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
二阶与三阶行列式全排列及其逆序数行列式的概念. n 阶行列式的定义对换（选学内容）行列式的性质及计算. 行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
解 ∵k1=3 k2=3 k3=0 k4=1 k5=0
t(35412) = k1 + k2 + ---+ k5=3+3+0+1+0 =7
例3、求n元排列123---n和n(n-1)---321的逆序数，
解 n元排列123---n是标准排列
t(123---n)=0
n元排列n(n-1)---321中，
4
•行列式是线性代数的一种工具！ •学习行列式主要就是要能计算行列式的值.
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第一节 n阶行列式一、n元排列的定义与逆序：

n阶行列式

3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积; 4、一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1N . 5、
例1
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann

定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和

a11 a21 an1
( 1 ) N a1 j1 a2 j2 anjn . a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
记作
D
其中 j1 j2 jn 为自然数 1，，n 的一个排列， 2， N 为这个排列的逆序数．
4 ( 41 ) 2
1 2 3 4 24.
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同行、不同列的 n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.
思考题
x
已知
例如a14a23a31a42
行标排列为1234，元素取自不同的行，列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，
即a14a23a31a42
是上述行列式中的一项．
a11a24a33a44 有两个元素取自第4列，
所以它不是行列式中的一项．
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
0
0
1
3 2 5 1 4

§12n阶行列式

n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列证：有q个。将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部变为偶排列，于是有排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换（ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
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二、n阶行列式的定义阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.

1-2-2 n阶行列式的定义(II)【线性代数】【通用版】

1 p1 2 p2
npn
p1 p2pn
故 D1
1 a a a p1p2pn
1p1 2 p2
npn

D2.
p1 p2pn
四、n阶行列式定义的其它形式
定理2.2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a a p11 p2 2 apnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
例2 计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann
解分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn2 n 2, p2 2, p1 1,
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n

0
a22
a2n
0 0 ann
1 12na11a22 ann
a11a22 ann .
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列负号,
4、一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;

第一讲二阶、三阶、N阶行列式

第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式；掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

n 阶行列式的定义

因此，由行列式的定义有
a11 a12
0 D
a22
00
a1n a2n a11a22 ann
ann
即上三角行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
同理，对于下三角行列式(主对角线上侧的元素全为零)，有
a11 0 a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22 ann
ann
特别地，对于对角行列式(除主对角线上的元素外其余元素均为零)，有
1 2 (n 2) (n 1) n(n 1)
2
所以
00 00 D
an1 0
0 a1n
a2 ，n 1
0
n ( n 1)
(1) 2 a1na2，n1 an1
00
由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0。
(1.1)
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1) a a ( p1p2 pn ) 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2 pnaFra bibliotekn例1 在五阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号?
解这一项各元素的行标是按自然数顺序排列的，列标
的排列为23514。因τ(23514)=4，故这一项应取正号。
定理1 n 阶行列式的一般项可以写成
(1) a a (i1i2 in ) ( p1p2 pn ) i1 p1 i2 p2
ain pn
其中，i1i2…in，p′1p′2 …p′n 都是n 级排列。
(1.3)
同样，也可以把行列式一般项中元素的列标排成自然顺序123…n，而此时相应行标的n级排列为i1i2…in，则行列式的定义又可叙述为

线性代数第一章第一节 n阶行列式的定义

2 当 k为偶数时，排列为偶排列，

k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k

0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2

1.2 n阶行列式的定义

( 4321 )
(1)
a14a23a32a41
4 3 2 1 24
【例2】计算行列式p5
a11 a12 a13 0 a22 a23
a1n1 a2 n1 a3 n1 0
a1n a2 n a3 n ann
上三角行列式
D= 0
0 0
0 a33 0 0 0 0
第一行第二行
第n 行
称为n 阶行列式。
aij
位于行列式中第i行第j列的元素
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
= n!项的代数和，每一项是行列式不同行不同列的n个元素的乘积，每一项都有一定符号。

j1 j2 jn
1
20032004 2
a1, 2004a2, 2003 a2004,1a2005, 2005
1 2 32004 2005
200 5 !
定理1· 3 ：n阶行列式的展开式又可表示为
a11 a21 an 1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
第一章
§1.2
行列式
n阶行列式的定义
本节要点： n阶行列式的定义几种特殊行列式的结论
一、
二、三阶行列式
a11 a12 a11a22 D a21 a22 ＋－
－＋－
a12 a21
a11 a21
－
a12 a22 a32
＋
a13 a23 = a a a a a a a a a 11 22 33 13 21 32 12 23 31 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

线性代数

ai1 j1 ai2 j2 L ain jn
例3
若 ( −1)
N ( i 432 k ) + N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4是五阶
行列式 aij 的一项，则i,j,k应为何值？此时该项的符号是什么？
练习：练习： 1. 在六阶行列式中，下列各元素连乘积前面应冠以在六阶行列式中，什么符号 (1) a23 a31a42 a56 a14 a65 (2) a33 a42 a14 a51a66 a25 2. 在四阶行列式中，含有因子a11a23的项为 ———— 在四阶行列式中，
(1) 36715284
(2)n(n-1)…21 …
定义 3 在一个排列 i1 Lis Lit Lin 它的两个数码
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，如果仅将
is 和 it
对调，其他数码不变，得到另对调，其他数码不变，
一个排列 i1 Lit Lis Lin ，这样的变换称为一个对换，记为对换 (is , it ) 对换，施以对换(1,3)后得到排列后得到排列231 如，对排列213施以对换对排列施以对换后得到排列施以对换(3,4)后得到排列后得到排列2413 如，对排列2314施以对换对排列施以对换后得到排列定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2 个数码个数码(n>1)共有个n级排列，其中奇偶排列共有n!个级排列级排列，定理 n个数码共有各占一半。各占一半。
a n 2 L a nn
2）上三角行列式）
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n = a11a 22 L a nn M M M 0 L a nn

线性代数_第一章

n( n 1) -I=5*4/2-6=4 2
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章行列式
行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16

第一章行列式

课题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。

教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。

本次课主要介绍行列式的定义。

教学过程及教学设计备注第一章行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、二阶行列式（determinants of order two ）引例解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。

注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。

（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。

②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。

③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。

例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。

§1.2 n阶行列式的定义

第二节 n阶行列式的定义一、排列与逆序（一）定义（排列）：由n个不同的元素1 , 2 , 3 , … , n排成的任一有序数组，称为一个n级全排列，简称n级排列。

例如： 1 2 3 4是一个4级排列； 5 2 3 4 1是一个5级排列.n级排列的总数为n!个.例如由1 , 2 , 3这三个数码可以排出3!=6个3级排列，它们是：1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 1 2 ，3 2 1 .一般地，我们将一个n级排列记为i1 i2...in，其中i1是1 , 2 , … , n中的某一个数，i2是余下的n-1个数中的某一个数，….（二）定义（排列的逆序）：在一个n级排列i1 i2...in中，如果有某个较大的数it 排在较小的数is的前面，就称it与is构成了一个逆序。

例如在5级排列1 2 3 5 4中，较大的数5排在较小的数4之前，就称5与4为一个逆序。

一个n级排列i1 i2...in中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(i1i 2 (i)n)由于5级排列1 2 3 5 4中，只有一个逆序，所以N（1 2 3 5 4）=1求一个排列的逆序数的方法是：先求第一个元素i1的逆序数N1，再求第二个元素i2的逆序数N2，…，最后求第n-1个元素in-1的逆序数，将它们加起来即可。

即有（三）奇、偶排列奇排列：如果N(i1 i2...in)为奇数，则称i1i2...in为奇排列；偶排列：如果N(i1 i2...in)为偶数，则称i1i2...in为偶排列.规定：n级排列1 2 … n为偶排列.例1 计算N（3 2 1 4 5）和N（3 4 1 2 5）解： N（3 2 1 4 5）=2+1=3N（3 4 1 2 5）=2+2=4可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列； 5级排列3 4 1 2 5是偶排列.对换（四）定义（对换）：在一个排列i l ...i s ...i t ...i n 中，如果只将i s 与i t 的位置互换（其余均不动），得到另一个排列i l ...i t ...i s ...i n ，这样的变换称为一次对换。

1.2 n阶行列式的定义

§1.2n 阶行列式从三阶行列式的定义，我们看到:(1) 三阶行列式共有3!＝6项；(2) 行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3) 行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关. 受此启示，我们可以引入n 阶行列式的定义. 此外，在本节中，我们还要了解几个今后常用的特殊的n 阶行列式(对角行列与三角形行列式等)的计算方法.一、排列与逆序定义1由自然数1，2，…，n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。

例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义 2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i ⋯⋯⋯中，若数,s t i i >则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为).(21n i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 逆序数的计算方法：先计算出排列中每个元素逆序的个数，即计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数，该排列中所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1 (E01)计算排列32514的逆序数.解在排列 32514 中，3排在首位，故其逆序数为0；2的前面比2大的数只有1个3，故其逆序数为1；5的前面没有比5大的数，故其逆序数为0；1的前面比1大的数有3个，故其逆序数为3；4的前面比4大的数有1个，故其逆序数为1. 即排列3 2 5 1 4逆序0 1 0 3 1于是排列 32514 的逆序数为.513010=++++=N例（补）计算排列217986354的逆序数，并讨论其奇偶性. 解排列2 1 7 9 8 6 3 5 4逆序0 1 0 0 1 3 4 4 5 于是题设排列的逆序数为54431001018.N =++++++++=该排列是偶排列.例2 (E02)求排列321)1)(1( --n n n 的逆序数，并讨论其奇偶性. 解排列n 1-n 2-n … 3 21逆序012…3-n 2-n 1-n于是题设排列的逆序数为012)3()2()1(++++-+-+-= n n n N .2)1(-=n n 易见当,4k n =14+k 时，题设排列是偶排列;当,24+=k n 34+k 时，题设排列是奇排列.二、n 阶行列式的定义定义4由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n = 组成的记号111212122212nn n n nna a a a a a a a a 称为n 阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列，它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和，各项的符号是：当该项各元素的行标按自然顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号；是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ij a 称为行列式的元素，称n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(-为行列式的一般项.注:(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的；(2) n 阶行列式是!n 项的代数和，且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半；(3) n nj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j j N -(不算元素本身所带的符号)；(4) 一阶行列式,||a a =不要与绝对值记号相混淆. 例3 (E03) 计算行列式0004003002001000=D 解四阶行列式D 的一般项为,)1(431432143221)(j j j j j j j j N a a a a -D 中第1行的非零元素只有,14a 因而1j 只能取4，同理由D 中第 2，3，4 行知，,32=j ,23=j ,14=j 即行列式D 中的非零项只有一项，即41322314)4321()1(a a a a D N -=4321)1()4321(⋅⋅⋅-=N .24=例4(E04) 计算上三角形行列式).0(0221122211211≠nn nnnna a a a a a a a a解行列式的一般项为,)1(212121)(n n nj j j j j j N a a a -,n j n =,11-=-n j n …，,22=j ,11=j所以不为零的项只有,1211nn a a a∴nn nn a a a a a a 0022211211.)1(1211)12(nn n N a a a -=同理，下三角形行列式nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.三、对换为进一步研究n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。

1.2-2逆序数n阶行列式的定义

第1节 n阶行列式的定义(全)

线性代数第一章第二节

n阶行列式的定义

n阶行列式的定义及性质

线性代数基础

n阶行列式的定义

n阶行列式

§12n阶行列式

1-2-2 n阶行列式的定义(II)【线性代数】【通用版】

第一讲 二阶、三阶、N阶行列式

n 阶行列式的定义

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义

1.2 n阶行列式的定义

线性代数

线性代数_第一章

第一章行列式

§1.2 n阶行列式的定义

1.2 n阶行列式的定义

第一讲二阶、三阶、N阶行列式

线性代数第一章第一节 n阶行列式的定义